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专业. 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考纲解读] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．(重点)
2．能够求出圆的切线、弦长、能利用圆系解决相关问题，同时在解题时注意基本运算、等价转化及数形结合思想的运用．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容．预测2021年高考将会考查：①直线与圆位置关系的判断及应用；②直线与圆相交的弦长问题；③利用直线与圆位置关系求参数的取值范围问题．试题以客观题形式呈现，难度一般不大，属中档题型．此外也不要忽略在解答题中出现的可能性.
1.直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法位置关系 几何法 代数法
相交 d□010
相切 d□03＝r Δ□04＝0
相离 d□05>r Δ□06<0
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．
方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 □01d>r1＋r2 □02无解
外切 □03d＝r1＋r2 一组实数解 .
专业. 相交
□04|r1－r2|
内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) □05一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) □06无解
3．必记结论
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
(1)两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
假设两圆相交，那么有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
- 1 - 第4课 直线与圆的位置关系
【考点导读】
能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.
【基础练习】
1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6＜a＜4
2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于22
3.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 x=2或3x-4y-2=0 .
【范例导析】
例1.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
由27040xyxy得31xy 即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝5＜5（半径）， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－21， ∴l的方程为2x－y－5=0.
点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质.
例2.已知圆O: 122yx，圆C: 1)4()2(22yx，由两圆外一点),(baP引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.求实数a、b间满足的等量关系.
解：连结PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1
∴|PO|2=|PC|2，从而2222)4()2(baba
化简得实数a、b间满足的等量关系为: 052ba.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
(3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
知识点一 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d
易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．
必备方法 求圆的弦长的常用方法：
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则l22＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式．
|AB|＝1＋k2|x1－x2|
＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2].
注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
[自测练习]
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．与m的取值有关
解析：圆心到直线的距离d＝|－1－m＋1|m2＋1＝|m|m2＋1<1＝r，故选A.
答案：A
2．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( ) A.12
B．1
C.22
D.2
解析：因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝|c|a2＋b2＝|c|2|c|＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－222＝22，所以弦长为2.
答案：D
3．过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________．
解析：设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k＝43，所以切线方程为4x－3y＋1＝0，又直线x＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.
1 【考纲解读】
1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活
【要点梳理】
1.直线与圆的位置关系:
已知直线l,圆的方程为222()()xaybr,d为圆心到直线l的距离,则
(1)直线l与圆相离dr;
(2)直线l与圆相切dr;(注意圆心到切线的距离等于圆的半径)
(3)直线l与圆相交dr.牢记Rt:22rd等于弦长一半的平方.
2.圆的切线求法:(1)点P在圆上:过圆222xyr上一点00(,)Pxy的圆的切线方程是200xxyyr;(2)若点P在圆外,则过点P的圆的切线有两条.
3.圆与圆的位置关系:设1O的半径为1r,2O的半径为2r,两圆的圆心距为d,
规律:通过两个圆心的距离与两个圆的半径(和或差)比较大小来判断.
【例题精析】
考点一 直线与圆的位置关系 2 例1.(2012年高考陕西卷文科6)已知圆22:40Cxyx，l过点(3,0)P的直线，则（ ）
Al与C相交 B l与C相切 Cl与C相离 D. 以上三个选项均有可能
1. (2012年高考广东卷文科8)在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆x²+y²=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（ ）
