全等三角形证明中考题精选(有答案)教学提纲

新人教版八年级上学期全等三角形证明题一.解答题（共10小题）1. （泉州）如图，已知AD是厶ABC的中线，分别过点B、C作BE丄AD于点E, CF丄AD交AD的延长线于点F,求证：BE=CF .2. （河南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片（1）操作发现如图2，固定△ ABC，使△ DEC绕点C旋转，当点①线段DE与AC的位置关系是_________________ ②设厶BDC的面积为S1, △ AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是（2）猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC和厶AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知/ ABC=60 °点D是角平分线上一点，BD=CD=4 , DE // AB交BC于点E （如图4）.若在射线BA上存在点F,使DCF=S A BDE，请直接写出相应的BF的长.D恰好落在AB边上时，填空:團1 區23. (大庆)如图，把一个直角三角形 ACB (/ ACB=90 °绕着顶点B 顺时针旋转60°使得点C 旋转到 AB 边上的一点 D ，点A 旋转到点E 的位置.F , G 分别是BD ，BE 上的点，BF=BG ，延长CF 与DG 交 于点H .(1) 求证：CF=DG ;(2) 求出/ FHG 的度数.4. (阜新)(1)如图，在△ ABC 和厶ADE 中，AB=AC , AD=AE , / BAC= / DAE=90 °① 当点D 在AC 上时，如图1,线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；② 将图1中的△ ADE 绕点A 顺时针旋转％角(0°< aV 90° ,如图2,线段BD 、CE 有怎样的数量关系和 位置关系？请说明理由.(2)当△ ABC 和厶ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD 、CE 在(1 )中的位置关系仍 然成立？不必说明理由.甲: AB : AC=AD : AE=1 , / BAC= / DAE M 90°乙: AB : AC=AD : AE M l , / BAC= / DAE=90 °丙: AB : AC=AD : AE M, / BAC= / DAE M 90°5.(仙桃)如图所示，在△ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE // BC,如图①，然后将△ ADE 绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=2BD，EN~CE,得到图③，请解答下列问题:(1)若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是_________________ ;②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、/ MAN与/BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=k?AC (k> 1),按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、/ MAN 与/ BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.6. （四川）CD经过/ BCA顶点C的一条直线，CA=CB . E, F分别是直线CD上两点，且/ BEC= / CFA= / a.（1） 若直线CD 经过/ BCA 的内部，且E , F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：① 如图 1,若/ BCA=90 ° / «=90 °则 BE ____________ CF ; EF _____________ |BE - AF| （填 \”， Z ”或=”）；② 如图2,若0°< Z BCA V 180°，请添加一个关于 / a 与/BCA 关系的条件 ___________________ ，使① 中的两 个结论仍然成立，并证明两个结论成立.（2） 如图3，若直线CD 经过Z BCA 的外部，Z a = Z BCA ，请提出EF ,BE, AF 三条线段数量关系的合 理猜想（不要求证明）.7.（绍兴）课外兴趣小组活动时， / DAB=60 ° / B 与/ D 互补，特殊化，看如何解决该问题.许老师出示了如下问题：如图1 ,己知四边形ABCD中，AC平分/ DAB , 求证：AB+AD= 7；AC .小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD2 B= / D”，如图2，可证AB+AD=“^AC;（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.（请你补全证明）& （常德）如图，已知AB=AC ,（1）若CE=BD，求证：GE=GD ;（2）若CE=m?BD （m为正数），试猜想GE与GD有何关系.（只写结论，不证明）G9. （泰安）（1）已知：如图①，在△ AOB 和厶COD 中，OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD=60 ° 求证：①AC=BD ;② / APB=60 度；（2）如图②，在△ AOB和厶COD中，若OA=OB，OC=OD，/ AOB= / COD= a,贝U AC与BD间的等量关系式为_ _ ；Z APB的大小为_ _ ;（3）如图③，在△ AOB 和厶COD 中，若OA=k?OB, OC=k?OD （k> 1）, Z AOB= Z COD= a,贝U AC 与BD间的等量关系式为_______________ ; Z APB的大小为 ________10. （南宁）（A类）如图，DE丄AB、DF丄AC .垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）① AB=AC ;② BD=CD ;③ BE=CF 已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为求证：BE=CF已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为求证：BD=CD已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为求证：AB=ACE、F, AB=AC , BD=CDE、F, AB=AC , BE=CFE、F, BD=CD , BE=CF（B类）如图，EG// AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）•① AB=AC ;② DE=DF ;③ BE=CF已知：EG // AF , AB=AC , DE=DF 犬求证：BE=CF /\新人教版八年级上学期全等三角形证明题参考答案与试题解析一.解答题（共10小题）1. （泉州）如图，已知AD是厶ABC的中线，分别过点B、C作BE丄AD于点E, CF丄AD交AD的延长线于点F,求证：BE=CF .考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：根据中线的定义可得BD=CD，然后利用角角边”证明△ BDE和厶CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证.