2019(北师大版)探究文数练习：第七章 第五节 简单几何体的表面积与体积 【含答案】

课时分层训练(四十四) 简单几何体的表面积与体积A 组 基础达标一、选择题1．(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图7­5­9所示，则该三棱锥的体积为( )图7­5­9A ．60B ．30C ．20D ．10D [由三视图画出如图所示的三棱锥P ­ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V 三棱锥P ­ACD ＝13×12×3×5×4＝10.故选D.]2．(2016·全国卷Ⅱ)如图7­5­10是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )图7­5­10A ．20πB ．24πC ．28πD ．32πC [由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为23，所以圆锥的母线长为(23)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S ＝16π＋4π＋8π＝28π.]3．(2016·全国卷Ⅲ)如图7­5­11，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )图7­5­11A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.] 4．某几何体的三视图如图7­5­12所示，且该几何体的体积是3，则主视图中的x 的值是( )图7­5­12A ．2B ．92 C.32D ．3D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S 底＝12×(1＋2)×2＝3，所以V ＝13x ·3＝3，解得x ＝3.]5．(2018·石家庄质检)某几何体的三视图如图7­5­13所示，则该几何体的体积是( )【导学号：79140241】图7­5­13A ．16B ．20C ．52D ．60B [由三视图得该几何体的直观图如图所示，其中四边形ABCD 为邻边长分别为2,4的长方形，四边形CDEF 为上底为2、下底为6、高为3的等腰梯形，所以该几何体可以看作是由两个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形，高为2的三棱锥和一个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形，高为2的三棱柱组成，则该几何体的体积为2×13×12×3×4×2＋12×3×4×2＝20，故选B.] 二、填空题6．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]7．(2017·江苏高考)如图7­5­14，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．图7­5­1432[设球O 的半径为R ， ∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.] 8．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．92π [设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3. 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.]三、解答题9.如图7­5­15，在三棱锥D ­ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D ­ABC 的体积的最大值.【导学号：79140242】图7­5­15[解] 由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，∵棱AD 与棱BC 相互垂直，设d 为AD 到BC 的距离，则V D ­ABC ＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ，当d 最大时，V D ­ABC 体积最大． ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时，d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215.10.如图7­5­16，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．图7­5­16(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． [解] (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.]B 组 能力提升11．(2018·东北三省四市模拟(一))点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°.若四面体ABCD 体积的最大值为34，则这个球的表面积为( ) A.500π81 B ．4π C.25π9D ．100π9D [因为AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，所以由正弦定理知△ABC 外接圆的半径r ＝12×AB sin 30°＝1，S △ABC ＝12AB ×BC sin 120°＝34.设外接圆的圆心为Q ，则当DQ 与平面ABC 垂直时，四面体ABCD 的体积最大，所以13S △ABC ×DQ ＝34，所以DQ ＝3.设球心为O ，半径为R ，则在Rt△AQO 中，OA 2＝AQ 2＋OQ 2，即R 2＝12＋(3－R )2，解得R ＝53，所以球的表面积S ＝4πR 2＝100π9，故选D.] 12．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________.【导学号：79140243】92π [如图，设球O 的半径为R ，则由AH ∶HB ＝1∶2得 HA ＝13·2R ＝23R ，∴OH ＝R3.∵截面面积为π＝π·(HM )2， ∴HM ＝1.在Rt△HMO 中，OM 2＝OH 2＋HM 2， ∴R 2＝19R 2＋HM 2＝19R 2＋1，∴R ＝324，∴S 球＝4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎪⎫3242＝92π.] 13．四面体ABCD 及其三视图如图7­5­17所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA于点E ，F ，G ，H .图7­5­17(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ， ∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形．。

课时作业提升(四十三) 空间几何体的表面积和体积A 组 夯实基础1．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V 球∶V 柱为( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3解析：选B 设球的半径为R .则V 球V 柱＝43πR 3πR 2×2R ＝23，故选B ．2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C ．2倍D ．32倍解析：选B 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则由体积V ＝43πR 3，知体积扩大到原来的22倍．3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：选B 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×(16π)2×5≈3209 (立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B ． 4．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为( )A ．33B ． 3C ．26D ．2 3解析：选D 设正六棱柱的高为h ，则可得(6)2＋h 24＝32，解得h ＝2 3.5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．323B ．64C ．3233D ．643解析：选D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝643，故选D ．6．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C 由三视图可得圆锥的母线长为22＋(23)2＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S 圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S 圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C ．7．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S ＝3×4×2＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋12×(2＋6)×2×2＝72＋16 2.答案：72＋16 28．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x )×3×1＋π·(12)2x ＝12.6，解得x ＝1.6.答案：1.69．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3. 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝92π.答案：92π10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的表面积S .解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3， 所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中， A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1， 所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形， S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.11．