2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1阶段质量检测(一) B卷 Word版含解析

阶段质量检测(二) A 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在⊙O 中，∠AOB ＝84°，则弦AB 所对的圆周角是( )A ．42°B ．138°C ．84°D ．42°或138°答案：D2.如图，在⊙O 中，弦AB 长等于半径，E 为BA 延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．45°D ．30° 解析：选B ∠BCD ＝∠DAE ＝80°，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12AC ， ∴∠ACB ＝30°.∴∠ACD ＝80°－30°＝50°.3．如图所示，在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB .则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：选C 作OC ⊥AB 于C ，则BC ＝3，在Rt △BOC 中，cos ∠B ＝BO OB ＝32. ∴∠B ＝30°.∴∠BOC ＝60°.∴∠AOB ＝120°.4.如图，已知⊙O 的半径为5，两弦AB ，CD 相交于AB 的中点E ，且AB＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( ) A.2143B.289C.273 D.809 解析：选A 过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，则DH ＝12CD . 由相交弦定理知，AE ·BE ＝CE ·DE .设CE ＝4x ，则DE ＝9x ，∴4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23， ∴OH ＝OD 2－DH 2＝ 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1332＝2143. 5.如图，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，且PB ＝BC ，PA ＝32，那么BC 的长为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．3 3 解析：选C 根据切割线定理PA 2＝PB ·PC ，所以(32)2＝2PB 2.所以PB ＝3＝BC .6．两个同心圆的半径分别为3 cm 和6 cm ，作大圆的弦MN ＝6 3 cm ，则MN 与小圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解析：选A 作OA ⊥MN 于A .连接OM .则MA ＝12MN ＝3 3. 在Rt △OMA 中，OA ＝OM 2－AM 2＝3 cm.∴MN 与小圆相切．7.如图，⊙O 的两条弦AD 和CB 相交于点E ，AC 和BD 的延长线相交于点P ，连接AB ，CD ，下面结论：①PA ·PC ＝PD ·PB ；②PC ·CA ＝PB ·BD ；③CE ·CD ＝BE ·BA ；④PA ·CD ＝PD ·AB .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 根据割线定理及相交弦定理知只有①式正确．8．已知⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，若PA ＝8 cm ，PB ＝18 cm ，则CD 的长的最小值为( )A ．25 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．12 cm解析：选B 设CD ＝a cm ，CD 被P 分成的两段中一段长x cm ，另一段长为(a －x ) cm. 则x (a －x )＝8×18，即8×18≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a －x 22＝14a 2. 所以a 2≥576＝242，即a ≥24.当且仅当x ＝a －x ，即x ＝12a ＝12时等号成立． 所以CD 的长的最小值为24 cm.9．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC ，BC ，AB ＝10，tan∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( ) A.252π B.252π－24 C ．24D.252π＋24 解析：选B ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵tan ∠BAC ＝34， ∴sin ∠BAC ＝35. 又∵sin ∠BAC ＝BC AB，AB ＝10， ∴BC ＝35×10＝6. AC ＝43×BC ＝43×6＝8，∴S 阴影＝S 半圆－S △ABC ＝12×π×52－12×8×6＝252π－24. 10．(天津高考)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·FA ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④ 解析：选D 由弦切角定理可得∠DBF ＝∠DAB ，又∠CBD ＝∠CAD ＝∠DAB ，所以∠DBF ＝∠CBD ，即BD 是∠CBF 的平分线，所以①正确；由切割线定理可得②正确；由相交弦定理可得AE CE ＝BE DE ，所以③错误；因为△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BD BF，即AF ·BD ＝AB ·BF ，所以④正确．故正确结论的序号是①②④.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11.如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝45°，则∠AEC ＝________.解析：如图，连接BC.根据圆周角定理的推论1，可知∠ACB＝90°.∵∠ACD＝60°，∴∠DCB＝30°，»BD的度数＝60°.∵∠ADC＝45°，∴¼AC的度数＝90°.∴∠AEC＝∠DCB＋∠CBE＝12(»BD＋¼AC)的度数＝75°.答案：75°12．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB ＝ED2＝5.答案：513．如图，PA与⊙O相切于点A，过点P的割线与弦AC交于点B，与⊙O交于D，E两点，且PA＝PB＝BC，若PD＝4，DE＝21，则AB＝________.