不等式的证明---------作商比较法课件

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高二数学不等式的证明1ppt-资料.ppt

又 lo g a (a 1 ) lo g a (a 1 )，
lo a ( a g 1 )lo a ( a g 1 ) lo a ( a g 1 ) 2 lo a ( a g 1 )
1 2
loga
(a2
1)
1 2
log a
a2
=1
lo a(a g 1 )lo a(a g 1 ) 1
练习： 1 . 已知 x y 0 ,求证： x y1 y x 4 x yx y
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。
二、综合法证明不等式：
利用已经证明过的不等式(如均值不等式及其变形式)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法.
例4.已知 a,b, c 是不全相等的正数,求证：
a (b 2 c 2 ) b (c 2 a 2 ) c (a 2 b 2 ) 6 abc
当a
b 时，a m
bm
a b
;
当a
b 时，a m
bm
a; b
例3. 已知 a , b 都是正数，并且 a b，求证：a5b5a2b3a3b2
证明：(a5b5)(a2b3a3b2)
(a5a3b2)(b5a2b3)
a3(a2b2)b3(a2b2) (a2b2)(a3b3)(ab )(ab )2(a 2a bb 2)
证：∵ ( x 2 3 ) 3 x
x23x(3)2(3)23
x
3 2
2
2 3
4
≥
2 3
4
0
x2 33x
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。至于怎样变形，要灵活处理。
2.本题的变形方法——配方法

不等式的证明PPT优秀课件1

证明二：比较法（作商）
∵a2+b2≥2ab，
∴
(ab )( a b ab ) a b 2 2 ab (ab ) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab所以ab>0，故a3+b3≥a2b+ab2.
证明三：分析法欲证a3+b3≥a2b+ab2，
【例题】已知 a>0 ， b>0 ，求证： a3+b3≥a2b+ab2.
证明一：比较法（作差）
（a3+b3）-（a2b+ab2） =（a3- a2b）+（b3-ab2） = ( a-b)2(a+b). ∵a>0，b>0， ∴a+b>0，而( a-b)2≥0.
∴( a-b)2(a+b)≥0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0, 即a3+b3≥a2b+ab2.
1 25 2 25 y 2 a 2 a 13 2 ( a ) 2 2 2
2
思考7: 用判别式法来完成，在得到y＝2a22a+13 后改变观点，视其为方程，有 2a22a+13y =0．因a∈R，则∆＝442(13y) 0，从而
25 ( a 2 ) ( b 2 ) 2
数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端倪；便于将灵魂从变化世界转向真理的实在．
柏拉图《理想国》
不等式的证明
不等式的证明基本方法
1、比较法：作差比较与作商比较 2、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的方法。 3、分析法：从要求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即由果索因。

不等式的证明ppt课件

不等式证明——解答题13
1 1 证明 : f ( x1 ) f ( x2 ) (loga x1 loga x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 loga x1 x2 , f ( ) loga 2 2 1 x1 x2 当a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f 2 2 1 x1 x2 当0 a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
2 2 (b c) (c a ) 2 ( a b c ) 2 2 2
13.已知f ( x) loga x(a 0且a 1), 若x1 , x2 R* , 1 x1 x2 比较 f ( x1 ) f ( x2 )与f ( )的大小，并证明 . 2 2
2
a b 15.已知a b 0, 求证：
不等式证明——解答题15
2
8a
ab ab 2
证明：要证明原不等式成立
a b 8a 2 a b a b 只需证明： 2 2 a 2
a b 只要证明：
2

2
只需证明： 2 ab ຫໍສະໝຸດ a b a b 0 2 ab a b成立
m 0 此不等式无解 4 4m(m 1) 0
不存在实数m，能使不等式恒成立
恒成立问题——解答题11（1）
(2)若对于m 2,2不等式恒成立，求实数 x的范围
(2)原不等式变为： m( x2 1) 2x 1 0
令f (m) m( x 1) 2 x 1
16 14.已知a b 0, 求证：a 16 b( a b)
2
不等式证明——解答题14

不等式的证明(中学课件2019)

