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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 3.2 函数的极值与导数教案 新人教版选修1-1

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§1．3．2函数的极值与导数（1课时）

【学情分析】：

在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。

【教学目标】：

（1）理解极大值、极小值的概念.

（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.

（3）掌握求可导函数的极值的步骤

【教学重点】：

极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.

【教学难点】：

极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图

利用教材在

§3.3.1中的

例1引入函数的极值概念

①观察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=1点及其附近导数的正负：

f(1)在x=1点及其附近是最小——'(1)0f；

y=f(x)在x=1附近的左侧是单减的——'()0fx；

y=f(x)在x=1附近的右侧是单增的——'()0fx；

提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？

不是，只是y=f(x)在x=1处附近的局部最小值

②观察y=f(x)的图像在x=4点的函数值f(4)与x=4附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=4点及其附近导数的正负：

学生模仿完成 考虑到极值与最值容易混淆，学生对已有知识的同化易接受，我们以§3.3.1

中的例1引出极值的概念，具体直观，同时对极值与最值区分是一目了然的。

概念抽象 y=f(x)在定义域上可导，

①若'()0fa，且y=f(x)在x=a附近的左侧满足'()0fx；在x=a附近的右侧满足'()0fx，则称点a叫做y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值 由具体函数图像抽象上升到一般极值概念 ②若'()0fb，且y=f(x)在x=b附近的左侧满足'()0fx；在x=b附近的右侧满足'()0fx，则称点b叫做y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值

函数极值概念强化练习 概念判断练习：

（１）函数的极大值是函数在定义域上的最大值

（２）函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的

（３）函数某区间上的极大值一定大于极小值

（４）函数的极值点，导数一定为零

（５）导数为零的点一定是函数的极值点

答案：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错 深化学生对函数极值的概念，以及函数取极值与'()0fa的逻辑关系

极值概念理解的总结提高 （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf>)(1xf，如下图

f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy

如何判别f(x0)是极大、极小值 填空：

（１） 若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数________，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，

（２）如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的_______点，)(0xf是_______；

（３）如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的_______点，)(0xf是_______.

让学生总结判断极值的方法。

（１）异号；（２）极大值；极大值；

（３）极小值；极小值 例题精讲 １、看图识极值（点）

f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy

说出极值点与相应的极值

２、求函数的极值（点）

对教材例1的处理方式：

要求阅读教材解析，模仿练习。以眼动、心动、手动的方式让学生对求解函数的极值的步骤有较深的印象。

函数极值（点）计算要加强练习，提高熟练程度。

作为平行班的学生基础不牢，应以最基本的几类函数求导练习为主，切忌本末倒置：让学生把重心放在导数计算上，而忽视了求极值（点）的方法步骤

设置上可以先让学生回忆几类基本函数的求导公式，板书在黑板上以学生查用之需。

补充练习：

求函数ｙ=2x2+5x的极值

答案：x=-5/4;y=-25/8极小值

求函数y=3x－x3的极值

答案：x=-1,y=-2极小值；

X=1,y=2极大值

加强熟练程度与运算速度 加强对极值（点）的函数图像理解与认识

要注意结合图象理解极大、极小值概念

判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 通过例题与练习加深对极大、极小值概念的理解，以及熟悉求函数极值的方法与步骤

方法小结 求函数极值的方法与步骤：

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)

(2)求方程f′(x)=0的根

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

课后练习

1、函数)(xfy在一点的导数值为0是函数)(xfy在这点取极值的（ ）

A 充分条件 B 必要条件

C 充要条件 D 必要非充分条件

答案 D 对于3'2'(),()3,(0)0,fxxfxxf不能推出()fx在0x取极值，反之成立

2、函数()323922yxxxx=---<<有（ ）

A 极大值5，极小值27

B 极大值5，极小值11

C 极大值5，无极小值

D 极小值27，无极大值

答案C '23690,1,3yxxxx得，当1x时，'0y；当1x时，'0y

当1x时，5y极大值；x取不到3，无极小值

3、函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，

则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（ ）

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

答案A 极小值点应有先减后增的特点，即'''()0()0()0fxfxfx

4、函数32()39fxxaxx，已知()fx在3x时取得极值，则a=( )

A, 2 B. 3 C. 4 D. 5

答案：

5、若函数()()2fxxxc=-在2x处有极大值，则常数c的值为_________；

答案6 '22'2()34,(2)8120,2,6fxxcxcfccc或，2c时取极小值

6、函数1()cossin22fxmxx在4x处取得极值，则m=__________

答案 0

7、已知函数23bxaxy，当1x时，有极大值3；

（１） 求,ab的值；（2）求函数y的极小值

abxy)(xfy?O解：（1）'232,yaxbx当1x时，'11|320,|3xxyabyab，

即320,6,93ababab

（2）32'269,1818yxxyxx，令'0y，得0,1xx或

0|0xyy极小值

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高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案

高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案

- 1 - 第三章 导数及其应用

3.3 导数在研究函数中的应用

3.3.2 函数的极值与导数

A级 基础巩固

一、选择题

1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．

答案：B

2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )

A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，

f′(x)＜0

B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，

f′(x)＞0

C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，

f′(x)＞0

D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，

f′(x)＜0

解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，

所以 x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.

