浙江省杭州高级中学、宁波效实中学、嘉兴一中等学校2017届高三下学期联考

一、选择题1. 设全集U R =，集合{|3}A x x =≥，{|05}B x x =≤<，则集合()U C A B =（ ）A. {|03}x x <<B. {|03}x x ≤≤C. {|03}x x <≤D. {|03}x x ≤< 答案： D解答：依题意得{|3}U C A x x =<，又{|05}B x x =≤<，所以(){|03}U C A B x x =≤<.2. 若复数z 满足232z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 12i -B. 12i +C. 12i --D. 12i -+ 答案： B解答：依题意，设(,)z x yi x y R =+∈，则有2()32x yi x yi i ++-=+，即332x yi i +=+，得1x =，2y =，12z i =+.3. 已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： A解答：依题意，注意到直线12l l ⊥的充分必要条件是1(2)0a a a ⨯+⨯+=，得0a =或3a =-，因此“3a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件.4. 已知变量x ，y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A. 12B. 11C. 8D. 1- 答案： C解答：依题意，在平面直角坐标平面内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当动直线3z x y =+经过点(2,2)A 时，目标函数z 取得最小值，min 2328z =⨯+=. 5. 为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位C. 向左平移6π个单位D. 向左平移3π个单位答案： A解答：依题意，注意到cos 2sin(2)sin[2()]266y x x x πππ==+=++，因此将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到函数sin(2)6y x π=+的图象. 6. 已知双曲线221y x m-=的焦点1F ，2F ，渐近线为1l ，2l ，过点2F 且与1l 平行的直线交2l 于M ，若120FM F M ⋅=，则m 的值为（ ） A. 1 B.C.2D.3答案：D解答：依题意，不妨设点2(,0)F c，直线1:l y=，则过点2F且与1l平行的直线的方程为)y x c=-，其中c=0m>.由)y x cy⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22cxy⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即点(,22cM-，则13(,22cMF-=，2(2cMF =.由12FM F M⋅=，得12MF MF⋅=，得2230c c m-+=，由此解得3m=.7.26(x x-+的展开式中，6x的系数为（）A.240B.241C.239-D.240-答案：C解答：2626([()x x x x-+=-的展开式的通项26262166()2()rr r r r r rrT C x x C x x x---+=⋅-⋅=⋅⋅-⋅，其中0,1,2,3,4,5,6r=.要求26(x x-的展开式中6x的系数，因此r的可能取值分别为0，2，4，6，当0r=时，2626262()()rr r rC x x x x x--⋅⋅-⋅=-，其展开式中6x的系数为1；当2r=时，2634262()60(1)rr r rC x x x x x--⋅⋅-⋅=-，其展开式中6x的系数为1460(1)240C⨯-⨯=-；当4r=时，264422662()2(1)rr r rC x x x C x--⋅⋅-⋅=⋅⋅-，其展开式中不含6x项；当6r=时，2663262()2r r r rC x x xx ---⋅⋅-⋅=，不含6x 项.综上所述，26(x x -的展开式中6x 的系数为1240239-=-. 8. 正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在1AC 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ） A. [,]43ππB. [,]42ππ C. [,]62ππ D. [,]63ππ答案： D解答：依题意，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，设1AB =，1CP CA λ=，其中[0,1]λ∈，则有1(1,0,1)AD =-，(1,,)BP BC CP λλλ=+=--，3[3BP λ=，11AD BP ⋅=，1111cos ,[22AD BP AD BP AD BP⋅==⋅，因此1,[,]63AD BP ππ∈，即直线BP 与1AD 所成角的取值范围是[,]63ππ.9. 设函数()f x a =，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是（ ）A.B.C. 2,2D.2,]2答案： B解答：依题意，由()0f x <得a >.记()g x =则有()g x '=(0)x >，因此()g x 在区间[0,4]上单调递减，在(4,)+∞上单调递增.因此，由存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，得0()a g x >，得min{(3),(5)}(4)a g g a g ≤⎧⎨>⎩，即3a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，故实数a的取值范围是. 10. 设1234,,,a a a a R ∈，且14231a a a a -=，记2222123412341324(,,,)f a a a a a a a a a a a a =+++++，则1234(,,,)f a a a a 的最小值为（ ） A. 1 B.C. 2D.答案：B解答：设12(,)m a a =，34(,)n a a =，m ，n 的夹角为θ，则221234(,,,)f a a a a m n m n =++⋅，cos m n m nθ⋅=，1423111sin 222a a a a m n θ-==，1sin m n θ=，所以12342cos 2cos (,,,)2sin sin sin f a a a a m n m n θθθθθ+≥+⋅=+=（当且仅当m n =时取等号），其中2cos sin θθ+可视为点(sin ,cos )A θθ--与点(0,2)B 连线的斜率，点(sin ,cos )A θθ--（其中0sin 0θπθ≤≤⎧⎨>⎩，即0θπ<<）的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆周位于y 轴左侧的部分，结合图形不难得知，2cos sin θθ+的最小值等于过点B 的半圆11)x y =-<<二、填空题11. 