2019考研数学一真题及答案解析参考

考研数学2019完整版附参考答案仅供参考一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（ ）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（2）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. （ ）（3）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（ ）（A ）ln 31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-（4）函数212e e e xx x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ]（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（5）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（）（Ａ）0(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D) 00(,)d y f x y x .（6）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.（7）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.（8）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =.一．填空题 （9）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（10）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a = （11）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰. （12） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （13）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（14）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 arcsin e d exxx ⎰. （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ （18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. （19）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. （21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解. (Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.数学答案1. A 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>，则0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.165【例6.1】，P.193【１（３）】. 2. B 【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰，而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷（数学三）（8）.3. C 【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可.【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln21g g h g g ++''===⇒=--，故选（C ）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】. 4. D 【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为 2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即.故对应的齐次微分方程为20y y y '''+-=.又*e xy x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）.【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P.156【例5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P.195（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126【例14】及练习.5. C 【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P.93【例6】及练习.6. D 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠）， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110,010********1001001001B AC B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例12.9. 【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4sin 14sin 1lim lim 2cos 52cos 55x x xx x x x x x x →∞→∞++==--. 故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】222222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b b b b b x x x x x x b +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰. 【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》（理工类）P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e x y Cx -=.（1e C C =）【评注】 本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.139.13. 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x yy x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d y y y x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x yx==-.方法三：令(,)1e y F x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y FF x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】 本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》（理工类）P.50【例2.12】.14. 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 ()2B A E E -= 于是有4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =. 【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》（理工类）P.378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x 的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x 的泰勒级数展开式233e 1()26xx x x o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B AB C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得 132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P.124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－e arcsin e x x x -=-+.令t =221ln(1),d d 21t x t x t t=-=--， 所以21111d d 1211x t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111ln 212t C t -=+=+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.17. 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称， 函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xy x y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第1节例1和例2，《数学复习指南》（理工类）P.284【例10.1】18. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<.可推得10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1si n n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 令n tx =，则,0n t →∞→，而22sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.19. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时）， 故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.20利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】 （I ）设u =((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂22()()zf u f ux∂'''=+∂()22322222()()x yf u f ux yx y'''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y xf u f uy x yx y∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z zx y∂∂∂∂代入2222z zx y∂∂+=∂∂得()()0f uf uu'''+=.（II）令()f u p'=，则d dp p upu p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln lnp u C=-+，即1Cpu=，亦即1()Cf uu'=.由(1)1f'=可得11C=.所以有1()f uu'=，两边积分得2()lnf u u C=+，由(1)0f=可得20C=，故()lnf u u=.【评注】本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》（理工类）P.336【例12.14】,P.337【例12.15】21. 【分析】（I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）先写出切线方程，然后利用(1,0)-在切线上；（III）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】（I）因为dd d d422d2,421dd d d2dyx y y ttt txt t x t tt-==-⇒===-2223d d d12110,(0)dd d d2dy ytxx t x t t tt⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L当0t≥时是凸的.（II）由（I）知，切线方程为201(1)y xt⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t=+，20004y t t=-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为 (1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -， 设L 的方程()x g y =， 则()30()(1)d Sg y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得2t =(221x =+.由于（2，3）在L 上，则(2()219x g y y ==+=--.于是(309(1)d S y y y ⎡⎤=----⎣⎦⎰30(102)d 4y y y =--⎰⎰()()3233208710433y y y =-+-=. 【评注】 本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》（理工类）P.187【例6.40】. 22. 【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤. 又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤. 因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解. 13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.427【例4.5】，P.431【例4.11】. 23. 解： 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令[]123,,Q ηηη=，则1TQ Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。

