马尔可夫过程
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马尔可夫过程的特征
马尔可夫过程的特征马尔可夫过程，这就像是一场独特的旅程。
咱先来说说它的无后效性。
这就好比你在走一条路，每一步的走向只取决于你当下所在的位置，之前走过哪儿、怎么走来的，都不影响这一步要迈向哪里。
就像玩那种方格游戏，你站在一个方格上，下一步跳到哪个方格，只和你现在站的这个方格有关，而不是之前你在其他方格的经历决定的。
这就是马尔可夫过程神奇的地方，它把过去的那些繁杂信息都给切断了，只看现在这一个“点”。
那它的状态空间呢？这就像是一个大大的房子，里面有好多房间。
每个房间就是一个状态。
马尔可夫过程就在这些房间之间穿梭。
这些房间的数量可能是有限的，也可能是无限的。
有限的状态空间就像是一个小公寓，房间就那么几个；无限的状态空间就像是一座超级大的城堡，房间数都数不清。
而且在这个过程里，从一个房间到另一个房间是有一定概率的，就像你在房子里走动，从这个房间走到那个房间，有时候可能很容易就过去了，有时候可能就不那么容易，这就是转移概率。
马尔可夫过程的转移概率也特别有趣。
这就像你扔骰子决定下一步怎么走。
每个面代表一种可能的转移方向。
而且这个概率是固定的，不会突然就变了。
比如说，从房间A到房间B的概率是0.3，那不管之前发生了什么，这个概率就一直是0.3。
这就好像你每天出门上班，选择坐公交车的概率如果是0.5，那这个概率不会因为昨天你是走路去的公司就改变。
这就是它的稳定性。
再说说马尔可夫链，这可以看作是马尔可夫过程的一种特殊形式。
它就像一串珠子，每个珠子就是一个状态。
珠子之间的连线就代表着转移概率。
这些珠子按照一定的规则串在一起，就构成了马尔可夫链。
这链可以是有限长的，也像那种短项链，只有几颗珠子；也可以是无限长的，就像那种超级长的佛珠串，数都数不完。
马尔可夫过程还有一个特点，就是它可以进行长时间的分析。
就像你观察一个小动物的活动轨迹，看它长时间在那个区域里是怎么活动的。
通过研究马尔可夫过程的长时间行为，我们能发现很多有趣的东西。
马尔可夫过程与泊松过程
P{X mk aimk |X m aim , X m1 aim1 ,, X1 ai1 }
P{Xmk aimk |Xm aim }
6.1 马尔可夫链
一、定义及一般特性 典型马尔可夫链
一维随机游动
4 3 2 1 0
Xn
+ + + +
1 p
0
p
x
+
+
1
T
T P (1)p(1) p(1) , p(1) p1 , p2 , , pN 中取N-1个方程 在方程
11 p1 21 p2 N 1 pN p1 12 p1 22 p2 N 2 pN p2 1N p1 2 N p2 NN pN pN
当随机过程在时刻 t i 所处的状态已知时，过程在时
刻 t (t ti ) 所处的状态仅与过程在 t i 时刻的状态有关， 而与过程在 t i 时刻以前所处的状态无关。
P 将来 现在，过去 =P 将来 现在
பைடு நூலகம்
马尔可夫过程
马尔可夫过程分类：
1.马尔可夫链 时间离散，状态离散； 2.离散马尔可夫过程 时间连续，状态离散； 3.马尔可夫序列
四、状态分类
3、常返态和滑过态（非常返态）
定义： fij (n) P xn j; xm j, m 1,2,..., n 1| x0 i
自状态i出发，在时刻n首次到达状态j的概率
很显然，
fij (1) P x1 j | x0 i Pij fij () P xn j; 对一切n 1| x0 i
p1 p2 pN 1
马尔可夫决策过程中的连续时间建模方法(Ⅱ)
马尔可夫决策过程(Markov Decision Process, MDP)是一种用来描述随机决策过程的数学模型。
在实际应用中，很多问题都可以被建模成MDP并通过合适的算法进行求解。
在MDP中，状态空间、动作空间和奖励函数的离散性是基本前提，但在某些应用中，这些变量可能是连续的。
本文将介绍马尔可夫决策过程中的连续时间建模方法，探讨其在实际问题中的应用。
一、连续时间马尔可夫决策过程MDP最早是由Bellman提出的，它适用于描述状态和动作都是离散的情形。
但是，很多实际问题中，状态空间和/或动作空间是连续的，这时需要进行连续时间建模。
连续时间MDP(Continuous-time Markov Decision Process, CTMDP)是对MDP的一种扩展，它考虑状态和动作空间是连续的情形。
在CTMDP中，状态转移由随机微分方程描述，动作空间是连续的。
状态空间一般也是连续的，但有时也可以是离散的。
奖励函数在时间上是连续的，与状态和动作相关。
CTMDP的目标是找到一个策略，使得期望累积奖励最大化。
二、CTMDP的求解方法CTMDP的求解方法与MDP有些不同。
在MDP中，常用的求解方法是值迭代或策略迭代，但这些方法不适用于CTMDP，因为连续状态空间和动作空间使得价值函数和策略函数难以表示。
对于CTMDP，常用的求解方法是近似动态规划。
近似动态规划是通过近似值函数和/或策略函数来求解CTMDP的方法。
其中，近似值函数方法包括函数逼近和蒙特卡洛方法，而近似策略函数方法包括策略梯度和Q-learning等。
近似值函数方法通过对值函数进行逼近来求解CTMDP。
常用的函数逼近方法包括线性函数逼近、非线性函数逼近和神经网络逼近等。