抛物线2(0)y ax a =>上的点03(,)2P y 到焦点F 的距离为2，则a = ，POF ∆的面积为 . 答案： 2；4. 解答：依题意与抛物线的定义得，3224a PF =+=，得2a =，则0y ==所以POF ∆的面积为0111222OF y ⨯⨯=⨯=12. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ，体积是 .答案：16+203. 解答：如图所示，该几何体是由棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -截去三棱锥11D MC D -和三棱锥11A AMB -后所剩余的部分，其中M 是棱11A D 的中点.因此，该几何体的表面积等于22211224(2)21622++⨯⨯+⨯⨯=+3112022(212)323-⨯⨯⨯⨯⨯=.13.在ABC∆中，3AB=，2AC=，60A︒=，AG mAB AC=+，则AG的最小值为，又若AG BC⊥，则m= .答案：16.解答：依题意得32cos603AB AC︒⋅=⨯⨯=，2222222964(31)33AG m AB AC mAB AC m m m=++⋅=++=++≥，3AG≥，当且仅当13m=-时，AG取得最小值由AG BC⊥得0AG BC⋅=，即()()0mAB AC AC AB+⋅-=，22(1)0AG mAB m AB AC-+-⋅=，得610m-+=，16m=.14.从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中，不放回地每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束.则第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球的概率是，若记试验次数为X，则X的数学期望()E X= .答案：12；6542.解答：依题意，第一次试验恰摸到1个红球和1个白球的概率是11362912C CC=.X的所有可能取值分别为1，2，3，4，26297(1)112CP XC==-=，2264229725(2)(1)84C CP XC C==⨯-=，2226422229753(3)(1)28C C CP XC C C==⨯⨯-=，2226422229751(4)84C C C P X C C C ==⨯⨯=，因此7253165()12341284288442E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 15. 已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，111121133(2,)12133n n n n n n a a b n n N b a b --*--⎧=++⎪⎪≥∈⎨⎪=++⎪⎩，则1008100820172017()()a b a b +-= . 答案：201620173. 解答：依题意得11()2n n n n a b a b --+=++，即11()()2n n n n a b a b --+-+=，数列{}n n a b +是以113a b +=为首项、2为公差的等差数列，则100810083100722017a b +=+⨯=；111()3n n n n a b a b ---=-，数列{}n n a b -是以111a b -=为首项、13为公比的等比数列，则2016201720172016111()33a b -=⨯=.故10081008201720172016201612017()()201733a b a b +-=⨯=.16. 已知圆22:(1)3C x y ++=，设EF 为直线:24l y x =+上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ，2EQF π∠≥，则EF 的最小值是 .答案：.解答：依题意，圆心(0,1)C -到直线l的距离d r ==>=l 与圆C 相离.由对于圆C 上的任意一点Q ，均满足2EQF π∠≥得，点Q 必位于以线段EF 为直径的圆上或圆内，即圆C 与以线段EF为直径的圆内切或内含（其中12EF >）.记线段EF 的中点为M，则12EF CM -≥，2(2(EF CM d ≥+≥+=，即EF的最小值是.17. 设实数0x >，0y >且满足x y k +=，则使不等式2112()()()2k x y x y k+⋅+≥+恒成立的k 的最大值为 . 答案：解答：不妨设x y ≥，2km =，x m t =+，y m t =-，0t m ≤<， 则原不等式化为4222211141()()()m m m t m t m t m t m t m m --++-+≥+⇒≥+-，则 422241m m t m --≥恒成立，故422410m m m --≤.由422241002m m m m--≤⇒≤≤+∵0m >，∴2k m =≤因此，k 的最大值为三、解答题18. 已知函数()(sin )(cos )f x x x x x =. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若06()5f x =，0[0,]2x π∈，求0cos 2x 的值. 答案： （1）7[,]()1212k k k Z ππππ--∈；（2）410+. 解答：（1）2()(sin )(cos )2sin(2)3f x x x x x x π=+=+， 由2222232k x k πππππ-+≤+≤+()k Z ∈，得71212k x k ππππ-≤≤-()k Z ∈，所以，函数()f x 的单调递增区间为7[,]1212k k ππππ--()k Z ∈. （2）0026()2sin(2)35f x x π=+=，∴023sin(2)35x π+=，又0[0,]2x π∈，∴024cos(2)35x π+=-，∴0022413cos 2cos[(2)]()()33525x x ππ=+-=-⨯-+=. 19. 如图①，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 是CD 的中点，将三角形ADE 沿AE翻折到图②的位置，使得平面AED '⊥平面ABC .（1）在线段BD '上确定点F ，使得//CF 平面AED '，并证明； （2）求AED '∆与BCD '∆所在平面构成的锐二面角的正切值. 答案： （1）略； （2解答：（1）当点F 是线段BD '的中点时，//CF 平面AED '. 