解答：证明：•/ AD是厶ABC的中线，••• BD=CD ,•/ BE 丄AD , CF丄AD ,•/ BED= / CFD=90 °在厶BDE和厶CDF中，ZBED=ZCKD=90"ZBDE=ZCDF ,BD=CD••• △ BDE ◎△ CDF （AAS ）,• BE=CF.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.2. （河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC 重合放置，其中/ C=90° / B= / E=30°（1）操作发现如图2，固定△ ABC，使△ DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE // AC(2)猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S i与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC和厶AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知/ ABC=60 °点D是角平分线上一点，BD=CD=4 , DE // AB交BC于点E (如图4).若在射线BA 上存在点F,使S^ DCF=S A BDE，请直接写出相应的BF的长.考点：全等三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：(1)① 根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得/ ACD=60 °然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30。

证明三角形全等的五种基本思路考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对证明三角形全等的五种基本思路的理解！【类型1已知两边对应相等，寻找第三边相等，用“SSS”】1(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④2(2023春·陕西西安·七年级统考期末)如图，点E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE、AE=CF，AC与BD交于点O．则下列说法不正确的是()A.BE=DFB.△AEB≌△CFDC.∠EAB=∠OAED.AE∥CF3(2023春·广东江门·八年级校考期中)如图，已知：PA=PB，AC=BD，PC=PD，△PAD和△PBC全等吗？请说明理由．4(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF=BC，DF=AC，DA =EB.试说明：∠F=∠C.5(2023春·浙江杭州·八年级校考开学考试)如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，边BC上，连接DE,AD=AC，ED=EC．(1)求证：∠ADE=∠C．(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度数．6(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一点，AE⊥CD 于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，若CE=BF，AE=EF+BF，试判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．【类型2已知两边对应相等，寻找夹角相等，用“SAS”】1(2023春·贵州遵义·八年级统考阶段练习)如图，F，C是AD上两点，且AF=CD；点E，F，G在同一直线上，∠B=∠AGF，BC=EF求证：ΔABC≌ΔDEF.2(2023春·山西朔州·八年级校考期末)已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD=CE；(2)求证：AD⊥CE3(2023·陕西西安·九年级西北工业大学附属中学校考期末)已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD．连接DE、DC，求证：CE=CD．4(2023春·七年级课时练习)如图，点E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，连接EC并延长，交DB的延长线于点F．(1)求证：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求∠F的度数．5(2023春·上海·七年级专题练习)如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、E在一直线上，AC、BD交于F点，AE、CD交于G点，试说明FG∥BE的理由．6(2023春·四川成都·八年级校考开学考试)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上载取CE=BD，连接AD、AE.(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE；(2)在(1)的条件下，求出∠ADE的度数；(3)如图2，当点D落在线段BC(不含端点)上时，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC,垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明现由.【类型3已知两角对应相等，寻找夹边相等，用“ASA”】1(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，若AB: BC=5:7，S△ADC=8，则S△ABD=.2(2023春·湖南永州·八年级校考期中)如图四边形ABCD中，∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，AF=CE．求证：BE=DF．3(2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且∠CAD=45°．若BC=7，AD=5，求AF的长．4(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)如图，∠ABC=∠E,∠D=∠A,BE=CF，求证：△ABC≌△DEF．5(2023春·云南文山·七年级统考期末)如图．已知线段AB，分别过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，点E为∠MAB平分线上的一点，且BE⊥AE，垂足为E，若∠BAE=60°，请解答下列问题：(1)求∠EBN的度数；(2)过点E作直线CD，交AM于点D，交BN于点C．求证：DE=CE；(3)无论线段DC的两个端点在AM、BN上如何移动，只要线段DC经过点E，那么AD+BC的值是否发生变化？请说明理由．6(2023春·陕西咸阳·七年级统考期末)【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G．【问题探究】(1)∠AGB的度数为°；(2)过G作GF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，判断AB与FB的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若AD=10，FG=6，求GH的长．