在CTMDP中，值函数是关于状态和动作的函数，它的逼近可以通过对状态和动作空间进行离散化，然后对每个离散状态和动作进行值函数逼近。
此外，蒙特卡洛方法也可以用于求解CTMDP，它通过采样得到的轨迹来估计值函数。
随机过程-7马尔科夫链的概念和转移概率1
=P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2} P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
4.1 马尔可夫链与转移概率
= =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2}
P{X1=i1|X0=i0}P{X0=i0} 马尔可夫链的统计特性完全由条件概率 P{Xn+1=in+1|Xn=in}确定。
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定义 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步 转移概率，简称转移概率，其中i,jI。
• 定义 若对任意的i,jI，马尔可夫链 {Xn,nT }的转移概率pij(n)与n无关，则 称马尔可夫链是齐次的，并记pij(n)为pij。
n和ij??in步转移概率具有性质123pnppn14pnpn????iklnkjliknijppp???????ikikjkkkiknijnnpppp111211??41马尔可夫链与转移概率证证1????????????????????????????????????????????????????????????iklnkjlikikliklnkjikmlmlmnmikmlmmlmmnmlmmmnmmmnmnijppppixkxpkxjxpixpkxixpkxixpjxkxixpixpjxixpixjxpp?????????????????????????????????????????????????????????????iklnkjlikikliklnkjikmlmlmnmikmlmmlmmnmlmmmnmmmnmnijppmplmpixkxpkxjxpixpkxixpkxixpjxkxixpixpjxixpixjxpp?????????????????????????????????????????????????????????????iklnkjlikikliklnkjikmlmlmmnmikmlmmlmmnmlmmmnmmmnmnijppppixkxpkxixjxpixpkxixpkxixpjxkxixpixpjxixpixjxpp?????????????ikmnmlmmixpjxkxixp41马尔可夫链与转移概率2在1中令l1kk1得由此可递推出公式3矩阵乘法4由3推出说明
4.1 马尔可夫链与转移概率
= =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2}
P{X1=i1|X0=i0}P{X0=i0} 马尔可夫链的统计特性完全由条件概率 P{Xn+1=in+1|Xn=in}确定。
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定义 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步 转移概率，简称转移概率，其中i,jI。
• 定义 若对任意的i,jI，马尔可夫链 {Xn,nT }的转移概率pij(n)与n无关，则 称马尔可夫链是齐次的，并记pij(n)为pij。
n和ij??in步转移概率具有性质123pnppn14pnpn????iklnkjliknijppp???????ikikjkkkiknijnnpppp111211??41马尔可夫链与转移概率证证1????????????????????????????????????????????????????????????iklnkjlikikliklnkjikmlmlmnmikmlmmlmmnmlmmmnmmmnmnijppppixkxpkxjxpixpkxixpkxixpjxkxixpixpjxixpixjxpp?????????????????????????????????????????????????????????????iklnkjlikikliklnkjikmlmlmnmikmlmmlmmnmlmmmnmmmnmnijppmplmpixkxpkxjxpixpkxixpkxixpjxkxixpixpjxixpixjxpp?????????????????????????????????????????????????????????????iklnkjlikikliklnkjikmlmlmmnmikmlmmlmmnmlmmmnmmmnmnijppppixkxpkxixjxpixpkxixpkxixpjxkxixpixpjxixpixjxpp?????????????ikmnmlmmixpjxkxixp41马尔可夫链与转移概率2在1中令l1kk1得由此可递推出公式3矩阵乘法4由3推出说明
马尔可夫过程及其概率分布
泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程; 维纳过程是时间状态都连续的马氏过程.