考研数学一真题及答案解析考研数学一真题及答案解析近年来，考研数学一成为了许多考生心中的一道难题。

为了帮助考生更好地备考，我们将对近几年的数学一真题进行解析，并提供一些备考建议。

一、解析2019年数学一真题2019年数学一真题分为两个部分：选择题和非选择题。

选择题主要涉及高等数学的各个分支，如微积分、线性代数等。

非选择题则更注重考察考生的综合能力和解题技巧。

在选择题部分，有一道题目是关于微积分的。

题目要求求解一个定积分，考察考生对定积分的理解和运用。

解题思路可以是先进行变量代换，然后利用定积分的性质进行求解。

这道题目考察了考生对微积分的掌握程度和解题的能力。

在非选择题部分，有一道题目是关于线性代数的。

题目要求求解一个线性方程组，并判断其解的情况。

解题思路可以是利用矩阵的运算和高斯消元法进行求解。

这道题目考察了考生对线性代数的理解和解题的能力。

二、备考建议1. 熟悉考纲和题型：考生在备考数学一时，首先要熟悉考纲和题型。

了解每个分支的重点和考察形式，有针对性地进行备考。

2. 夯实基础知识：数学一的考试内容较为广泛，需要考生具备扎实的基础知识。

因此，考生在备考过程中要注重夯实基础，掌握每个分支的基本概念和定理。

3. 理论与实践结合：数学一考试不仅考察考生对理论知识的掌握，还注重考察考生解题的能力。

因此，考生在备考过程中要注重理论与实践的结合，多做一些练习题和真题，提高解题的能力。

4. 制定合理的学习计划：备考数学一需要一定的时间和精力，考生要制定合理的学习计划，合理安排每天的学习时间和内容。

同时，要注意合理调节学习和休息的时间，保持良好的学习状态。

5. 多做模拟考试：在备考过程中，考生要多做一些模拟考试，提前适应考试的节奏和压力。

通过模拟考试，考生可以了解自己的薄弱环节，有针对性地进行复习和强化训练。

总之，备考数学一需要考生具备扎实的基础知识和解题的能力。

通过熟悉考纲和题型，夯实基础知识，理论与实践结合，制定合理的学习计划，多做模拟考试等方法，考生可以更好地备考数学一，取得好成绩。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x →时，若tan x x −与kx 是同阶无穷小，则k = A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答案】C【解析】3tan ~3x x x −−，所以选C.2、设函数,0,()ln ,0,x x x f x x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩则0x =是()f x 的A. 可导点，极值点.B. 不可导点，极值点.C. 可导点，非极值点.D. 不可导点，非极值点. 【答案】B【解析】0(0)lim ln lim 0x x f x x x x +−→→===，所以连续. 又00ln 0(0)lim lim ln 0x x x x f x x +++→→−'===−∞−,所以不可导. 2,0,()ln 1,0,x x f x x x −<⎧'=⎨+>⎩()f x '在0的去心左右领域内异号,所以是极值点.选B. 3、设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A. 1.n n un∞=∑ B.11(1).nn nu ∞=−∑ C. 11(1).n n n uu ∞=+−∑ D.2211().n n n uu ∞+=−∑【答案】D 【解析】取1ln n u n=−，则A 不对；取1n u n =−，则B 、C 不对；而D 选项:2222222212132111()()()lim n n n n n uu u u u u u u ∞++→∞=−=−+−+=−∑,n u 存在极限. 选D.4、设函数2(,).xQ x y y=如果对上半平面(0)y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)d (,)d 0CP x y x Q x y y +=⎰，那么函数(,)P x y 可取为A. 23.x y y− B. 231.x y y −C.11.x y − D. 1.x y− 【答案】D【解析】曲线积分与路径无关，则连续的偏导数21y xP Q y''==，所以C 不选(0x =不连续)，选D.5、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵. 若22+=A A E ，且4=A ，则二次型T x Ax 规范形为A. 222123.y y y ++B. 222123.y y y +− C. 222123.y y y −− D. 222123.y y y −−− 【答案】C【解答】由22+=A A E ，可知矩阵的特征值满足方程220λλ+−=，解得，1λ=或2λ=−. 再由4=A ，可知1231,2λλλ===−，所以规范形为222123.y y y −−故答案选C.6、如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则 A. ()2,() 3.r r ==A A B. ()2,() 2.r r ==A A C. ()1,() 2.r r ==A A D. ()1,() 1.r r ==A A 【答案】A.【解答】因为3张平面无公共交线，则说明方程组=Ax b 无解，即()()r r <A A .又因为3张平面两两相交，且交线相互平行，则齐次方程组=Ax 0只有一个线性无关解，所以()2r =A . 故答案选A.7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是A. ()()().P AB P A P B =+ B. ()()().P AB P A P B =C. ()().P AB P BA =D. ()().P AB P AB = 【答案】C【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=；选C.8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y −<A. 与μ无关，而与2σ有关.B. 与μ有关，而与2σ无关. C. 与μ，2σ都有关. D. 与μ，2σ都无关. 【答案】A【解析】2~(0,2X Y N −σ，所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−；选A二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． 