【类型4已知一边一角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”】7(2023春·四川德阳·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE =74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论是()A.①②③B.②③④C.①②④⑤D.①②⑤8(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，∠ABC=∠CAD=90°，AB=4，AC=AD，求△BAD的面积．9(2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．(1)试说明△ABC≌△DBE．(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．10(2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，且AD=CD．(1)求证：△ABD≅△CFD；(2)若BC=9，AD=7，求AF的长．11(2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)若AD=12，DE=7，求BE的长．12(2023春·七年级课时练习)(1)如图1，AB=AC，∠B=∠EDF，DE=DF，FC=2，BE=4，求BC的长度.(2)如图2，AB=AC，∠ABC=∠EDF，DE=DF，探索BC、BE、CF的数量关系，并证明.(3)如图3，在中，∠B=∠ADE=45°，∠C=22.5°，DA=DE，AB=3，BD=2，则DC=.【类型5已知一边一角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”】13(2023春·江苏·七年级统考期末)如图，在五边形ABCDE中，AB=AE=4，BC=3，DE=2，∠BAE，则五边形ABCDE的面积等于()∠ABC=∠AED=90°，∠DAC=12A.16B.20C.24D.2614(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，长方形ABCD中，点E为AD上一点，连接CE，将长方形ABCD沿着直线CE折叠，点D恰好落在AB的中点F上，点G为CF的中点，点P为线段CE上的动点，连接PF、PG，若AE=a、ED=b、AF=c，则PF+PG的最小值是()A.a+c-bB.b+2cC.a+b+2cD.a+b15(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，线段AB与CF交于点E，点D为CF上一点，连接AD、AF、BC，已知AD=BC，∠1=∠2．(1)请添加一个条件使△ADF≌△BCE，并说明理由．(2)在(1)的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．16(2023·江苏·八年级假期作业)已知：在△ABC中，AB=CD-BD，AD⊥BC，求证：∠B=2∠C．17(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．(1)按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．(2)求证：△ACD≌△EBD．(3)求证：AB+AC>2AD．(4)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．18(2023春·江西吉安·七年级统考期末)在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的将分线，BD 与CE相交于点P．(1)如图1，如果∠A=60°，∠ACB=90°，那么∠BPC=．(2)如图2，如果∠A=60°，∠ACB不是直角，那么(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)小月同学在完成(2)之后，发现CD、BE、BC三者之间存在着一定的数量关系，于是她在边CB上截取了CF=CD，连接PF，把DC、EB转换到BC边上来，请你写出小月同学发现，并完成她的说理过程．证明三角形全等的五种基本思路考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对证明三角形全等的五种基本思路的理解！【类型1已知两边对应相等，寻找第三边相等，用“SSS”】1(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，AC=FD BC=ED AB=FE，∴△ABC≌△FED(SSS)，∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．2(2023春·陕西西安·七年级统考期末)如图，点E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE、AE=CF，AC与BD交于点O．则下列说法不正确的是()A.BE=DFB.△AEB≌△CFDC.∠EAB=∠OAED.AE∥CF【答案】C【分析】利用线段的和差即可判断A选项；利用“SSS”即可证明△AEB≌△CFD，判断B选项；利用全等三角形的性质和平行线的判定，即可判断C、D选项．【详解】解：∵BF=DE，∴BF-EF=DE-EF，∴BE=DF，A选项正确；在△AEB和△CFD中，AB=CD BE=DF AE=CF，∴△AEB≌△CFD SSS，B选项正确；∵△AEB≌△CFD，∴∠EAB=∠FCD，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，C选项不正确，D选项正确．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3(2023春·广东江门·八年级校考期中)如图，已知：PA=PB，AC=BD，PC=PD，△PAD和△PBC全等吗？请说明理由．【答案】详见解析【分析】由AC=BD，利用线段的和差关系可得AD=BC，利用SSS即可证明△PAD≌△PBC.【详解】∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC，又∵PA=PB，PC=PD，∴△PAD≌△PBC(SSS)【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.4(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF=BC，DF=AC，DA =EB.试说明：∠F=∠C.【答案】见解析【分析】根据SSS的方法证明△DEF≌△ABC,即可得到结论.【详解】因为DA=EB，所以DE=AB.在△DEF和△ABC中，因为DE=AB，DF=AC，EF=BC，所以△DEF≌△ABC(SSS)，所以∠F=∠C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.5(2023春·浙江杭州·八年级校考开学考试)如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别在边AB ，边BC 上，连接DE ,AD =AC ，ED =EC．(1)求证：∠ADE =∠C ．(2)若AB ⊥DE ,∠B =30°，求∠A 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)连接AE ，利用SSS 定理证出△ADE ≅△ACE ，根据全等三角形的性质即可得证；(2)先根据垂直的定义可得∠ADE =90°，再根据(1)的结论可得∠C =90°，然后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】(1)证明：如图，连接AE ，在△ADE 和△ACE 中，AD =ACED =EC AE =AE，∴△ADE ≅△ACE SSS ，∴∠ADE =∠C ．