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高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算自主练习苏教版选修1_72

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—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑 水

3.2 复数的四则运算

自主广场

我夯基 我达标

1．（经典回放）2)3(31ii等于（ ）

A.i4341 B.i4341 C.i2321 D.i2321

思路解析:本题考查复数的基本运算.

iiiiiiii4341)31)(31(2)31(32231)3(3122

答案:B

2.(安徽高考卷))2()4(52iii等于（ ）

A.5(1-38i) B.5(1+38i) C.1+38i D.1-38i

思路解析:本题考查复数的基本运算.

5)138(512)4(5)2()4(522iiiiii=1-38i.

答案:D

3.(2004年重庆高考卷)设复数Z=1+22i则Z2-2Z等于（ ）

A.-3 B.3 C.-3i D.3i

思路解析:本题考查复数的基本运算.

∵Z=1+i2,Z2-2Z=(1+i2)2-2(1+i2)

答案:A

4.当Z=21i时，Z100+Z50+1的值等于（ ）

A.1 B.-1 C.i D.-i

思路解析:本题考查复数的基本运算

Z2=21（1-2i-1)=-i Z50=(-i)25=-i

Z100=(-i)2=-1 故原式=-i

答案:D —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑 水 5.已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0（a∈R)有实根b,且Z=a+bi,则复数Z=（ ）

A.2-2i B.2+2i C.-2+2i D.-2-2i

思路解析:考查复数相等的定义.

把b代入方程有b2+(4+i)b+4+ai=0

.0,0442babb

.2,2ba

答案:A

6.设复数Z=i2321,则满足等式Zn=Z,且大于1的正整数n中最小的是（ ）

A.3 B.4 C.6 D.7

思路解析:Z3=1，Zn=Z,即Zn-1=1,n-1应是3的倍数，n-1=3时，n=4 故n的最小值为4.

答案:B

7.已知复数Z0=3+2i，复数Z满足Z·Z0=3Z+Z0，则实数Z=___________.

思路解析:复数代数形式的基本运算

Z=iiiiZZ231231223300

答案: i231.

8.若对n个复数α1,α2,α3…αn存在n个不全为零的实数k1,k2…kn,使k1α1+k2α2+…+knαn=0成立，则称α1,α2…αn为线性相关，依次规定能使α1=1,α2=1-i,α3=2+2i线性相关的实数k1、k2、k3依次可以取_____________，（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.

思路解析:复数的相等的定义.

-4×1+2(1-i)+1×(2+2i)=0

答案:-4，2，1

9.复数Z=iii2)1(3)1(2,若Z2+aZ+b=1+i,(a,b∈R)则a+b=_____________.

思路解析:本题主要考查复数的基本运算Z=1-i,则代入Z2+aZ+b=1+i得，

.12,1aba ∴.4,3ba∴a+b=1.

答案:1

我综合 我发展

10.(2005年全国高考卷)复数ii2123=（ ）

A.i B.-i C.i22 D.i22

思路解析:本题主要考查复数的基本运算及复数的概念.

iiiiiiiiii21222)2(1)21)(2(21221223 —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑 水 答案:A

11.(2004年浙江高考卷)已知复数Z1=3+4i,Z2=t+i,且Z12Z是实数，则实数t等于（ ）

A.43 B.34 C.-34 D.-43

思路解析:本题主要考查复数的基本概念、基本运算，由Z2=t+i得2Z=t-i故

Z12Z=（3+4i）（t-i)=(3t+4)+(4t-3)i

∵Z12Z为实数,∴4t-3=0,∴t=43.

答案:A

12.(2004年广东高考卷)已知复数Z与(Z+2)2-8i均是纯虚数，则Z=_____________.

思路解析:本题考查复数的基本概念，基本运算依题意，设Z=bi,(b∈R且b≠0)

∴(Z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i

∵(Z+2)2-8i为纯虚数，∴4-b2=0且4b-8≠0.

∴b=-2,即Z=-2i.

答案:-2i

13.(2005年北京高考卷)若Z1=a+2i,Z2=3-4i,且21ZZ为纯虚数，则实数a的值为_____________.

思路分析:本题主要考查纯虚数的概念及基本运算.

iaaiiiaiiaZZ25642583)4(9)43)(2(432221

由21ZZ为纯虚数，知2583a=0且2564a≠0知a=38.

14.求（1+i)n(1-i)6-n的值.

思路分析:本题主要考查复数的基本运算.

解：原式=（1-i)6nii)11(=(-2i)3in=8in+1

∴)4()34()24()14(8888knknknknii(k为非负整数）.

