2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题8 立体几何与空间向量 第53练含解析

训练目标 (1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题．

训练题型 (1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离．

解题策略 利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.

1．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，点A1在底面ABC上的投影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________．

2．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为△A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．

3．如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为________．

4．如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD所在平面垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为________．

5．如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝32，则二面角S－BC－A的大小为______________．

6．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：

①异面直线C1P与B1C所成的角为定值；

②二面角P－BC1－D的大小为定值；

③三棱锥D－BPC1的体积为定值；

④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．

其中真命题的个数为________．

7．(2016·山东模拟)如图所示，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，设F为EB的中点．

(1)求证：DF∥平面ABC；

(2)求直线AD与平面AEB所成角的正弦值．

8．(2016·辽宁沈阳二中月考)

如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点O在AB上，且OB＝OC＝23AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝12PO.

(1)求证：PB∥平面COD；

(2)求二面角O－CD－A的余弦值．

9．(2016·南通模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一点，且SP＝12PD.

(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；

(2)求二面角A－PC－D的余弦值．

第53练 空间角与距离

1.34

2.π3

解析 因为AA1⊥底面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面A1B1C1所成的角．因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面ABC所成角．因为正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为94，底面三角形的边长为3，所以S△ABC·AA1＝94，可得AA1＝3.又易知A1P＝1，所以tan∠APA1＝AA1A1P＝3，又直线与平面所成的角属于0，π2)，所以∠APA1＝π3.

3.3a2

解析

作AD⊥CB交CB的延长线于点D，连结SD，如图所示．

∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.在平面SAD内，过点A作AH⊥SD于点H，则AH⊥平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离．在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB·sin60°＝3a.由AHSA＝ADSD，得AH＝SA·ADSD＝SA·ADSA2＋AD2＝3a2，

即点A到平面SBC的距离为3a2.

4．45°

解析 取BD的中点F，连结EF，AF(图略)，易得AF⊥BD，AF⊥平面BCD，则∠AEF就是AE与平面BCD所成的角，由题意知EF＝12CD＝12BD＝AF，所以∠AEF＝45°，即AE与平面BCD所成的角为45°.

5．60°

6．4

解析 对于①，因为在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，

在正方体中有B1C⊥平面ABC1D1，

而C1P⊂平面ABC1D1，

所以B1C⊥C1P，

所以这两个异面直线所成的角为定值90°，故①正确；

对于②，因为二面角P－BC1－D为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，

而这两个平面为固定不变的平面，

所以夹角也为定值，故②正确；

对于③，三棱锥D－BPC1的体积还等于三棱锥P－DBC1的体积，

而△DBC1面积一定，

又因为P∈AD1，

而AD1∥平面BDC1，

所以点A到平面BDC1的距离即为点P到该平面的距离，

所以三棱锥的体积为定值，故③正确；

对于④，因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1，

平面BCC1B1中，且这两个平面平行，

由异面直线间的距离定义及求法，

知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，

所以这两个异面直线间的距离为定值，故④正确．

综上可知，真命题的个数为4.

7．(1)证明

如图，过点F作FH∥EA交AB于点H，连结CH.

∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，

∴EA∥DC.

又FH∥EA，

∴FH∥DC.

∵F是EB的中点，

∴FH＝12AE＝DC.

∴四边形CDFH是平行四边形，

∴DF∥CH.

又HC⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，

∴DF∥平面ABC.

(2)解 ∵△ABC为正三角形，H为AB的中点，

∴CH⊥AB.

∵EA⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，

∴CH⊥EA.

又EA∩AB＝A，EA⊂平面AEB，AB⊂平面AEB，

∴CH⊥平面AEB.

∵DF∥HC，

∴DF⊥平面AEB，

∴AF为DA在平面AEB上的射影，

∴∠DAF为直线AD与平面AEB所成的角．

在Rt△AFD中，AD＝5a，DF＝3a，

sin∠DAF＝DFAD＝155，

∴直线AD与平面AEB所成角的正弦值为155.

8．(1)证明 因为PO⊥平面ABC，DA∥PO，AB⊂平面ABC，

所以PO⊥AB，DA⊥AB.

又DA＝AO＝12PO，所以∠AOD＝45°.

因为OB＝23AB，

所以OA＝13AB，所以OA＝12OB，

又AO＝12PO，所以OB＝OP，

所以∠OBP＝45°，即OD∥PB.

又PB⊄平面COD，OD⊂平面COD，

所以PB∥平面COD.

(2)解

如图，过A作AM⊥DO，垂足为M，

过M作MN⊥CD于N，

连结AN，

则∠ANM为二面角O－CD－A的平面角．

设AD＝a，

在等腰直角三角形AOD中，得AM＝22a，在直角三角形COD中，得MN＝33a，

在直角三角形AMN中，得AN＝306a，

所以cos∠ANM＝105.

9．解

(1)如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，

C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,2)．设P(x0，y0，z0)，

由SP→＝13SD→，得

(x0，y0，z0－2)＝13(0,2，－2)，

所以x0＝0，y0＝23，z0＝43，

即点P坐标为(0，23，43)．

CP→＝(－1，－43，43)，AB→＝(1,0,0)．

设直线AB与CP所成的角为α，

则cosα＝|AB→·CP→||AB→||CP→|

＝|－1×1＋－43×0＋43×0|1＋－432＋432×1

＝34141.

(2)设平面APC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，

由于AC→＝(1,2,0)，AP→＝(0，23，43)，

所以 m·AC→＝x1＋2y1＝0，m·AP→＝23y1＋43z1＝0.

令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，

则m＝(4，－2,1)．

设平面DPC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，

由于DC→＝(1,0,0)，CP→＝(－1，－43，43)，

所以 n·DC→＝x2＝0，n·CP→＝－x2－43y2＋43z2＝0，

令y2＝1，则z2＝1，则n＝(0,1,1)．

设二面角A－PC－D的大小为θ，

由于cos〈m，n〉＝0×4＋1×－2＋1×12×21＝－4242，

由于θ为钝角，

所以cosθ＝cos〈m，n〉＝－4242.