2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.4.2第1课时距离问题课后提升训练含解析人教A版必修一
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第一章空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 距离问题
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若O为坐标原点,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-2),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2,8),𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A.√1652 B.2√14 C.√53 D.√532
解析∵𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =12(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(4,3,6)=(2,32,3),𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),
∴𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-12,-3),
∴|𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+14+9=√532.
答案D
2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外的点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )
A.10 B.3 C.83 D.103
解析由题意可知𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-4).
设点P到平面α的距离为h,则h=|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛||𝑛|=|-2-4-4|√4+4+1=103.
答案D
3.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( )
A.√6𝑎6 B.√3𝑎6 C.√3𝑎4 D.√6𝑎3
解析建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),
M(𝑎,0,𝑎2),B(a,a,0),A1(a,0,a),
∴𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑎,0,𝑎2),𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,0),𝐷𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,a). 设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),
则{𝑛·𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,𝑛·𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{𝑎𝑥+𝑎2𝑧=0,𝑎𝑥+𝑎𝑦=0,
令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).
∴点A1到平面MBD的距离d=|𝐷𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛||𝑛|=|𝑎-2𝑎|√6=√66a.
答案A
4.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为 .
解析如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则P(0,0,1),B(3,0,0),
D(0,4,0),
∴𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-1),
𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4,0),
∴点P到直线BD的距离
d=√|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=√10-(-95)2=135,
∴点P到直线BD的距离为135.
答案135
5.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=√3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为 .
解析如图所示,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,√3),B1(0,1,√3),C1(0,0,√3),
∴𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,-√3),𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-√3),𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0).
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),
则{𝑛·𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,𝑛·𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-𝑥+𝑦-√3𝑧=0,-𝑥-√3𝑧=0.
令z=1得x=-√3,y=0,
∴n=(-√3,0,1).
∴点B1到平面A1BC的距离d=|𝑛·𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑛|=√32.
答案√32
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
解以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),
𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,0).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则{𝑛·𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,𝑛·𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒
{𝑦-𝑧=0,-𝑥-𝑧=0. 令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),
∴点D1到平面A1BD的距离
d=|𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛||𝑛|=1√3=√33.
易证平面A1BD∥平面B1CD1,
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为√33.
7.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解(1)建立以D为坐标原点,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.
则P(0,0,1),A(1,0,0),
C(0,1,0),E(1,12,0),
F(12,1,0),
所以𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,12,0),
𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,-1),𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,0),
设平面PEF的法向量n=(x,y,z),
则{𝑛·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =0,𝑛·𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-12𝑥+12𝑦=0,𝑥+12𝑦-𝑧=0.
令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),
所以点D到平面PEF的距离d=|𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛||𝑛|=|2+1|√4+4+9=3√1717, 因此点D到平面PEF的距离为3√1717.
(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,
所以EF∥AC.
又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF,
所以AC∥平面PEF.
因为𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,0),所以点A到平面PEF的距离d=|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛||𝑛|=1√17=√1717.
所以直线AC到平面PEF的距离为√1717.
能力提升练
1.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为( )
A.√1010 B.2√1111
C.35 D.1
解析以C为坐标原点,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为x轴,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为y轴,𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),∴𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-4,2).
设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),
则{𝑚·𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =0,𝑚·𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2𝑥+2𝑦=0,-2𝑥-4𝑦+2𝑧=0.
令x=1,则y=1,z=3,则m=(1,1,3),
∴点B到平面EFG的距离d=|𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑚||𝑚|=2√1111.
答案B
2.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=13DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则A1D1到平面EFGH的距离为 .
解析以点D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则E(1,1,12),F(0,1,12),G(0,0,13),D1(0,0,1),A1(1,0,1),
∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,0),𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,-16),𝐷1𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),∴𝐷1𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ .
又∵EF⊂平面EFGH,D1A1⊄平面EFGH,
∴D1A1∥平面EFGH.
∴A1D1到平面EFGH的距离,
即为点D1到平面EFGH的距离.
设平面EFGH的一个法向量为n=(x,y,z),
则{𝑛·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =0,𝑛·𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-𝑥=0,𝑦+16𝑧=0,
令z=6,则y=-1,
∴n=(0,-1,6),
n的单位向量n0=(0,-1√37,6√37).
又∵𝐷1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-12),
∴点D1到平面EFGH的距离d=|𝐷1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n0|=|(0,1,-12)·(0,-1√37,6√37)|=4√3737,
∴A1D1到平面EFGH的距离为4√3737.
答案4√3737
3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为 .
解析如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,
则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).
∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,4),𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,4),
∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,
则{𝑛·𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑥+2𝑦=0,𝑛·𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2𝑥+4𝑧=0,
解得{𝑥=2𝑧,𝑦=-2𝑧.
取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.
∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),
∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=|𝑛·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑛|=83.
答案83
4.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面BED的距离,并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系.
解以A为原点,AB所在直线为x轴,△ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