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图①所示，墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH ，下半部分是长方体ABCD －EFGH ，图②、③分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积． 解：(1)侧视图同正视图，如图所示．(2)该安全标识墩的体积为V ＝V P －EFGH ＋V ABCD －EFGH ＝13×402×60＋402×20 ＝32 000＋32 000＝64 000(cm 3)．B 组 能力提升1．如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．16π3B ．8π3C ．43πD ．23π解析：选A 由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.2．(2018·临沂检测)已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于 ________．解析：将三棱锥S －ABC 补形成以SA 、AB 、BC 为棱的长方体，其对角线SC 为球O 的直径，所以2R ＝SC ＝2，R ＝1，∴表面积为4πR 2＝4π.答案：4π3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．解析：如图，连接OD ，交BC 于点G ，由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝36BC .设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ， 三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2 ＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x ×3x ＝33x 2，则三棱锥的体积V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x ＝3·25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4. 令f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫2，52时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415.∴三棱锥体积的最大值为415cm 3. 答案：4154．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，已知PB ＝PD ＝2，P A ＝ 6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为P A 的中点，求三棱锥P －BCE 的体积． (1)证明：连接AC ，交BD 于O 点，连接PO .因为底面ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD ，BO ＝DO . 由PB ＝PD 知，PO ⊥BD .再由PO ∩AC ＝O 知，BD ⊥平面APC ，因此BD ⊥PC . (2)解：因为E 是P A 的中点，所以V P －BCE ＝V C －PEB ＝12V C －P AB ＝12V B －APC .由PB ＝PD ＝AB ＝AD ＝2知，△ABD ≌△PBD . 因为∠BAD ＝60°，所以PO ＝AO ＝3，AC ＝23，BO ＝1. 又P A ＝6，PO 2＋AO 2＝P A 2，即PO ⊥AC . 故S △APC ＝12PO ·AC ＝3.由(1)知，BO ⊥平面APC ，因此V P －BCE ＝12V B －APC ＝12·13·BO ·S △APC ＝12.5．如图，在三棱锥D －ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D －ABC 的体积的最大值．解：由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 相互垂直． 设d 为AD 到BC 的距离．则V D －ABC ＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ，当d 最大时，V D －ABC 体积最大，因为AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， 所以当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时， d 有最大值42－1＝15. 此时V ＝215.。

(40) 空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积1.如图是一个空间几何体的三视图，其中主视图、左视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是( )A.41π3B.62π3C.83π3D.104π32.[2017·衡阳联考] 如图K40-3所示,某空间几何体的正视图与侧视图相同,则此几何体的表面积为 ( ) A .6π B .π+C .4πD .2π+图K40-33.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．12＋4 2 B．18＋8 2C．28 D．20＋8 24.[2017·潮州四校联考]已知某多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图K40-5所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是.图K40-55.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．能力提升6.已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是( ) A.a 2 B.3πa3πC.23πa 3πD.23a 3π7.如图K40-9, 格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )图K40-9A .B .C .D .8.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．4 3D ．23π9.某几何体的三视图如图K40-11,其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的体积是( ) A .4+π B .6+3πC .6+πD .12+π图K40-1110.如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )A ．24πB ．29πC ．48πD ．58π11.某几何体的三视图如图K40-13所示,则该几何体的表面积为.图K40-1312.(2018·山西四校联考)若三棱锥P ABC的最长的棱PA＝2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是．13.[2017·淮北二模]我国古代数学经典名著《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(biēnào).若三棱锥P-ABC为鳖臑,且PA⊥平面ABC,PA=AB=2,且该鳖臑的外接球的表面积为24π,则该鳖臑的体积为.14.(12分)如图K40-14所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积.图K40-1415.(13分)某几何体按比例绘制的三视图如图K40-15所示(单位:m).(1)试画出该几何体的直观图;(2)求该几何体的表面积和体积.图K40-15难点突破16.(5分)[2017·石家庄二模] 如图K40-16是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体,截面与底面所成的角为45°,过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形ABB'A'为矩形,若沿AA'将其侧面剪开,则其侧面展开图的形状大致为 ( )图K40-16图K40-1717.(5分)已知正四棱锥O ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为 ．答案1.D [解析] 由题意得，此几何体为球与圆柱的组合体，其体积V ＝43π×23＋π×22×6＝104π3.答案：D2.C [解析] 此几何体为一个组合体,上面部分为一个圆锥,下面部分为一个半球.故此几何体的表面积为S=×12+×2×2π×1=4π,故选C .3.D. [解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选 D.答案：D4.12π [解析] 由三视图知,该组合体为正方体内接于球,正方体的棱长为2,设球的半径为R ,则2R=2,即R=,则该球的表面积S=4πR 2=4π×3=12π.5.8－π3[解析]由题意得到几何体的直观图如图，即从四棱锥P ABCD 中挖去了一个半圆锥．其体积V ＝13×2×2×2－12×13×π×12×2＝8－π3. 答案：8－π36.C [解析] 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知2πr ＝πl ，∴l ＝2r ，则圆锥的表面积S 表＝πr 2＋12π(2r )2＝a ，∴r 2＝a 3π，∴2r ＝23πa3π.答案：C7.C [解析] 由题意知,该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体,其中半圆柱的底面半径为1,高为4,半球的半径为1,则该几何体的体积为×π×13+π×12×4=π,故选C .8.A [解析]由题意可得该几何体是有一个侧面P AC 垂直于底面ABC ，高为3，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O 在高线PD 上，且是等边三角形P AC 的外心． 这个几何体的外接球的半径R ＝23PD ＝233.