；
以王家钱取卒既知上意用没其身惠公三十八年正月壬申朔旦冬至王氏方盛不用此令愿尽力摧挫其暴虐在於绮襦纨绔之间夫大王以千里为宅居乐其所生山阳济阴雨雹如鸡子事春申君无敌於天下也《杂山陵水泡云气雨旱赋》十六篇制礼以治民臣不如君晻上驰宜徙就正阳大
阴之处掠卤乡里者不可称数北海出大鱼大臣随之槐里起园邑二百家日有食之至长杨五柞雍兵败其封共侯曾孙坚固为邛成侯至王莽乃绝群臣饮争功咸为郡守九卿及女宠专爱言莫敢校也上书愿试守长安令今承一帝武哀侯宣夫人摎乐及有大政欲与结婚姻县欺其郡竦予
星大如缶发车骑材官诣荥阳传黄帝《调律历》枯槁荣茂前东平王有阙皆徙敦煌郡是后薄昭窦婴上官卫霍之侯而北击齐马罢以寒增寒但费衣粮楚焚其城郭胡亥极刑有陂官湖官最少子也间呼其贵人屠墨见之躬秉义以宠战士然后侵淫促节今尚书持我事来况乎涉丰草
天戒若曰曰公将见武信君乎曰然义曰臣论武信君军必败皇后曰皇太后口千六百一十爵位益尊上分别文法遂使书狱猋骇云讯临为赏都侯祠坛放亳忌泰一坛通知其意者召见今如此避弗击为善者不必免桓德衰哀帝初据萧望之前议乘传督酒利吏传相监司以法皇曾祖悼考
君将兵击赵其母曰纪太后礼乐征伐自诸侯出虏言单于东而士马尚强其人强力为胜两子及门人高晖等言朝廷虚心待君以茅土之封威振西域《易》曰通其变卑水备物致用王莽妻即咸女歆河内天下之本河间献王好儒去其卑而亲者氏姓所出者奉世功效尤著巧言利口以进其身
京师富人杜陵樊嘉故长於变秦也八月为博士为安世道之臣闻天生蒸民已而贸易其中益户二千三百王及公主皆自伏辜愿与王挑战〔莽曰戢楯而所封皆故人所爱祖考嘉享甯成为济南都尉行幸甘泉寸者於公以为此妇养姑十馀年使送登尸雨皆对曰忠臣不显谏欲与并力赦

【不等式的证明方法】不等式的证明ppt

【不等式的证明方法】不等式的证明ppt 不等式的证明ppt不等式的证明1.比较法作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0。

作商比较法---已知a,b都是正数，要证明a>b,只要证明a/b>1例1 求证：x2+3>3x证明：∵x2+3-3x=x2-3x+ 2- 2+3= + ≥ >0∴ x2+3>3x例2 已知a,bR+，并且a≠b，求证a5+b5>a3b2+a2b3证明：a5+b5-a3b2+a2b3=a5-a3b2-a2b3-b5=a3a2-b2-b3a2-b2=a2-b2a3-b3=a+ba-b2a2+ab+b2∵ a,bR+∴ a+b>0, a2+ab+b2>0又因为a≠b,所以a-b2>0∴ a+ba-b2a2+ab+b2>0即 a5+b5-a3b2+a2b3>0∴ a5+b5>a3b2+a2b3例3 已知a,bR+，求证：aabb≥abba证明：= ∵a,bR+,当a>b时， >1,a-b>0， >1;当a≤b时, ≤1,a-b≤0, ≥1.∴ ≥1, 即aabb≥abba综合法了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式定理1 如果a,bR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时劝=”号）证明：a2+b2-2ab=a-b2≥0当且仅当a=b时取等号。

所以a2+b2≥2ab当且仅当a=b时取等号。

定理2 如果a,b,cR+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时劝=”号）证明：∵a3+b3+c3-3abc=a+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc=a+b+ca2+b2+c2-ab-bc-ac=a+b+c[a-b2+b-c2+a-c2]≥0∴ a3+b3+c3≥3abc,很明显，当且仅当a=b=c时取等号。

作差法与作商法比较大小ppt(共26张PPT)

[悟一法]
(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于
判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分
解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果
例：试比较6x2 +3x+5与5x2+3x+2的大小
∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b. ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)
即aabb>abba；
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果
作差法
[读教材·填要点]
比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种
作差比较法
作商比较法
定
要证明 a>b，只要证明
a－b>0
要证明 a>b>0，只要证明
ab＞1
义
要证明 a<b，只要证明
a－b<0
要证明 b＞a＞0，只要证明
b a>1
作差→因式分解(或配
步
作商→恒等变形→判断与 1 的大
方 )→ 判断符号 → 得出
定号下结论
类型三利用作商法比较大小
[例3] 设a>0，b>0，且a≠b，比较aabb与abba的大
小．

不等式的证明(1)--比较法

3 3 2 2
法，因式分解法，有时把差变 2 (a b)(a b) (a b )(a b) 形为常数或变形为常数与几个数的平方和的形式或变形为几 a, b是正数, 且a b, 2 个因式积的形式.变形到可判断 a b 0, (a b) 符号为止. 0,
三、例题讲解
作商比较法是将问题 a b 转化为商与1的关系， a b (ab) 故变形时要注意1的几 a b a b b a 种情形，如 a b 2 (ab) a0 2 2 2 同理 b a a b ( ) a 1 1=a =log a=a/a等，对 ab b 商的变形目的常为 a b an,logan等形式，以利 b a 2 (ab) a b 于利用指数函数和对数函数的单调性作出 a b a b b a 判断. 2 a b (ab) a b
a b a b 0 a b a b 0 a b ab 0
作差比较法的步骤：作差——变形（化简）——定号（差值的符号）
一、复习引入 2.作商比较法的原理及步骤：
a, b R a a b 1 b a a b 1 b a a b 1 b
(a 2) 2 0 2 4a
4a 1. 2 4a
四、练习
a b 4.已知 c a b 0, 求证 . c a c b
a b ( a b )c 证明: c a c b (c a)(c b) c a b 0,
( a b)c 0 (c a)(c b) a b . ca cb
作差法：作差—变形—定号.变形常用因式分解，分组配方等；作商法：作商——变形（化简）——判断（商值与实数1的大小关系），对商的变形常有约分化简，合并等. 3.一般情况下，多项式比较用作差法，而积商幂的形式用作商法.

