流形学习(浙大)

拓扑学是数学中的一个分支，研究空间形态上的性质。

其中，流形是拓扑学中的一个关键概念。

流形是指在局部上与欧几里德空间同胚的空间。

而在拓扑学中，紧致性是一个非常重要的性质。

本文将介绍紧致流形以及流形同胚的相关概念和性质。

首先，我们来了解什么是紧致性。

在拓扑学中，紧致性是指一个空间在拓扑结构下没有无限序列的收敛子列逃逸到无穷远的性质。

简单来说，紧致性可以理解为一个空间有限而有界。

一个空间如果同时满足Hausdorff分离公理和紧致性公理，则称为紧致空间。

接下来，我们来讨论什么是流形。

流形是一个局部上与欧几里德空间同胚的空间，即对于流形上的每一点，都存在一个邻域与欧几里德空间中的开集同胚。

流形可以是有限维或无限维的。

有限维流形是我们日常生活中更容易理解的，比如曲线、曲面等。

而无限维流形则涉及到更高级的数学对象。

那么，紧致流形就是同时具备紧致性和流形性质的空间。

紧致流形在数学研究中扮演着十分重要的角色。

紧致性保证了有限性和有界性，使得我们能够更好地进行研究和分析。

同时，流形性质保证了空间的局部性质与欧几里德空间的同胚性，使得我们可以借助欧几里德空间中的工具和技术来研究流形。

除了紧致性和流形性质外，我们还可以讨论流形之间的同胚。

同胚是指两个空间之间存在一个一一对应的映射，并且这个映射以及它的逆映射都是连续的。

流形同胚的概念可以理解为两个流形之间存在一种相似性，即它们的结构和性质是等价的。

研究流形同胚的一个重要问题是如何判断两个流形是否同胚。

在低维流形中，常用的方法是通过刻画流形的拓扑不变量来进行判断。

比如，欧几里德空间中的拓扑不变量是欧拉数，对于一维流形即曲线，欧拉数是0；对于二维流形即曲面，欧拉数是2-2g，其中g是曲面上的洞的个数。

通过计算拓扑不变量，我们可以判断流形之间是否同胚。

然而，在高维流形中，判断同胚关系就更加困难了。

在拓扑学中，尚未找到适用于所有高维流形的拓扑不变量。

因此，从数学角度上讲，给出两个高维流形是否同胚的判断依据仍然是一个开放的问题。

拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间的性质与结构。

在拓扑学中，流形是一种特殊的空间，具有局部类似于欧几里得空间的性质。

而微分流形则是在流形的基础上引入了微分结构，使得我们可以定义切空间与切向量场，并且可以进行微分运算。

流形在物理学和工程学中有广泛的应用。

在物理学中，流形是描述自然界中的空间与时间的基本框架。

例如，广义相对论将时空视为一个微分流形，并将引力解释为该流形的几何性质。

通过研究微分流形的曲率和度量，我们可以揭示时空的性质，从而深入了解引力的本质。

在工程学中，流形和微分流形被用于处理高维数据。

例如，人脸识别是计算机科学中的一个重要问题，而对脸部图像的处理就可以看作是对一个高维流形上的数据进行分析。

通过在流形上定义适当的距离度量和映射函数，我们可以将高维空间上的问题转化为低维空间上的问题，从而更加高效地进行计算。

除了在自然科学和工程学中的应用，流形和微分流形还在计算机图形学和计算机视觉中发挥着重要的作用。

在计算机图形学中，流形可以用来描述三维物体的形状和运动。

例如，利用曲面流形可以对复杂的三维物体进行建模和渲染。

在计算机视觉中，流形可以用来解决图像处理和图像分割的问题。

通过在图像上定义适当的距离度量和映射函数，我们可以提取图像的特征，并进行图像的分析和处理。

总之，拓扑学中的流形和微分流形在自然科学和工程学中有着广泛的应用。

通过研究流形和微分流形的性质和结构，我们可以更加深入地理解自然界的规律，并且能够更加高效地处理高维数据和图像。

流形和微分流形的应用不仅丰富了拓扑学的理论体系，也为科学研究和工程实践提供了有力的工具和方法。

流形学习算法综述
王自强;钱旭;孔敏
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2008(44)35
【摘要】流形学习算法作为一种新的维数降维方法工具,其目标是发现嵌入在高维数据空间中的低维流形结构,并给出一个有效的低维表示.目前,流形学习已成为模式识别、机器学习和数据挖掘领域的研究热点问题.介绍了流形学习的基本思想、一些最新研究成果及其算法分析,并提出和分析了有待进一步研究的问题.
【总页数】5页(P9-12,24)
【作者】王自强;钱旭;孔敏