则这个几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A9.C [解析] 由三视图可知,该几何体是由半圆柱与三棱柱组成的,则该几何体的体积V=π×12×3+×2×2×3=6+π.10.B [解析] 如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A BCD )，其外接球即为长方体的外接球，表面积为4πR 2＝π(32＋22＋42)＝29π.答案：B11.11+2 [解析] 由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,直角梯形斜腰长为=,则底面周长为4+,故侧面积为2×(4+)=8+2,又两底面的面积和为2××1×(1+2)=3,所以该几何体的表面积为8+2+3=11+2.12.43π [解析] 如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R ＝12P A ＝1，所以该三棱锥的外接球的体积V ＝43×π×13＝43π.答案：43π13. [解析] 根据题意,三棱锥P-ABC 为鳖臑,且PA ⊥平面ABC ,PA=AB=2,如图所示,可得∠PAB=∠PAC=∠ABC=∠PBC=90°.易知PC 为外接球的直径,设外接球的半径为R.又该鳖臑的外接球的表面积为24π,则R 2==6,则BC==4,则该鳖臑的体积为××2×4×2=.14.解:分别过A ,B 作EF 的垂线,垂足分别为G ,H ,连接DG ,CH ,则原几何体被分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.易知三棱锥的高为,直三棱柱的高为1,AG==,取AD 的中点M ,连接MG ,则MG=,∴S△AGD=×1×=,∴V多面体ABCDEF=×1+2×××=.15.解:(1)直观图如图所示.(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱后剩余的部分,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的,∴该几何体的体积V=×1×2×1=(m3).在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E,则四边形AA1EB是正方形,AA1=BE=1.在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1,∴BB1=,∴该几何体的表面积S=S正方形ABCD++2++=1+2×1+2××(1+2)×1+1×+1=7+( m2),∴该几何体的表面积为(7+)m 2,体积为m 3. 16.A [解析] 用排除法.首先截线不可能是直线,排除B 中图形;又圆柱被平面截开所得的截面是椭圆,而侧面展开图为平面图,不可能是圆或椭圆,排除C ,D 中的图形.故选A .17.24π [解析] 过O 作底面ABCD 的垂线段OE (图略)，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.答案：24π。

第五节空间几何体的表面积和体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式1．辨明三个易误点(1)求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．(2)由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．(3)易混侧面积与表面积的概念． 2．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 3．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×2．(2018·大连双基测试)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163πB ．323πC ．16πD ．24π解析：选B 设球的半径为R ，则表面积是16π，即4πR 2＝16π，解得R ＝2. 所以体积为43πR 3＝32π3.3．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．32cm解析：选B S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2 cm.4．(教材习题改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为( )A ．1∶8B ．1∶27C ．1∶47D ．47∶48解析：选C 设长方体的棱长分别为a ，b ，c .则截出的棱锥的体积为V 1＝13·12·12a ·12b ·12c＝148abc .剩下的几何体体积为V 2＝abc －V 1＝abc －148abc ＝4748abc .所以锥体的体积与剩下的几何体体积的比为1∶47.5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析：选D 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.空间几何体的表面积 [明技法]空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积要注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． [提能力]【典例】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：(1)观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B ．(2)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.答案：(1)B (2)12 [刷好题]1．(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：选A 由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A ．2．(2018·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．解析：该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S 长方体表－2S 半圆柱底－S 圆柱轴截面＋S 半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26.答案：26空间几何体的体积 [析考情]空间几何体的体积是高考中的高频考点，主要有以下两个方面：一是求简单几何体的体积，二是求组合体的体积，三是由三视图求相关几何体的体积. 各种题型均有可能考查，难度中低档，分值约5分．[提能力]命题点1：求简单几何体的体积【典例1】 (2018·潍坊模拟)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A ．312 B ．34 C ．612D ．64解析：选A 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 命题点2：求组合体的体积【典例2】 (2018·唐山模拟)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A ．23B ．33C ．43D ．32解析：选A 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BCH ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A ．命题点3：与三视图有关的几何体的体积【典例3】 (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析：选B 方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B ．方法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B ． [悟技法]空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[刷好题]1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．16B ．13C ．12D ．1解析：选A 通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P －ABC ，通过侧视图得高h ＝1，通过俯视图得底面积S ＝12×1×1＝12，所以体积V ＝13Sh ＝13×12×1＝16.2．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.答案：7与球体有关的切、接问题 [明技法]空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[提能力]【典例】 (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3解析：选B 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10，要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，则r ＝2. 此时2r ＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大． 由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.[母题变式1] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．解：将直三棱柱补形为长方体ABEC －A ′B ′E ′C ′， 则球O 是长方体ABEC －A ′B ′E ′C ′的外接球， ∴体对角线BC ′的长为球O 的直径．因此2R ＝32＋42＋122＝13，故S 球＝4πR 2＝169π.[母题变式2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．解：如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×(94)3＝243π16.[刷好题](2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形． ∴r ＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32.3 4π×1＝3π4.故选B．∴圆柱的体积为V＝πr2h＝。