高等数学一讲义gdsx_jy0201

第3讲导数与微分

高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。

3.1导数的概念

一、函数的变化率

对于函数)(xfy，我们要研究y怎样随x变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图

我们可以看出，对于相同的自变量的改变量x，所对应的函数改变量y是不同的。xy可以表示变化的速率，但这是一个平均速率，怎样考虑函数)(xfy在一点0x的变化率呢？

二、导数的概念

根据前面的介绍，我们给出下面的定义。

定义3.1设函数)(xfy在点0x及其某个邻域U内有定义，对应于自变量x在0x处的改变量x，函数相应的改变量为)()(00xfxxfy，如果当0x时极限

存在，则此极限值称为函数)(xfy在点0x处的导数，或在点0x处函数)(xf关于自变量x的变化率，记作

)(0xy，或)(0xf

这时，称函数)(xfy在点0x处是可导的。

根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。

例1根据导数定义求cy在点x处的导数。

解根据定义求导数通常分三步：

（Ⅰ）求)()(00xfxxfy： （Ⅱ）求xy：

（Ⅲ）求xyx0lim：

因此得出0)(xy。

如果函数)(xf在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数)(xf，称)(xf为)(xf的导函数。)(xf在点0xx的函数值)(0xf就是)(xf在点0xx的导数。

例2根据导数定义求2)(xxf在点x处的导数。

解按照由定义求导数的步骤：

因此得出xxf2)(。

例3根据导数定义求nxxf)(（n为自然数）在点x处的导数。

解按照由定义求导数的步骤：

因此得出1)(nnxxf。

可以看出上例的结果与本例的结果是一致的。

例4根据导数定义求xxf1)(在点x处的导数。

解按照由定义求导数的步骤：

第3讲导数与微分

高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。

3.1导数的概念

一、函数的变化率

对于函数)(xfy，我们要研究y怎样随x变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图

我们可以看出，对于相同的自变量的改变量x，所对应的函数改变量y是不同的。xy可以表示变化的速率，但这是一个平均速率，怎样考虑函数)(xfy在一点0x的变化率呢？

二、导数的概念

根据前面的介绍，我们给出下面的定义。

定义3.1设函数)(xfy在点0x及其某个邻域U内有定义，对应于自变量x在0x处的改变量x，函数相应的改变量为)()(00xfxxfy，如果当0x时极限

存在，则此极限值称为函数)(xfy在点0x处的导数，或在点0x处函数)(xf关于自变量x的变化率，记作

)(0xy，或)(0xf

这时，称函数)(xfy在点0x处是可导的。

根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。

例1根据导数定义求cy在点x处的导数。

解根据定义求导数通常分三步：

（Ⅰ）求)()(00xfxxfy：

（Ⅱ）求xy：

（Ⅲ）求xyx0lim：

因此得出0)(xy。

如果函数)(xf在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数)(xf，称)(xf为)(xf的导函数。)(xf在点0xx的函数值)(0xf就是)(xf在点0xx的导数。

例2根据导数定义求2)(xxf在点x处的导数。

解按照由定义求导数的步骤：

因此得出xxf2)(。

例3根据导数定义求nxxf)(（n为自然数）在点x处的导数。

解按照由定义求导数的步骤：

因此得出1)(nnxxf。

可以看出上例的结果与本例的结果是一致的。

例4根据导数定义求xxf1)(在点x处的导数。

解按照由定义求导数的步骤：

1 第一篇 高等数学

第一章 函数、极限与连续

一、大纲内容与要求

【大纲内容】

函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函

数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的

定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及

无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：

0sin

lim1

xx

x

，1

lim1ex

xx







.函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭

区间上连续函数的性质.

【大纲要求】

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间

的关系.

6．掌握极限的性质及四则运算法则.

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.

9．理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大

值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质

. 2 二、知识网络

极限概念 “N”定义

“X

”定义

“

”定义

极限性质 唯一性

有界性

保号性 数列整体有界

函数局部有界

极限存在准则

两个重要的极限

函数的连续性

用导数的定义

带皮亚诺余项的泰勒公式

用函数极限求数列极限

用定积分定义求某些和式的极限

利用级数相关理论求极限(数一、三) 洛必达法则 等价无穷小替换

（完整）高等数学辅导讲义

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（完整）高等数学辅导讲义

第一部分 函数 极限 连续

函数、极限、连续

函数 极限 连续

函数概念 函数的四种特征 反函数与复合函数 初等函数

函数的有界性

函数的单调性

函数的奇偶性

函数的周期性 数列极限函数极限数列极限的定义

收敛数列的性质

极限存在准则 极限的唯一性

收敛数列的有界性

收敛数列的保号性

数列极限四则运算法则

夹逼准则

单调有界准则 函数极限的定义

函数极限的性质

两个重要极限

无穷小的比较 函数极限的唯一性

函数极限的局部有界性

函数极限的局部保号性

函数极限与数列极限的关系

函数极限四则运算法则

高阶无穷小

低阶无穷小

同阶无穷小

等价无穷小 连续概念 间断点分类 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

零点定理 第一类间断点

第二类间断点 可去间断点跳跃间断点 （完整）高等数学辅导讲义

历年试题分类统计及考点分布

考点

年份 复合函数 极限四则运算法则 两个重要极限 单调有界准则 无穷小的阶 合计

1987

1988 5 3 8

1989

1990 3 3 6

1991 5 3 8

1992 3 3

1993 5 3 8

1994 3 3

1995 3 3

1996 3 6 3 12