对偶基

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第10章双线性函数与辛空间

10.1复习笔记

一、线性函数

1．定义

设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足

（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），

（2）f（kα）＝kf（α），

式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．

2．性质

（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．

（2）如果β是α

1，α

2，…，α

s的线性组合：β＝k

1α

1＋k

2α

2＋…＋k

sα

s．那么f（β）＝

k

1f（α

1）＋k

2f（α

2）＋…＋k

sf（α

s）．

3．矩阵的迹

A是数域P上一个n级矩阵．设

则A的迹

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Tr（A）＝a

11＋a

22＋…＋a

nn

是P上全体n级矩阵构成的线性空间Pn×n上的一个线性函数．

4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε

1，ε

2，…，ε

n是V的一组基，a

1，a

2，…，

a

n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（ε

i）＝a

i，i＝1，2，…，n．

二、对偶空间

1．L（V，P）的加法和数量乘法

（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），

α∈V，f＋g也是线性函数：

f＋g称为f与g的和．

（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），

α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．

2．L（V，P）的性质

（1）对V中任意向量α，有

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而对L（V，P）中任意向量f，有

（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f

1，f

2，…，f

n是L（V，P）的一组基．

3．对偶空间

（1）定义

L（P，V）称为V的对偶空间．由

微分流形讲义

曹策问

2006年2月

引 言

在自然科学发展史上，微积分的发明，是一个划时代的事件。它是从常量数学到变量数学的转折点；也是从平直、线性数学向弯曲、非线性数学的过渡。微积分方法的核心，基于弯曲与平直关系的恰当处理。

从圆周长公式到圆面积公式的推导过程，包含了微积分方法的要点，简言之就是：“曲---直---曲”。从圆心向外引若干条射线，面圆被剖分为若干个小扇形。将每个小扇形弯曲的一边用直线代替，就成为一个等腰三角形：腰长等于半径，底长近似地等于被替换掉的圆弧的长。这样，圆就被一个多边形所代替。多边形面积等于各个小等腰三角形之和:

(12底高)12(底)高。

当剖分越来越细，多边形面积越来越逼近圆面积。分划趋于无穷时，三角形底长之和趋于圆周长，高趋于半径，多边形面积也就趋于圆面积:

2122RRR。

这样，在局部上（无穷小范围内），以直代曲，通过极限过程，得到弯曲图形的面积。

微积分中最关键的，同时也最引起争议的，是无限分割中产生的“无穷小量”的计算。在科学史上曾对此争论不休。随着微积分的逻辑基础的逐步建立，更重要的是随着微积分方法大批卓有成效的出色应用，这门学科站住脚了，蓬勃发展了。历史上第一个令人震惊的应用，属于微积分的发明者之一牛顿。他证明，刻卜勒通过总结天体观察发现的行星运动三定律，是引力定律（平方反比律）的逻辑推论。这的确是人类理性的一次重大胜利。

微积分是关于弯曲的科学。微积分研究弯曲空间的局部性质相当成功。随着自然科学的深入发展，弯曲空间的整体性质的重要性，日益显露。在微积分的基础上不断更新发展，出现了微分流形、微分拓扑，大范围分析等等新学科。

从历史上看, 微分流形有三个来源：

几何。首先是球面。一张地图描述不了地球；需要一本地图集。地图(chart)、地图集(atlas)，已演化成微分流形的专门术语：坐标卡，坐标卡集。整体几何中的曲线与曲面提供了微分流形的丰富例子。

⾼等代数英语词汇

Higher Algebra

第⼀章 多项式chapter1 Polynomials

real coefficient polynomial 实多项式系数 common factor 公因式 rational coefficient polynomial 有理数多项式系数 greatestcommon factor 最⼤公因式 complex coefficient polynomial 复系数多项式 unit-factor 单因式 function 函数 repeated factor 重因式 polynomial function 多项式函数 single root 单根 division with remainder 带余除法 multiple root 重根 synthetic division 综合除法

第⼆章⾏列式Chapter2 Determinants

permutation 排列 cofactors term 余⼦式 transposition 对换 Cramer rule 克拉默法则 determinant ⾏列式 Laplace theorem 拉普拉斯定理

第三章 线性⽅程组Chapter3 Systems of Linear Equations

coefficient matrix 系数矩阵 linear expression 线性表⽰ system of linear equations 线性⽅程组 basis 基（基底） linearcombination 线性组合 vector space 向量空间 linear dependence 线性相关 rank 秩

linear independence 线性⽆关 equivalent 等价 greatest linear independence 极⼤线性⽆关 solution 解 equivalent linearsystem 等价线性⽅程组 equality of matrices 矩阵相等 gauss elimination method ⾼斯消元法 vector system 向量组elementary row operation 初等⾏运算 vector 向量

第十章 双线性函数与辛空间

1、 设V是数域P上的一个三维线性空间，1，2，3是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知

f (1+3)=1,f (2-23)=-1,f (1+2)=-3

求f (X11+X22+X33).

解 因为f是V上线性函数，所以有

f (1)＋ f (3)=1

f (2)-2 f (3)=-1

f (1)+f (2)=-3

解此方程组可得

f (1)＝4，f (2)＝－7，f (3)＝－3

于是

f (X11+X22+X33).＝X1 f (1)＋X2 f (2)＋X3 f (3)

＝4 X1－7 X2－3 X3

2、 设V及1，2，3同上题，试找出一个线性函数f ,使

f (1+3)＝f (2-23)=0, f (1+2)=1

解 设f为所求V上的线性函数，则由题设有

f (1)＋ f (3)=0

f (2)-2 f (3)=0

f (1)+f (2)=1

解此方程组可得

f (1)＝－1，f (2)＝2，f (3)＝1

于是aV,当a在V的给定基1，2，3下的坐标表示为

a= X11+X22+X33时，就有

f (a)=f (X11+X22+X33) = X1 f (1)＋X2 f (2)＋X3 f (3)

=-X1+2 X2+ X3

3、 设1，2，3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令

1＝1－3，2＝1＋2－3，3＝2＋3

试证：1，2，3是V的一组基，并求它的对偶基。