小学奥数同余问题

同余问题的奥数题在数学中，同余是一个非常有趣且经常应用的概念。

同余问题即涉及到同余的各种问题。

在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，同余问题经常出现且需要解决。

本文将介绍同余问题的几个典型奥数题，并提供详细的解析步骤和思考过程。

一、同余的定义和性质：1. 定义：对于整数a，b和正整数n，如果a与b除以n的余数相等，则称a与b在模n下同余，记作a≡b(mod n)。

- 同余关系是等价关系，满足自反性、对称性和传递性。

- 如果a≡b(mod n)且c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)和ac≡bd(mod n)。

- 对于正整数m、n和a，如果m|n，则a≡b(mod m)蕴含着a≡b(mod n)。

1. 题目：求满足8n+6≡3(mod 7)的最小非负整数n。

解析：根据同余的性质得到8n≡3-6(mod 7)，即8n≡-3(mod 7)。

由于8和7互质，可以用扩展欧几里得算法求得系数使得8a+7b=1，即8×4+7×(-5)=1。

两边乘以-3，得到8×(-12)+7×15=-3。

因此，n≡-12(mod 7)。

最小非负整数n即为-12+7=（-5）+14=9。

2. 题目：若p是一个素数，求证p^2-1能被24整除。

解析：要证明p^2-1能被24整除，可以通过同余问题进行证明。

首先，我们知道24=3×2×2×2，其中，3和2是两个互质的因数。

如果p是一个素数，那么p在模3下只能是0或1或2。

如果p≡0(mod 3)，那么p^2-1≡0^2-1≡-1(mod 3)，不被3整除。

同理，如果p≡1(mod 3)，则p^2-1≡1^2-1≡0(mod 3)，被3整除。

而如果p≡2(mod 3)，则p^2-1≡2^2-1≡3(mod 3)，也被3整除。

因此，对于任意一个素数p，p^2-1都能被3整除。

又因为p是素数，所以p是奇数，即p≡±1(mod 2)。

小学奥数知识点：余数问题
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mo d m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod
3);
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