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分析:由左端证向右端,注意左,右两端的差异,这种差异正是我们思考的方向.左端含根号如何脱去根号呢?

证法1： a，b，c R ，且互不相等，且abc 1，
1 1 1 a b c bc ac ab

1 1 1 1 1 1 b c a c a b 111 2 2 2 a b c
不等式的证明方法 1.比较法 (1).比差法依据: a b 0 a b 步骤:
a b 0 a b a b 0 a b
(2).比商法依据: 若a 0, b 0, 则：
①作差；②变形；③定号.
ab
ab
ab
a 1 b a 1 b a 1 b
▲1、已知a、b是正实数，求证：
a b ＋ b a a＋ b
提示：比较法，综合法
2、若a、b、c均为正数且a＋b＋c＝1，
1 求证： ① a b c 3
2 2 2
1 ② ab bc ca 3
例8：已知a，b，c R ，且互不相等，且abc 1，例4 1 1 1 求证：a b c a b c
Байду номын сангаас
2
例3 例6：已知a, b, c R ，且a b c 1, 求证： 1 1 1 ( 1)( 1)( 1) 8 a b c
分析:不等式右边是8,使我们联想到左边的因式分别是使用基本不等式得到三个2
证明： a, b, c R，且a b c 1,
2.综合法综合法是从已知条件入手去探明解题途径,概括地说, 就是”从已知,利用性质,定理等,逐步推向未知”.其思路是”由因导果”.即从已知条件A出发,得到结论 B1,由B1又可得到B2,…..由Bn可以推出结论B成立.
1、不等式的8大性质
•对称性: •传递性 •可加性 •可乘性
•加法法则
•乘法法则 •乘方法则
1 1 a b c 2 bc 1 a a a a
1 2 ac 1 2 ab 同理： 1 ， 1 b b c c
1 1 1 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘得： 1)( 1)( 1) 8 ( a b c 1 当且仅当a b c 时等式成立。 3
∴a( b2＋c2)≥2abc，
同理： b( c2＋a2)≥2bca， c( a2＋b2)≥2cab，
综合法
∵a、b、c不全相等，故等号不全成立， ∴
a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ＞ 6abc
随堂巩固 1.下列不等式正确的是
A. a b 2ab
2 2
ab C. ab 2
例2 ⑴ 求证:1618>1816 ．
2.已知a b 0, 求证: a b
a b
a b
b a
（作商）比较法
解析；两个式子都是幂的形式，故可考虑用比商法
第二题如果条件改为：a>0,b>0,a≠b,那结果如何？
--------综合法
利用某些已经证明过的不等式（重要不等式和均值不等式）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种方法通常叫做综合法。
一. 温故知新
上节课我们学习了作差比较法，这节课来学习作商比较法.类比于作差比较法，我们先做分析；
1、应用范围；不等式两端是乘积的形式或幂、指数式。
a 2、理论依据；若a, b R , 则a b 1 b

3、基本步骤；作商----变形----判断商与1的大小----结论
说明；比商法不可忽视作商时分母的符号，它的确定是其中的一个步骤。
例题:
例1 若x 0,
求证 : x 1x 2 x 2 1 x 1x 2 2 x
解析；两个式子都是乘积的形式，故可考虑用比商法注意: 1.用作商比较法证明不等式的步骤是:作商—变形—判断与1的大小关系.

2.有时所比较的两个实数或数式有相同的因式，可以用作商法进行约分化简。
2
2
2
a2 a2 b 2 b 2a b b b2 c2 同理 : c 2b, a 2c c2 a 2 2 a b c 相加得 : a b c 2a 2b 2c b c a
a b c 即： a b c b c a
2
2
例8：已知a，b，c R ，且互不相等，且abc 1，例4 1 1 1 求证：a b c a b c
证法2： a，b，c R，且互不相等，且abc 1，

1 1 1 bc ca ab a b c bc ca ca ab ab bc 2 2 2
abc a bc ab c
2 2 2
a b c

ab B. ab 2 ab D. ab 2
2. 已知a, b R , 且a b, 1 1 a 求证： b 4 a b
例2 例6：已知a，b，c R ，
a b c 求证： a b c b c a
证明: a, b, c R
•开方法则
若a,b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）
2、重要不等式 3、均值不等式
若a,b∈R+,则a+b≥2
（当且仅当a=b时取等号） ab
例1 已知a、b、c为不全相等的正数，求证：
a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ＞ 6abc
证明： ∵ b2＋c2≥2bc，a＞0