2013高考总复习数学(理)专题01 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( )
A.��� p∨��� q B.p∨��� q C.��� p∧��� q D.p∨q
(2)给出下列两个命题: 命题 p:若在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 M,则|MA|≤1 的概率为4π. 命题 q:若函数 f(x)=x+4������,则 f(x)在区间 1,32 上的最小值为 4. 那么,下列命题为真命题的是 ( )
∴真命题是②③.
课堂考点探究
探究点二 全称命题与特称命题
例 2 (1)[2017·陕西师大附中二模] 若命题 p:对任意的 x∈R,都有 x3-x2+1<0,则��� p 为 ( )
A.不存在 x0∈R,使得������03-������02+1<0 B.存在 x0∈R,使得������03-������02+1<0 C.对任意的 x∈R,都有 x3-x2+1≥0 D.存在 x0∈R,使得������03-������02+1≥0 (2)下列命题中为假命题的是( ) A.∃α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β B.∀φ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 C.∃x0∈R,������03+a������02+bx0+c=0(a,b,c∈R 且为常数) D.∀a>0,函数 f(x)=(ln x)2+ln x-a 有零点
[答案] C [解析] f'(x)=ex-1,由 f'(x)>0 得 x>0,由 f'(x)<0 得 x<0, 故当 x=0 时,函数 f(x)取得极小值,同时也是最小 值,f(0)=e0-0=1-0=1>0,∴∀x∈R,f(x)>0 成立,即 p 是真命题.g(x)=ln x+x+1 在(0,+∞)上为增函数,当 x→0 时,g(x)<0,g(1)=0+1+1=2>0,则∃x0∈ (0,+∞),g(x0)=0 成立,即命题 q 是真命题. p:∃x0 ∈R,f(x0)≤0, q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0.综上,只有选 项 C 正确.

解析
命题的否定是“ x∈R, x4-x3+x2+5>0”.
4.如果命题 " ( p或q)" 为假命题,则
（ C ）
A.p,q均为真命题
B.p,q均为假命题 C.p,q中至少有一个为真命题 D.p,q中至多有一个为真命题 解析 由题意知p或q为真命题，
∴p、q中至少有一个为真命题，故选C.
a 5.（2009·浙江文，8）若函数 f ( x) x (a∈R), x 则下列结论正确的是 （C ）
基础自测
1.下列命题：
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形； ④2x+1 (x∈R)是整数； ⑤对所有的x∈R,x>3; ⑥对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数 其中假命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.5 （B ）
解析
①②③⑥为真命题，④⑤为假命题，故选B.
2.已知： p 且q为真，则下列命题中的假命题是
（ C
①p;②p或q;③p且q;④ q.
）
A.①④ 解析

B.①②③ ∵ p 且q为真，
C.①③④
D.②③④
∴ p 为真且q也为真，
即p为假，q为真.
3.命题“对任意实数x∈R,x4-x3+x2+5≤0”的否定是
( C )
A.不存在x∈R,x4-x3+x2+5≤0 B.存在x∈R,x4-x3+x2+5≤0 C.存在x∈R,x4-x3+x2+5>0 D.对任意x∈R,x4-x3+x2+5>0

p :有些平行四边形的对角线不相等.真命题.

3．[选修2－1·P25例4改编]命题：“∃x0 ∈ ，x02 －ax0＋1<0”的否定
为___________________．
∀x∈R，x2－ax＋1≥0
解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0 ∈ ，x02 －ax0＋1<0”
的否定为“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．
(三)易错易混
＝ 2，所以命题p4是真命题，所以p1∨p3是假命题，¬p2∨p3是假命题，p3∧p4是
假命题，p2∧p4是真命题．
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围 [应用性]
[例4] (1)[2022·湖北襄阳联考]若“∃x∈R，x2－2x－a＝0”是假命
(－∞，－1)
题，则实数a的取值范围为___________．
题．( × )
(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × )
(二)教材改编
2．[选修2－1·P27A组T3 改编]命题“∀x∈R，x2 ＋x≥0”的否定是
(
)
A.∃x0∈R，x02 +x0≤0
B.∃x0∈R， x02 ＋x0<0
C.∀x∈R，x2＋x≤0
D.∀x∈R，x2＋x<0
答案：B
解析：由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
2．全(特)称命题真假的判断方法
全称
命题
特称
命题
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每
一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个
特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到

错因分析：(1)错解一否定了条件． (2)错解二没有否定量词． (3)错解三没有否定判断词． 防范措施：(1)弄清楚是全称命题还是特称命题，尤其是省略了量词 的命题． (2)全(特)称命题的否定既要否定量词，又要否定判断词，但不能否 定条件，全(特)称命题的否定还属于命题的否定范畴． 【正解】 “对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是“存 在k>0，使方程x2＋x－k＝0无实根”，故选C. 【答案】 C
【解】 全称命题的否定为特称命题． p：存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3.是真命题．
显然当x＝2时，|x－2|＋|x－4|＝2≤3成立．
(2012·云浮质检)已知 a＞0，命题 p：∀x＞0，x＋ax≥2 恒成立；命题 q： ∀k∈R，直线 kx－y＋2＝0 与椭圆 x2＋ay22＝1 有公共点．是否存在正数 a，使得 p ∧q 为真命题，若存在，请求出 a 的范围，若不存在，请说明理由．
1．(2011·安徽高考)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 ()
A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数 【解析】 把全称量词改为存在量词，并把结果否定． 【答案】 D
2．(2012·茂名模拟)已知定义在R上的函数f(x)，写出命题“若对任 意实数x都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数”的否定：________.
写出下列命题的“否定”，并判断其真假． (1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； (4)s：至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.
【思路点拨】
【尝试解答】 (1) p：∃x∈R，x2－x＋14<0，假命题，这是因 为∀x∈R，x2－x＋14＝(x－12)2≥0 恒成立．