1.1《命题》导学案1
1.了解命题的概念及命题的四种形式(即原命题、逆命题、否命题、逆否命题).
2.会分析四种命题间的相互关系和等价关系.
有一家主人是一个不善言辞的木讷之人,一天主人邀请张三、李四、王五三人吃饭聊天,时间到了,只有张三、李四准时赴约,王五打电话说:“临时有急事不能来了.”主人听到随口说了一句:“你看看,该来的没来.”张三听到,脸色一沉,起来一声不吭地走了,主人愣了片刻,又道了句:“哎,不该走的走了.”李四一听大怒,拂袖而去,主人尴尬不知所措.
问题1: (1)张三和李四之所以生气走人,是因为主人的表达方式存在逻辑错误,该来的没来这句话等价于,不该走的走了这句话等价于.
(2)一般地,在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断的陈述句叫作命题.其中判断为真的语句叫作,判断为假的语句叫作.命题的常见形式是,其中p叫作命题的,q叫作命题的.
问题2: 四种命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和,那么我们把这样的两个命题叫作命题.如果把其中的一个命题叫作,那么另一个命题叫作.
对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
和,我们把这样的两个命题叫作命题.如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题就叫作.
对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
和,我们把这样的两个命题叫作.如果把其中的一个命题叫作原
命题,那么另一个命题就叫作.
问题3: 四种命题之间的相互关系
问题4: 四种命题的真假性的判断情况:
逆否命
原命题逆命题否命题
题
真真
真假
假真
假假
说明:(1)原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有;
(2)互逆命题和互否命题,它们的真假性关系;
(3)在判断一些命题的真假时,如果不容易直接判断,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.
1.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是().
A.这个四边形的对角线互相平分
B.这个四边形的对角线互相垂直
C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直
D.这个四边形是平行四边形
2.命题“若a?A,则b∈B”的否命题是().
A.若a?A,则b?B
B.若a∈A,则b?B
C.若b∈B,则a?A
D.若b?B,则a?A
3.下列语句是命题的有.
(1)5<2;
(2)π是无理数;
(3)x+5=8;
(4)你是高二的学生吗?
4.已知命题:若m>2,则方程x2+2x+3m=0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.
命题及其真假的判断
判断下列语句是否为命题,若是命题,则判断其真假.
①求证:是无理数;②x2-2x+3≥0;③正三角形是等腰三角形吗?④x≤3;⑤方程x2+3x+3=0无实数解;⑥若G2=ab,则a,G,b成等比数列.
四种命题间的关系
将命题“a>0,则函数y=ax+b的值随x的增大而增大”,写成“若p,则q”的形式,并写出其否命题、逆命题和逆否命题.
逆否命题的应用
求证:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
判断下列语句是否是命题.
(1)求证π是无理数;(2)x2+4x+5=0;(3)若a,b都是无理数,则ab是无理数.
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.
(1)若a>b,则ac2>bc2.
(2)两个无理数的积仍是无理数.
证明:对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b.
1.已知x,y∈R,下列命题中为真命题的是().
