培训学校四年级奥数入学测试题

第四讲 定义新运算教学目标这一讲我们主要学习定义新运算的三大计算类型：1、理解并熟练掌握根据新的定义运算方式进行加减乘除运算；2、理解并熟练掌握根据计算机编程语言计算输出结果；3、了解其它类型的定义运算．分析：因为狼△狼＝狼，所以原式＝羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以原式＝狼专题精讲羊和狼在一起时，狼要吃掉羊．所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼 以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了．小朋友总是希望羊能战胜狼．所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼， 这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了． 对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算．运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)想 挑 战 吗　？（一） 直接运算型【例1】（★★★奥数网题库）两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为ab.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算：（1）(269)4等于多少？（2）108（200819）分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0 （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（200819）=10813=4[前铺]定义运算“⊙”如下：． 2a ba b +⊕=（1） 计算20072009，20062008 ⊕⊕（2） 计算159，1（59）， ⊕⊕⊕⊕分析：（教师先告诉学生表示（a+b ）÷2） 2a b+（1）20072009＝＝2008；⊕200720092+ 20062008＝＝2007⊕200620082+（2）159＝9＝39＝＝6 ⊕⊕152+⊕⊕392+ 1（59）＝1＝17＝＝4；⊕⊕⊕592+⊕172+【例2】 （★★★奥数网题库）定义运算※为a ※b ＝a×b －（a ＋b ）， （1） 求5※7，7※5； （2） 求12※（3※4），（12※3）※4；（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23. （2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.（3）由于a ※b ＝a×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b×a －（b ＋a ）＝a×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律），　所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.[巩固]定义新的运算，求： a b a b a b ⊕=⨯++（1），62⊕26⊕（2），(12)3⊕⊕1(23)⊕⊕（3）这个运算有交换律吗？分析：（1）=6×2+6+2=20；=2×6+2+6=2062⊕26⊕ （2）=（1×2+1+2）3=53=5×3+5+3=23； (12)3⊕⊕⊕⊕ =1（2×3+2+3）=111=1×11+1+11=231(23)⊕⊕⊕⊕（3）由于=（普通加法、乘法交换律），所以，即满a b a b a b ⊕=⨯++×b a b a ++a b b a ⊕=⊕足交换律.[拓展]如果a 、b 、c 是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a ＋b ＝b ＋a ，（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：（a ，b ）*（c ，d ）＝（a×c ＋b×d ，a×c －b×d ）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律． 分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律， （2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律．【例3】 （★★★奥数网题库）我们规定：＝ad+bc ，求 的值． a c b d 25164021分析： ＝25×21+40×16＝525+640＝1165 25164021[巩固]我们规定： ＝ad －bc ，例如： ＝2×4－1×3＝8－3＝5．a cb d 2314求的值． 45610分析： ＝4×10－5×6＝40－30＝1045610【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25[巩固] 定义两种运算“”“”，对于任意两个整数a 、b ，a b=a+b-1，a b=a×b-1，计算：⊕⊗⊕⊗4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35） 分析：=6+8-1=13，=3+5-1=7，=13+7-1=19，419=4×19-1=75⊕68⊕35137⊕⊗=754[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b ＝a b 3+a b-13+. a b-23+求：（2005*2006）*（2007*2008） 分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891[巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝，如果a ＋b 是a b2+奇数，则a ☆b ＝． a b 12+-求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)； (2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析: （教师先告诉学生表示（a+b ）÷2） 2a b+（1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝，2001＋2002＝400319992000119992+-=是奇数，所以2001☆2002＝，1999＋2001＝4000是偶数，20012002120012+-=所以1999☆2001＝，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 1999200120002+=（3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝，1998＋2001＝3999是奇数，2000200220012+=所以1 998☆2001＝，1999＋2004＝4003是奇数，所以 19982001119992+-=1999☆2 004＝，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝200119992004120012+-=【例6】 （★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定＝n×（n －1）×（n －2）×…×（n mn P －m ＋1）；．求：[(1)(1)][(1)1]m m mn m nn n n m m m CP P =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯123456666666,,,,,C C C C C C 分析：=（）÷（）=6÷1=6；=(6×5)÷（2×1）=15；=（6×5×4）÷（3×2×1）16C16P11P26C36C=20；=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；=46C56C66C（）÷（）=166P66P[前铺]对自然数m ，n （n ≥m ），规定＝n×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：＝4×3＝mn P 24P 12．＝4×3×2＝24．求：（1）；（2）． 34P 345555P P P ，，34566666P P P P ，，，分析：（1）＝5×4×3＝60，＝5×4×3×2＝120，＝5×4×3×2×1＝12035P 45P 55P （2）＝6×5×4＝120，＝6×5×4×3＝360，＝6×5×4×3×2＝720，＝6×5×4×336P 46P 56P 66P ×2×1＝720．