(2)解：∵AB ⊥DE ，∴∠ADE =90°，由(1)已证：∠ADE =∠C ，∴∠C =90°，∵∠B =30°，∴∠A =180°-∠B -∠C =60°．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、垂直的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．6(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，在△ABC 中，AC =BC ，D 是AB 上的一点，AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，若CE =BF ，AE =EF +BF ，试判断直线AC 与BC 的位置关系，并说明理由．【答案】AC⊥BC．理由见解析【分析】证明∴△ACE≌△CBF，可得∠BCF=∠CAE，再根据AE⊥CD，利用等量代换可得∠ACB=90°即可．【详解】解：AC⊥BC．理由如下：∵AE=EF+BF，CE=BF，∴AE=EF+CE，∴AE=CF，在△ACE和△CBF中，AC=CB AE=CF CE=BF，∴△ACE≌△CBF SSS，∴∠BCF=∠CAE，∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，∴AC⊥BC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明△ACE≌△CBF是解题的关键．【类型2已知两边对应相等，寻找夹角相等，用“SAS”】1(2023春·贵州遵义·八年级统考阶段练习)如图，F，C是AD上两点，且AF=CD；点E，F，G在同一直线上，∠B=∠AGF，BC=EF求证：ΔABC≌ΔDEF.【答案】证明见解析【分析】根据同位角相等，两直线平行得到BC∥EG，再根据平行线的性质得到∠BCA=∠EFD．根据等式的性质得到AC=DF，即可根据SAS证明△ABD≌△DEF．【详解】∵∠B=∠AGF，∴BC∥EG，∴∠BCA=∠EFD．∵AF=CD，∴AC=DF．在△ABD和△DEF中，∵AC=DF，∠BCA=∠EFD，BC=EF，∴△ABD≌△DEF(SAS)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．2(2023春·山西朔州·八年级校考期末)已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD=CE；(2)求证：AD⊥CE【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】试题分析：(1)要证AD=CE，只需证明△ABD≌△CBE，由于△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，所以易证得结论．(2)延长AD，根据(1)的结论，易证∠AFC=∠ABC=90°，所以AD⊥CE．试题解析：(1)∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴AD=CE．(2)延长AD分别交BC和CE于G和F，∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD=∠BCE，∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，又∵∠BGA=∠CGF，∴∠AFC=∠ABC=90°，∴AD⊥CE．考点：1.等腰直角三角形；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．3(2023·陕西西安·九年级西北工业大学附属中学校考期末)已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD．连接DE、DC，求证：CE=CD．【答案】见解析.【分析】由已知可得△ABC是等腰直角三角形，由AE⊥AB即可得到∠CAE=∠B，从而可利用SAS判定△ACE≌△BCD,得证．【详解】证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAD=45°．∵AE⊥AB，∴∠CAE+∠CAD=90°．∴∠CAE=45°．∴∠CAE=∠B．在△ACE和△BCD中，AE=BD∠CAE=∠B AC=BC，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴CE=CD．【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的性质的综合运用，证明△ACE≌△BCD 是解题的关键．4(2023春·七年级课时练习)如图，点E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，连接EC并延长，交DB的延长线于点F．(1)求证：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求∠F的度数．【答案】(1)见解析(2)∠F=40°【分析】(1)由DE∥BC得到∠ABC=∠DEB，证明△ABC≌△DEB即可；(2)推导BE=BC，即∠BCE=∠BEC解题即可．【详解】(1)证明：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠DEB，在△ABC和△DEB中，AB=DE∠ABC=∠DEB BC=DB，∴△ABC≌△DEB(SAS)，∴CD=CE；(2)解：∵△ABC≌△DEB，∴∠D=∠A=30°，∵DE∥BC，∴∠FBC=∠D=30°，∵∠CDE=40°∴∠EBC=40°，∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=70°，∴∠F=40°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．5(2023春·上海·七年级专题练习)如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、E在一直线上，AC、BD交于F点，AE、CD交于G点，试说明FG∥BE的理由．【答案】见解析【分析】运用SAS证得△ACD≌△ACE，得到∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE;由公共部分∠ACD,利用角和差可确定∠BCF=∠DCF，结合BC=AC，判定△BCF≌△ACG，可得∠ACD=∠BAC=60°,CF= CG;可以发现△CFG也是等边三角形，则∠CFG=60°,即∠CFG=∠BCA=60°，利用平行线判定定理，即可判定平行．【详解】解：理由如下：∵已知△ABC和△CDE都是等边三角形∴AC=AB,CD=CE,∠BAC=∠ABC=∠BCA=∠DCE=∠CED=∠EDC=60°∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE在△ACD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE CD=CE∴△ACD≌△ACE(SAS)∴∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE∴∠BCD-∠ACD=∠ACE-∠ACD 即∠ACD=∠BCA=60°；在△BCF和△ACG中，∠CAE=∠CBD AC=BC∠ACD=∠BCA∴△BCF≌△ACG(ASA)∴CF=CG∴△CFG是等边三角形∴∠CFG=60°∴∠CFG=∠BCA=60°∴FG∥BE(内错角相等，两直线平行)【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，其中全等三角形的判定是解题的关键．