A.若xy=0,则x2+y2=0
B.若xy=0,则|x|+|y|=|x+y|
C.若x>y,则x2>y2
D.若x 2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是(). A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 3.命题“当AB=AC时,△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题有个. 4.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假. (1)等腰三角形的两个底角相等. (2)当x=2或x=4时,x2-6x+8=0. (3)菱形对角线相等且互相平分.(4)方程x2-x+1=0有两个实根. 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切. 其中真命题的序号是(). A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 考题变式(我来改编): 第一章常用逻辑用语 第1课时命题 知识体系梳理 问题1:(1)来的都是不该来的该走的没有走(2)真假 真命题假命题“若p,则q”条件结论 问题2:结论条件互逆原命题原命题的逆命题条件的否定结论的否定互否原命题的否命题结论的否定条件的否定互为逆否命题原命题的逆否命题 问题4:真真假真真假假假(1)相同的真假(2)没有 基础学习交流 1.C条件:若一个四边形为平行四边形,结论:这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直. 2.B注意“∈”与“?”互为否定形式. 3.(1)(2)(1)(2)是能判真假的陈述句,是命题.(3)虽是陈述句,但不能判断真假.(4)是疑问句,不是陈述句.故(3)(4)不是命题. 4.解:逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根,则m>2,假命题. 否命题:若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根,假命题. 逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根,则m≤2,真命题. 重点难点探究 探究一:【解析】 题号是否为 命题 分析 ①否不是陈述句,因此不是命题 ②是x2-2x+3=(x-1)2+2≥0恒成立,是真命题 ③否不是陈述句,因此不是命题 ④否虽是陈述句,但无法判断其真假,故不是命题 ⑤是由于Δ=32-4×3=-3<0,故方程x2+3x+3=0无实数解,是真命题 ⑥是若G=a=0,则a,G,b不是等比数列,故为假命题 【小结】判断一个语句是否为命题的步骤:先看该语句是否为陈述句,如果不是陈述句,就不是命题,如果是陈述句,再看该语句能否判断真假,若能判断真假就是命题,否则不是命题. 探究二:【解析】原命题“若p,则q”的形式:当a>0时,若x增大,则函数y=ax+b的值也随着增大; 否命题:当a>0时,若x不增大,则函数y=ax+b的值也不增大; 逆命题:当a>0时,若函数y=ax+b的值增大,则x的值也随着增大; 逆否命题:当a>0时,若函数y=ax+b的值不增大,则函数x的值也不增大. 【小结】在写四种命题时,要记住条件和结论位置的变化及是否已被否定. 探究三:【解析】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若 a+b<0,则f(a)+f(b) 若a+b<0,则a<-b,b<-a, 又∵f(x)是在(-∞,+∞)上的增函数, ∴f(a) ∴f(a)+f(b) 即原命题的逆否命题为真命题, ∴原命题为真命题. 【小结】命题的四种形式之间的关系,提供了一个判断命题真假的变通手段,由于互为逆否的两个命题是等价命题,它们同真或同假,所以当一个命题不易判断时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. 思维拓展应用 应用一:(1)祈使句,不是命题;(2)因为x2+4x+5=(x+2)2+1>0,对于x∈R,可以判断其真假,所以是命题;(3)可以判断真假,所以是命题. 应用二:(1)逆命题:若ac2>bc2,则a>b,真命题. 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2,真命题. 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b,假命题. (2)逆命题:乘积为无理数的两个数都是无理数,假命题. 否命题:两个不都是无理数的积也不是无理数,假命题. 逆否命题:乘积不是无理数的两个数不都是无理数,假命题. 应用三:将“对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b”视为原命题. 要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆否命题“对任意非正数c,若a>b,则a>b+c”为真命题. 若a>b,由c≤0知b≥b+c,∴a>b+c. ∴原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题.即对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b. 基础智能检测 1.B若x=2,y=0,则x2+y2>0,故A是假命题. xy=0即x、y中至少有一个为0,∴|x|+|y|=|x+y|,故B是真命题. 若x=2,y=-3,则x2 若x 2.B 3.2原命题为真命题;逆命题“当△ABC是等腰三角形时,AB=AC”为假命题;否命题“当AB≠AC时,△ABC不是等腰三角形”为假命题;逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时,AB≠AC”为真命题. 4.解:(1)若一个三角形是等腰三角形,则它的两个底角相等,真命题. (2)若x=2或x=4,则x2-6x+8=0,真命题. (3)若一个四边形是菱形,则它的对角线相等且互相平分,假命题. (4)如果一个方程为x2-x+1=0,则这个方程有两个实数根,是假命题. 全新视角拓展 C因为球的体积公式V=πR3,所以①正确;两组数据的平均数相等,标准差不一定相等,如0,0,0与100,0,-100,所以②错;圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d===r,所以③正确,故选C.
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