例2 只传输数字0和1的串联系统 ( 0 1 传输系统) 如图:
X 0 1 X1 2 X 2 X n1 n X n
X
是第一级的输入
0
Xn是第n级的输出(n 1)
设一个单位时间传输一级, 设每一级的传真率为 p, 误码率为 q=1-p.
二、马尔可夫过程的概率分布
研究时间和状态都是离散的随机序列
{ Xn X (n), n 0,1, 2,}, 状态空间为 I (a1,a2 ,}, ai R .
1. 用分布律描述马尔可夫性
对任意的正整数n, r 和 0 t1 t2 tr m; ti , m, n m Ti , 有
增量X (t j ) X (0)与X (tn ) X (tn1)相互独立. 根据条件X (0) 0与X (tn1) xn1, 即有
X (t j )与X (tn ) xn1相互独立.
此时X (tn )与X (t j ), j 1,2,,n 2相互独立. 这表明X (t )具有无后效性,即{ X (t ), t 0}是一个 马尔可夫过程. 说明:
状态空间就是I. 且当Xn i,i I为已知时, X n1所处的状态分布只与X n i有关, 而与时刻 n 以前所处的状态无关. 所以它是一个马氏链, 且是齐次的.
一步转移概率 pij P{ Xn1 j | Xn i}
1 3
,
j
i
1,
i,
i
1, 1
i
5
1, i 1, j 2 或 i 5, j 4
p21
状
态
ai
pi1
P(1)
X m1的状态
a2 a j
例2 只传输数字0和1的串联系统 ( 0 1 传输系统) 如图:
X 0 1 X1 2 X 2 X n1 n X n
X
是第一级的输入
0
Xn是第n级的输出(n 1)
设一个单位时间传输一级, 设每一级的传真率为 p, 误码率为 q=1-p.
二、马尔可夫过程的概率分布
研究时间和状态都是离散的随机序列
{ Xn X (n), n 0,1, 2,}, 状态空间为 I (a1,a2 ,}, ai R .
1. 用分布律描述马尔可夫性
对任意的正整数n, r 和 0 t1 t2 tr m; ti , m, n m Ti , 有
增量X (t j ) X (0)与X (tn ) X (tn1)相互独立. 根据条件X (0) 0与X (tn1) xn1, 即有
X (t j )与X (tn ) xn1相互独立.
此时X (tn )与X (t j ), j 1,2,,n 2相互独立. 这表明X (t )具有无后效性,即{ X (t ), t 0}是一个 马尔可夫过程. 说明:
状态空间就是I. 且当Xn i,i I为已知时, X n1所处的状态分布只与X n i有关, 而与时刻 n 以前所处的状态无关. 所以它是一个马氏链, 且是齐次的.
一步转移概率 pij P{ Xn1 j | Xn i}
1 3
,
j
i
1,
i,
i
1, 1
i
5
1, i 1, j 2 或 i 5, j 4
p21
状
态
ai
pi1
P(1)
X m1的状态
a2 a j
马尔可夫决策过程的优缺点分析
马尔可夫决策过程是一种用于描述随机决策问题的数学模型。
它基于马尔可夫链和决策理论，可以用来解决很多实际问题，例如机器人路径规划、股票投资、医疗决策等。
在这篇文章中，我们将对马尔可夫决策过程的优缺点进行分析，以帮助读者更好地理解这一模型。
优点：1. 模型简单直观马尔可夫决策过程是一种简单直观的模型，它将决策问题抽象为一系列状态和行动的转移过程。
这种模型可以很容易地被理解和应用到实际问题中，使得决策过程变得更加透明和可控。
2. 考虑未来回报马尔可夫决策过程考虑了未来的回报，即在当前状态下做出的决策会影响未来的状态和回报。
这种全局性的考虑可以帮助决策者制定长远的战略，而不是只关注眼前的利益。
3. 适用范围广泛马尔可夫决策过程可以被应用到多种领域，例如智能系统、金融领域、工程控制等。
它的灵活性和通用性使得它成为解决不同领域决策问题的有力工具。
缺点：1. 需要完全信息马尔可夫决策过程假设决策者对系统的状态转移概率和回报函数有完全的信息。
然而，在实际问题中，这些信息通常是难以获取的，甚至是不确定的。
这就限制了马尔可夫决策过程的应用范围。
2. 复杂度高在状态空间较大或者行动空间较大的情况下，马尔可夫决策过程的求解问题会变得非常复杂。
这会导致计算和求解的困难，甚至不可行。
3. 忽略历史信息马尔可夫决策过程假设当前状态的决策只受到前一状态的影响，而不考虑更早的历史信息。
这在某些情况下可能不符合实际，因为过去的决策和状态可能对当前的决策也有影响。
结论：综上所述，马尔可夫决策过程作为一种数学模型，具有其独特的优点和局限性。
在实际问题中，我们需要根据具体情况权衡利弊，选择合适的决策模型。
同时，随着研究的不断深入，对马尔可夫决策过程的理解和应用也会不断地得到改进和拓展。
2014第七章 马尔可夫过程
E[( X (ta ) X (tb ))( X (tc ) X (td ))] 2 (ta tb )(tc td )
若 ta tc tb td，则时间间隔 (ta tb ) 和 (tc td ) 相重叠（图2b）），因此， 上式不再成立。
td td tc tb (b) tb (a) tc ta ta
PX n X 1 ,, X n1 xn ; t n x1 , , xn 1 ; t1 , , t n 1
Pn xn xn1; tn1 , tn
PX n X n1 xn ; t n xn 1 ; t n 1
PX n X n1 xn , xn 1 ; t n 1 , t n PX n1 xn 1 ; t n 1
k
e
(k 1)!