解析：由切割线定理知PA2＝PD·PE＝4×25＝100，∴PA＝10，∴BD＝PB－PD＝PA－PD＝10－4＝6，BE＝DE－BD＝21－6＝15，又AB·BC＝BE·BD，BC＝PA＝10，∴AB＝BE·BDBC＝15×610＝9.答案：914．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，圆E过A，B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝5－1，则AC＝________.解析：∵AB ＝AC ，∠C ＝72°，∴∠ABC ＝72°，则∠BAC ＝36°.∵BC 切圆E 于点B ，∴∠CBD ＝∠BAC ＝36°，∴∠ABD ＝∠BAC ＝36°，∴∠BDC ＝∠ABD ＋∠BAC ＝36°＋36°＝72°，∴∠C ＝∠BDC ，∴AD ＝BD ＝BC ＝5－1，设CD ＝x ，由切割线定理得BC 2＝CD ·AC ，即(5－1)2＝x ·(x ＋5－1)，即x 2＋(5－1)x －(5－1)2＝0，由于x >0，解得x ＝3－5，∴AC ＝CD ＋AD ＝(3－5)＋(5－1)＝2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG .求证：(1)△DEF ∽△EAF ；(2)EF ∥CB .证明：(1)由切割线定理得FG 2＝FA ·FD .又EF ＝FG ，所以EF 2＝FA ·FD ，即EF FA ＝FD EF. 因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△DEF ∽△EAF .(2)由(1)得∠FED ＝∠FAE .因为∠FAE ＝∠DCB ，所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB .16．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB ＝∠D .证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.17．(本小题满分12分)如图，AF是⊙O的直径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，DE⊥OB，垂足为E.求证：(1)D是AB的中点；(2)DE是⊙C的切线；(3)BE·BF＝2AD·ED.证明：(1)连接OD.∵OA为⊙C的直径，∴OD⊥AB.又∵OD过⊙O的圆心，∴D为AB的中点．(2)连接CD.∵C为OA的中点，D为AB的中点，∴CD∥OB.又∵DE⊥OB，∴CD⊥DE，即DE为⊙C的切线．(3)∵AF为⊙O的直径，∴∠ABF＝90°.∵DE⊥OB，∴∠BED＝90°.∴∠ABF＝∠BED.又∵OA＝OB，∴∠BAF＝∠EBD.∴△ABF∽△BED.∴ABBE＝BFED，即BE·BF＝AB·ED.又AB＝2AD，∴BE·BF＝2AD·ED.18．(本小题满分14分)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．解：(1)证明：如图，连接OP，OM.∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP.∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，∴A，P，O，M四点共圆．(2)由(1)得A，P，O，M四点共圆，∴∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°.∴∠OAM＋∠APM＝90°.。

阶段质量检测（一）A 卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x ||2x －1|>3}，则集合A ∩B 等于( ) A ．{x |2≤x ≤3} B ．{x |2≤x <3} C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |－1<x <3}解析：选C A ＝{x |2≤x ≤3}，B ＝{x |x >2或x <－1}．∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3|}．2．(陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2解析：选A 设甲、乙两地的距离为S ，则从甲地到乙地所需时间为Sa ，从乙地到甲地所需时间为Sb ，又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2S S a ＋S b ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ，2ab a ＋b >2ab2b＝a ，即a <v <ab .3．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由|x －a |<b ，得a －b <x <a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a ＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.4．下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a ＜c b (a ＞b ＞c ＞0)；③a ＋m b ＋m ＞a b (a ，b ，m 为正数且a ＜b )．其中恒成立的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 当x ＜0时，①不成立；由a ＞b ＞c ＞0得1a ＜1b ，所以c a ＜c b 成立，所以②恒成立；a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，由a ，b ，m 为正数且a ＜b 知a ＋m b ＋m －a b＞0恒成立，故③恒成立．5．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( ) A ．2 B. 2 C ．4D ．6解析：选A y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2.6．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为⎝⎛⎭⎫－12，12，则t 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：选A |2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.7．已知a ＞b ＞0，给出下列三个不等式：①a 2＞b 2；②2a ＞2b －1；③a 3＋b 3＞2a 2b .其中一定成立的不等式为( )A ．①②B ．①②③C ．①③D ．