【作者单位】中国矿业大学(北京)机电与信息工程学院,北京,100083;中国矿业大学(北京)机电与信息工程学院,北京,100083;山东省曲阜市职业中等专业学校,山东,曲阜,273100
【正文语种】中文
【中图分类】TP181
【相关文献】
1.增量与演化流形学习综述 [J], 谈超;关佶红;周水庚
2.流形学习算法介绍与相关问题综述 [J], 陈超
3.流形学习算法介绍与相关问题综述 [J], 陈超
4.人工智能技术的热带气旋预报综述(之二)——流形学习、智能计算及深度学习的
热带气旋预报方法 [J], 金龙;黄颖;姚才;黄小燕;赵华生
5.流形学习降维算法中一种新动态邻域选择方法 [J], 徐胜超
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第36卷　第5期2009年5月计算机科学Comp uter Science Vol.36No.5May 2009到稿日期:2008206213 本文受国家自然科学基金重点项目(69835001),教育部科技重点项目([2000]175),北京市自然科学基金项目(4022008)资助。

周　谆(1980-),男,博士研究生,CCF 学生会员,研究方向为知识发现,E 2mail :zhouzhun.qd @ ;杨炳儒(1943-),男,教授,博士生导师,研究方向为知识发现、柔性建模。

基于认知的流形学习方法概要周　谆　杨炳儒(北京科技大学信息工程学院　北京100083)摘　要　流形学习是一种新出现的机器学习方法,近年来引起越来越多的计算机科学工作者和认知科学工作者的重视。

为了加深对流形学习的认识和理解,从流形与流形学习的基本概念入手,追溯它的发展历程。

针对目前的几种主要的流形算法,分析它们各自的优势和不足,然后引用LL E 的应用示例,说明流形学习较之于传统的线性降维方法如PCA 等,能够有效地发现非线性高维数据的本质维数,可以有效地进行维数约简和数据分析。

最后对流形学习未来的研究方向做出展望,以期进一步拓展流形学习的应用领域。

关键词　维数约简,机器学习,流形学习　Overview of the Manifold Learning AlgorithmZHOU Zhun YAN G Bing 2ru(School of Information Engineering ,University of Science and Technology Beijing ,Beijing 100083,China )Abstract As a new machine learning method ,manifold learning is capturing increasing interests of researchers in the field of computer sciences and cognitive sciences.To understand manifold learning better ,the concept of manifold and manifold learning was presented ,and then its history was traced.Several major different manifold learning algorithms were introduced ,whose advantages and disadvantages were pointed out respectively.Then a typical application of LL E was indicated.The results show that compared with traditional linear dimensionality reduction methods such as PCA ,manifold learning can discover the intrinsic dimensionality better.Finally ,the proposal of manifold learning was dis 2cussed for the application.K eyw ords Dimensionality reduction ,Machine learning ,Manifold learning 1　引论机器学习[2,3]的目的之一就是发现和探索数据背后隐藏的令人感兴趣的知识。