k 1
k 1
= e e (ta tb ) ②. 均方值与方差 令 (ta tb ) ，故均方值为
k k k E[( X (ta ) X (tb )) ] k e k (k 1) e k e k! k! k! k 0 k 0 k 0 k 2 2 2 2 (ta tb )2 (ta tb ) = e k 2 (k 2)!
a b
先来讨论服从泊松分布的随机变量[ X (ta ) X (tb )] 及 [ X (tc ) X (td )] 的数学期望，方差和相关函数等统计量。
(ta tb ) ，因此，均值为 ①．数学期望 令
E[ X (ta ) X (tb )] k e k! k 0
2 2
而方差为
若 ta tc tb td，则时间间隔 (ta tb ) 和 (tc td ) 相重叠（图2b）），因此， 上式不再成立。
td td tc tb (b) tb (a) tc ta ta
PX n X 1 ,, X n1 xn ; t n x1 , , xn 1 ; t1 , , t n 1
Pn xn xn1; tn1 , tn
PX n X n1 xn ; t n xn 1 ; t n 1
PX n X n1 xn , xn 1 ; t n 1 , t n PX n1 xn 1 ; t n 1
k
e
(k 1)!
k 1
k 1
= e e (ta tb ) ②. 均方值与方差 令 (ta tb ) ，故均方值为
k k k E[( X (ta ) X (tb )) ] k e k (k 1) e k e k! k! k! k 0 k 0 k 0 k 2 2 2 2 (ta tb )2 (ta tb ) = e k 2 (k 2)!
a b
先来讨论服从泊松分布的随机变量[ X (ta ) X (tb )] 及 [ X (tc ) X (td )] 的数学期望，方差和相关函数等统计量。
(ta tb ) ，因此，均值为 ①．数学期望 令
E[ X (ta ) X (tb )] k e k! k 0
2 2
而方差为
马尔可夫链和马尔可夫过程
马尔可夫链和马尔可夫过程
马尔可夫链和马尔可夫过程是概率论中的两个重要概念。
马尔可夫链是一个离散随机过程，其状态之间的转移概率只与前一状态有关，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程是一个连续时间的随机过程，其状态之间的转移概率也只与前一状态有关，而与过去的状态无关。
在实际应用中，马尔可夫链和马尔可夫过程被广泛用于建模和预测各种现象，如金融市场变化、气象预测、生态系统演化等。
其中，马尔可夫链还常用于解决机器学习中的一些问题，如概率图模型、隐马尔可夫模型等。
马尔可夫链和马尔可夫过程在数学理论和实际应用中都具有广
泛的研究价值。
但同时也需要注意，在使用中需要严格考虑模型的假设和限制，并进行合理的模型选择和参数估计，以获得更准确和可靠的模拟和预测结果。
- 1 -。
马尔可夫过程 状态序列
马尔可夫过程状态序列1.引言1.1 概述马尔可夫过程是一种重要的数学模型，用来描述随机变量的演化过程。
它是以俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫的名字命名的，用来描述一系列连续的随机事件或状态之间的转移。
马尔可夫过程具有无记忆性，即当前的状态只与前一个状态有关，与更早的状态无关。
马尔可夫过程的定义包括状态空间和状态转移概率。
状态空间是指系统可能处于的所有状态的集合，每个状态都有一个与之对应的概率。
状态转移概率描述了状态之间的转移规律，它表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔可夫过程的应用非常广泛。
在物理学中，马尔可夫过程可以用来描述粒子的运动；在生物学中，可以用来研究基因的变异；在经济学中，可以用来分析股票价格的波动等。
马尔可夫过程的状态序列生成是指根据给定的初始状态和状态转移概率，通过不断进行状态转移，生成一系列状态的过程。
本文将对马尔可夫过程的定义和特点进行详细介绍，探讨马尔可夫过程的状态序列生成方法，并讨论马尔可夫过程在不同领域中的应用和意义。
通过对马尔可夫过程的研究，我们可以更好地理解和预测随机事件的变化规律，为实际问题的解决提供有效的数学工具和方法。
1.2文章结构1.2 文章结构本篇文章旨在探讨马尔可夫过程中的状态序列生成和其重要性。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分介绍了马尔可夫过程的概念和特点，同时给出了本文的目的。
在概述中，我们将简要介绍马尔可夫过程的基本概念和背景知识，以帮助读者更好地理解后续内容。
在文章结构中，我们将明确介绍本文的组织结构，为读者提供一个整体的框架。
正文部分将详细讨论马尔可夫过程的定义和特点，以及如何生成状态序列。