②③解析：选A 由a ＞b ＞0可得a 2＞b 2，①成立；由a ＞b ＞0可得a ＞b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数，∴f (a )＞f (b －1)，即2a ＞2b －1，②成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，a 3＋b 3＜2a 2b ，③不成立．故选A.8．函数y ＝4x －92－4x ⎝⎛⎭⎫x >12的最小值是( ) A ．8B ．6C ．9D ．4解析：选A y ＝4x －92－4x ＝4x ＋94x －2＝4x －2＋94x －2＋2，∵x >12，∴4x －2>0，∴y ≥29＋2＝8.当且仅当x ＝54时，等号成立．9．(重庆高考)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：选D 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴a ＝4bb －3.由a ＞0，得b ＞3，∴a ＋b ＝b ＋4bb －3＝b ＋4(b －3)＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a ＋b 的最小值为7＋4 3.10．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2D.94解析：选C z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4yx≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4yx， 即x ＝2y 时，等号成立．此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2， ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上) 11．若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A ，B 的大小关系为________． 解析：因为(x ＋3)(x ＋7)－(x ＋4)(x ＋6)＝(x 2＋10x ＋21)－(x 2＋10x ＋24)＝－3<0， 所以(x ＋3)(x ＋7)<(x ＋4)(x ＋6)，即A <B . 答案：A <B12．函数f (x )＝3x ＋12x2(x >0)的最小值为________．解析：f (x )＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥333x 2·3x 2·12x 2＝9，当且仅当3x 2＝12x 2，即x ＝2时，等号成立．答案：913．以下三个命题： (1)若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；(2)若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； (3)若|x |<2，|y |>3，则⎪⎪⎪⎪x y <23. 其中正确的有__________个．解析：(1)∵|a |－|b |≤|a －b |<1，∴|a |<|b |＋1. ∴(1)正确．(2)∵|a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a |＝|b －a |＝|a －b |，∴(2)正确． (3)∵|x |<2，|y |>3，∴⎪⎪⎪⎪x y ＝|x ||y |<23，∴(3)正确． 答案：314．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a ，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：只要|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a 即可．由于||x ＋1|－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5， 故只要－5≥a ＋4a即可．当a ＞0时，不等式－5≥a ＋4a 无解；当a ＜0时，得a 2＋5a ＋4≥0， 则有a ≤－4或－1≤a ＜0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)． 答案：(－∞，－4]∪[－1,0)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)解不等式： |2x －1－x |<2. 解：原不等式⇔⎩⎨⎧2x －1－x <2，2x －1－x >－2.因为2x －1－x <2⇔2x －1<x ＋2⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋2≥0，2x －1<(x ＋2)2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x 2＋2x ＋5>0⇔x ≥12.又2x －1－x >－2⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≥0，2x －1>(x －2)2或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2<0. ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－6x ＋5<0或12≤x <2，⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，1<x <5或12≤x <2⇔2≤x <5或12≤x <2，⇔12≤x <5. 所以，原不等式组等价于⎩⎨⎧x ≥12，12≤x <5⇔12≤x <5.因此，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x <5. 16．(本小题满分12分)已知a >0，b >0，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9.证明：因为a >0，b >0，所以 a ＋b ＋1a ≥33a ·b ·1a ＝33b >0.① 同理可证a 2＋1b ＋1a2≥331b >0.②由①②结合不等式的性质，得⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2≥33b ×331b＝9， 当a ＝b ＝1时，等号成立．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞)，1－x ，x ∈(－∞，1).当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1，得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1，得x ≥0， 故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤43. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4， 得(4x ＋1)(4x －3)≤0，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －14≤x ≤34， 故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14. 18．(本小题满分14分)(辽宁高考)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意． 当a >0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2. (2)法一：记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1， x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k 的取值范围是[1，＋∞)．法二：⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2＝|||2x ＋1|－2|x ＋1| ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x ＋1|≤1， 由⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，可知k ≥1， 所以k 的取值范围是[1，＋∞)．。

学业分层测评(七) 1.2.3 弦切角定理(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图1-2-46所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝( )图1-2-46A.12 B.22 C.32D.55【解析】 由弦切角定理，得 ∠MCA ＝∠ABC .∵sin ∠ABC ＝ACAB ＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55，故选D. 【答案】 D2.如图1-2-47所示，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )图1-2-47A.2B.3C.2 3D.4【解析】 连接BC .∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，由弦切角定理可知， ∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ， ∴AC AD ＝AB AC ，∴AC 2＝AB ·AD ＝6×2＝12， ∴AC ＝23，故选C. 【答案】 C3.如图1-2-48，PC 与⊙O 相切于C 点，割线P AB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )图1-2-48A.20°B.25°C.30°D.40°【解析】 如图，连接OC ，∵PC 切⊙O 于C 点， ∴OC ⊥PC ，∵∠P ＝40°， ∴∠POC ＝50°， 连接BC ，∵OC ＝OB ， ∴∠B ＝12∠POC ＝25°， ∴∠ACP ＝∠B ＝25°. 【答案】 B4.如图1-2-49所示，已知AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝50°，点P 是⊙O 上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )图1-2-49A.65°B.115°C.65°或115°D.130°或50°【解析】 当点P 在优弧BC ︵上时， 由∠A ＝50°，得∠ABC ＝∠ACB ＝65°. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠ABC ＝∠BPC ＝65°.当P 点在劣弧BC ︵上时，∠BPC ＝115°. 故选C. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1-2-50，BC 为⊙O 直径，DE 切⊙O 于A 点，BD ⊥DE 于D ，若∠ABD ＝50°，则劣弧AC ︵所对圆心角的度数为________.图1-2-50【解析】 ∵BD ⊥DE ，∠ABD ＝50°， ∴∠BAD ＝40°.∵AD 为⊙O 的切线，∴∠C ＝40°， 又∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°， ∴∠CBA ＝50°，∴AC ︵所对圆心角的度数为100°. 【答案】 100°6.(广东高考)如图1-2-51，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.图1-2-51【解析】由弦切角定理得∠P AB＝∠ACB，又因为∠BAC＝∠APB，所以△P AB∽△ACB，可得ABBC＝PBAB，将PB＝7，BC＝5代入得AB＝35.【答案】35三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图1-2-52所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT、AT于C、D.图1-2-52求证：△CTD为等腰三角形. 【导学号：61650016】【证明】∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形.8.如图1-2-53，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF.图1-2-53(1)求证：EF∥BC；(2)求证：DF2＝AF·BE.【证明】(1)∵⊙O切BC于D，∴∠CAD＝∠CDF.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠BAD＝∠EFD，∴∠EFD＝∠CDF，∴EF∥BC.(2)如图，连接DE，∵⊙O切BC于D，∴∠BAD＝∠BDE，由(1)可得∠BDE＝∠F AD，又∵⊙O内接四边形AEDF，∴∠BED＝∠DF A，∴△BED∽△DF A，∴DEAF＝BEDF.又∵∠BAD＝∠CAD，∴DE＝DF，∴DF2＝AF·BE.[能力提升]9.如图1-2-54，△ABC内接于圆O，AB＝AC，直线MN切圆O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E.图1-2-54(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6，BC＝4，求AE.【解】(1)证明：由已知得∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠EDC，又∵BD∥MN，∴∠DCN＝∠EDC，∴∠BAE＝∠DCN.又直线MN切圆O于点C，∴∠CAD＝∠DCN.∴∠CAD＝∠BAE.又AB＝AC，∴△ABE≌△ACD.(2)由于△ABE≌△ACD，则BE＝CD，由(1)得∠CAD＝∠BAE，∴BC＝CD.∴BE＝CD＝4.在△ABE和△CDE中，∠BAE＝∠EDC，∠EBA＝∠ECD，∴△ABE∽△DCE.∴BECE＝ABCD.∴BEAC－AE＝ABCD.∴46－AE＝64，解得AE＝103.。