6(2023春·四川成都·八年级校考开学考试)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上载取CE=BD，连接AD、AE.(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE；(2)在(1)的条件下，求出∠ADE的度数；(3)如图2，当点D落在线段BC(不含端点)上时，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC,垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明现由.【答案】(1)证明见解析；(2)30°；(3)∆HGC 为等边三角形，理由见解析.【分析】(1)利用SAS 定理证明△ABD ≌△ACE ；(2)根据全等三角形的性质得到AD =AE ，∠CAE =∠BAD ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可求得∠ADE 的度数；【详解】解：(1)∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠ABC =∠ACB =30°，∵∠ACM =∠ACB ，∴∠ACM =∠ABC ，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠ABC =∠ACEBD =CE ，∴△ABD ≌△ACE .(2)由(1)可知，△ABD ≌△ACE ，∵ΔABD ≌ΔACE ，∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ．∴∠CAE +∠DAC =∠BAD +∠DAC =∠BAC =120°．即∠DAE =120°．∵AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =30°；(3)∆HGC 为等边三角形.理由:∵AH ⊥BC ,AG ⊥EC ,∴∠AHC =∠AGC =90°.∵∠ACB =∠ACM ,AC =AC ,∴ΔAHC ≅ΔAGC (ASA ).∴HC =GC .∵∠HCA =30°,∴∠HCG =60°.∴∆HGC 为等边三角形.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【类型3已知两角对应相等，寻找夹边相等，用“ASA ”】1(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ，若AB :BC =5:7，S △ADC =8，则S △ABD =.【答案】20【分析】延长AD 交BC 于点E ，证△ABD ≌△EBD 可得AB =BE ，S △ABD =S △EBD ，AD =DE ，由AB :BC =5:7可得S △EBD ：S △ECD =5:2，进而即可求解；【详解】解：如图，延长AD 交BC 于点E ，∵BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD ，∠ADB =∠EDB =90°∵BD =BD ，∴△ABD ≌△EBD ASA∴AB =BE ，S △ABD =S △EBD ，AD =DE ，∵AB :BC =5:7，即BE :BC =5:7∴BE :EC =5:2∴S △EBD ：S △ECD =5:2，∵AD =DE ，S △ADC =8，∴S △ECD =S △ADC =8，∴S △ABD =52S △ADC =20故答案为：20．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，三角形中线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2(2023春·湖南永州·八年级校考期中)如图四边形ABCD 中，∠AEB =∠CFD ，∠BAE =∠DCF ，AF =CE ．求证：BE =DF ．【答案】证明见解析【分析】根据等量代换可得AE =CF ，根据全等三角形的判定和性质即可证明．【详解】证明：∵AF =CE ，AF +FE =CE +FE ，∴AE =CF ，在△ABE 和△CDF 中，∠AEB =∠CFDAE =CF ∠BAE =∠DCF，∴△ABE ≌△CDF ASA ，∴BE =DF ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．3(2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习)如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB于E ，AD 与CE 交于点F ，且∠CAD =45°．若BC =7，AD =5，求AF 的长．【答案】3【分析】证明△ABD ≌△CFD ASA ，得到BD =DF ，利用BD =BC -CD ，求出BD 的长，再利用AF =AD -DF ，计算即可．【详解】解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB =∠ADC =∠CDF =∠CEB =90°，∴∠BAD +∠B =∠FCD +∠B =90°，∴∠BAD =∠FCD ，∵∠ADC =90°，∠CAD =45°，∴∠ACD =45°，∴AD =CD ，在△ABD 和CFD 中，∠ADB =∠CDFAD =DC ∠BAD =∠DCF，∴△ABD ≌△CFD ASA ．∴BD =DF ．∵BC =7，AD =DC =5，∴DF =BD =BC -CD =2，∴AF =AD -DF =5-2=3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△ABD ≌△CFD ．4(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)如图，∠ABC =∠E ,∠D =∠A ,BE =CF ，求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】根据已知条件证明EF =CB ，进而根据AAS 证明△ABC ≌△DEF ．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +BF =BF +FC ，即EF =CB ，在△ABC ,△DEF 中，∠D =∠A∠ABC =∠EEF =CB∴△ABC ≌△DEF AAS ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．5(2023春·云南文山·七年级统考期末)如图．已知线段AB ，分别过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN，使AM∥BN，点E为∠MAB平分线上的一点，且BE⊥AE，垂足为E，若∠BAE=60°，请解答下列问题：(1)求∠EBN的度数；(2)过点E作直线CD，交AM于点D，交BN于点C．求证：DE=CE；(3)无论线段DC的两个端点在AM、BN上如何移动，只要线段DC经过点E，那么AD+BC的值是否发生变化？请说明理由．