在2.1节中，我们将阐述马尔可夫过程的定义，包括状态空间和状态转移概率。
同时，我们将介绍马尔可夫链的特点，例如无后效性和马尔可夫性质。
在2.2节中，我们将深入研究如何根据已知的马尔可夫链模型生成状态序列。
我们将介绍马尔可夫链的迭代算法、马尔可夫链的平稳分布以及马尔可夫链的随机游走等相关概念和方法。
随机过程-7马尔科夫链的概念和转移概率1
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 马尔可夫链的性质 P{X0=i0, X1=i1, , Xn=in}
=P{Xn=in|X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1} P{X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1}
= P{Xn=in|Xn-1=in-1} P{Xn-1=in-1 |X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2} P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
用泛函中二元函数的范数进行研究）
4.1 马尔可夫链与转移概率
随机过程{Xn，nT }， 参数T={0, 1, 2, },状态空间I={i0, i1, i2, }
定义 若随机过程{Xn，nT }，对任意nT和 i0,i1,,in+1 I，条件概率 P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,,Xn=in} = P{Xn+1=in+1|Xn=in}， 则称{Xn，nT }为马尔可夫链，简称马氏链。
• 可以用状态转移图和转移概率矩阵表示 齐次马尔科夫链：
• 例1 某地只有甲、乙、丙三家公司的产品在 该地销售，据统计一个月后，使用甲产品 的用户有10%转向乙，20%转向丙；使用 乙产品的用户有10%转向甲，20%转向丙； 使用丙产品的用户有8%转向甲，4%转向乙。 已知甲、乙、丙现在的市场占有率是 30%,20%,50%,问四个月后的各自市场占有 率是多少？经过足够长的时间，市占率是 否会稳定？稳定到多少？
= P(X0=2)P22 P22 P23 P34 =0.420.32 若 P(X0=2)=P0,则2→2→2→3→4的概率为：P00.420.32
例2(蜘蛛和苍蝇)
转移矩阵：
1
0
0
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马尔可夫过程
马尔科夫过程和马尔可夫过程是同义词，已合并。
一类随机过程。
它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。
该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变( 过去) 。
例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。
在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。
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目录
1名词定义资料个人收集整理，勿做商业用途
2形成过程资料个人收集整理，勿做商业用途
1. 2.1 时间链资料个人收集整理，勿做商业用途
2. 2.2 连续时间资料个人收集整理，勿做商业用途
3. 2.3 生灭过程资料个人收集整理，勿做商业用途
4. 2.4 一般过程资料个人收集整理，勿做商业用途
3扩散过程资料个人收集整理，勿做商业用途
1名词定义
在马尔可夫性的定义中，"现在"是指固定的时刻，但实际问题中常需把马尔可夫性中的“现在”这个时刻概念推广为停时（见随机过程）。
例如考察从圆心出发的平面上的布朗运动，如果要研究首次到达圆周的时刻τ以前的事件和以后的事件的条件独立性，这里τ为停时，并且认为τ是“现在”。
如果把“现在”推广为停时情形的“现在”，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”无关，这种特性就叫强马尔可夫性。
具有这种性质的马尔可夫过程叫强马尔可夫过程。
在相当一段时间内，不少人认为马尔可夫过程必然是强马尔可夫过程。
首次提出对强马尔可夫性需要严格证明的是J.L.杜布。
直到1956年，才有人找到马尔可夫过程不是强马尔可夫过程的例子。
马尔可夫过程理论的进一步发展表明，强马尔可夫过程才是马尔可夫过程真正研究的对象。
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