4－1.1 相似三角形的判定和性质一、选择题1．在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，E 是AB 中点，EF ⊥BC 于F ，若HC ＝14BH ，则FCBF＝( )A.52B.23C.12D.322．如图，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝53，若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，则△ABC 的周长为( )A ．20 cm B.254cmC.503cm D ．25 cm3．如图，△ABC ，AB ＝12，AC ＝15，D 为AB 上一点，且AD ＝23AB ，在AC 上取一点E ，使以A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC 相似，则AE 等于( )A ．10或325 B.325C ．10D ．以上答案都不对4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD ∶BD ＝3∶2，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.562C.15D.31025．已知△ABC 中，AE ：EB ＝1：3，BD ：DC ＝2：1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AFFD的值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2 答案：1．D 2.D 3.A 4.B 5.C二、填空题 6．(2015·陕西模拟)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．7．(2015·许昌模拟)已知梯形ABCD 的上底AD ＝8 cm ，下底BC ＝15 cm ，在边AB 、CD 上分别取E 、F ，使AE ∶EB ＝DF ∶FC ＝3∶2，则EF ＝________．8．如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .则AE ·BF ＝______DE ·AF .答案：6．42 7.12.2 cm 8.2三、解答题9．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为腰AB 上一点，AD ＝DC ，且AD 2＝AB ·BD ，求证：∠A ＝36°.证明：过点D 作DE ∥BC ，交AC 于E . ∴∠EDC ＝∠BCD ，BD ＝CE . ∵AD 2＝AB ·BD ，AD ＝DC ，AB ＝AC ， ∴AD AB ＝BD AD ＝CD AC ＝CE CD. 又∠ECD ＝∠DCA ，∴△ECD ∽△DCA ， ∴∠EDC ＝∠A .又AD ＝CD ，∴∠A ＝∠DCE ，∴∠BCD ＝∠ACD ＝∠A ， ∴∠BCA ＝∠BCD ＋∠ACD ＝2∠A . 又AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ＝2∠A .∴∠A ＋∠B ＋∠BCA ＝5∠A ＝180°，∴∠A ＝36°. 10.如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝10 cm ，腰AC 上的高BE ＝12 cm.(1)求证：AB BD ＝53；(2)求△ABC 的周长．解析：(1)证明：在△ADC 和△BEC 中， ∵∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∠C ＝∠C ，∴△ADC ∽△BEC ，∴AC BC ＝AD BE ＝1012＝56.∵AD 是等腰三角形ABC 底边BC 的高线，∴BC ＝2BD .又AB ＝AC ，∴AC BC ＝AB 2BD ＝56，∴AB BD ＝53.(2)设BD ＝x ，则AB ＝53x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°， 根据勾股定理，得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴⎝⎛⎭⎫53x 2＝x 2＋102，解得x ＝7.5.∴BC ＝2x ＝15 cm ，AB ＝AC ＝53x ＝12.5 cm ，∴△ABC 的周长为40 cm.在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (AB >AE )．(1)△AEF 与△ECF 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(2)设ABBC＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BCF 相似？若存在，证明你的结论，并求出k 的值；若不存在，请说明理由．导学号74780126解析：(1)相似．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°.∵EF ⊥EC ，A 、D 、E 共线，∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°. 又∠DEC ＋∠DCE ＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE ，∴△AEF ∽△DCE ，EF EC ＝AFDE .∵AE ＝DE ，∴EF EC ＝AFAE.又∠A ＝∠FEC ＝90°，∴△AEF ∽△ECF . (2)存在．由于∠AEF ＝90°－∠AFE <180°－∠CFE －∠AFE ＝∠BFC ， ∴若△AEF ∽△BCF ，只能是∠AFE ＝∠BFC ， 由(1)△AEF ∽△DCE ∽△ECF ，设AD ＝2x ，AB ＝b ，AF ＝a ，则DE ＝AE ＝x ，BF ＝b －a .∵△AEF ∽△DCE ，∴DC AE ＝DEAF ，∴x 2＝ab .∵△AEF ∽△BFC ，∴AF AE ＝BF BC ，即a x ＝b －a2x.∴b＝3a，∴x2＝ab＝3a2，∴x＝3a.∴ABBC＝CDBC＝CD2DE＝b2x＝3a23a，即k＝32.反之，当k＝32时，∠DCE＝30°，∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，∴∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF，∴△AEF∽△BCF.。