9、设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =−+，则11cos cos z z x x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ . 【答案】.cos cos y x x y+ 【解答】因为(sin sin )(cos )z f y x x y x ∂'=−−+∂，(sin sin )cos zf y x y x y∂'=−+∂， 所以11cos cos z zx x y y ∂∂⋅+⋅=∂∂.cos cos y x x y+ 10、微分方程2220yy y '−−=满足条件(0)1y =的特解y = .【答案】y =【解答】因为2220yy y '−−=，可得22d d 2y y x y =+，两边积分可得2ln(2).y x C +=+代入(0)1y =，得ln 3C =，故y =11、幂级数0(1)(2)!n nn x n ∞=−∑在(0,)+∞内的和函数()S x = .【答案】12、设∑为曲面22244(0)x y z z ++=的上侧，则d x y ∑= .【答案】32.3【解答】d x y ∑=224,0d d 2d d x y y y x y y x y ∑+=⎰⎰⎰⎰2π20322d sin d 3r r r θθ==⎰⎰. 13、设123(,,)=A ααα为3阶矩阵. 若12,αα线性无关，且3122=−+ααα，则线性方程组=Ax 0的通解为 .【答案】121k ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x （k 为任意常数）.【解答】由条件3122=−+ααα可知123,,ααα线性相关，又12,αα线性无关，所以()2r =A . 由此可知方程组=Ax 0的基础解系只包含一个线性无关解向量. 再由3122=−+ααα可得1231(,,)201⎛⎫ ⎪−= ⎪ ⎪⎝⎭ααα，所以可取121⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭为一个非零解，故通解为121k ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x （k 为任意常数）.14、设随机变量X 的概率密度为,02,()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,()F x 为X 的分布函数，EX 为X 的数学期望，则{()1}P F X EX >−= . 【答案】2.3【解答】由条件可得224()d d 23x EX xf x x x +∞−∞===⎰⎰，且可求得分布函数20,0,(),02,41, 2.x xF x x x <⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩故可得12{()1}{()}.33P F X EX P F X >−=>=三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本题满分10分） 设函数()y x 是微分方程22e x y xy −'+=满足条件(0)0y =的特解.（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =凹凸区间及拐点.【解】（1）可知方程为一阶线性方程，由通解公式可得通解为212()e[]x y x x C −=+，再由(0)0y =，解得0C =，故特解为212()e.x y x x −=（2）因为222e (1)x y x −'=−，232e(3)x y x x −''=−，由0y ''=得0,x x x === 凹区间为((3,)+∞，凸区间为(,(0,3)−∞，拐点为3322(0,0),().−−16、（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34=−−l i j 的方向导数最大，最大值为10. （1）求,a b ；（2）求曲面222(0)z ax by z =++的面积.解:（1）2,2x y z ax z by ''==;方向导数沿梯度的方向时最大,此时为梯度的模;而梯度(3,4)(3,4)(,)(6,8)x y grad z z z a b ''==，所以68034a b=>−−,且223664100a b +=,解得1a b ==−. (2)222z x y =−−,所以所求面积2222221d d d x yx y x y S z z x y x y ++''=++=⎰⎰⎰⎰π2013π4d d 3r r θ==⎰. 17、求曲线()esin 0xy x x −=与x 轴之间图形的面积解:设在区间[π,(1)π]n n +(0,1,2,)n =上所围的面积记为n u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d n n x n x n n n u x x x x ++−−==−⎰⎰;记e sin d x I x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰e cos e dsin e cos (e sin sin de )x x x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++; 因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22n nx n n n n u x x +−−+−=−−+=+; (这里需要注意cos π(1)nn =−)因此所求面积为ππππ0111e 11e 221e 2e 1n n n n u −∞∞−−===+=+=+−−∑∑. 18、()10,1,2n a x n ==⋅⋅⋅⎰设（1）证明数列{}n a 单调递减；且()212,32n nn a a n n −−==⋅⋅⋅+ （2）求1lim−∞→n nn a a（1）证明: 110(0n n n a a x x +−=−<⎰,所以{}n a 单调递减.13331112122122200011(1)[(1)(1)]33n n n n a x d x x x x dx −−−=−−=−−−−⎰⎰1220110021(131()31(),3n n n n n x x x n x x x x n a a −−−−=−−=−−=−⎰⎰⎰从而有()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+; (2)因为211n n n n n n a a a a a a −−<<=,而21lim lim 12n n n n a n a n →∞→∞−−==+,由夹逼准则知1lim1nn n a a →∞−=.19、设Ω是由锥面()()()222101x y z z z +−=−≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标.