数值流形方法数值流形方法是一种用于数据分析和建模的重要技术。

它基于流形学说，认为高维数据可能存在于一个低维流形上。

通过将高维数据映射到低维流形空间，数值流形方法可以有效地提取数据中的关键信息，帮助我们更好地理解和分析数据。

数值流形方法有多种不同的实现方式，其中最常见的是流形学习和流形重建。

流形学习旨在通过学习数据的流形结构，找到最佳的映射方式，使得数据在低维空间中保持原有的几何结构。

这有助于我们发现数据中的潜在模式和规律。

流形重建则是通过给定一些已知的数据点，推断出整个流形结构。

这对于数据补全和异常检测等任务非常有用。

数值流形方法在各个领域都有广泛的应用。

在图像处理中，它可以用于图像降噪和图像恢复。

通过将图像数据映射到低维流形空间，我们可以去除图像中的噪声，还原图像的细节信息。

在语音识别中，数值流形方法可以用于特征提取和语音分析。

它可以帮助我们从语音信号中提取出有用的信息，用于语音识别和语音合成等任务。

此外，数值流形方法还可以应用于数据可视化和降维。

通过将高维数据映射到二维或三维空间，我们可以更直观地观察数据的分布和结构。

这有助于我们发现数据中的聚类和异常点，从而更好地理解数据。

同时，数值流形方法也可以用于降维，将高维数据转化为低维数据，以减少数据的维度并简化数据分析过程。

总的来说，数值流形方法是一种强大的数据分析和建模技术。

它可以帮助我们发现数据中的隐藏模式和规律，提取有用的信息，并简化数据分析过程。

无论是在科学研究、工程应用还是商业决策中，数值流形方法都发挥着重要的作用。

随着数据科学的快速发展，数值流形方法将继续不断创新和发展，为我们揭示更多数据的奥秘。

第36卷　第4期2009年4月计算机科学Comp uter Science Vol.36No.4Apr.2009到稿日期:2008205205 本文得到国家863计划项目(2007AA01Z165),国家自然科学基金(70471003,60773133),高等学校博士学科点专项科研基金(20050108604),教育部科学技术研究重点项目(206017),山西省重点实验室开放基金(200603023)资助。

高小方　博士研究生,研究方向为机器学习,E 2mail :gxf htp @ 。

流形学习方法中的若干问题分析高小方(山西大学计算智能与中文处理教育部实验室　太原030006)摘　要　流形学习是近年来机器学习与认知科学中的一个新的研究热点,其本质在于根据有限的离散样本学习和发现嵌入在高维空间中的低维光滑流形,从而揭示隐藏在高维数据中的内在低维结构,以实现非线性降维或者可视化。

介绍了几种主要的流形学习算法,分析了它们的优势与不足,总结了流形学习方法中需要解决的若干问题及其研究现状,并展望了流形学习未来的研究前景。

关键词　流形学习,维数约简,等距映射算法,局部线性嵌入算法　Problems and Analysis in Manifold LearningGAO Xiao 2fang(Key Laboratory of Computational Intelligence and Chinese Information Processing of Ministry of Education ,Shanxi University ,Taiyuan 030006,China )Abstract Manifold learning is a newer research direction of machine learning and congnitive science in recent years ,its essence is to find out the low dimensional manifold hidden in high dimensional space though learning discrete samples ,and get the hidden dimensional structure of the high dimensional data to realize non 2linear dimension reduction.The pa 2per introduced some manifold learning algorithms ,summarized some problems of manifold learning and its research sta 2tus ,and discussed the prospect of manifold learning.K eyw ords Manifold learning ,Dimensionality reduction ,ISOMA P ,LL E 随着信息时代的到来,对高维数据的处理成为迫切需要解决的问题。

ustc微分流形
微分流形是数学中的一个概念，它是一种拓扑空间，同时也是一个光滑流形。

微分流形在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在中国科学技术大学（USTC）的课程中，微分流形是一门重要的课程。

根据过去的课程安排，这门课程的内容大致包括：流形基础概念（如流形定义、单位分解定理、光滑映射、浸入和淹没、向量场、积分曲线），李群，张量代数，外微分形式，流形上的积分，李群初步，向量丛与主丛等。

