第三章 简单随机抽样(抽样调查理论与方法-北京商学院 李平)

N i j
(Yi
Y
)(Yj
Y
)

1 nN
1
n 1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
n 1 N 1

N i 1
(Yi
Y
2 )


1 n

N N
n

1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
1 f S2
n
证明Ⅱ：仍引进随机变量 ai ：
N 1 n 1

N n


n N
ˆ
f
E(ai )
n N

f
(3.5)
借助 ai ，样本均值 y 可以表示成:
y

1 n
N i 1
aiYi
(3.6)
E( y) 1
n
N
E(ai )Yi
i 1
1 n
n N
N
Yi
i 1
Y
推论： Y 的简单估计量Yˆ Ny 也是无偏的，即: E(Ny ) Y
所有可能的样本求平均: E( y)
N 1 y n

N n

个样本中，包含特定单元
Yi
的样
本数为

N 1 n 1
，也有同样多样
本含有任何其他单元，因此
y 1
n
( y1
y2

yn )

1 n

N 1 n 1
数，则编号为这些随机数的 n 个单元组成一个简单随机样本。
随机数的产生可使用随机数骰子或随机数表。
图 3.1 随机数骰子 随机数骰子：标上 0～9 数字的正 20 面体（每个数字出现在两面）

我们按照这样的方法来抽样:首先将这1000名学生从1开 始进行编号,然后按号码顺序以一定的间隔进行抽取.由于
1000 20, 这个间隔可以定为20,即从号码为1~20的第一个
50
间隔中随机地抽取一个号码,假如抽到的是6号,然后从第 6号开始,每隔20个号码抽取一个,得到
6,26,46,,98.6
这样,我们就得到一个容量为50的样本.这种抽样方法我
1．抽签法 把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号 签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个 号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本.
抽签法的步骤: 第一步：将总体的所有N个个体从1到N编号;
第二步：准备N个号签分别标上这些编号,将号签放 在容器中搅拌均匀后,每次抽取一个号签, 不放回地连续取n次;
简单随机抽样 最新
2.随机数法
例:要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，准备
从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，请设计一个抽取的方法。 步骤：
第一步：先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799； 第二步：在随机数表中任选一个数，如选出第8行第7列的数字7：
第三步：从选取的数7开始向右读（也可向其它方向），得到一个三位数785， 因为785<799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得 到916，由于916>799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取 出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出。 这样我们就得到了一个容量为60的样本。
简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地 抽取n个个体作为样本(n≤N).如果每次抽取时各个个体 被抽到的机会都相等,就称这种抽样为简单随机抽样．

2
第一节
抽样方式
3
一、什么是简单随机抽样
简单随机抽样也称纯随机抽样。对于大小为的总 体，抽取样本量为的样本，若全部可能的样本被抽中 的概率都相等，则称这样的抽样为简单随机抽样。根 据抽样单位是否放回可分为放回简单随机抽样和不放 回简单随机抽样。 （一）放回简单随机抽样
（二）不放回简单随机抽样
（三）不放回与放回简单随机抽样的比较
13
用此种方法，当 N 的最高位数较小，比如 小于5，且不小 n时，由于读到的随机数被舍 弃不用的比例较大，抽选效率较差。此时采 用下面的方法。在随机数表中随机抽取3列， 顺序往下，如果得到的随机数大于247，小于 989（因为247的4倍为988，因此000及989到 999的数字应舍弃），则用这个数除以247， 得到的余数入样，显然这种方法效率要高得 多。随机数表的起始页和起始点都应用随机 数产生。

n

根据对称性论证法，有
E[

i 1
n
n ( yi Y ) ] N
2
(Y
i 1
N
i
Y )2
23
因此有
E[

i j
( yi Y )( y j Y )]
n( n 1) N ( N 1)
(Y
i j
i
Y )(Y j Y )
1 n V ( y) 2 n N
20
（一）简单估计量的定义
对于简单随机抽样，最简单的估计是利用样本均值 作为总体均值的估计，即总体均值的简单估计量为：
也就是说，样本均值是总体均值的简单估计量。
1 n y yi n i 1
21
（二）简单估计量 y 的无偏性

2 Z i (7.19)
1 1 ij 2 Z i Z j ( ) D 1 2Zi 1 2Z j 1 1 Zi Z j ( ) D 1 2Zi 1 2Z j
(7.20)
Durbin方法中的 i , ij 与Brewer方法中的 i , ij 完全一样 这表明两种不等概率抽样方法其实是等价的。
既然是不等概率抽样，那么就应该在抽样之前给总体中 的每一个单元赋予一定的抽取概率，在放回抽样的每一次抽 取中，设第 i 个单元入样的概率为 Z i (0 Z i 1, i 1, 2, , N ) N 且 Z i 1，按此规定有放回地独立抽取 n 次，形成所谓 i 1 的多项抽样。
(7.6)
(7.7)
§2
不放回的不等概率抽样
上一节讲述了有放回不等概率抽样，无论从实施上还是 从估计计算以及精度估计都显得十分方便。但是，一个单元 被抽中两次以上总会使样本的代表性打折扣，从而引起抽样 误差的增加。因此，实际调查工作者一般倾向于使用不放回 形式。
最简单的不放回不等概率抽样方式自然会想到逐一抽样 这在第一次抽样时不会发生问题，但在抽第二个样本时面临 的情况与有放回时大不相同，余下的 ( N-1 ) 个单元以什 么样的概率参与第二次抽样就是个问题；再在抽第三个样本 时又面临新问题，如此下去，一是抽样实施的复杂，二是估 计量及其方差计算的复杂，因此，在本节仅讨论 n固定，尤 其是n=2时的情形。同时，我们只对使总体中每个单元的入 ps 样概率严格地与其“大小”成比例感兴趣，这就是所谓的 抽样。
i
1 2 3 4 5 6 7 8
Mi
30 M i
累计
代码
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