[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二） 反求未知数【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由. 分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）【例8】 （★★★★奥数网题库）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=(其中mymx yx 26+⋅⋅是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所以6121221224m m ⨯⨯==⨯+⨯+6295429==222911⨯⨯⨯+⨯[拓展]x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.因为1*2=m×1+n×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k=64，k 不是自然数， 所以m=l ，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）计算机程序语言【例9】 （★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____．分析：观察表格可得：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是余数因为1999÷9＝222……1，所以C ＝1．[前铺]下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．【例10】（★★★★奥数网题库）有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3. (1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？ (2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？分析：（1）输入9经过A装置以后结果是9＋5＝14，再经过B装置以后结果是14÷2＝7，经过C装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．（2）最后经过装置C后结果是100，那么输入装置C的数字是100＋4＝104，那么输入A的数字是104－5＝99，输入D的数是99÷3＝33，输入B的数是33×2＝66．所以最开始输入的数是66．[拓展]例题中的装置，输入7，输出的还是7，用尽量少的装置应怎样连接？分析：C·D·A·B（四）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：8×8＝8， 9×9×9＝5， 9×3＝3， (93＋8)×7＝837．导游告诉他，部落算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按古老部落的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．分析: 由部落算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得 “7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★★★奥数网题库）先阅读下面材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个整数（见下表）：Q W E R T Y U I O P A S D1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13F G H J K L Z X C V B N M14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26'(1263)32'17(12631)31'8(12632)3xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是正整数，，被整除是正整数，，被除余是正整数，，被除余 将明文转换成密文，如：，即R 变为L ；，即A 变为S ．按上述方法将明文HAK 译为密文．分析：这是一道非常有意思的题目．明文HAK 对应16、11、18；，即H 变为V ；16217233++=，即A 变为S ；，即K 变为Y ，所以将明文HAK 译为VSY ． 1118123++=1863=专题展望对于定义新运算，我们在以后的学习中将不再作为专题出现，但是在我们在以后的学习中又将会遇到更多的新的运算方式．同学们学习了本章的内容，对于以后的学习将会有很大的帮助．同学们，学海无涯，请继续努力！练习四1．（例2）规定：A ※B ＝B×B ＋A ， （1）计算（2※3）※（4※1）， （2）这个运算有交换律吗？ 分析：（1）2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36．（2）因为B ※A ＝A×A ＋B ≠ B×B ＋A ，所以 这个运算不符合交换律 2．（例6）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1） 求3！，4！，5！；（2） 证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！分析：（1）3！＝3×2×1＝6； 4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！）＝7×（6！）＝7！3．（例7）“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，按此规则，如果n⊙8＝68，那么n的值是多少？分析：观察条件可知⊙前面一个数表示相加的开始一个数，⊙后面一个数表示连续相加的个数，所以n⊙8＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（n＋7）＝8×n＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝8×n＋28＝68，所以n＝5．4．（例8）对整数A、B、C，规定符号等于A×B知：＝28，＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，所以A＝55．（例10）有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置c：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6.这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A就写成B·A，输入4，结果是35.装置A·C·D连结，输入8，结果是多少？分析：输入8经过A装置以后，结果为8×5＝40，经过C装置以后，结果为40÷4＝10，经过D装置以后，结果成为10－6＝4．所以最终结果为4．数学知识阿基米德阿基米德最有名的名言，就是：「给我一个立足点，我就可以移动地球．」他一生专心研究科学上的体积和浮力问题，有一个有趣的故事，就是当时候国王叫金匠打造一顶纯金的皇冠，国王因为怀疑金匠加了杂物，就请阿基米德鉴定，阿基米德一直在想鉴定的方法，就在他走进浴缸里洗澡的时候，看见满出去的水时，悟出体积的原理，他高兴的跑出浴室，大叫：「我找到了！」一时忘了自己是光着身体呢！另外，阿基米德还有几何方面的数学成就哩！阿基米德是第一位讲科学的工程师，在他的研究中，使用欧几理得的方法，先假设，再以严谨的逻辑推论得到结果，他不断地寻求一般性的原则而用于特殊的工程上．他的作品始终融合数学和物理，因此阿基米德成为物理学之父．他应用杠杆原理于战争，保卫西拉斯鸠的事迹是家喻户晓的．而他也以同一原理导出部分球体的体积、回转体的体积（椭球、回转抛物面、回转双曲面），此外，他也讨论阿基米德螺线（例如：苍蝇由等速旋转的唱盘中心向外走去所留下的轨迹），圆，球体、圆柱的相关原理，其成就，在古时无人能望其项背． 阿基米德将欧几理得提出的趋近观念作了有效的运用，他提出圆内接多边形和相似圆外切多边形，当边数足够大时，两多边形的周长便一个由上，一个由下的趋近于圆周长．他先用六边形，以后逐次加倍边数，到了九十六边形，求π的估计值介于3.14163和3.14286之间．另外他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍．而他最得意的杰作是导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二倍．这定理就刻在他的墓碑上，也成为他名垂千古的一大注记．。