这门课程的难度较大，作业量也很多，但对学生的影响是非常深的，可以打开学生对几何认知的大门。

许老师的讲课特点是单刀直入，开门见山，用他自己的话说就是“用最简单的方式进入微分流形”。

因此，对于对数学和物理学有兴趣的学生来说，这门课程是非常值得学习的。

正则化流形分类正则化流形分类是指在高维的特征空间中，通过依靠一组普遍规律的假设，可以将各类样本分散到流形空间中的一种分类方法。

流形是指高维空间中的那些在低维空间中可用简单形状表示的点集。

算法此基于流形假设，即每一类样本分布于某个流形上。

然后通过距离计算，根据样本在流形上的分布情况进行分类，减小样本之间的差异（调整距离），最终提高分类准确性。

正则化流形分类于2003年由Belkin和Niyogi首次提出。

在实践中，设计合适的流形映射和实现算法是相当具有挑战性的。

目前有许多研究者正在探索这个领域并提供了诸多优化和改进方法。

正则化流形分类主要分为两个步骤：预处理和分类。

预处理的过程即为特征提取，其目的是将样本映射到流形空间内，常常使用领域转换法和局部线性嵌入法，并且选择合适的距离度量。

而分类过程则用于在流形空间中计算样本之间的相似度，从而进行分类。

下面详细介绍这两步骤。

1.预处理预处理是正则化流形分类的关键步骤，它的目的是将样本映射到流形空间内。

基本上，预处理过程中会使用一些方法来寻找样本在流形上的坐标位置。

目前，流行的方法有以下两种：领域转换法：通过从样本中选择一些最近邻数据点，将样本映射到一个低维空间中，使得其邻域结构无损。

局部线性嵌入法：该方法是一种经典的流形学习方法。

其基本思想是保留样本间近似的线性关系。

2.分类分类是正则化流形分类的最终目的，分类过程分为两个部分：计算流形上样本之间的相似度和选择最佳分类器。

简单来说，由于预处理过程中得到的样本不再是高维空间，所以在流形空间中计算相似度的方法需要运用欧氏距离，Mahalanobis距离等距离计算方法。

通常通过学习一个分类器来决定哪一个样本属于哪一个类别。

传统的分类器包括SVM、k-近邻和朴素贝叶斯等，但是对于流形空间中的分类问题，这些分类器在实践中存在一些问题，例如泛化能力不足、统计学习假设不成立等。

与传统分类器不同，研究人员提出了基于流形的分类算法，例如LKLF和RMKL。

拓扑学简介（四）流形1854年，28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。

那个职位是所谓无薪讲师，他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。

即使是争取如此一个职位，也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。

1853年他提交了就职论文，其中讨论了什么样的函数能够展开成三角级数的问题，并导致对定积分的第一个严格数学定义。

之后的就职演讲要求候选人预备三个演讲课题，委员会从中选择一个作为正式演讲题目。

黎曼选了两个思虑多时的课题，外加一个还未及考虑的课题——关于几何学的差不多假设。

他几乎确信委员会将选择前面两个题目之一。

然而，委员会的高斯偏偏就看中了第三个题目。

当时黎曼正沉醉于电、磁、光、引力之间的相互关系问题，从如此的深沉摸索中抽身转而研究新的问题无疑是一种庞大的压力，再加上长期的贫穷，一度让黎曼崩溃。

但不久他就重新振作起来，用7个星期时刻预备了关于几何学差不多假设的演讲。

为了让数学系以外的委员会成员明白得他的演讲，黎曼只用了一个公式，同时忽略了所有运算细节。

尽管如此，估量在场鲜有人能明白得这次演讲的内容。

只有高斯为黎曼演讲中包蕴的深邃思想兴奋不已。

黎曼在演讲中提出了“弯曲空间”的概念，并给出如何样研究这些空间的建议。

“弯曲空间”正是后世拓扑学研究的要紧对象。

在这些对象上，除了能够运用代数拓扑的工具，还能够运用微积分工具，这就形成了“微分拓扑学”。

回到黎曼的演讲。

黎曼认为，几何学的对象缺乏先验的定义，欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系，而我们却不明白这些关系如何来的，甚至不明白什么缘故几何对象之间会存在关系。

黎曼认为，几何对象应该是一些多度延展的量，表达出各种可能的度量性质。

而我们生活的空间只是一个专门的三度延展的量，因此欧几里德的公理只能从体会导出，而不是几何对象差不多定义的推论。

欧氏几何的公理和定理全然就只是假设而已。

然而，我们能够考察这些定理成立的可能性，然后再试图把它们推广到我们日常观看的范畴之外的几何，比如大到不可测的几何，以及小到不可测的几何。

⼗、Sklearn流形学习参考url:流形学习是⼀种⽆监督评估器，它试图将⼀个低维度流形嵌⼊到⼀个⾼维度空间来描述数据集。

1、流形学习：‘HELLO’2、多维标度法（MDS） 通过观察这个数据集，可以看到数据集中选中的x值和y值并不是对数据的最基本描述：即使放⼤、缩⼩或旋转数据，‘HELLO’仍然会很明显。

