易错点突破和重难点析解
易错点突破
1．运用三角形三边关系性质致误
例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（ ）.
A ．10厘米
B ．14厘米
C ．10厘米或14厘米
D ．无法确定
错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底，所以需讨论：①当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为()66214cm ++=；②当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为()62210cm ++=. 故选C.
分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形.
正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B.
2．应用判定方法致误
例2 如图3，已知AB=DC ，OA=OD ，∠A=∠D. 问∠1=∠2吗？试说明理由.
错解：∠1=∠2. 理由如下：
在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，OA=OD ，∠AOB=∠DOC.
所以△AOB≌△DOC，所以∠1=∠2.
分析：不存在“角角角（AAA ）”和“边边角（SSA ）”的判定方法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.”
正解：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，∠A=∠D，OA=OD.
所以△AOB≌△DOC（SAS ），所以∠1=∠2.
3．不理解“对应”致误
例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？
错解：这两个三角形全等.
分析：对“ASA”全等判定法中“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等. 正解：这两个三角形不一定全等. 如图4所示，在Rt EDC ∆，12∠=∠，CD=AB ，90C C ∠=∠=︒，显然ABC ∆与EDC ∆不全等.
重难点析解
图3 图4
1
2 A E
1．三角形的有关概念
例1（2008年邹城市）能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条（ ）
A ．中线
B ．角平分线
C ．高线
D ．边的垂直平分线
分析：根据三角形中线的特征及其面积公式可知，等底同高的两三角形的面积相等. 解：只有三角形的一条中线才能把三角形的面积分成相等的两部分. 故选A.
评注：三角形的“三线”在解题中有着广泛的应用，因此，要正确认识其定义及特征.
2．三角形的三边之间的关系
例2（2008年十堰市）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）.
A ．1厘米，2 厘米，3厘米
B ．2厘米，3 厘米，6 厘米
C ．4厘米，6 厘米，8厘米
D ．5厘米，6 厘米，12厘米
分析：判断三条线段能否构成三角形，只需检验两条较短的线段之和是否大于最长线段即可，若大于则能构成，否则不能构成.
解：根据“三角形的两边之和大于第三边”.然后观察四个选项，满足两边之和大于第三边的只有4厘米，6 厘米，8厘米. 故选C.
评注：涉及三角形三边关系的问题时，应注意三角形三边关系的应用.
3．三角形的内角和
例3（2008年聊城市）如图5，11002145∠=∠=，，那么∠3的度数是（ ）.
A ．55°
B ．65°
C ．75°
D ．85°
分析：本题可利用平角及邻补角的定义，把1∠和2∠转化为三角形的内角.
解：由图5可知：与∠1相邻的补角为80︒，与∠2相邻的补角为35︒，由三角形的内角和为180︒，可得∠3=180803565︒-︒-︒=︒. 故选B.
评注：涉及三角形有关的角度计算问题，一般要考虑到三角形内角和的应用.
4．全等三角形的性质
例4 如图6，已知AB AD =，AC AE =，12∠=∠.
试说明BC DE =.
分析：要说明BC DE =，只要说明ABC ADE △≌△即可. 由已知条件可知，这两个三角形已经具备两边对应相等，因此再找这两边的夹角相等即可.
解：12=∠∠，所以12DAC DAC +=+∠
∠∠∠， 即BAC DAE =∠∠. 又AB AD =，AC AE =，
所以ABC ADE △≌△（SAS ），所以BC DE =.
评注：因为全等三角形的对应边相等，所以要说明分别属于两个三角形的线段相等，常常通过说明这两个三角形全等来解决问题.
5．利用三角形全等解决实际问题
例5 如图7，A ，B ，C ，D 是四个村庄，B ，D ，C 在一条东西走向公路的沿线上，BD=1千米，DC=1千米，村庄AC 、AD 间也有公路相连，且AD⊥BC，AC=3千米，只有村庄AB 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路. 现准备在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2千米，BF=0.7千米. 试求所建造的斜拉桥长有多少千米？
分析：由于村庄AB 之间间隔了一个小湖，无法直接测量，故可利用转化思想，由
△ADB≌△ADC，得AB=AC=3千米，从而计算出EF 的长.
解：在△ADB 和△ADC 中，因为BD=DC ，∠ADB=∠ADC 0
90=，AD=AD.
所以△ADB≌△ADC（SAS ）.所以AB=AC=3千米.
所以()()3 1.20.7 1.1EF AB AE BF =-+=-+=（千米）.
评注：三角形全等是证明线段、角相等的重要依据，教材中全等三角形的例题、习题有很多是与生活息息相关的，其基本思路是通过建立数学模型，把实际问题先转化为数学问题.