解: 设形心坐标为(,,)x y z ，由对称性知，0x =，且有22211200()(1)πd d d d d d π(1)d 3x y z z x y z zx y z z Ω+−−==−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 2221120()(1)πd d d d d d π(1)d 12x y z z z x y z z zx y z z z Ω+−−==−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 令,1,1,x u y v w z w =⎧⎪=−+⎨⎪=−⎩则(,,)1(,,)x y z u v w ∂=−∂，所以，22222222211200(,,)d d d (1)d d d (1)d d d (,,)π(1)d d d π(1)d .12u v w u v w u v w x y z y x y z v w u v w v w u v wu v w w wu v w w w Ω+++∂=−+=−+∂=−=−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故d d d 14d d d y x y z y x y z ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，d d d 14d d d z x y zz x y zΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 因此形心坐标为11(0,,).4420、设向量组123(1,2,1),(1,3,2),(1,,3)T T T a ===ααα为3R 的一个基，(1,1,1)T=β在这个基下的坐标(,,1)Tb c .(1)求a, b,c;（2）证明23,,ααβ到123,,,ααα的过渡矩阵.(1)解:易知向量组123,,ααα线性无关,则其行列式不为零,即4a ≠.由123b c β++=ααα可得11,2+31,231,b c b c a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩从而3,2,2a b c ===−.(2)因为23111|,,|33120231==≠ααβ,因为也是3R 的一个基;设过渡矩阵为P ,则有23123(,,)(,,,)P =ααβααα,从而1231231101(,,)(,,,)0121002P −⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααβααα21.已知矩阵22122002A x −−⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭相似.（1） 求x ,y ;（2） 求可逆矩阵P 使得1P AP B −=.解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−. (2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002PAP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭; 同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B PP APP −−=,所以 112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.22、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为(1)P Y p =−=,(1)1P Y p ==−,(01p <<)，令Z XY =.（1） 求Z 的概率密度;（2） p 为何值时，X 与Z 不相关; （3） X 与Z 是否相互独立?【解】（1）Z 的分布函数为()()(1,)(1,)Z F z P XY z P Y X z P Y X z ===−−+=，因为X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为1e ,0,()0,0.x X x F x x −⎧−>=⎨⎩因此，e ,0,()[1()](1)()1(1)e ,0.z Z X X zp z F z p F z p F z p z −⎧<=−−+−=⎨−−⎩ 所以，Z 的概率密度为e ,0,()()(1)e ,0.z Z Z zp z f z F z p z −⎧<'==⎨−⎩（2）当22(,)()0Cov X Z EXZ EX EZ EX EY EX EY DX EY =−⋅=⋅−⋅=⋅=时，X 与Z不相关. 因为1DX =，12EY p =−，故1.2p = （3）不独立. 因为(01,1)(01,1)(01)P X Z P X XY P X ==，而1(1)(1)(1)(1e )1Z P Z F p −==−−≠，故(01,1)(01)(1)P X Z P X P Z ≠⋅， 所以X 与Z 不独立. 23、（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为22()22e ,,(;)0,,x A xf x x μσμσσμ−−⎧⎪=⎨⎪<⎩μ是已知参数，0σ>是未知参数，A 是常数. 12,,,n X X X 是来自总体X 简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量. 【解答】（1）由密度函数的规范性可知()d 1f x x +∞−∞=⎰，即222222()2220ed ed d 12x t t AAx t t μσσσμσσ−−−−+∞+∞+∞−∞====⎰⎰⎰，得A =（2）设似然函数22()22211()(;)i x nni i i L f x μσσσ−−====∏，取对数22221()1ln ()ln ]22ni n x L μσσσ=−=−−∑； 求导数2221224241()()d ln ()1[]d 2222nin i i i x x L nμμσσσσσσ==−−=−+=−+∑∑，令导数为零解得2211()n i i x n σμ==−∑，故2σ的最大似然估计量为2211()n i i X n σμ==−∑.。