答案：C

3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )

A．极大值5，极小值－27

B．极大值5，极小值－11

C．极大值5，无极小值

D．极小值－27，无极大值

解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，

当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.

- 1 - 故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．

答案：C

4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )

A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6

C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.

高二人教版数学选修1-1练习：3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案

高二人教版数学选修1-1练习：3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案

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►基础梳理

1．极值的概念．

如果函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；如果函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

2．求函数y＝f(x)的极值的一般方法．

解方程f′(x)＝0.当f′(x)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．,►自测自评

1．下面说法正确的是(B)

A．可导函数必有极值 B．函数在极值点一定有定义

C．函数的极小值不会超过极大值 D．函数在极值点处导数一定存在

2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(A)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．函数y＝1＋3x－x3有极小值________，极大值__________．

解析：∵y＝1＋3x－x3，∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，且y′在区间(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)上的正负性依次为－，＋，－.

∴当x＝－1时，y＝－1是极小值；

当x＝1时，y＝3是极大值．

答案：－1 3

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1．函数y＝2x3－x2的极大值为(A)

A．0 B．－9

C．0，2716 D.2716

解析：y′＝6x2－2x，令y′＞0，解得x＜0，x＞13，

2021年高中数学第三章导数及其应用3.2.2导数的运算法则学案含解析人教A版选修1_1.doc

2021年高中数学第三章导数及其应用3.2.2导数的运算法则学案含解析人教A版选修1_1.doc

3.2.2

导数的运算法则

自主预习·探新知

情景引入

如何求得下列函数的导数呢？

1．y＝x5＋x3－x2＋3；

2．y＝ex－sinx＋lnx；

3．y＝cos2x2－sin2x2.

新知导学

导数的运算法则

和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__

积的导数 [f(x)·g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)__

商的导数 [fxgx]′＝__f′xgx－fxg′xg2x__(g(x)≠0)

预习自测

1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f ′(1)＝2，则a的值为( A )

A．1 B．2

C．－1 D．0

[解析] ∵f(x)＝ax2＋c，∴f ′(x)＝2ax，

又∵f ′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.

2．已知f(x)＝exln x，则f′(x)＝( C )

A．exx B．ex＋1x

C．exxln x＋1x D．1x＋ln x

[解析] f′(x)＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋exx

＝exxln

x＋1x.

3．(2020·全国卷Ⅰ理，6)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( B )

A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1

C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1

[解析] ∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，

∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B．

4．(2020·全国卷Ⅲ文，15)设函数f(x)＝exx＋a.若f′(1)＝e4，则a＝__1__.

[解析] 由于f′(x)＝exx＋a－exx＋a2，故f′(1)＝ea1＋a2＝e4，解得a＝1.

5．求下列函数的导数：

(1)y＝sin x－2x2；

(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；

(3)y＝excos x.

新人教版高中数学选修3全册教案

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该教案包含以下内容：

第一章 不等式

1.1 不等式基本性质

1.1.1 不等式的定义

通过对比等式和不等式，引出不等式的定义。

1.1.2 不等式的基本性质

介绍不等式的比较性、传递性、加减性和数乘性等基本性质。

1.2 一元二次不等式

1.2.1 一元二次不等式的基本概念

介绍一元二次不等式，并比较它与一元二次方程的异同。

1.2.2 一元二次不等式的解集

介绍求解一元二次不等式的步骤和方法，并结合实例进行说明。

第二章 数列基础

2.1 等差数列

2.1.1 等差数列的概念及性质

介绍等差数列的基本概念，以及它的通项公式、求和公式等性质。

2.1.2 等差中项和其应用

介绍等差数列的中项，并结合实例进行说明。

2.2 等比数列

2.2.1 等比数列的概念及性质

介绍等比数列的基本概念，以及它的通项公式、求和公式等性质。

2.2.2 等比中项及其应用

介绍等比数列的中项，并结合实例进行说明。

第三章 函数与导数

3.1 常用函数

3.1.1 幂函数、指数函数、对数函数

介绍幂函数、指数函数、对数函数的定义及性质。

3.1.2 三角函数及其应用

介绍正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及性质，以及在实际问题中的应用。

3.2 导数

3.2.1 导数的概念及意义

介绍导数的定义、解释，以及求导数的方法和应用。

3.2.2 函数的性质及其导数

介绍函数的单调性、极值、凹凸性及拐点，并结合实例说明它们与导数的关系。

第四章 三角函数与解三角形

4.1 正弦定理

介绍正弦定理的概念，以及利用正弦定理求解三角形中的角度和边长的方法。

4.2 余弦定理

介绍余弦定理的概念，以及利用余弦定理求解三角形中的角度和边长的方法。

4.3 解三角形实例

提供多组实例，让学生加深对三角形相关概念的理解，掌握解题方法。

总的来说，这份教案详细介绍了不等式、数列基础、函数与导数、三角函数与解三角形的相关概念和方法，并且通过实际例子让学生更好地掌握相关知识。相信它会对高中数学选修3的学习有很大的帮助。