【答案】(1)30°(2)见解析(3)AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长，理由见解析【分析】(1)根据平行线的性质得出∠BAM+∠ABN=180°,得出∠ABN=60°,再根据直角三角形两锐角互余可得∠ABE=30°,从而可得出结论；(2)延长AE交BN于点F，证明△AEB≌△FEB得到AB=FB，再根据ASA证明△AED≌△FEC即可得出DE=CE；(3)由(2)知△AED≌△FEC得AD=FC，从而可证明AD=FC,再证明FB=AB，从而可得出结论．【详解】(1)∵AE是∠BAM的平分线，∴∠BAE=∠MAE=1∠MAB,2∵∠BAE=60°,∴∠BAM=2∠BAE=120°,∵AM∥BN,∴∠BAM+∠ABN=180°,∴∠ABN=180°-∠BAM=180°-120°=60°,∵AE⊥BE,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-60°=30°,∴∠EBN=∠ABN-∠ABE=60°-30°=30°；(2)证明：如图所示，延长AE交BN于点F，∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠FEB=90°，∵AE是∠BAM的平分线，∴∠BAE=DAF，∵AM∥BN，∴∠BFA=∠DAF，∠ADE=∠FEC，∴∠EAB=∠EFB，又∵BE=BE，∴△AEB≌△FEB AAS，∴AE=FE,∴△AED≌△FEC ASA，∴DE=CE；(3)解：AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长，理由如下：由(2)得△AED≌△FEC，△AEB≌△FEB∴AD=FC,AB=BF，∴AD+BC=FC+BC=BF=AB，∴线段DC经过点E，那么AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键6(2023春·陕西咸阳·七年级统考期末)【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G．【问题探究】(1)∠AGB的度数为°；(2)过G作GF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，判断AB与FB的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若AD=10，FG=6，求GH的长．【答案】(1)135(2)AB=BF，理由见解析(3)4【分析】(1)利用三角形内角和定理得到∠ABC+∠BAC=90°，再由角平分线的定义得到∠GAB+∠GBA=12∠ABC+12∠BAC=45°，由此即可利用三角形内角和定理求出答案；(2)利用三角形内角和定理证明∠F=∠HAG，进而证明∠F=∠BAG，由此可证明△ABG≌△FBG得到AB=BF；(3)由全等三角形的性质得到AG=FG=6，则DG=AD-AG=4，再证明△AGH≌△FGD，即可得到GH=DG=4．【详解】(1)解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=90°，∵∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G，∴∠GAB=12∠BAC，∠GBA=12∠ABC，∴∠GAB+∠GBA=12∠ABC+12∠BAC=45°，∴∠AGB=180°-∠GAB-∠GBA=135°，故答案为：135；(2)解：AB=BF，理由如下：∵∠ACB=90°，∴∠ACF=90°，∵FG⊥AD，∴∠AGH=∠FCH=90°，又∵∠FHC=∠AHG，∴∠F=∠HAG，∵∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G，∴∠CAD=∠BAD，∠ABG=∠CBG，∴∠F=∠BAG，又∵BG=BG，∴△ABG≌△FBG AAS，∴AB=BF；(3)解：∵△ABG≌△FBG，∴AG=FG=6，∴DG=AD-AG=4，又∵∠AGH=∠FGD=90°，∠HAG=∠F，∴△AGH≌△FGD ASA，∴GH=DG=4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【类型4已知一边一角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”】7(2023春·四川德阳·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE =74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论是()A.①②③B.②③④C.①②④⑤D.①②⑤【答案】D【分析】①利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可判定；②证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可判定；③利用反证法，假设成立，推出矛盾即可；④可以证明S四边形ABDE=2S△ABP，据此即可判定；⑤由DH∥PE，利用等高模型即可判定．【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAP=∠DAC，∠ABP=∠FBP，∴∠BAD+∠ABE=12∠CAB+∠CBA=12×90°=45°，∴∠APB=180°-∠BAD+∠ABE=135°，故①正确；∴∠BPD=180°-∠APB=180°-135°=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPD=∠APF=90°，∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，在△ABP和△FBP中，∠ABP=∠FBP BP=BP∠APB=∠FPB，∴△ABP≌△FBP ASA，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，∴∠PAH=∠BAP=∠PFD，在△APH和△FPD中，∠APH=∠FPD AP=FP∠PAH=∠PFD，∴△APH≌△FPD ASA，∴PH=PD，∴AD=AP+PD=PF+PH，故②正确；∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH=S△EPD，∴S△EPH+S△APE=S△EPD+S△APE，即S△APH=S△AED，故⑤正确；∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD=S△ABP+S△AEP+S△EPH+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故④不正确；若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，∴∠CDE=∠ABC，∴DE∥AB，这个显然与已知条件不符，故③不正确，综上所述，正确的结论有①②⑤，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．8(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，∠ABC=∠CAD=90°，AB=4，AC=AD，求△BAD的面积．【答案】8【分析】过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，通过证明△DAE≌△ACB求得三角形高，从而求面积．【详解】解：过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，∵∠ABC=∠CAD=90°，∴∠DEA=∠ABC，∠DAE+∠ADE=∠DAE+∠BAC=90°，∴∠ADE=∠BAC，又∵AC=AD，∴△DAE≌△ACB，∴DE=AB=4，∴S△BAD=12AB⋅DE=12×4×4=8，即△BAD的面积为8．