这说明x和y的值并不是数据间关系的必要基础特征。

这个例⼦中真正的基础特征是每个点与数据集中其他点的距离，表⽰这种关系的常⽤⽅法是关系（距离）矩阵：对于N个点，构建⼀个NxN的矩阵，元素（i,j）是点i和点j之间的距离。

多维标度法，可以将⼀个数据集的距离矩阵还原成⼀个D维坐标来表⽰数据集。

3、将MDS⽤于流形学习 既然距离矩阵可以从数据的任意维度进⾏计算，那么多维度标度法绝对⾮常实⽤。

以上就是使⽤流⾏学习评估器希望达成的基本⽬标：给定⼀个⾼维嵌⼊数据，寻找数据的⼀个低维表⽰，并保留数据间的特定关系。

在MDS的⽰例中，保留的数据是每队数据点之间的距离。

4、⾮线性嵌⼊：当MDS失败时 当嵌⼊为⾮线性时，即超越简单的操作集合时，MDS算法就会失效。

虽然数据点间基本的关系仍然存在，但是这次数据以⾮线性的⽅式进⾏了变换：它被包囊成了'S'形 如果尝试⽤⼀个简单的MDS算法来处理这个数据，就⽆法展⽰数据⾮线性嵌⼊的特征，进⽽导致我们丢失了这个嵌⼊式流形的内部基本关系特性 将MDS算法应⽤于⾮线性数据时⽆法还原其内部结构 即使是最优的⼆维线性嵌⼊也不能破解S曲线的谜题，⽽且还丢失了原始数据的y轴信息5、⾮线性流形：局部线性嵌⼊ MDS算法构建嵌⼊时，总是期望保留相距很远的数据点之间的距离，但是如果修改算法，让它只保留⽐较接近的点之间的距离呢？ 其中的每⼀条细⼩的线都表⽰在嵌⼊时会保留的距离。

左图是⽤MDS算法⽣成的嵌⼊模型，它会试图保留数据集中每对数据点间的距离，右图使⽤流⾏学习算法局部线性嵌⼊（LLE）⽣成的嵌⼊模型，该⽅法不保留所有的距离，⽽是仅保留邻节点间的距离——本例选择与每个点最近的100个邻节点。