真题解析历年考研数学真题详解历年考研数学真题详解考研数学是很多考生的痛点，而历年真题是考生备考的重要资料。

下面为大家详细解析历年考研数学真题，希望对考生们有所帮助。

一、解析2019年考研数学一真题1. 数学一第1大题：选择题部分此部分主要考查考生对数学知识点的掌握程度。

大多数题目都是比较基础的知识点，但是需要考生们注意一些细节和特殊情况的处理方式。

例如，第2小题，如果学过复变函数的考生会很容易看出正确答案是B。

这题属于比较基础的知识点，但是需要考生们对导数性质的熟练掌握，在考前及时进行总复习是非常必要的。

2. 数学一第2大题：填空题部分此部分主要考查考生解题思路和数学运算能力。

出题人在考点方面也比较注重难度和深度。

例如，第3小题的解法比较巧妙，需要考生对数学公式的运用以及数学思维的巧妙结合。

此类填空题考察的是考生的创新思维能力。

3. 数学一第3大题：解答题部分此部分主要考查考生对于应用数学的理解和数学问题求解的能力。

出题人也比较注重考查考生的数学思维，对于数学模型的建立和问题分析有很高的要求。

例如，第5小题需要考生对电路计算能力的掌握，同时也涉及到一些物理和工程方面的知识，在解答此类题目时考生需要注意多方位的知识点的掌握。

二、解析2019年考研数学二真题1. 数学二第1大题：选择题部分此部分考查的知识点相较数学一略有提高，详情可参照各位考生自行参考真题。

2. 数学二第2大题：填空题部分此部分与数学一相较一样考查考生的数学思维能力和数学运算能力，对于计算过程和结果的要求都更加高一些。

例如，第3小题考查的是考生对于偏微分方程的分析和解答能力，需要考生有较高的数学功底。

3. 数学二第3大题：解答题部分此部分难度较大，需要考生掌握更多的数学理论知识和方法，解答所需时间也比较长。

例如，第6小题考查的是考生对于线性方程组的求解能力，需要对于线性方程组的概念以及高斯消元法和矩阵运算进行充分的掌握和理解。

总之，考研数学的备考过程中，历年真题解析是必不可少的内容，需要考生充分利用好历年真题，进行思路的梳理和重点发掘，加强对于基础知识点的掌握，完善自己的数学基础。

考研数学一历年真题及答案考研数学一是中国考研数学专业的一个重要科目。

对于准备考研的学生来说，熟悉历年真题并了解其中的答案是非常重要的。

本文将为大家介绍考研数学一历年真题及答案，帮助大家更好地备考。

一、2019年考研数学一真题及答案1. 题目描述：一组有限数列中，最小值和最大值的和是多少？答案：设数列中最小值为a，最大值为b。

根据题意，有a + b = ?2. 题目描述：已知平面上的直角三角形中，直角边长为3，斜边斜率为-2/3。

求直角三角形的面积。

答案：设直角三角形的直角边长为a。

根据题意，有斜边斜率为-2/3，即a/3 = -2/3。

由此可解得a = 2。

所以直角三角形的面积为1/2 * 2 * 3 = 3。

3. 题目描述：已知一点A(1,4)，直线L:ax+by+c=0经过该点，且与直线x-y+1=0垂直。

求L的方程。

答案：由题意可得直线L与直线x-y+1=0垂直，即斜率之积为-1。

由此可列出方程组：b/a = -1，a + b + c = -5。

解方程组得到a = -1，b = 1，c = -4。

所以直线L的方程为：-x + y - 4 = 0。

二、2018年考研数学一真题及答案1. 题目描述：已知函数f(x) = x^2 + 2x + 3，请问f(x)的最小值是多少？答案：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其最小值为y坐标的顶点。

根据顶点公式，顶点的x坐标为-x/2a，带入函数f(x)中得到顶点的y坐标为-(b^2 - 4ac)/4a。

所以对于f(x) = x^2 + 2x + 3，最小值为-(2^2 -4*1*3)/4*1 = -1。

2. 题目描述：已知一元二次方程2x^2 - 5x + 3 = 0，求其根。

