比较法证明不等式

4． 放缩法是在证明不等式或变形中， 将条件或结论或变换中的 式子放大或缩小进行求证的方法．放缩时要看准目标，做到 有的放矢， 注意放缩适度． 放缩法是证明不等式的常用技巧， 有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要控制难 度．
比较法
(2010 年高考江苏卷试题)设 a、b 是非负实数，求证：a3 ＋b3≥ ab(a2＋b2)． 【思路分析】 先作差，再用不等式的基本性质解答．
不等式证明的基本方法
1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法，有两种： (1)求差法：a＞b⇔a－b＞0； a (2)求商法：a＞b＞0⇔b>1，(b>0)．
2．分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法． 综合法是以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直 到推出问题的结论为止，简而言之，就是“由因导果”． 分析法是从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐 步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件或已知事实吻合 为止，简而言之，就是“执果索因”．
分析法与综合法
如果 a＞0，b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2. 【证法一】 (用分析法) 要证 a3＋b3≥a2b＋ab2， 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b) ∵a＞0，b＞0，有 a＋b＞0，故只需证 a2－ab＋b2≥ab， 只需证(a－b)2≥0 显然(a－b)2≥0 成立，以上各步均可逆， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2
1．设 a>0，a≠1,0<x<1.求证：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
证明：方法一：(平方后作差)
2 log2 (1 － x ) － log a a(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)]· [loga(1－x)－loga(1＋x)]＝ 1－x loga(1－x )· loga . 1＋x

5.设P a 2b2 5, Q 2ab a 2 4a, 若P Q, 则实数a, b
ab 1或ab 2 满足的条件为 ________
ab 1 6.若0 a b 1, P log 1 , Q (log 1 a log 1 b), 2 2
2 2 2
Q>P>M M log 1 (a b), 则P , Q , M的大小关系是__________
2
练习
1.求证a 3b 2b(a b)
2 2
2.求证• a
b 2 2a 2b 4a 3.已知a 2, 求证 1 2 4a
2 2
例4.甲,乙 两 人 同 时 同 地 沿 同 一 路线走到 同一地点 .甲 有 一 半 时 间 以 速 度 m 行 走, 另一半时间以速度 n行 走;乙 有 一 半 路 程 以 速 度m 行 走, 另 一 半 路 程 以 速 度 n行 走. 如 果m n,问 甲 乙 两 人 谁 先 到 达 指 定 地 点.
2
2
2
2
(a b )(a b )2
a, b 0, a b 0 2 又 a b (a b) 0
故(a b)(a b)2 0即(a 3 b 3 ) (a 2b ab 2 ) 0
a b a b ab
3
3
2Hale Waihona Puke 2a 例 2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液, 则其浓度为 , b 若在上述溶液中再添加 mkg白糖, 此时溶液的浓度 am 增加到 , 将这个事实抽象为数学 问题, 并给出证明 . bm 解 : 可以把上述事实抽象成 如下不等式问题 :
一、比较法 (1)作差比较法

