绵阳市开元中学高2013级高二（下）数学学案
1 A B C D O S
xyz图1 选修2-1 第三章 空间向量与立体几何
空 间 距 离
学案设计：绵阳市开元中学 王小凤老师
学生姓名：
一．学习目标：
1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的距离；
2．能用向量方法解决线线、线面、面面的距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用；
3． 探究题型，掌握解法。
二．重难点：向量法在立体几何中求空间的距离应用。
三．学习过程
（一）．知识梳理
1．点到直线的距离：点P到直线a的距离为点P到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为A，过A作a的垂线，垂足为B，连结PB，则由三垂线定理可得线段PB即为点P到直线a的距离。在PABRt中求出PB的长即可。
2．异面直线间的距离：异面直线ba,间的距离为ba,间的公垂线段的长．常有求法①先证线段AB为异面直线ba,的公垂线段，然后求出AB的长即可．②找或作出过b且与a平行的平面，则直线a到平面的距离就是异面直线ba,间的距离．③找或作出分别过ba,且与b，a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线ba,间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。
3．点到平面的距离：点P到平面的距离为点P到平面的垂线段的长．常用求法①作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面的斜线上两点A，B到斜足C的距离AB，AC的比为nm:，则点A，B到平面的距离之比也为nm:．特别地，ABAC时，点A，B到平面的距离相等；③体积法
4．直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。
5．平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
一、选择题
1．已知平行六面体''''ABCDABCD中，4AB，3AD，'5AA，90BAD，''60BAADAA．则'AC的长为（ ）
A．85
B．97 C．12 D．230
2．如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，BAC与BCD△均为直角三角形，且90BACBCD，ABAC，112CDBC，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AD成30的角，则线段PA长的取值范围是（ ）
A．20,2 B．60,3 C．(0,1] D．0,2
3．如图，四边形ABCD和ABEF都是正方形，G为CD的中点，60DAF，则直线BG与平面AGE所成角的余弦值是（ ）
A．25 B．105 C．155 D．215
4．设动点P在棱长为1的正方体1111ABCDABCD的对角线1BD上，11DPDB，当APC为锐角时，的取值范围是（ ）
A．10,3 B．10,2 C．1,13 D．1,12
5．已知直三棱柱111ABCABC中，190,1,2ABCABBCCC，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为（ ）
A．35 B．35 C．45 D．45
6．阅读材料：空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为＝（a，b，c）的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0；过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为d＝（u，v，w）（uvw≠0）的直线l的方程为000xxyyzzuvw，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y﹣2z﹣4＝0，直线l是两平面3x﹣2y﹣7＝0与2y﹣z+6＝0的交线，则直线l与平面α所成角的大小为（ ）
高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B版（理）
【本讲教育信息】
一、教学内容：
选修2—1 空间向量及其运算
二、教学目标：
1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析：
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
baABOAOB
baOBOABA
)(RaOP
运算律：
（1）加法交换律：abba
（2）加法结合律：)()(cbacba
（3）数乘分配律：baba)(
3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使a＝λb.
4．共面向量定理：如果两个向量ba,不共线，那么向量p与向量ba,共面的充要条件是
存在有序实数组),(yx，使得byaxp。
5．空间向量基本定理：如果三个向量c,b,a不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使czbyaxp
6．夹角
定义：ba,是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作bOBaOA,，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作ba,
规定：ba,0
特别地，如果0,ba，那么a与b同向；如果ba,，那么a与b反向；如果90b,a，那么a与b垂直，记作ba。
7．数量积
（1）设ba,是空间两个非零向量，我们把数量baba,cos||||叫作向量ba,的数量积，记作ba，即ba＝baba,cos||||
一、选择题
1．在正四棱锥PABCD中，1PAPBPCPDAB，点Q，R分别在棱AB，PC上运动，当||QR达到最小值时，||||PQCQ的值为（
）
A．7010 B．355 C．3510 D．705
2．阅读材料：空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为＝（a，b，c）的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0；过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为d＝（u，v，w）（uvw≠0）的直线l的方程为000xxyyzzuvw，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y﹣2z﹣4＝0，直线l是两平面3x﹣2y﹣7＝0与2y﹣z+6＝0的交线，则直线l与平面α所成角的大小为（ ）
A．arcsin1414 B．arcsin421
C．arcsin51442 D．arcsin12377377
3．已知正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（ ）
A．23 B．33 C．23 D．13
4．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，,EF分别为棱1AA、1BB的中点，G为棱11AB上的一点，且1(02)AG，则点G到平面1DEF的距离为( )
A．23 B．2 C．223 D．255
5．在直三棱柱111ABCABC中，1111122AAABBC，且ABBC，点M是11AC的中点，则异面直线MB与1AA所成角的余弦值为( )
A．13 B．223 C．324 D．12
6．如图，在长方形ABCD中，3AB，1BC，点E为线段DC上一动点，现将ADE沿AE折起，使点D在面ABC内的射影K在直线AE上，当点E从D运动到C，则点K所形成轨迹的长度为（ ）
A．32 B．233 C．3 D．2
7．如图，在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点．若ABa，ADb，1AAc，则下列向量中与BM相等的向量是（ ）
