2018-2019学年人教版数学高考(文)一轮复习训练：第七章规范练33基本不等式及其应用
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数学
考点规范练33 基本不等式及其应用
基础巩固
1.下列不等式一定成立的是( )
A.lg>lg x(x>0)
B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
2.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a A.a C. 4.(2017山东日照一模)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为( ) A.8 B.9 C.16 D.18 5.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是( ) A. B. C.2 D. 6.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 7.若两个正实数x,y满足=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2) 8.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则的最大值为( ) A.2 B. C.1 D. 9.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是 . 10.(2017山东,文12)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 . 11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价%,若p>q>0,则提价多的方案是 . 12.设a,b均为正实数,求证:+ab≥2. 数学 数学 能力提升 13.已知不等式2x2-axy+y2≥0对任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.a≤2 B.a≥2 C.a≤ D.a≤ 14.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 15.已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=1,求的最小值. 16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 高考预测 17.若a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围. 数学 答案： 1.C 解析:因为x>0,所以x2+≥2·x·=x, 所以lg≥lg x(x>0),故选项A不正确; 当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确; 由基本不等式可知选项C正确; 当x=0时,有=1,故选项D不正确. 2.B 解析:由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,故m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立). 3.A 解析:设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为, 从而v=. ∵0 ∴,即,∴a 4.B 解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1. 所以(a+b)=5+≥5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B. 5.C 解析:由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立), 则12xy+3xy≤30,即xy≤2, 故xy的最大值为2. 6.C 解析:设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4 m2.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C. 7.D 解析:因为x>0,y>0,=1, 所以x+2y=(x+2y)=2++2≥8, 当且仅当,即x=2y时等号成立. 由x+2y>m2+2m恒成立, 可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4 8.C 解析:由ax=by=3, =, 又a>1,b>1,所以ab≤=3, 所以lg(ab)≤lg 3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立. 9. 解析:∵x>1,∴logx9+log27x=≥2,当且仅当x=时等号成立. ∴logx9+log27x的最小值为. 10.8 解析:∵直线=1过点(1,2),∴=1. ∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)· =4+≥4+2=8. 当且仅当b=2a时等号成立. 11.乙 解析:设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a. 由于(1+p%)(1+q%)< =, 故提价多的是方案乙. 数学 12.证明:因为a,b均为正实数, 所以≥2, 当且仅当,即a=b时,等号成立, 又因为+ab≥2=2, 当且仅当=ab时,等号成立, 所以+ab≥+ab≥2, 当且仅当即a=b=时,等号成立. 13.A 解析:因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2-a+1≥0. 令t=,则不等式变为2t2-at+1≥0. 由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈, 即2t2-at+1≥0在t∈时恒成立. 由2t2-at+1≥0可得a≤,即a≤2t+. 又2t+≥2=2. 当且仅当2t=,即t=时等号成立,所以2t+取得最小值2,所以有a≤2,故选A. 14.D 解析:令f(y)=|y+4|-|y|, 则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4. ∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立, ∴2x+≥f(y)max=4, ∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立; 令g(x)=-(2x)2+4×2x, 则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4. 15.解:∵x>y>0,x+y=1, ∴ =2+2 =2≥2+, 当且仅当2, 即x=,y=时等号成立. ∴的最小值是. 16.解:(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,依题意得,当0 当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)-51x-+1 450-250=1 200-, 则L(x)= (2)当0 当x≥80时,L(x)=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,当且仅当x=时,即x=100时,L(x)取得最大值1 000. 因为950<1 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1 000万元. 17.解:∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2, 数学 ∵(a+b)2≥4ab,∴(ab-3)2≥4ab, 即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9. 因此ab的取值范围是(-∞,1]∪[9,+∞).