证明如下：记AE ，BC 的延长线交于点M ，连接MD '.因为2AB EC =，//AB EC ，所以点C 是BM 的中点，又点F 是线段BD '的中点，所以//CF MD '.又MD '⊂平面AED '，CF ⊄平面AED '，所以//CF 平面AED '. （2）在矩形ABCD 中，连接BE ，2AB =，1BC =，则AE BE ==222AE BE AB +=，所以BE AE ⊥.因为平面AED '⊥平面ABC ，且交线是AE ，所以BE ⊥平面AED '. 在平面AED '内作EN MD '⊥，连接BN ，BE ，则BN MD '⊥.所以BNE ∠就是AED '∆与BCD '∆所在平面构成的锐二面角的平面角.易得EN =BE =，所以tan 1BE BNE EN ∠===20. 已知函数2()22ln ()f x x x a x a R =-++∈. （1）若1a =，求曲线()y f x =在(1,1)A 处的切线方程；（2）若函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：252ln 2()4f x ->. 答案：（1）0x y -=； （2）略. 解答：（1）当1a =时，2()22ln f x x x x =-++，1()22f x x x'=-+，(1)1f '=，所以曲线()y f x =在(1,1)A 处的切线方程为1(1)(1)y f x '-=-，化简得0x y -=.（2）函数定义域为(0,)+∞，222()22a x x af x x x x -+'=-+=，则1x ，2x 是方程2220x x a -+=的两个不同的实数根，所以480a ∆=->，12a <，121x x +=，122ax x =，又120x x <<，所以2112x <<. 又22222a x x =-，所以22222222()22(22)ln f x x x x x x =-++-. 令221()22(22)ln (1)2g t t t t t t t =-++-<<， 则()22(24)ln 22(24)ln g t t t t t t t '=-+-+-=-，又1(,1)2t ∈，所以()0g t '>，则()g t 在1(,1)2t ∈内为增函数，所以152ln 2()()24g t g ->=，所以252ln 2()4f x ->. 21. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>经过不同的三点A ，13(,)24B --，(,)C m n （C 在第三象限），线段BC 的中点在直线OA 上.（1）求椭圆Γ的方程及点C 的坐标；（2）设点P 时椭圆Γ上的动点（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，问OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.答案： （1）31(,)24--； （2）2516. 解答：（1）由点A ，B 在椭圆Γ上，得2222551416191416a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得225258a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆Γ的方程为2215528x y +=. 由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而21m n =-.① 又点C 在椭圆Γ上，故22285m n +=.②由①②解得34n =（舍去）或14n =-，从而32m =-. 所以点C 的坐标为31(,)24--.（2）设00(,)P x y ，11(2,)M y y ，22(2,)N y y . 当直线PB 的斜率不存在时，13(,)24P -，11(,)24M --. 由（1）得，31(,)24C --，则直线PC 的斜率1PC k =，则直线31:42PC y x -=+，即504x y -+=.易得55(,)24N --.故2516OM ON ⋅==. 当直线PC 的斜率不存在时，31(,)24P -，33(,)24N --. 直线PB 的斜率1PB k =-，则直线13:()42PB y x -=-+，即504x y ++=.易得55(,)612M --.故2516OM ON ⋅=. 当直线PB ，PC 的斜率均存在时，由P ，B ，M 三点共线，得1010334411222y y y x ++=++， 整理得00100324(21)x y y y x -=-+.由P ，C ，N 三点共线，得2020114433222y y y x ++=++，整理得0020064(21)x y y y x -=--.因为点P 在椭圆Γ上，所以2200285x y +=，即2200542x y =-. 从而2222000000000000122220000000053(4)2012(32)(6)320122516[(2)1]16(441)16(41)2y x y y x y x y x x y y y y y x y x x y x y --+---+===--+----000035(4)5231616(4)2x y x y -==-.所以121225516OM ON y y y ⋅===. 综上，OM ON ⋅为定值，定值为2516. 22. 已知数列{}n a 中，满足112a =，1n a +=n S 为数列{}n a 的前n 项和. （1）证明：1n n a a +>； （2）证明：1cos32n n a π-=⋅；（3）证明：22754n S n π+>-.答案： （1）略； （2）略； （3）略. 解答：（1）由题意，得0n a >，22212212(1)(12)n n n n n n a a a a a a +-=+-=-+， 故要证1n n a a +>，只需要证明1n a <. 下面用数学归纳法证明： 当1n =时，1112a =<成立. 假设当n k =()k N *∈时，1k a <成立，那么当1n k =+时，11k a +==，即当1n k =+时，1n a <也成立. 综上，1n n a a +>得证.（2）用数学归纳法证明： 当1n =时，11cos 23a π==成立. 假设当()n k k N *=∈时，1cos32k k a π-=⋅成立，那么当1n k =+时，1cos32k ka π+===⋅.即当1n k =+时等式也成立. 综上，1cos32n n a π-=⋅.（3）由（2）得，当2n ≥时，22211111111sin ()223232n n n n n a a a ππ-----+=-=-=<⋅⋅， 得2112194n n a π-->-⋅.故22212211241127(1)(1)94229316454nn in i S n n πππ-=+>-+=--⨯⨯->-⋅∑.。