答案：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，根的求解方法为使用根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。

带入该题的系数得到x = (5 ± √(5^2 -4*2*3))/4，化简得到x = 3/2 或 x = 1。

2019年考研已经结束，为方便考生备考，特整理2019年全国硕士研究生考试真题，供各位考生复习使用，以下是2019年数学（一）考研真题。

一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1欢迎下载。

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分
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三、解答题：15-23小题，共94分。

解答英写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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2019年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点（C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点 3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A ==7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ） （A ）()()()P AB P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ） （A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ．10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．三、解答题 15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j =--的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本．（1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．。

2019考研数一真题答案2019年考研数学一真题是考研数学中的一道重要题目，对于考生来说，正确理解和解答这道题目至关重要。

本文将对2019年考研数学一真题进行解析，帮助考生更好地理解和掌握数学一的考点。

首先，我们来看2019年考研数学一真题的具体内容。

该题目是一道概率论题，涉及到离散型随机变量的概率分布以及条件概率的计算。

题目要求计算某随机变量的期望和方差，并根据条件概率计算出满足一定条件的概率。

在解答这道题目之前，我们首先需要了解离散型随机变量的概率分布。

离散型随机变量是指在一组有限或可数无限个数值中取值的随机变量。

在本题中，随机变量X的取值范围是1到n，其中n是一个正整数。

我们可以通过列出随机变量X的取值和对应的概率来构建概率分布。

根据题目给出的条件，我们可以得到随机变量X的概率分布如下：P(X=1) = 1/2P(X=2) = 1/4P(X=3) = 1/8...P(X=n) = 1/(2^n)接下来，我们需要计算随机变量X的期望和方差。

期望是随机变量的平均值，可以通过将随机变量的每个取值乘以对应的概率，然后将结果相加得到。

在本题中，随机变量X的期望计算如下：E(X) = 1*(1/2) + 2*(1/4) + 3*(1/8) + ... + n*(1/(2^n))方差是随机变量离其期望值的平均偏离程度，可以通过将随机变量的每个取值与期望的差值的平方乘以对应的概率，然后将结果相加得到。

