基于频率的梁结构损伤识别方法
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基于频率的梁结构损伤识别方法
李学平，余志武
中南大学铁道校区土建院，湖南长沙（410075）
E-mail：xpli@mail.csu.edu.cn
摘 要：运用摄动方法和线弹性断裂力学理论讨论了基于模态分析的梁型结构无损检测方
法。从理论上推导了利用测得的少数前几阶固有频率，来识别裂纹位置和裂纹深度的算式。
通过试验结果验证，表明方法简单可行，对解决工程实际问题具有一定的参考价值。
关键词：梁型结构，模态分析，损伤识别
中图分类号：TU323.3 O327
1. 引言
近几年来，结构无损检测技术的研究受到越来越多的学者的关注。大多数方法都是从结
构的模态响应变化来进行[1~3][4][5]
，也有人用小波分析方法对梁型结构的损伤进行识别。由于
结构频率容易测量，且精度较高，基于频率变化的损伤识别方法显示出其优越性。
本文针对梁型结构，运用摄动方法和线弹性断裂力学理论，由振动系统的动力方程推导
出结构损伤和模态参数间的联系，获得了识别梁型结构裂纹位置以及裂纹深度的算式。最后
通过试验验证了本文方法的有效性，而且计算简便。
2. 损伤识别
忽略阻尼的影响，梁振动的特征方程为
0MK2
=−Φω
])[]([ （1）
ω
为固有频率。 ][K为刚度矩阵，为质量矩阵，Φ
][M为正则化振型，
结构损伤通常使得其质量和刚度发生变化，从而引起固有频率及振型也会产生相应的变
化量。如果认为损伤前后质量不发生改变，结构损伤后的动特征方程为
（2）
0)]]()[(][[22
=++−+ΔΦΦωΔωΔ
MKK
经整理，且略去二阶项后可化为
ΦΦΦΔΦ
ωΔ
][][
TT
2
MK
= （3）
对于某阶模态i
，上式为
iiii
ΦΦΦΔΦ
ωΔ
][][
TT
2
MK
= （4）
联立式（1）可得
iiii
ii
ΦΦΦΔΦ
ωωΔ
][][
TT
22
KK
= （5）
定义单元损伤系数矩阵
（6）
][][
NNNKKαΔ
=
其元素为
1
本课题得到国家自然科学基金资助项目（50078007）的资助。
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ijijij
ij
NNd
N
KKK−
=α （7）
d
NK和分别为损伤后与损伤前的刚度矩阵，代表损伤单元。式（5）可化为[3]
NKN
∑
==n
NNNi
ii
S
1,
22
α
ωωΔ
（8）
其中为反映刚度变化的特征值敏感度，为总单元数。上式写成矩阵形式为
NiS
,n
α
][SZ= （9）
对于等截面梁的特征值敏感度矩阵的元素可由下式计算：
∫∫
′′′′
=+
L
ix
xi
Ni
dxxdxx
SN
N
022
,
)()(1
ΦΦ
（10）
按照Gudmunson[2]
，模态应变能的变化与固有频率的变化有如下关系：
22
ii
ii
WW
ωωΔΔ
= （11）
其中是未损伤结构的第阶模态应变能，是结构损伤后，第i
阶模态应变能的损失， i
iW
iWΔ
现在，假设我们讨论的梁为Euler-Bernoulli梁，其第阶模态应变能为： i
iW
（12） ∫
′′
=l
iidxxEIW
02
)}({Φ
由线弹性断裂力学理论知
22
1
ΙμΔ
bK
EaW
i−
=
∂∂
（13）
aKπγσ
=
Ι （14）
γ是与裂纹长度和梁的深度之比有关的一个几何因子，对于小裂纹情况,12.1=γ其中.因此式
（13）可化为
iNNia
Eb
W)
2)1(
(2222
σγμπ
Δ−
= （15）
上式中，和分别表示沿梁的轴线方向在位置处的裂纹大小与最大
弯曲应力。对于Euler-Bernoulli梁，其应力为 )(
NNxaa=)(
NNxσσ
=
Nx
)()(
21
NiNxEhxΦ′′
=σ
（16）
2222
4)1(
NiN
ii
aS
Ihb
WW
γμπΔ
−
= （17）
联立式（8）、（11）和（17）便得
∑
==N
iiNiNiaSZ
12
)(ξ （18）
h22
)1(3γμπξ
−= （19）
假设梁被分成m段，测得了前q阶固有频率，则式（18）写成矩阵形式为
（20）
11}{][}{
×××=
mmqqDSZ
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对于简支梁，
)]2sin()2[sin(
211
Lx
i
Lx
i
iL
Lxx
Sjjjj
ijππ
π−−−
=++
{D}中大于零的元素则表示该单元存在裂纹，2
)(
iN
i
ha
Dξ
=为由第i
阶模态识别出的第位置
的相对裂纹深度。 N
ξ
/)/(
iiNDha= （21）
这样，只要求出了{D}，便可得到裂纹存在位置，同时可计算其深度。
3. 试验算例
