预测控制系统的定性综合(教学参考)

进入约束集后采用固定反馈控制律
k
k+ N
滚动优化中相邻时刻性能指标的联系 把滚动的性能指标通过构造中间控制序列联系起来
Optimization at k
* k 时刻最优解 u (k )
u*(k)
根据 J (u ( k + 1)) 的表达式， 证明 J (k +1) £ J * (k )
k + 1 时刻可行解 u (k + 1)
预测控制与最优控制的关系
预测控制求解最优控制的思路与特点
HJB理论（动态规划方法）
J * ( x0 , u0, N -1 ) = min { J ( x0 , u0,i-1 ) + J * ( xi , ui , N -1 )}
u0,i-1
最优解的充分必要条件 给出了确定最优反馈控制器 u = k ( x) 的构造性过程 极大值原理
J * (k + 1) £ J * (k )
k
Optimization at k+1
k+N
证明 u ( k + 1) 是 k + 1 时刻的可 * 行解，则 J (k +1) £ J (k +1)
* k + 1 时刻最优解 u (k +1)
u*(k+1)
关键问题
* 1.如何构造 u (k + 1) ，使 J (k + 1) 与 J (k ) 可比较
past
future
( x, u ) ³ c(| ( x, u ) |) 2 , (0, 0) = 0
F (.) 为终端代价函数
k k 1 Moving k+M
在线优化
k VN = min{V ( x, k , u ) | u Î U , x Î X } u
u = {u 0 (k ;( x, k )), u 0 (k + 1;( x, k )),...., u 0 ( k + N -1;( x, k ))}
取k+1时刻解
u = {u ( k + 1| k ),......, u (k + N -1| k ), Hx(k + N | k )}
2 2 J (k +1) =|| x(k +1| k ) ||Q +...+ || x(k + N | k ) ||Q + x(k + N +1| k )
2 P
2 2 + || u(k +1| k ) ||2 R +....+ || u(k + N -1| k ) ||R + || Hx(k + N | k ) ||R
6.1 预测控制定性综合理论的基本思路
1. 预测控制与最优控制的关系 2. 预测控制在线开环优化的无穷时域近似 3. 预测控制滚动优化中相邻时刻性能指标的联系
预测控制与最优控制的关系
预测控制的滚动优化实现
past future
Optimization at k
对象模型 系统约束 终端约束
x(k + 1) = f ( x(k ), u (k )), y (k ) = h( x(k ))
预测控制理论发展的轨迹
现代预测控制定性综合理论的特征

以最优控制作为理论参照体系 以Lyapunov分析作为稳定性保证的基本方法 以不变集、LMI等作为基本工具 以具有滚动时域特点的性能分析作为研究核心
从1995年以来，仅在Automatica、IEEE Transactions on Automatic Control这两个国际控制主流刊物上发表的关于预测控制的论文就有 131篇，一些具有重要意义的论文，如2000年D.Q.Mayne等发表在 Automatica上的“Constrained model predictive control: Stability and optimality”，仅SCI引用已达349次。
min
J (k ) = å [l ( x(k + i ), u (k + i )) ]
i =0
N -1
s.t.
x(k + i + 1| k ) = f ( x(k + i | k ), u ( k + i | k ))
u ( k + i | k ) Î W u , x ( k + i | k ) Î W x i = 0, , N - 1
预测控制律
k( x, k ) = u 0 (k ;( x, k ))
预测控制与最优控制的关系
预测控制与最优控制的关系
Mayne et al （2000）指出： MPC不是一种新的控制设计方法，它本质上是解决标准的最优 控制问题（只是用有限时域代替了传统最优控制的无限时域） 它与其它控制器不同之处在于：它是对系统当前状态在线求解 最优控制问题，而不是离线确定反馈策略。 在线解是通过求解以系统当前状态为初始状态的开环最优控制 问题获得的，是一个数学规划问题。而确定反馈解则需要求解 HJB微分或差分方程，是一个动态规划问题。 因此，预测控制区别于传统最优控制方法仅仅在于其实现模式。
终端零约束
k+ N
x(k + N ) = 0
k
O p tim iza tio n H o rizo n
·
终端代价函数
·
F ( x(k + N ))
x (i )
近似优化时域后的无穷性能指标
k
O p tim iz a tio n H o rizo n
k+ N
终端集约束
·
x (i )
x(k + N ) Î X f
x(k + N | k ) = 0
假设k时刻最优解为 {u (k | k ), u (k +1| k ),......, u (k + N -1| k )}
k+1时刻取