在本题中，随机变量X的方差计算如下：Var(X) = [1-E(X)]^2*(1/2) + [2-E(X)]^2*(1/4) + [3-E(X)]^2*(1/8) + ... + [n-E(X)]^2*(1/(2^n))通过上述计算，我们可以得到随机变量X的期望和方差的具体数值。

这些数值可以帮助我们更好地理解随机变量X的分布特征和变异程度。

除了计算期望和方差，题目还要求根据条件概率计算出满足一定条件的概率。

在本题中，条件是随机变量X的取值大于等于2。

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是___x -3y -z +4=0__________.(2)设a 为非零常数,则lim()xx x a x a→∞+-=____2e a _________. (3)设函数1, ||1,()0, ||1,x f x x ≤⎧=⎨>⎩则[()]f f x =________1_____.(4)积分222y xdx edy -⎰⎰的值等于____41e 2--_________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)αααα====,则该向量的秩是_____2________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)设()f x 是连续函数,且()()xe xF x f t dt -=⎰,则()F x '等于(A)(A)()()x x e f e f x ----(B)()()xx e f e f x ---+(C)()()xx ef e f x ---(D)()()x x e f e f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()]f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)(A)1![()]n n f x +(B)1[()]n n f x +(C)2[()]n f x (D)2![()]nn f x(3)设α为常数,则级数21sin (n n n α∞=∑(C) (A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与α的取值有关(4)已知()f x 在0x =的某个领域内连续,且(0)0f =,0()lim21cos x f x x→=-,则在点0x =处()f x (D)(A)不可导(B)可导,且(0)0f '≠ (C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则方程组Ax b =的通解(一般解)必是(B) (A)1211212()2k k ββααα-+++(B)1211212()2k k ββααα++-+(C)1211212()2k k ββαββ-+++(D)1211212()2k k ββαββ++-+三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)求120ln(1)(2)x dx x +-⎰.解：()()()()()()1111200ln 1111d ln 1d ln 1d 22122x x x x x x xx x x +=+=+---+--蝌?101111ln 2d ln 23213x x x 骣÷ç=-+=÷ç÷ç桫-+ò (2)设(2,sin )z f x y y x =-,其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2zx y∂∂∂.解：2cos .z f f y x x u v 抖?=+抖? ()22222222sin cos sin cos cos .z f f f fx y x y x x x x y u u v v v抖抖?=-+-++抖抖抖? (3)求微分方程244xy y y e-'''++=的通解(一般解).解：特征方程为2440r r ++=的跟为1,22r =-.对应齐次方程的通解为()212e x Y C C x -=+，其12C C ，中为任意常数.设原方程的特解为()22e x y x Ax *-=，代入原方程得12A =. 因此，原方程的通解为()()22212ee .2xx x y x Y y C C x *--=+=++ 四、(本题满分6分.)求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.解：因为123=limlim 121n nn n a n ρa n ++==+，所以11.R ρ== 显然幂级数()021n n n x ¥=+å在1x =?时发散，故此幂级数的收敛域为()11-，又()()0000121221nnnn n n n n S x n x nx x x x x ゥゥ====¢骣÷ç=+=+=?ç÷ç÷-桫邋邋 ()()222111 1.111xx x x x x +=+=-<<---， 五、(本题满分8分)求曲面积分2,SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224xy z ++=外侧在0z ≥的部分.解：令22140x y S z ìï+?ï=íï=ïî，，其法向量与z 轴的负向相同.设S 和S 1所围成的区域为Ω，则由奥--高公式有1Ωd d 2d d d d d .S I yz z x x y z x y z ++=蝌蝌?而22114d d 02d d 2d d 8.S S x y yz z x x y x y π+?==-=-蝌蝌蝌，2222Ωd d d =d d cos sin d 4.ππz x y z θφr φr φrπ?蝌蝌蝌所以12.I π=六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且 ()()f a f b =.证明在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'>.