书香学苑四年级奥数入学测试1、用简便方法计算。

(1)9000÷125÷2÷8÷5=(2)100×79+184×21+84×29=2、要使下面除法算式中的被除数最大，两个括号里各应填上什么数。

( )÷19=17……( )3、观察下图数字间的关系没在圆圈里填上合适的数。

4、在下面方格中，分别填上同一个数，使等式成立。

+7×7× 5、已知：A-B=50，那么8A-8B=________。

6、已知：在下面的四个等式中，A、B 、C 、D 各代表一个数， A=B+3; C=A+A; D=A+C+7; D=B+40. 那么：A=_____,B=_____,C=_____,D=______.7、如图，由8个同样长的小长方形形成一个大长方形，大长方形的周长是84厘米，大长方形的面积是________平方厘米。

8、某船在静水中的速度的速度是每小时15千米，它从甲港顺水开往乙港用了8小时，已知水速是每小时3千米，这条船逆水返回甲港要________小时。

9、在由两个不同数字组成的所有两位数中，两位数被其两位数上的数字之和除时，所得的商的最大值是______.10、小叶测量疾驰而过的火车长度和速度，他用两只跑表，一只记下火车从他面前通过的时间是15秒，另一只记下从火车头过第一根电杆到车尾过第二根电杆用去的时间是20秒。

两根电杆的距离是100米，火车的长是____米，火车每小时行____千米。

11、从1-9这九个自然数中选出八个数，分别填入下面八个○内，使算式尽可能大。

[○÷○×(○+○)]-(○×○+○-○) 12、在元旦晚会上,出了5个谜语,让参加晚会的36人猜，他们一共猜对了128个,已知每人至少猜对1个，猜对2个的有3个人，劝猜对的有6人,猜对1个或3个的人数一样多,那么猜对4个的有_______人。

四年级奥数题：兼顾规划（一）【试题】 1、烧水泡茶时，洗水壶要用 1 分钟，烧开水要用 10 分钟，洗茶壶要用 2 分钟，洗茶杯用 2 分钟，拿茶叶要用 1 分钟，如何安排才能尽早喝上茶。

【剖析】：先洗水壶而后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。

共需要1+10=11 分钟。

【试题】 2、有 137 吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5 吨，小卡车的载重量是 2 吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10 公升和 5 公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？【剖析】：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2( 公升 )；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5( 公升) 。

为了节俭汽油应尽量选派大卡车运货，又因为137=5×27+2，所以，最优调运方案是：选派 27 车次大卡车及 1 车次小卡车即可将货物所有运完，且这时耗油量最少，只要用油10×27+5 ×1=275(公升 )【试题】 3、用一只平底锅烙饼，锅上只好放两个饼，烙熟饼的一面需要2 分钟，两面共需 4 分钟，此刻需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？【剖析】：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4 分钟，以后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需 8 分钟，但我们注意到，在独自烙第三张饼的时候，此外一个烙饼的地点是空的，这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？我们能够先烙第一、二两张饼的第一面， 2 分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。

两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了，整个过程用了 6 分钟。

四年级奥数题：兼顾规划问题（二）【试题】 4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3 分钟，乙洗抹布需要 2 分钟，丙用桶接水需要1 分钟，丁洗衣服需要10 分钟，如何安排四人的用水次序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。

第十讲乘法原理与加法原理乘法原理【例1】①有5个人排成一排照相，有多少种排法？②5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？③5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？④5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法分析：①5个人排成一排照相，从左到右共5个位置。

第一个位置可从5个人中任选一人，有5种选法；第二个位置只能从剩下的4个人中任选一人，有4种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、2种、1种选法。

每个位置上站了一人就是一种排法。

根据乘法原理，共有5×4×3×2×1=120种排法。

②5个人排成两排照相，可先排前排、再排后排，依次也有5个位置，类似①的方法可得共有5×4×3×2×1=120种排法。

③这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余4人可以任意站位，类似①的分析可知共有4×3×2×1=24种排法。

④这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步，安排限定的人，有2种方法；第二步，安排其它的4人，类①的分析，有4×3×2×1=24种方法，根据乘法原理，共有2×（4×3×2×1）=24×2=48种排法.【例2】（1）有三本不同的书放到5张同样的书桌上，一共有多少种放法？（2）一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数。

例如，532吃掉311，123吃掉123。

但726与267相互都不被吃掉。

问：能吃掉678的三位数共有多少个？（3）由数字2、3、4、5、6、7、8共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析：（1）此题学生容易错写为5×４×３；放一本课本看成一个步，则可分为五步，故5×5×5=125种.（2）共有4×3×2=24（种）.（3）要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取3、5、7中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的6个数字中取一个，有6种取法；百位上有5种取法；千位上有4种取法，故可由乘法原理解决．所以，由2、3、4、5、6、7、8共可组成3×6×5×4=360个没有重复数字的四位奇数．【例3】（小数报数学竞赛初赛）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色．共有多少种不同的染色方法？分析：用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860种不同的染色方法．【例4】（1）（迎春杯决赛）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个“兵”．有多少种不同的放法？分析：（1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有：10×9=90种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有：9×8=72种不同的放置方法．因此，总共有：72×90=6480种不同的放置方法．（2）第一列有2种放法．第一列放定后，第二列又有2种放法．…如此下去，共有2×2×2×2=16种不同的放法．【例5】有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。