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．9(2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．(1)试说明△ABC≌△DBE．(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BED=36°【分析】(1)利用AAS证明三角形全等即可；(2)全等三角形的性质，得到∠BED=∠BCA，证明△DBC≌△ABC SSS，得到∠BCD=∠BCA=12∠ACD=36°，即可得解．【详解】(1)解：因为∠DBA=∠CBE，所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠DBE=∠ABC．在△ABC和△DBE中，∠ABC=∠DBE ∠BAC=∠BDE AC=DE，所以△ABC≌△DBE AAS．(2)因为△ABC≌△DBE，所以BD=BA，∠BCA=∠BED．在△DBC和△ABC中，DC=AC CB=CB BD=BA，所以△DBC≌△ABC SSS，所以∠BCD=∠BCA=12∠ACD=36°，所以∠BED=∠BCA=36°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．10(2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，且AD=CD．(1)求证：△ABD≅△CFD；(2)若BC=9，AD=7，求AF的长．【答案】(1)见解析(2)AF=5【分析】(1)先证明∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，则∠BAD=∠FCD=90°-∠B，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABD≅△CFD；(2)先由BC=9，AD=CD=7求得BD=2，再根据全等三角形的对应边相等证明BD=FD=2，则AF= AD-FD=5．【详解】(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°．∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°．∴∠BAD=∠FCD．在△ABD和△CFD中，∠ADB=∠CDF, AD=DC,∠BAD=∠FCD,∴△ABD≌△CFD ASA．(2)∵△ABD≌△CFD，∴BD=DF．∵BC=9，AD=DC=7，∴BD=BC-CD=2．∴DF=2．∴AF=AD-DF=7-2=5．【点睛】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键．11(2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)若AD=12，DE=7，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS 证明△BCE≌△CAD；(2)根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，CD=BE，再根据AD=12，DE=7，即可解答．【详解】(1)证明：∵∠ACB=90°,BE⊥CE，∴∠ECB+∠ACD=90°,∠ECB+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AD⊥CE,BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE；(2)解：∵△ACD≌△CBE，∴AD=CE,CD=BE，∵AD=12,DE=7，∴BE=CD=CE-DE=12-7=5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．12(2023春·七年级课时练习)(1)如图1，AB=AC，∠B=∠EDF，DE=DF，FC=2，BE=4，求BC的长度.(2)如图2，AB=AC，∠ABC=∠EDF，DE=DF，探索BC、BE、CF的数量关系，并证明.(3)如图3，在中，∠B=∠ADE=45°，∠C=22.5°，DA=DE，AB=3，BD=2，则DC=.【答案】(1)6；(2)BC=BE-CF，证明见解析；(3)5【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=∠EDF，再根据三角形的内角和定理得到∠BED=∠FDC，根据全等三角形的性质得到BD=FC=2，BE=CD=4，最后由BC=BD+CD即可解答；(2)根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=∠EDF，求得∠ABD=∠DCF，最后根据全等三角形的性质即可解答；(3)在△ABC内部作∠CEF=∠C交BC于F，于是得到∠DFE=∠CEF+∠C=45°，EF=CF，求得∠DFE=∠B=∠ADE=45°，最后根据全等三角形的性质得到BD=EF=CF=2，最后根据DC=DF+ CF即可解答．【详解】(1)解：∵AB=AC，∠B=∠EDF，∴∠B=∠C=∠EDF，∵∠B+∠BED+∠BDE=∠FDC+∠EDF+∠BDE，∴∠BED=∠FDC，在△BED和△FDC中，∠B=∠C∠BED=∠CDF DE=DF∴△BED≅△FDC(AAS)，∴BD=FC=2，BE=CD=4，∴BC=BD+CD=6；(2)BC=BE-CF，证明如下：∵AB=AC，∠ABC=∠EDF，∴∠ABC=∠ACB=∠EDF，∴∠ABD=∠DCF，∠BED+∠BDE=∠BDE+∠CDF，∴∠BED=∠CDF，∴△BED≅△CDF(AAS)，∴BD=CF，BE=CD，∴BC=CD-BD=BE-CF；(3)如图：在△ABC内部作∠CEF=∠C交BC于F，∴∠DFE=∠CEF+∠C=45°，EF=CF，∵∠B=∠ADE=45°，∴∠DFE=∠B=∠ADE=45°，∵∠BAD+∠B+∠ADB=∠FDE+∠ADE+ADB=180°，∴∠BAD=∠FDE，∴△BAD≌△FDE(AAS)，∴BD=EF=CF=2，AB=DF=3，∴DC=DF+CF=5．【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【类型5已知一边一角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS ”】13(2023春·江苏·七年级统考期末)如图，在五边形ABCDE 中，AB =AE=4，BC =3，DE =2，∠ABC =∠AED =90°，∠DAC =12∠BAE ，则五边形ABCDE 的面积等于()A.16B.20C.24D.26【答案】B【分析】延长DE 至F ，使EF =BC ，连接AF ，通过证明△AEF ≌△ABC 可得∠FAE =∠CAB ，AF =AC ，由∠DAC =12∠BAE 可得∠DAF =∠DAC ，从而可证明△ADF ≌△ADC SAS ，得到S △ADC =S △AFD =S △ADE +S △ACB ，最后由S 五边形ABCDE =S △ADE +S △ACD +S △ABC ，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，延长DE 至F ，使EF =BC ，连接AF ，则∠AEF =90°，在△AEF 和△ABC 中，EF =BC∠AEF =∠ABC AE =AB，∴△AEF ≌△ABC SAS ，∴∠FAE =∠CAB ，AF =AC ，∵∠DAC =12∠BAE ，∠BAE =∠EAD +∠DAC +∠BAC ，∴∠DAC =∠EAD +∠BAC =∠EAD +∠EAF =∠DAF ，在△ADF 和△ADC 中，AD =AD∠DAF =∠DAC AF =AC ，∴△ADF ≌△ADC SAS ，∴S △ADC =S △AFD =S △ADE +S △ACB ，∵S △ADE =12DE ⋅AE =12×2×4=4，S △ABC =12BC ⋅AB =12×3×4=6，∴S △ADC =4+6=10，∴S 五边形ABCDE =S △ADE +S △ACD +S △ABC =4+10+6=20，故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形，是解题的关键．14(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，长方形ABCD 中，点E 为AD 上一点，连接CE ，将长方形ABCD 沿着直线CE 折叠，点D 恰好落在AB 的中点F 上，点G 为CF 的中点，点P 为线段CE 上的动点，连接PF 、PG ，若AE =a 、ED =b 、AF =c ，则PF +PG 的最小值是()。

