矩阵的迹及其应用

摘 要

矩阵的迹在高等代数的教学过程中只是提及概念，并未做深入的探讨。然而，矩阵的迹是矩阵的一个重要的数量特征，在理论和实践中都有相关的应用。本文先简单介绍矩阵的迹的基本性质；然后，分析反对称矩阵、正定矩阵等几类特殊矩阵的迹及其性质；最后，论述矩阵的迹在解有关特征值问题，证明有关否定命题和不等式中的应用。

关键词：矩阵的迹；反对称矩阵；正定矩阵；特征值；否定命题；不等式

II Abstract

Matrix trace just mentioned in the process of higher algebra teaching

concept,

did not do in-depth discussion. Matrix trace, however, is an important characteristic of

Matrix which has relevant application in theory and practice . This paper first simply

sums up the basic matrix trace properties; Then, analyzes antisymmetric matrix, trace

of positive definite matrix and several kind of special matrix and its

properties;

Finally, this paper discusses matrix trace in solving the eigenvalue problem, and

proves that the application of negative proposition and inequality.

Key words:

matrix trace; antisymmetric matrix; positive definite matrix;

characteristic value; negative proposition; inequality

III III 目 录

1 引 言 ....................................................... 1

2 矩阵的迹及其性质 ............................................... 1

3 特殊矩阵的迹的性质 ............................................. 1

3.1 反对称矩阵迹的性质 .......................................... 2

3.2 正定矩阵迹的性质 ............................................ 2

3.3 其他特殊矩阵的迹及其性质 .................................... 4

4 矩阵的迹在解题中的应用 ......................................... 6

4.1 在解有关特征值问题中的应用 .................................. 6

4.2 在证明有关否定命题中的运用 .................................. 7

4.3在证明有关不等式中的运用..................................... 9

5 结论 .......................................................... 10

致 谢 .......................................... 错误!未定义书签。

参 考 文 献 ...................................................... 10

1 矩阵的迹及其应用

1 引 言

矩阵是高等代数的重要内容之一，并且他在数学和其他的学科中都有着较为广泛的应用。矩阵的迹在一般的高等代数教科书中，只是简单的给出定义，并未做深入的探讨。这就造成对矩阵的迹的认识仅仅是方阵的对角线的元素之和。然而，矩阵的迹是矩阵的一个重要数量特征，有其自身的性质。对于一些特殊类型的矩阵，迹更是有其显著的特点。在解决有关矩阵的问题中，迹往往也能扮演重要的角色。本文将从以上几个方面对矩阵的迹做一个较为系统的论述和分析。

在本文中，()nnMF表示数域F上全体nn矩阵的集合，TA表示矩阵A的转置矩阵，1A表示矩阵A的逆矩阵。

2 矩阵的迹及其性质

定义2.1 设F是一个数域，并且矩阵()nnAMF，那么矩阵A的所有对角线的元素之和称为矩阵A的迹，记为()trA1122nnaaa…，或表示为()trA1niiia。

性质2.1 设F是一个数域，矩阵,AB()nnMF，则

(1) ()()()traAbBatrAbtrB，其中,abF；

(2) ()()trABtrBA；

(3) 若矩阵A与B相似，则()trA()trB。

3 特殊矩阵的迹的性质

下面在矩阵的迹及其性质的基础上，分析几种特殊矩阵的迹的性质。

2 3.1 反对称矩阵迹的性质

反对称矩阵是矩阵领域中的一类特殊矩阵，在许多方面中都有应用，本章节主要是在一般矩阵迹的性质上介绍反对称迹的特有性质。

定义3.1.1 设矩阵()nnAMF，若TAA，那么就称矩阵A是反对称矩阵（亦可称为斜对称矩阵）。

性质3.1.1 设()nnAMF，且A为反对称矩阵；

（1）设矩阵AnnC，且矩阵A为反对称矩阵，那么()0trA;

（2）设矩阵AnnC，其中矩阵A为反对称矩阵且可逆，那么1()0trA；

证明：（1）由反对称矩阵的定义知：ijjiaa，当ij时，iiiiaa。所以0iia，故()0000trA。

（2）因为1111()()()TTAAAA，所以1A也是反对称矩阵，那么由（1），得1()0trA。

性质3.1.2 设,()nnAPMF，且A为反对称矩阵，则有

()()0TTtrAAPtrPAP。

证明：因为()()()TTTTTTTTPAPPAPPAPPAP，所以TPAP是反对称矩阵。同理TPAP也是反对称矩阵，故()()0TTtrAAPtrPAP。

3.2 正定矩阵迹的性质

定义3.2.1 设矩阵nnAC，若TAA，并且矩阵A上的所有元素均为实数时，那么就称矩阵A为实对称矩阵。

定义3.2.2 设矩阵A是n阶实对称矩阵，令()TPxxAx，如果对xnR（其中0x），都有()0Px，那么，就称矩阵A是正定矩阵。

3 性质3.2.1 （1）若矩阵,AB为n阶正定矩阵，那么()()()trABtrAtrB；

（2）设矩阵,AB为n阶正定矩阵，那么22()()trABtrAB；

（3）若矩阵0A，且0A,那么()0trA。

证明：（1）由矩阵,AB为正定矩阵得：设矩阵

111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，111212122212nnnnnnbbbbbbBbbb

则 1122()nntrAaaa，1122()nntrBbbb。

因为 11111221()nnnntrABababab。

由不等式11111221nnnnababab11221122()()nnnnaaabbb两边取迹数得：

11111221()nnnntrababab11221122()()nnnntraaabbb

即 ()()()trABtrAtrB。

（2）因为矩阵,AB为正定矩阵，则存在可逆矩阵,PQ，使得

TAPP,TBQQ,

就有22()()TTABPPQQ()()TTTTPPQQPPQQTTTTPPQQPPQQ

1TTTTTTPPQQPPQQPP

221TTTTPPQQPP （1）

所以由等式（1）得：矩阵2AB和矩阵22TTPQQP为相似矩阵。

由矩阵的迹的基本性质（3）得：

222()TTtrABtrPQQP

由不等式222TTTTtrPQQPtrPQQP得：

22()TTtrABtrPQQP2()TTtrPQQP21TTTtrPPQQPP

4 2()TTtrPPQQ2()trAB

所以 22()()trABtrAB。

(3)设矩阵A的特征多项式的根为12,,,n，因为矩阵0A，且0A。

那么矩阵A为正定矩阵，即：0i，其中1,2,,in。因为矩阵的迹等于矩阵的所有特征多项式的根的和，所以12()ntrA 0。

3.3 其他特殊矩阵的迹及其性质

定义3.3.1 设矩阵()nnAMF，若2AA，则称矩阵A为幂等矩阵。

性质3.3.1 若矩阵A是幂等矩阵，且()rankAr，则()trAr。

证明：已知()rankAr，所以存在可逆矩阵,PQ()nnMF，使得

000rIAPQ （1）

设 1234PPPPP,1234QQQQQ

则 12123434000rPPQQIAPPQQ11123132PQPQPQPQ

那么 1132()trAPQPQ，

因为矩阵A为幂等矩阵，所以2AA，

则由（1）式得1111000rIPAQPPQQ。

所以11000rIPAQ 1111PAQQPPAQ 11PAAQ

000000rrIIQP 12123434000000rrQQPPIIQQPP