考虑一混凝土简支梁,如图1。长L=4.0m，宽b=0.2m，高h=0.6m，弹性模量E=28GPa,密度
ρ=2350kg/m3
.计算和实测梁的固有频率见表1。
1x
2x
图1 含裂纹简支梁分析模型
Fig 1 Model of simply supported beam with cracks
表1 完好梁和损伤梁的前三阶固有频率
裂纹位置及深度 固有频率（Hz）
(m) (m)
1xha/
12xha/
21ω
2ω
3ω
1.0 0.2 2.2 0.3
57.86233.14525.07
58.65234.63527.97 完 好 梁
由式（20）算得{D}中大于零的项为D
3=0.3173; D
6=0.8217，因此可知梁的第三单元(0.8m~1.2m)
和第六单元(2.0m~2.4m)存在裂纹。其相对深度由式（21）求得=0.215；=0.346。
与实际情况比较接近。 ha/
1ha/
2
4. 结论
本文提出了一种基于固有频率的梁型结构损伤诊断方法。从数值模拟结果看出，随着单
元取得越小，识别精度将越高。该方法能同时识别出裂纹位置和其程度，具有计算简单的特
点。
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参考文献
[1].Pandey AK. Damage detection from change in curvature mode shapes. Journal of Sound and Vibration
1991,145(2):321~332.
[2].Wu X. Use of neural networks in detection of structural damage. Computers and Structures
1992,42(4):649~659.
[3].N.Stubbs. Global non-destructive damage evaluation in solids. International Journal of Analytical and
Experimental Modal Analysis, 1990,5(2), 67~79.
[4].Liew KM. Application of wavelets for crack identification in structures. Journal of Engineering Mechanics.
ASCE1998;124(2):152~157.
[5].Lee YY. Detection of damage locations in a beam using the wavelets analysis. International Journal of
Structural Stability and Dynamics. 2001;1(3):455~465.
[6]. Gudmunson P. Eigenfrequency Changes of Structures due to Cracks, Notches or Other Geometric Changes.
Journal Mech. Phys. Solids. 1982;30(5):339~53.
The method for damage identification of beam structure
based on frequency
Li Xueping, Yu Zhiwu
Dept. of Civil Engineering, Central South University,Changsha (410075)
Abstract
A nondestructive detecting method based on modal analysis is presented for beam-type structures from
perturbation method and linear elastic fracture mechanics. A damage-localization and a damage-sizing
algorithm are formulated from a first few natural frequencies. The result of testing indicates that this
method is new, efficient and simple.
Keywords: beam-type structures, modal analysis, damage identification
作者简介：李学平，男，1967年11月生，副教授，博士生，主要从事结构振动分析及损伤
识别方面的研究。
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