高中数学必修2第三章知识点+习题+答案学习资料

3.2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一 直线方程的两点式思考 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 梳理名称已知条件 示意图方程使用范围 两点式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 斜率存在且不为0知识点二 直线方程的截距式思考 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案 由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，即x a ＋yb ＝1. 梳理名称已知条件 示意图方程使用范围截距式 在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋y b＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.1．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示．( × )2．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )3．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ )类型一 直线的两点式方程例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 引申探究若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程．解 k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 边的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－3， 由点斜式方程可得y ＋3＝52⎝⎛⎭⎫x －52， 即10x －4y －37＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．跟踪训练1 若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案 －2解析 由直线方程的两点式，得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5. ∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2. 类型二 直线的截距式方程例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．解 方法一 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，解得a ＝3， ∴l 的方程为x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0. 方法二 由题意知直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为y －2＝k (x －5)， 当x ＝0时，y ＝2－5k ，当y ＝0时，x ＝5－2k .根据题意得2－5k ＝－⎝⎛⎭⎫5－2k ，解方程得k ＝25或1. 当k ＝25时，直线方程为y －2＝25(x －5)，即2x －5y ＝0；当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)，即x －y －3＝0. 综上，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0.反思与感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． 跟踪训练2 过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数多条答案 C解析 当过原点时，有一条符合题意；当与坐标轴截距为正数时，有一条；当与坐标轴截距互为相反数且不为0时，有一条，共3条．1．在x 轴，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A.x －3＋y4＝1 B.x 3＋y－4＝1 C.x －3－y4＝1 D.x 4＋y－3＝1 答案 A2．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 3．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________． 答案 2x －y ＝0或x －y ＋1＝0解析 当直线过原点时，得直线方程为2x －y ＝0； 当在坐标上的截距不为零时， 可设直线方程为x a －ya＝1，将x ＝1，y ＝2代入方程可得a ＝－1， 得直线方程为x －y ＋1＝0.∴直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.4．已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为______． 答案 2x －y ＋1＝0解析 AB 的中点坐标为(1,3)， 由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0.5．直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程． 解 设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为x a ＋y 6－a ＝1，因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1，解得a 1＝2，a 2＝3.当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0， 直线经过第一、二、四象限；当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0， 直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．一、选择题1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式 B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 答案 B解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B. 2．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析 令x ＝0，得y ＝－b 2.3．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则( ) A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限答案 B解析 依题意知，直线l 的截距式方程为x －a ＋y－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B. 4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0答案 B解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.5．若直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 009，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 019 B ．2 018 C ．2 017 D ．2 016 答案 A解析 由直线的两点式方程得直线l 的方程为y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 009， 则有b ＝2×1 009＋1，即b ＝2 019.6．(2017·菏泽二中检测)一条光线从点A ⎝⎛⎭⎫－12，0处射到点B (0,1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝⎛⎭⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝⎛⎭⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B (0,1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1. 7．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 符合．8．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.()－∞，1∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D.()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.二、填空题9．