——高中数学教案课题：用比较法证明不等式（５３００２１广西南宁三中 许兴华）教学目标：1、通过本课的学习，使学生掌握两种“比较法（作差比较法与作商比较法）”证题的基本原理；2、学会“比较法”证题的基本步骤；3、初步学生培养分析问题解决问题的能力. 重点难点：重点是牢固掌握用“比较法”证题的步骤； 难点是掌握变形的思路和技巧. 教学过程： 一、复习引入：1、实数大小比较的依据是什么？ （让学生回答）主要依据是：①a －b ＞0 ＞b②a －b ＝0 b③a －b ＜0 b2、 由以上法则我们知道：① 要证a ＞b ，只需证a －b ＞0；② 要证a ＜b ，只需证a －b ＜0.于是我们得到不等式证明的一种方法：作差比较法.二、新授课：1、“作差比较法”证明不等式： 例1：求证：x 2+3>3x（1） 分析：欲证x 2+3>3x ，只需证x 2+3－3x ＞0（2） 于是配方即得:043)23(2>+-x ,此不等式显然成立.（3） 证明：板书证明过程（略）. 例2：已知a ，b ∈R +，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3(1)分析：要证a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 ,只要证明(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)>0 而(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)=(a 5－a 3b 2)+(b 5－a 2b 3)=a 3(a 2－b 2)－b 3 (a 2－b 2)= (a 2－b 2)(a 3－b 3)= (a －b)2(a+b)(a 2+ab+b 2)>0 (),,b a R b a ≠∈+(2)：板书证明过程(略).引导学生进行小结:用“作差比较法”证不等式的步骤是： ①作差 ②恒等变形 ③ 判断符号 ④结论其中，“变形”以“作差”为基础，“判断差的符号”是“变形”的目的.证明的实质：进行实数大小比较. （3）为了确定差的正负，“变形”的目标一般是： ① 一个常数；② 一个常数与一个或几个平方的和的形式； ③ 几个因式的积的形式.课堂练习：设a ＞b ＞0，比较2222ba b a +-与 b a ba +-的大小. （要求一位学生到黑板去做，其余学生在下面做，大家都做完后，教师进行适当讲评）（1） 分析：作差通分变形即可.（2） 证明：必要时纠正学生的板书“证明过程”. 2、“作商比较法”证明不等式：比较法还有“作商比较法”：若已知b>0 , 则要证.1,>>bab a 只要证明例3．已知+∈R b a ,，求证：ab b a b a b a ≥.分析：0,,>∴∈+abb a R b a ，故只要证明1≥a b ba ba b a .不妨设b a ≥,则.1,0,1≥⎪⎭⎫⎝⎛==∴≥-≥---ba b a b a a b b a b a b a b a b a b a b a（板书证明过程）（略）三、课堂练习：课本：P.7之1、2、3、4.5.(补充练习):已知,0>>>c b a 求证:3)(c b a cb a abc c b a ++>.练习后，当堂讲评:证明:3333333333232323)(c b c a b a b c a c c b a b c a b a ba c ca b cb ac b a c b a c b c a b a ccbbaacbaabc c b a ---------------++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⋅⋅⋅==,1)(,1,0,03>∴>>-∴>>>-ba bab a b ac b a 同理可证:.0)(,0)(33>>--c b c a cb ca1333>⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---c b c a b a c b c a b a ,因此, 3)(c b a cbaabc c b a ++>.四、小结：（1）“比较法”分为 “作差比较法”与“作商比较法”两种；（3） 何时采用“作差比较法”或“作商比较法”？这两种方法证明不等式的步骤如何？请同学们思考.五、作业：课本P .15之 5、6、7、9 补充练习：1.设,,0,0N n b a ∈>>,求证:).(2))((11+++≤++n n nnb ab a b a2.若,0>≥≥c b a 求证:b a ac c b c b a c b a c b a +++≥222.。

比较法证明不等式要证明一个不等式，可以使用比较法。

比较法是指将待证明的不等式与已知的不等式进行比较，以确定是否成立。

下面以一个具体的例子来说明比较法的使用。

假设我们要证明的不等式是：\[a^2 + b^2 - 2ab \geq 0\]我们可以使用比较法来证明这个不等式。

首先，我们可以将不等式的左边进行因式分解，得到：\[(a-b)^2 \geq 0\]接下来，我们来思考如何使用比较法证明这个不等式。

我们可以观察到，对于任意的实数a和b，$(a-b)^2$总是大于等于0。

当且仅当a=b时，$(a-b)^2$等于0。

当a不等于b时，$(a-b)^2$大于0。

因此，根据比较法，我们可以得出结论：\[a^2 + b^2 - 2ab \geq 0\]这个结论说明了我们要证明的不等式是成立的。

接下来，我们将使用比较法证明更加复杂的不等式。

例子2：假设我们要证明的不等式是：\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \geq 0\]我们可以使用比较法来证明这个不等式。

首先，我们可以观察到，对于任意的实数a，b和c，$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$总是大于等于0，根据求和符号和平方项的非负性。

因此，我们可以得出结论：\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \geq 0\]这个结论说明了我们要证明的不等式是成立的。

通过这两个例子，我们可以看到比较法在证明不等式时的简单性和有效性。

我们只需要找到一个已知的不等式，将其与待证明的不等式进行比较，就可以得出结论。

在实际应用中，比较法常常用于解决数学和物理等领域的问题，特别是在不等式证明和优化问题中。

它是一种简洁而强大的工具，可以帮助我们解决各种复杂的不等式问题。

总结起来，比较法是一种常用的证明不等式的方法。

通过将待证明的不等式与已知的不等式进行比较，我们可以确定不等式是否成立。

在证明不等式时，比较法的简单性和有效性使其成为一种常用的工具。