数值流形法
数值流形法是一种基于流形理论的数值计算方法。

流形是指在局部与欧几里得空间相似的空间，在整体上可能具有复杂的拓扑结构。

而数值流形法是用数值计算的方法去还原这种复杂的拓扑结构。

数值流形法主要应用于高维数据的降维和分类问题。

在高维数据中，往往存在一些关键特征，这些特征在低维空间中更加明显。

因此，通过数值流形法可以将高维数据映射到低维空间中，从而更好地理解和分析数据。

数值流形法的核心是基于局部的方法。

在局部空间中，数据往往可以近似为线性空间或者欧几里得空间。

因此，通过局部的线性变换或者非线性变换，可以将局部空间中的数据映射到低维空间中。

数值流形法的主要优点是可以在不知道数据的分布情况的情况下进行降维和分类。

因此，它可以应用于各种不同类型的数据，包括图像、文本、音频等。

同时，数值流形法也可以应用于数据压缩和特征提取等领域。

数值流形法的发展历程可以追溯到20世纪80年代。

最初的流形学习方法是基于线性变换的。

随着研究的深入，非线性流形学习方法逐渐被提出，并且取得了很大的成功。

目前，数值流形法已经成为机器学习和数据分析领域中的重要方法之一。

数值流形法是一种基于流形理论的数值计算方法，主要应用于高维数据的降维和分类问题。

它具有很多优点，包括不需要知道数据的分布情况、可以应用于各种不同类型的数据等。

数值流形法的发展历程可以追溯到20世纪80年代，目前已经成为机器学习和数据分析领域中的重要方法之一。

流形与几何初步流形和几何是几何学的两个重要分支，它们在研究物体的形状和大小方面有着重要的影响力。

本文将介绍流形和几何的基本概念。

流形是一种几何概念，它被称为“多维空间中的结构”。

流形是一个有着一定几何关系的物体，它可以用来表示空间中的实体或抽像概念。

它由一组点和线构成。

另外，流形也可以描述不同空间中的物体之间的直接关系，如坐标轴之间的关系、参考系与世界空间之间的关系等。

几何学是用几何学方法研究空间结构的一种数学分支。

它的研究内容包括四边形、正多边形、圆形等平面或曲面的形状、大小、空间位置等等。

它还可以用来计算某一物体在实际空间中的位置、大小及其他关键参数。

流形和几何学在很多领域都有着重要的应用。

在数学中，流形和几何是研究实体物体的形状和大小的基础。

几何学的概念和理论也可以用来解决复杂的物理问题。

在绘图设计中，几何学也可以用来研究量化和精确表示物体的形状和大小。

此外，在工程学、统计学中，流形和几何还可以用来构建和分析建模系统，计算出物体的重量和体积等等。

在更深入地研究流形和几何学之前，我们需要先了解几种关键概念。

起始于平面几何，包括平面空间、几何图像、坐标轴等概念，均可为之后学习流形和几何提供良好的基础。

其次，可以研究多维流形、曲面几何和其他高维空间的几何概念。

这些概念可以应用于构建几何模型、分析物体的形状和大小等多种情况。

最后，可以研究几何学在物理学等科学方面的应用，如分析学习量子力学、重力等现象，以及利用几何概念研究复杂系统的可能性。

以上就是关于流形和几何学的初步介绍，它们对于电子表格、电子绘图、游戏开发等科学技术领域有着重要作用。

未来，流形和几何学在许多领域都会发挥更大的作用，我们期待它赋予我们更多的可能性。

流形上的微积分 pdf流形上的微积分是数学中的一个重要分支，它研究了在流形上定义的函数的微积分学。

流形是一种具有局部欧几里得结构的拓扑空间，它在物理、几何学和拓扑学等领域中有广泛的应用。

流形上的微积分为我们理解和解决许多实际问题提供了有力的工具。

首先，让我们来了解一下什么是流形。

简单来说，流形是一个具有光滑结构的空间，局部上看起来像欧几里得空间。

比如，地球表面就是一个二维流形，由许多局部上看起来像平坦的区域组成。

在这种情况下，我们可以使用经度和纬度来描述地球上的点，这样就可以建立起地球表面上的坐标系。

流形上的微积分的核心概念是导数和积分。

在欧几里得空间中，我们可以通过求导来得到一个函数在某一点的斜率，进而推导出函数的变化情况。

在流形上，我们同样可以定义导数，但是由于流形的局部结构可以与欧几里得空间不同，导数的定义需要经过一些修正。

与导数类似，积分也是流形上微积分的重要组成部分。

在欧几里得空间中，我们可以求取一个函数在某一区间上的面积或体积。

在流形上，我们同样可以定义积分，但是由于流形的局部结构可能不同，积分的计算需要经过一些修正。

在学习流形上的微积分时，我们要重点掌握两个概念：切空间和切映射。

切空间描述了流形上某一点的切平面，它是由流形的切向量组成的线性空间。

切映射将切空间映射到欧几里得空间中，使得我们可以在流形上进行微积分的计算。

除了切空间和切映射，流形上的微积分还涉及到曲率和测度等概念。

曲率描述了流形的弯曲程度，它在物理学中有广泛的应用，比如描述时空的弯曲。

测度则是用来度量流形上的长度、面积或体积的工具，它在几何学中有重要的应用。

总体而言，流形上的微积分是一门充满挑战的学科，它融合了几何学、拓扑学和分析学的知识，为我们理解和解决实际问题提供了有力的工具。

通过理解和运用流形上的微积分，我们可以更好地研究和理解自然界的规律，推动科学的发展。

希望这篇文章对你理解流形上的微积分有所帮助！。