1. 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD至U E,使AD=DE•/ D是BC中点••• BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC•△ ACD ◎△ BDE•AC=BE=2•••在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE•/ AB=4即4-2 V 2AD V 4+21V AD V 3•AD=22. 已知：D 是AB 中点，/ ACB=90 °，求证：CD - AB2A延长CD与P,使D为CP中点。

连接AP,BP•/ DP=DC,DA=DB•ACBP为平行四边形又/ ACB=90•平行四边形ACBP为矩形•AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE，/ B= / E ,Z C= / D, F 是CD 中点，求证：/ 1 = / 2证明：连接BF 和EF•/ BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF•••三角形BCF 全等于三角形 EDF （边角边）••• BF=EF, / CBF= / DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF• / EBF= / BEF 。

•/ / ABC= / AED 。

• / ABE= / AEB 。

AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形 AEF 中AB=AE,BF=EF,/ ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF•三角形ABF 和三角形AEF 全等。

• / BAF= / EAF （ / 1 = / 2）。

4. 已知：/ 仁/2, CD=DE , EF//AB ，求证:CG // EF ,可得，/ EFD = CGDDE = DC/ FDE =Z GDC （对顶角）• △ EFD ^A CGDEF = CG 过C 作CG // EF 交AD 的延长线于点 GEF=AC/ CGD=Z EFD又，EF// AB•••,/ EFD=Z 1/ 1= / 2•••/ CGD=Z 2•△ AGC为等腰三角形,AC= CG又EF= CG•EF= AC5. 已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD，求证：/ B=2 / C证明：延长AB取点E,使AE = AC,连接DE•/ AD 平分/ BAC•••/ EAD = Z CAD•/ AE = AC , AD = AD•△ AED ◎△ ACD ( SAS)•••/ E=Z C•/ AC = AB+BD•AE =AB+BD•/ AE = AB+BE•BD = BE•••/ BDE = Z E•••/ ABC = Z E+ / BDE•••/ ABC = 2 / E•••/ ABC = 2 / C6. 已知：AC 平分/ BAD , CE丄AB，/ B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BEc证明：在AE上取F,使EF = EB，连接CF•/ CE 丄AB•••/CEB = Z CEF = 90 °•/ EB = EF, CE = CE,•••△CEB ◎△ CEF•••/ B =Z CFE•••/ B +Z D= 180°,/ CFE + Z CFA = 180°•••/ D = / CFA•/ AC 平分/ BAD•••/ DAC = / FAC•/ AC = AC•△ADC ◎△ AFC (SAS)•AD = AF•AE = AF + FE= AD + BE7. 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD至U E,使AD=DE•/ D是BC中点• BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC•••△ ACD ◎△ BDE••• AC=BE=2•••在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE•/ AB=4即4-2 V 2AD V 4+21 V AD V 3• AD=28. 已知：D 是AB 中点，/ ACB=90 °，求证:CD -AB2解：延长AD至U E,使AD=DE•/ D是BC中点•BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC•△ ACD ◎△ BDE•AC=BE=2•••在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE•/ AB=4即4-2 V 2AD V 4+21 V AD V 3•AD=29. 已知：BC=DE，/ B= / E ,Z C= / D, F 是CD 中点，求证：/ 1 = / 2证明：连接BF 和EF 。

全等三角形经典证明题50道1、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE2、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC3、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．FAEDC B4．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA5．（5分）如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．PCEDBA6．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE ⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：8．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．OEDCB AFE D CB A25、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

证明：∵DF=CE ， ∵DF-EF=CE-EF ， 即DE=CF ，在∵AED 和∵BFC 中，∵ AD=BC ， ∵D=∵C ，DE=CF ∵∵AED ∵∵BFC （SAS ）26、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。