第二十二讲物不知数与同余农孙子算经〉是南北朝时一邮董要的数 学苕诈，为我国古代 伸经十书》之一• 三人阳行七十稀 五树梅花廿一枝 七子团圆正半月 除百零五便得知除以3余N 除以5余汝除以7定2CP 2书中右一道暑皂的題目、我们称之 为“物不知数冋题“ •这過题的实质圧一个余数问翹, 我国古代的学者很早就研究这个 问题的斛注.我国明朝的数学 家程人位柱抱暑的 农算法统宗》中' 就用了四旬很通倍 的口诀暗承了竝且 的解法.IWWL 你能知道程大位先 生口诀里的盍思叫？故事中的余数问题就是我们今天要研究的 “物不知数” 问题，也称为中国古余数问题． 简 单来说，这类问题就是先知道了除数和余数， 反求被除数的问题． 通常在不同的题目中，余 数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．例题 1．（1）一个数除以 21 余 17，除以 20 也余 17．这个数最小是多少？第二小是多少？ （2）一个数除以 11 余 7，除以 10 余 6．这个数最小是多少？第二小是多少？ 「分析」（1）这个数除以 21和20都余 17，那么减去 17以后得到的差跟 21和 20有什么关 系呢：（2）除以 11和 10 的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？练习 1．4余 3，除以 5也余 3，这个自然数最小是多少？5余 1，除以 7余3，这个自然数最小是多少？例题 2．（1）一个三位数除以 8 余 3，除以 12 也余 3．这个三位数最小是多少？ （2）一个三位数除以 6 余 1，除以 10 余 5．这个三位数最小是多少？「分析」 看起来和例题 1没有太多区别．不过要小心哦， 8和12 的最小公倍数是 8 12 96 吗？练习 2．一个三位数除以 4 余 3，除以 6 也余 3．这个三位数最大是多少？例题 3．（1）一个数除以 7余2，除以 11余 1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士， 人数在 150 人到 200 人之间， 从第一个开始依次按 1，2，3， L ，9 的顺序报数，最后一名战士报的数是 3；如果按 1，2，3，L ，7 的顺序报数，最后一名 战士报的数是 4．请问：一共有多少名战士？「分析」 所求自然数要满足两个余数条件， 直接处理并不容易， 但我们可以先让它满足其中 一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．练习3.一个三位数除以5余2,除以7余3.这个三位数最小是多少?1）一个自然数除以 2）一个自然数除以如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余•例如195除以9余6, 15除以9也余6,我们就说“ 195和15除以9同余”.我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的•而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，195 15 180则是9的倍数；1135与35除以4的时候同余，贝U 1135 35 1100是4的倍数•也就是说：［如果两个数除以第三个数余数相同，则这两个数的差能被第三个数整除•反之亦然.例题4.(1)1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？(2)100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0•这个除数可能是多少？「分析」(1 )由被除数除数商L余数，被除数是1024,余数是23,说明除数和商要满足什么条件？ ( 2)利用同余的定义就可以解决这个问题.练习4.(1 )用150除以一个整数，所得余数是15,请问：这个除数可能是多少？(2) 80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0•这个除数可能是多少?例题5.刘叔叔养了400多只兔子.如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只; 如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只•请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？例题6．把63 个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25 个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？未来的数学家节选自《怎样解题》乔治波利亚未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的. 在适当的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型的题目对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答. 通过考察他的工作过程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷.他可以深思题目的困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他.他可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较以使当前的题目更加清晰. 他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用.和其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习. 他应该注意寻找正确的模范；他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛. 然后，可能最重要的是，他不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式是他天生倾向于模仿的.他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西. 他应该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目. 他应该通过这些方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的好恶、趣味以及自己的思路.陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者. 13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主. 20岁获得普林斯顿大学博士学位. 24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授. 2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖•目前已发表超过230篇学术论文.作业 1. 在小于50的数中,与67 除以11 同余的数有哪些？作业2. 一个自然数除以7余3,除以27余5,这个自然数最小是多少？作业3. 2025除以一个两位数,余数是75,这个两位数是多少？作业4. 1986和2011 这两个数除以同一个两位数,得到相同的余数,这个两位数是多少？作业 5. 韩信点兵：有兵四五百,五五数之余三,七七数之余四,九九数之余五.那么这队兵有多少人？第二十二讲物不知数与同余例题1. 答案：（1）17；437．（2）106；216详解：（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,20] 17 437 ．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4 即可被11 和10 整除，[11,10] 110 ，因此这个数最小为110 4 106 ．第二小的是110 2 4 216 ．例题2. 答案：（1）123．（2）115详解：（1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[8,12] n 3，其中n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令n 为5，即[8,12] 5 3 123 ．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为[6,10] n 5，其中n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令n 为4，即[6,10] 4 5 115 ．例题3. 答案：（1）23；（2）165详解：（1）采用逐步满足条件法•满足第二个条件的数为1, 12 , 23,……发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39,不断加63,直到满足限制条件,最后得到165．例题4. 答案：（1）77、91；（2）16、8详解：（1）1024 23 1001 ,可知除数是1001 的约数．其中大于23的有77和91；（2）100 84 16,可知除数是16的约数,可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0, 只能是16和8．例题5. 答案：467详解：兔子数除以3余2,除以5余2,除以7余5．所有满足前两个条件的数为2 [3,5] n, 其中n为自然数，即2, 17, 32, 47,……其中47同时满足第三个条件•所有满足条件的数为47 [3,5,7] n，其中n为自然数.n取4时满足条件，为467.例题6. 答案：20 详解：从整体的角度出发考虑问题, 水果总数减去没有分出去的水果数, 得到的数应为学生数的倍数.63 90 130 25 258 , 258 的约数有1、2、3、6、43、86、129、258, 其中43满足条件.苹果剩下20个，桔子剩下4个，梨剩下1个，因此剩下个数最多的水果剩下20 个.练习1. 答案：（1）3.（2）31 简答：（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数,所以最小是3；（2）这个自然数加上4 以后是5 和7 的公倍数,所以最小是31.练习2. 答案：999 这是一道余同的问题.满足条件的数可表示为[4,6] n 3,其中n 为自然数.要求满足条件的最大三位数,应令n 为83,即[4,6] 83 3 999.练习3. 答案：122简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为2、7、12、17，17 正好除以7 余3，那么同时满足两个条件的数最小是17．然后依次为52、87、122．最小是三位数是122．练习4. （1）27、45、135；（2）24、12、6、3简答：（1）150 15 135，除数是135 的约数．其中大于15 的有135、45和27；（2）80 5624 ，除数是24 的约数，可能是1、2、3、4、6、8、12 和24．但要满足余数不为0，除数只能是3、6、12 和24．作业1. 答案：1，12，23，34，45 简答：除以11 的余数都是1．作业2. 答案：59简答：除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的第一个数是59.作业3. 答案：78 简答：这个两位数是2025 75 1950的约数，其中比75 大的只有78.作业4. 答案：25 简答：这个两位数是2011 1986 25 的约数，只能是25.作业5. 答案：473简答：先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3 的数.。

小学奥数知识点：余数问题余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：①自身性：a≡a(mod m);②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mo d m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod3);②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

小学奥数经典题1．两辆汽车从A，B两地同时出发相向而行，客车行完全程要8小时，货车行完全程要10小时，两车相遇后又各自往前驶去，已知出发5小时后两车相距50千米，问A，B两地相距多少千米？2．有一个箱子里放着一些黄色乒乓球，为了估计球的数量，我们把20个白色乒乓球放入箱子中，充分搅拌混合后，任意摸出30个球，发现其中有3个白球．你估计箱子里原来大约有多少个黄色乒乓球？3．工程队挖一条水渠，第一天挖了全长的多28米，第二天挖了全长的少20米，这时剩下22米没挖完．这条水渠全长多少米？4．如图，一个边长为40厘米的正方形ABCD的场地，蚂蚁和蜗牛同时从A 点出发，蚂蚁以5厘米/分钟的速度沿线路A→B→C→D行走，蜗牛以2厘米/分钟的速度沿线路A→D行走．出发18分钟时，蚂蚁走到E点，蜗牛走到F点，求三角形AEF的面积是多少平方厘米？5．运来一批水果．第一天卖出总数的15%，第二天卖出160千克，剩下的与卖出的重量的比是1：3．这批水果共有多少千克？。