2017届高考数学(理)一轮复习对点训练：8-1-2表面积.doc

测标题（42）空间几何体的表面积和体积一、选择题1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A ．1+2π2π B ．1+4π4π C ．1+2ππ D ．1+4π2π2．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 （ ）Ａ．40003cm 3 Ｂ．．80003cm 3 Ｃ．2000cm 3Ｄ．4000cm 33．一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，则它的对角线长是（ ）A ．2B ．3C ．6D ． 4．在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图所示），若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 （ ）A ．92πB ．72πC ．52πD ．32π 二、填空题5．（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.【答案】26．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为_ ．三、解答题7.如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，∠ABC=90°，E、F、G分别为AC、C1B1、CC1的中点，求三棱锥E－GFB的体积.8. 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，求球的表面积。

9. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分(V1>V2)，则V1:V2是多少?附加题10分（2016年全国III高考）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则V的最大值是（A）4π（B）（C）6π（D）【答案】B。

第 54 讲平面的基本性质、
144π
空间直线和几何体的体积与表面积
第 54 讲平面的基本性质、 【知识要点】
1【 ．解 平面析的】基画本出 性质 球的直观图，利用锥
体的体积公式求解.
(1)公如理图1， ：如设果球 一的 条直 半线径上为的R 两， 点在一个平面内，那么这条 ∵直线 ∠上A所O有 B＝ 点都 90在°这，个∴ 平面S内△A．OB＝12R2.
直棱柱
S 侧＝ch
V＝S 底·h
第 54 讲平面的基本性质、
正棱锥 S一侧条＝直线的
V＝13S 底·h
空间直线和几何体的体积与表面积 正棱台
1 2πrl S 侧＝2(cπ＋rlc′)h′
V＝13(S 上＋
S上S下＋S 下)h
球 S 球面＝______ V 球＝
第 54 讲平面的基本性质、
1
4 πR3 3
第 54 讲平面的基本性质、 空间直线和几何体的体积与表面积
【基础检测】
第 54 讲平面的基本性质、 1.若 P 是两条异面直线 l，m 外的一点，则(
)
A.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行
B.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直
C.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交
∵ VO － ABC＝VC－AOB，而△AOB
面(2积)公为理定2值 ：过， 不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
空间直线和几何体的体积与表面积 (3)确∴ V定O平当 －面A点 B的CC 条最件到 大：平 ，面 AOB 的距离最大时， ①__∴ ___当 ___C__为 ___与 __球 可确的定大一圆个面 平面A． OB 垂直的直径的端 点②时一， ∴ 条体 直R线 积 ＝和6V_， O __∴ － __A __B球 一 C 最 点O大 可的 确为表 定13一 × 面个12积R平为 2面×．4Rπ＝R326＝ ，4π× 62③＝两1条 44_π __._________直线可确定一个平面．

最新整理高三数学2017高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积2017高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh 体积:πR²h (R为圆柱体上下底圆半径,h 为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR²+πR[(h²+R²)的平方根] 体积:πR²h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体a-边长,S=6a² ,V=a³4、长方体a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc5、棱柱S-底面积 h-高 V=Sh6、棱锥S-底面积 h-高 V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积 h-高 V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积 ,S2-下底面积 ,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径 ,h-高 ,C—底面周长S底—底面积 ,S侧—侧面积 ,S表—表面积 C=2πrS底=πr²,S侧=Ch ,S表=Ch+2S底 ,V=S底h=πr²h10、空心圆柱R-外圆半径 ,r-内圆半径 h-高 V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径 h-高 V=πr^2h/312、圆台r-上底半径 ,R-下底半径 ,h-高 V=πh(R²+Rr+r²)/313、球r-半径 d-直径 V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径 V=πh(3a²+h²)/6 =πh²(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r1²+r2²)+h²]/616、圆环体R-环体半径 D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径V=2π2Rr² =π2Dd²/417、桶状体D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高V=πh(2D²+d²)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D²+Dd+3d²/4)/15 (母线是抛物线形)。