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高中数学选修2-2章末检测3：第三章 数系的扩充与复数的引入

高中数学选修2-2章末检测3：第三章 数系的扩充与复数的引入

人教版高中数学选修2-2

1 章末检测

一、选择题

1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )

A．i∈S B．i2∈S

C．i3∈S D.2i∈S

2．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

3．设z1，z2为复数，则下列四个结论中正确的是( )

A．若z21＋z22＞0，则z21＞－z22

B．|z1－z2|＝z1＋z22－4z1z2

C．z21＋z22＝0⇔z1＝z2＝0

D．z1－z1是纯虚数或零

4．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则m＋nim－ni等于( )

A．－1 B．1

C．－i D．i

5．已知a是实数，a－i1＋i是纯虚数，则a等于( )

A．1 B．－1

C.2 D．－2

6．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于( )

A．－2＋i B．2＋i

C．1－2i D．1＋2i

7．已知2＋ai，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为( )

A．p＝－4，q＝5 B．p＝4，q＝5

C．p＝4，q＝－5 D．p＝－4，q＝－5

8．i为虚数单位，设复数z满足|z|＝1，则z2－2z＋2z－1＋i的最大值为( )

A.2－1 B．2－2 人教版高中数学选修2-2

2 C.2＋1 D．2＋2

9．实数x，y，θ有以下关系：x＋yi＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)(其中i是虚数单位)，则x2＋y2的最大值为( )

A．30 B．15 C．25 D．100

10．设复数z满足|z|＜1且z＋1z＝52，则|z|等于( )

A.45 B.34 C.23 D.12

【创新设计】-高中数学 3-1数系的扩充规范训练 苏教版选修1-2

【创新设计】-高中数学 3-1数系的扩充规范训练 苏教版选修1-2

第3章 数系的扩充与复数的引入

3．1 数系的扩充

双基达标 限时15分钟

1．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为________．

解析 由题意知： mm＋＝0，m2－1≠0.所以m＝0.

答案 0

2．对于复数集C，实数集R，虚数集M，纯虚数集P，下列关系：①P∪R＝C；②M∪R＝C；③P∩M＝∅；④(M∪RC.其中正确的是________(只填序号)．

答案 ②

3．复数z＝－3i的实部是__________，虚部是________．

答案 0 －3

4．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为__________．

解析

 4－3a＝a2，－a2＝4a，得a＝－4.

答案 －4

5．以3i－2的实部为虚部，以－7的虚部为实部的复数是__________．

答案 －2i

6．说出下列数(其中i是虚数单位)中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？实部与虚部分别是什么？

2＋7，27i,0，i，i2,5i＋8，i(1－3)，2－i2.

解 实数有：2＋7，0，i2，它们的实部分别为2＋7，0，－1，虚部都为0.

虚数有：27i，i,5i＋8，i(1－3)，2－i2，它们的实部分别是0,0,8,0,2，虚部分别为27，1,5,1－3，－2.

纯虚数有：27i，i，i(1－3)，它们的实部都为0，虚部分别为27，1,1－3.

综合提高 限时30分钟

7．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a、b的值分别是________．

解析 由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，∴a＝±2，b＝5. 答案 ±2，5

8．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则有序实数对(x，y)＝________.

解析 由复数相等，得

 x2－y2＝0，xy＝1，解得 x＝1，y＝1或 x＝－1，y＝－1.

高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义

高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义

- 1 - 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

1．虚数单位i

在实数集R中添加新数i，规定：(1)i2＝□01－1，其中i叫做虚数单位；(2)i可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立．

2．复数的相关概念

集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做□03复数，其中i叫做□04虚数单位．全体复数的集合C叫做□05复数集．

复数通用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a与b分别叫做复数z的□07实部与虚部．

3．复数的分类

对于复数z＝a＋bi，当且仅当□08b＝0时，它是实数；当且仅当□09a＝b＝0时，它是实数 - 2 - 0；当且仅当□10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．

4．复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

复数相等的充要条件

(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．

(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) - 3 - (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )

(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )

(3)bi是纯虚数．( )

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )

【高中数学】练习题：数系的扩充与复数的引入(含详解)

【高中数学】练习题：数系的扩充与复数的引入(含详解)

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【高中数学】练习题：数系的扩充与复数的引入

（含详解）

一、选择题

1．(2011·辽宁高考)a为正实数，i为虚数单位，|a＋ii|＝2，则a＝( )

A．2 B. 3 C. 2 D．1

2．(2012·武汉模拟)若复数2－bi1＋2i(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b等于( )

A.2 B.23 C．－23 D．2

3．(2012·皖南八校联考)复数z满足z＝2－i1－i，则z等于( )

A．1＋3i B．3－i C. 32－12i D. 12＋32i

4．(2012·广东六校联考)若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|＝

( )

A.12＋i B.5 C.52 D.54

5．定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是( )

A．1－2i或－1＋2i B．1＋2i或－1－2i

C．－7－24i D．7＋24i

二、填空题

6．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则|AB|＝________.

7．设复数z满足|z|＝5且(3＋4i)z是纯虚数，则z＝________.

三、解答题

8．计算：(1)－1＋i2＋ii3 (2)1＋2i2＋31－i2＋i (3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2.