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_________________________________________________________． 答案 x 2＋y6＝1解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)， 则l 的截距式方程是x 2＋y6＝1.10．过点(1,3)且在x 轴上的截距为2的直线方程是______________． 答案 3x ＋y －6＝0解析 由题意知直线过点(2,0)， 又直线过点(1,3)， 由两点式可得， y －03－0＝x －21－2， 整理得3x ＋y －6＝0.11．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3. 三、解答题12．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的截距式方程． 解 (1)设C (x 0，y 0)， 则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，解得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，解得y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y－52＝1.13．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边上的中垂线的方程．解 (1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)， 由两点式，得边BD 所在直线的方程为y －26－2＝x －(－4)－2－(－4)， 即2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，得AC 边上的中垂线的斜率为－2.又AC 的中点坐标为(－4,2)，由点斜式，得AC 边上的中垂线方程为 y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0. 四、探究与拓展14．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为________．答案 x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0解析 ∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线方程为x a＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.15．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．解 作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2)．设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4， 即A 1点坐标为(－1,4)．由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，∴由直线的两点式方程，得y －4－2－4＝x ＋11＋1， 即3x ＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.。

3.3.2 两点间的距离一、选择题1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于 ( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－62．以点A (1,2)，B (3,4)，C (5,0)为顶点的三角形是 ( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．无法确定3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于 ( )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．2104．已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝55．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎫225，0 D ．⎝⎛⎭⎫0，225 6．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB的方程为 ( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0二、填空题7．已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是________．8．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________．9．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为______________．三、解答题10．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．12．用坐标法证明：如果四边形ABCD 是长方形，而对任一点M ，等式|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2成立．四、探究与拓展13．求证：x 2＋y 2＋x 2＋(1－y )2＋(1－x )2＋y 2＋(1－x )2＋(1－y )2≥2 2.答案1．A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.A7．178．(2,10)或(－10,10)9．2610．x ＝1或3x ＋4y ＋1＝011．证明 如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2，所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c 2， 所以|DE |＝12|AB |. 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．12．证明 取长方形ABCD 的两条边AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD 的四个顶点为A (0,0)，B (a,0)，C (a ，b )，D (0，b )，在平面上任取一点M (m ，n )，则|AM |2＋|CM |2＝m 2＋n 2＋(m －a )2＋(n －b )2，|BM |2＋|DM |2＝(m －a )2＋n 2＋m 2＋(n －b )2，所以|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.13．证明 如图所示，设点O (0,0)，A (x ，y )，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则原不等式左边＝|OA |＋|AD |＋|AB |＋|AC |，∵|OA |＋|AC |≥|OC |＝2，|AB |＋|AD |≥|BD |＝2，∴|OA |＋|AD |＋|AB |＋|AC |≥22(当且仅当A 是OC 与BD 的交点时 等号成立)，故原不等式成立．。

高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ．．．．．4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线的平行① 若两条直线的斜率都存在，则：k1 = k2 = L1∥L2或者．．L1与L2重合② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在；⑵ 两条直线的斜率存在，且k1 = k2．．．（若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k1 = k2 且纵截距不相等；若已知两条直线的斜率不存在且平行，则应横截距不相等）2、两条直线垂直①若两条直线的斜率都存在，则：k1 k2 = - 1 = L1 ⊥ L2 ．．．．．②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ；⑵ 两条直线的斜率存在：k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直★ 已知L1: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么：① A1B2-A2B1=0两条直线平行或重合．．．．两条直线相交③ A1A2 + B1B2 = 0．．② A1B2-A2B1 ≠0两条直线垂直．．★ 如果已知两条直线的一般式方程，则可以通过系数关系求解相应的参数的值。