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15解析：由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.答案：B2．(2015·高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π B.13π6 C.7π3D.5π2解析：由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.答案：B3．(2015·高考安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．1＋2 2C ．2＋ 3D ．2 2解析：选C. 如图，该四面体有两个面为等腰直角三角形，另外两个面为正三角形．故该四面体的表面积S ＝2×12×2×2＋2×12×2×2×32＝2＋ 3.答案：C4．(2015·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1m ，圆柱的底面半径为1m 且其高为2m ，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π(m 3)．答案：83π5．(2016·大连模拟)直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，AA 1＝22，则球O 的表面积为__________．解析：由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即22＋22＋22＝4，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π.答案：16π6. 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线，∴2R ＝23(R 为球的半径)，∴R ＝ 3. ∴球的体积V ＝43πR 3＝43π.答案：43π7．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．8．有一根木料，形状为直三棱柱形，高为6 cm ，横截面三角形的三边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ，将其削成一个圆柱形积木，求该木料被削去部分体积的最小值．解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R ，圆柱的高即为直三棱柱的高．在△ABC 中，令AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，∴△ABC 为直角三角形． 根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R ＝5，∴R ＝1. ∴V 圆柱＝πR 2·h ＝6π(cm 3)．而三棱柱的体积为V 三棱柱＝12×3×4×6＝36(cm 3)．∴削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm 3)． 即削去部分体积的最小值为6(6－π)cm 3.[B 级 能力突破]1．(2015·高考课标卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ­ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°， ∴S △AOB ＝12R 2.∵V O ­ABC ＝V C ­AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ­ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ­ABC 最大为13×12R 2×R ＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C. 答案：C2．(2015·高考课标卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.答案：B3. (2016·豫西五校联考)如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________．解析：由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V圆台＝13×(π×AD 2＋π×AD 2×π×BC 2＋π×BC 2)×AB ＝13×π×(AD 2＋AD ×BC ＋BC 2)×AB＝13×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝43π×AD 3×12＝43π×23×12＝163π(cm 3)，所以旋转所形成几何体的体积V ＝V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)． 答案：1403π(cm 3)4．(2016·大连双基检测) 如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．15B ．13C ．12D ．9解析：题中的几何体的直观图如图所示，其中底面ABCD 是一个矩形(其中AB ＝5，BC ＝2)，棱EF ∥底面ABCD ，且EF ＝3，直线EF 到底面ABCD 的距离是3.连接EB ，EC ，则题中的多面体的体积等于四棱锥E ­ABCD 与三棱锥E ­FBC 的体积之和，而四棱锥E ­ABCD 的体积等于13×(5×2)×3＝10，三棱锥E ­FBC 的体积等于13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×3×2＝3，因此题中的多面体的体积等于10＋3＝13，选B.答案：B5．(2014·高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：根据底面积的比值、侧面积相同，找到底面半径和高的比值，再代入体积公式求出体积的比值．设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.答案：326. (2016·大连模拟)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一个动点P 、Q ，且满足A 1P ＝BQ ，M 是棱CA 上的动点，则V M ­ABQPVABC ­A 1B 1C 1－V M ­ABQP的最大值是__________．解析：设VABC ­A 1B 1C 1＝V ，V M ­ABQP ＝VM ­B 1BA ≤VC ­B 1BA ＝VB 1­CBA ＝13V ，即M 与C 重合时V M ­ABQP最大，V M ­ABQP VABC ­A 1B 1C 1－V M ­ABQP ＝V3V －V 3＝12.答案：127．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＞1，点E 在棱AB 上移动，小蚂蚁从点A 沿长方体的表面爬到点C 1，所爬的最短路程为22.(1)求AB 的长度．(2)求该长方体外接球的表面积．解：(1)设AB ＝x ，点A 到点C 1可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC 1|＝x 2＋4. 如图乙的最短路程为 |AC 1|＝x ＋2＋1＝x 2＋2x ＋2，图甲 图乙∵x ＞1，∴x 2＋2x ＋2＞x 2＋2＋2＝x 2＋4，故从点A 沿长方体的表面爬到点C 1的最短距离为x 2＋4.由题意得x 2＋4＝22，解得x ＝2. 即AB 的长度为2.(2)设长方体外接球的半径为R ，则 (2R )2＝12＋12＋22＝6， ∴R 2＝32，∴S 表＝4πR 2＝6π.即该长方体外接球的表面积为6π.。