J * (k ) J (k + 1)
{u (k + 1| k ),......, u (k + N -1| k ), 0}
J (k + 1) = J * (k ) - l ( x(k∣ k ), u (k∣ k )) < J * (k )
预测控制系统的定性综合
席裕庚 上海交通大学自动化系 （教学参考）
主要内容
6.0 预测控制理论发展的轨迹 6.1 预测控制定性综合理论的基本思路 6.2 稳定预测控制器的综合 6.3 鲁棒预测控制器的综合
预测控制理论发展的轨迹
预测控制产生初期，由于其工业应用的背景，研究者关心的是：在使用各种实用 预测控制算法如DMC、GPC时，如何选择设计参数（优化、控制时域、加权系 数）使闭环系统稳定，需要的是这些设计参数与稳定性的定量关系。
2 2 2 J (k + 1) £ J * (k )- || x( k | k ) ||Q - || u ( k | k ) ||2 R - || x ( k + N | k ) ||P + || x ( k + N | k ) ||Q 2 + || ( A + BH ) x(k + N | k ) ||2 P + || Hx ( k + N | k ) ||R 2 * < J * (k )- || x(k | k ) ||Q - || u (k | k ) ||2 R < J (k )
u (k ) Î U , x(k ) Î X
k k 1
Control Horizon
k+M1
k+P
x(k + N ) Î X f Ì X
k + N -1
Optimization Horizon
Optimization at k+1
性能指标 V ( x, k , u ) =
å
i=k
( x(i ), u (i)) + F ( x( k + N ))
u(k+1)
k+1 k+N+1
2.如何规范优化策略，使所构造的 u (k +1) 在 k + 1 时刻满足全部约束（可行）
6.2 稳定预测控制器的综合
1. 终端零约束预测控制 2. 带有终端代价函数的预测控制 3. 带有终端集约束的预测控制
终端零约束预测控制 终端等式约束（零约束）预测控制
u ( k +i|k ), 0£i£ N -1
-
i=k + N
å
¥
( x(i ), u (i ))
终端代价函数
把系统状态经有限时域控制到适当范围后，把后续最优控制近似 为反馈控制律
x(k + N | k ) Î X f
终端约束集
在线开环优化的无穷时域近似
u ( k +i|k ), 0£i£N-1
min
J (k ) = å[l ( x(k + i), u(k + i))]
i=0
N-1
s.t.
x(k + i +1| k ) = f ( x(k + i | k ), u(k + i | k ))
u (k + i | k ) Î Wu , x(k + i | k ) Î W x i = 0, , N -1
O p tim iz a tio n H o r iz o n
x (i )
来自百度文库
是k+1时刻的一个可行解，故其对应的
J (k + 1) ³ J * (k + 1)
J * (k + 1) < J * (k )
带有终端代价函数的预测控制 终端代价函数
终端零约束相当于对终端项加权无穷大，终端代价函数则代之以有限加权来 保证稳定性，其实质是给出控制时域以后无穷时域性能指标的一个上界。
无穷时域问题
min V¥ ( x, k , u ) = å ( x(i, u (i ))
i=k
¥
= VN ( x, k , u ) + V ( x, k , u )
-
其中 对性能 V ( x, k , u ) 的精确估计或近似估计：
F ( x(k + N | k ))
-
V ( x, k , u ) =
k ( x) = u 0 (0, x)
预测控制与最优控制的关系
由两者相互关系得到的启示
1) 从实现的角度出发，预测控制在每一时刻的开环优化通常采 用有限时域而非无穷时域，因此每一步解得的开环最优控制 与真正意义上的无穷时域最优控制是不等价的。所以有必要 把预测控制在线进行的有限时域开环优化拓展成与无穷时域 开环最优控制相近的形式。
u ( k +i|k ), 0£i£ N -1
F ( x(k + N | k )) =|| x(k + N | k ) ||2 P
( A + BH ) ' P ( A + BH ) + Q + H ' RH < P
2 2 J * ( k ) =|| x (k | k ) ||Q +...+ || x( k + N -1| k ) ||Q + x(k + N | k ) 2 + || u ( k | k ) ||2 R +....+ || u ( k + N -1 | k ) ||R 2 P
可以得到 这组解满足
u(k + i | k +1) = u(k + i | k ) ÎWu , x(k + i | k +1) = x(k + i | k ) ÎWx i =1,, N -1 u(k + N | k +1) = 0 ÎWu , x(k + N | k +1) = 0 ÎWx x(k + N +1| k +1) = f ( x(k + N | k +1), u(k + N | k +1)) = f (0, 0) = 0
线性无约束系统
优化问题 终端代价函数 P>0且满足
k时刻最优解
u = {u ( k | k ), u (k + 1| k ),......, u (k + N -1| k )}
x(k +1) = Ax(k ) + Bu (k )
min
2 2 J (k ) = å éê x(k + i | k ) Q + u (k + i | k ) R ùú + F ( x(k + N | k )) û ë i =0 N -1
2) 最优控制的稳定性分析中，Lyapunov函数通常取为最优解的 值函数，这一稳定性分析的基本思路可以借用到预测控制的 中。但由于采用滚动时域，预测控制在相邻时刻的优化问题 是相互独立的，相应的局部性能指标（值函数）不具有关联 性和可比性，这是其稳定性分析的难点所在，需要采用特殊 的方法解决。
在线开环优化的无穷时域近似 将有限时域优化问题延拓为无穷时域优化问题
研究设计参数与系 统性能的定量关系
预测控制的经典定量分析理论

应用驱动，研究算法的 稳定性 理论驱动，研究稳定性 的算法
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预测控制的现代定性综合理论
研究确保系统性 能的设计方法
90年代以来，人们改变研究思路，不再局限于原始的预测控制算法，而是在认 识到预测控制的本质和分析难点是在线滚动求解开环最优控制问题的基础上， 借鉴最优控制的研究成果和Lyapunov方法在稳定性分析和设计中的巨大作用， 从保证稳定性的角度出发，研究和设计新的预测控制算法，形成了当前公认的 预测控制理论研究的主流。
x ( k + 1) = ¶H (k ) ¶H ( k ) , l (k ) = , ¶ l ( k + 1) x(k ) ¶H (k ) =0 ¶u (k )
最优解的必要条件 0 给出了对一给定初态 x 确定最优开环控制 u (⋅ , x) 的计算算法
能否通过对每一状态 x 求解开环最优控制问题来得到最优闭环控制