证：因()()f a f b =且()f x 不恒为常数，故至少存在一点()c a b Î，，使得()()().f c f a f b ?于是()()f c f a >或()().f c f a <现设()()f c f a >，则在[]a c ，上因()f x 满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点()()ξa c a b 翁，，，使得()()()10.f ξf c f a c a 轾¢=->臌-对于()()f c f a <情形，类似地可证得此结果.七、(本题满分6分)设四阶矩阵1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1B -⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭, 2 1 3 40 2 1 30 0 2 10 0 0 2C ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 且矩阵A 满足关系式1()T T A E C B C E --=,其中E 为四阶单位矩阵,1C -表示C 的逆矩阵,TC 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A .解：因11()()=()TT T TA E CBC A C E C B A C B --⎡⎤-=--⎣⎦，故()=TA CB E -， 因此1000100021002100()3210121043210121T A C B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎡⎤=-⎣⎦ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭-1-1==， 八、(本题满分8分)求一个正交变换,化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-为标准形.解：二次型的矩阵A =122244244骣-÷ç÷ç÷ç÷--ç÷ç÷ç÷÷ç-桫， 由()2122A E 2449244λλλλλλ---=---=----，A 的特征值为12309.λλλ===，对于121221220A-E=244000244000λλλ骣骣--鼢珑鼢珑鼢珑鼢==--?珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑-桫桫，，从而可取特征向量1011P 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫及与P 1正交的另一特征向量241.1P 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç-桫对于38222459A-E=254099245000λλ骣骣----鼢珑鼢珑鼢珑鼢=---?-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑--桫桫，，取特征向量312.2P 骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫将上述相互正交的特征向量单位化，得1231032===323ξξξ骣骣骣鼢珑÷ç鼢珑÷ç鼢珑÷鼢ç÷珑鼢ç÷珑鼢ç÷珑鼢ç÷鼢珑÷ç÷ç-÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷鼢珑-÷ç÷ç÷ç桫，，，故在正交变换1122331032323x y x y x y 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷骣骣ç÷鼢珑?÷鼢÷珑?鼢÷珑?鼢=-=÷珑?鼢÷珑?鼢÷珑?鼢÷鼢珑?÷桫桫÷÷÷÷÷下，二次型239f y =. 九、(本题满分8分)质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于2π,求变力F 对质点P 所作的功.解：由题意，变力F =-y i +x j .圆弧AB的参数方程是23.443x θππθy θìï=+ï-＃íï=+ïî， 变力F 所作的功))()434d d 3sin 2cos d 21.πABπW y x x y θθθθθπ-=-+=+++=-蝌十、填空题(本题满分6分,每小题2分.) (1)已知随机变量X 的概率密度函数||1(),2x f x e x -=-∞<<∞,则X 的概率分布函数 ()F X =__1e ,0,211e ,0,2x x x x -ìïï<ïïïíïï-?ïïïî_____. (2)设随机事件A 、B 及其和事件AB 的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =_0.3______.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即{}22,!k e P X k k -== 0,1,2k =,,则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =___4____.十一、(本题满分6分.)设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,||D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差()D Z .解：()X Y ，的联合概率密度函数是()1010x f x y ì<<ïï=íïïî，，，，其他，因此X 的边缘概率密度函数是()()201d 0X x x f x f x y y +?-?ì<<ïï==íïïîò，，，，其他， ()()()()()()()22222144d d X X D Z D X E X E X x f x x xf x x +??-??轾骣轾犏÷ç=+=-=-÷犏ç犏桫臌臌蝌211320014242d 2d 4.299x x x x 轾骣骣÷ç犏÷ç=-=-=÷÷çç÷ç犏桫桫臌蝌。