3.3 二项式定理与杨辉三角第1课时二项式定理课后训练巩固提升1.若S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S等于( )A.x4B.x4+1C.(x-2)4D.x4+4解析:S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C40(x-1)4+C41(x-1)3+C42(x-1)2+ C43(x-1)+C44=[(x-1)+1]4=x4.故选A.答案:A2.设i为虚数单位,则(1+i)6展开式中的第3项为( )A.-20iB.15iC.20D.-15解析:(1+i)6展开式中的第3项为C6214i2=-15.答案:D3.(x-√2y)10的展开式中x6y4的系数是( )A.-840B.840C.210D.-210解析:在通项公式T k+1=C10k x10-k(-√2y)k中,令k=4,即得(x-√2y)10的展开式中x6y4的系数为C104(-√2)4=840.答案:B4.(多选题)下列关于(1x +x3)n(n∈N+)的说法正确的是( )A.存在n∈N+,展开式中有常数项B.对任意n∈N+,展开式中没有常数项C.对任意n∈N+,展开式中没有x的一次项D.存在n∈N+,展开式中有x的一次项解析:(1x +x3)n的展开式的通项公式为T k+1=C n k x4k-n.由通项公式可知,当n=4k(k∈N+)和n=4k-1(k∈N+)时,展开式中分别存在常数项和一次项.故选AD.答案:AD5.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项的系数是( )A.-15B.85C.-120D.274解析:从(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)中的5个因式选择其中4个提供x,余下的提供数字因数,于是x4的系数就是(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.答案:A6.(2x+√x )5的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案) 解析:(2x+√x )5展开式的通项为T k+1=C 5k (2x)5-k (√x )k =25-k C 5k x 5-k2.令5-k2=3,得k=4.故x 3的系数为25-4C 54=2C 54=10.答案:107.(2x +1x 2)7的展开式中倒数第三项为 .解析:由于n=7,可知展开式中共有8项, 因此展开式中倒数第3项即为展开式第6项,即T 6=T 5+1=C 75(2x)2(1x2)5=C 75221x 8=84x 8.答案:84x88.已知(x+1)n =x n +…+ax 3+bx 2+nx+1(n ∈N +),且a ∶b=3∶1,则n= .解析:由已知,得a=C n n -3,b=C n n -2.∵a ∶b=3∶1,∴C nn -3C nn -2=C n 3C n2=31,即2×n (n -1)(n -2)6n (n -1)=3,解得n=11.答案:119.已知在(√x +2x 2)n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,求展开式中的常数项.解:T 5=T 4+1=C n 4(√x )n-424x -8=16C n 4x n -202,T 3=T 2+1=C n 2(√x )n-222x -4=4C n 2x n -102.由题意知,第5项的系数与第3项的系数之比为16C n 44C n2=563,解得n=10,n=-5(舍去).则展开式中的第k+1项为T k+1=C 10k (√x )10-k 2k x -2k =2k C 10kx 10-5k2,令10-5k 2=0,解得k=2.因此展开式中的常数项为C 10222=180.10.若(x √x)6(a>0)的展开式中x 3的系数为A,常数项为B,且B=4A,求a 的值.解:因为展开式中的第k+1项为T k+1=C 6k x 6-k(-√x)k =(-a)k C 6k x 6-3k2,令6-3k2=3,则k=2,得A=C 62a 2=15a 2;令6-3k2=0,则k=4,得B=C 64a 4=15a 4.由B=4A 可得a 2=4,又a>0,所以a=2.11.已知在(12x 2√x)n的展开式中,第9项为常数项,求:(1)n 的值;(2)展开式中x 5的系数; (3)含x 的整数次幂的项的个数.解:展开式中的第k+1项为T k+1=C nk·(12x 2)n -k (-√x )k =(-1)k (12)n -k C n k x2n -52k . (1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-52k=0,解得n=10.(2)令2n-52k=5,得k=6.因此x 5的系数为(-1)6(12)4C 106=1058.(3)要使2n-52k,即40-5k 2为整数,只需k 为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,因此符合要求的有6项,分别为展开式中的第1,3,5,7,9,11项.1.设i 为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.-15x 4 B.15x 4C.-20ix 4D.20ix 4解析:(x+i)6展开式的通项T k+1=C 6k x 6-k i k ,则其展开式中含x 4的项是当6-k=4,即k=2时,展开式中含x 4的项为C 62x 4i 2=-15x 4.答案:A2.若(x+y)9按x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x 的取值范围是( ) A.(-∞,15)B.[45,+∞)C.(-∞,-45]D.(1,+∞)解析:(x+y)9的展开式的通项是T k+1=C 9k ·x 9-k ·y k.依题意有{C 91·x 9-1·y ≤C 92·x 9-2·y 2,x +y =1,xy <0,即{x 8·(1-x )-4x 7·(1-x )2≤0,x (1-x )<0,解得x>1,即x 的取值范围是(1,+∞). 答案:D3.(x 2+2)(1x2-1)5的展开式的常数项是( )A.-3B.-2C.2D.3解析:第一个因式取x 2,第二个因式取含1x2的项得1×C 54(-1)4=5;第一个因式取2,第二个因式取(-1)5得2×(-1)5=-2,展开式的常数项是5+(-2)=3. 答案:D 4.在(x 2+4x2-4)5的展开式中,x 6的系数是( ) A.180 B.20C.-20D.-180解析:由(x 2+4x2-4)5=x 2+4x2-4x 2+4x2-4·x 2+4x2-4x 2+4x2-4x 2+4x2-4,则x 2+4x2-45的展开式中,x 6的系数是C 53·C 20·C 22·(-4)2+C 54·C 11·41·(-4)0=180.答案:A5.在(x+√34y)20的展开式中,系数为有理数的项共有 项.解析:二项展开式的通项公式T k+1=C 20k x 20-k·(√34y)k =C 20k (√34)k x 20-k y k (0≤k≤20).要使系数为有理数,则k 必为4的倍数,故k 可为0,4,8,12,16,20,共6项. 答案:66.若(x+a)2(1x-1)5的展开式中的常数项为-1,则a 的值为 .解析:由于(x+a)2=x 2+2ax+a 2,而(1x-1)5的展开式的通项为T k+1=(-1)kC 5k ·x k-5,其中k=0,1,2,…,5.于是(1x-1)5的展开式中x -2的系数为(-1)3C 53=-10,x -1项的系数为(-1)4C 54=5,常数项为-1,因此(x+a)2·(1x-1)5的展开式中的常数项为1×(-10)+2a×5+a 2×(-1)=-a 2+10a-10,依题意-a 2+10a-10=-1,解得a 2-10a+9=0,即a=1或a=9. 答案:1或97.(2+x)(1-2x)5的展开式中,x 2项的系数为 .解析:x 2项的系数为2C 52(-2)2+C 51(-2)=70.答案:708.求证:1+2+22+…+25n-1(n ∈N +)能被31整除. 证明:因为1+2+22+…+25n-1=25n -12-1=25n -1=32n -1=(31+1)n -1=C n 0·31n +C n 1·31n-1+…+C nn -1·31+C n n -1=31(C n 0·31n-1+C n 1·31n-2+…+C n n -1),显然C n 0·31n-1+C n 1·31n-2+…+C n n -1为整数,所以原式能被31整除.9.已知f(,g(,n ∈N +).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x 2的项;(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中含,n 为何值时,含=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3展开式的通项为C 3k x k , (1+2x)4展开式的通项为C 4k (2x)k , f(x)g(x)的展开式含x 2的项为1×C 42(2x)2+C 31x×C 41(2x)+C 32x 2×1=51x 2.(2)h(x)=f(x)+g(+(1+2x)n .因为h(x)的展开式中含x 的项的系数为12,所以C m 1+2C n 1=12,即m+2n=12, 所以m=12-2n.x 2的系数为C m 2+4C n 2=C 12-2n 2+4C n 2=12(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n 2-25n+66 =4(n -258)2+43116,n ∈N +,所以当n=3,m=6时,含x2的项的系数取得最小值.。