2020-2021学年辽宁省大连市甘井子区人教版九年级(上)期末数学试卷 解析版

2021-2022学年大连市甘井子区九年级语文上学期期末考试卷试卷满分150分，考试时间150分钟。

一、积累与运用(26分)1.请用正楷将下面的汉字抄写在田字格里，要求书写正确、端正、整洁。

（2分）建立精神的栖息地2.下列词语中加点字的读音和字形都正确的是（）。

（2分）A.隔膜．（mé）应酬．（yìng）言不及意．（yì）郑重其．事（qí）B.栈．桥（zhàn）别墅．（yě）置．之不理（zhì）与日具．增（jù）C.掺．杂（cān）渺．茫（miǎo）前扑．后继（pū）不攻自破．（pò）D.愧赧．（nǎn）星宿．（xiù）不言而喻．（yù）茅塞．顿开（sè）3.默写填空。

（12分）（1）行路难，行路难，，?（李白《行路难》）（2）转朱阁，，。

（苏轼《水调歌头·明月几时有》）（3）少年不愁滋味，爱上层楼。

，。

（辛弃疾《丑奴儿·书博山道中壁》）（4）雾凇沆砀，，，……舟中人两三粒而已。

（张岱《湖心亭看雪》）（5）范仲淹在《岳阳楼记》中用“，。

”表达自的政治理想。

（6）古代诗歌不乏千古佳句。

“海内存知己，天涯若比邻”，诗人王勃以乐观豁达的胸襟抒发万代传诵的知己深情；“，。

”，则超越作者刘禹锡的身世之感，揭示新事物必然取代旧事物、蓬勃发展的哲理。

（用《酬乐扬州初逢席上见赠》中的句子作答）4.按要求完成文后各题。

（5分）①最近一项调查发现，大学生中习惯借用表情包表达情绪超过77%。

②图文符号组成的表情包在一定程度上消解了严肃的话语方式，为年轻群体的表达带来更大的自主性。

③年轻人的表达值得理解，我们也需看到，在大规模使用表情包表达情绪的今天，语言组织能力的退化也值得警醒。

④若李白面对奔腾的瀑布，只是甩出几个“给力”的表情包，就不会有“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”的绝唱，若苏轼面对妻子的早逝，只是打上“流泪”的表情包，就不会有“十年生死两茫茫，不思量，自难忘”的悲词。

2021-2022学年辽宁省大连市甘井子区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．5，4，1B．5，4，﹣1C．5，﹣4，1D．5，﹣4，﹣1 2．下列事件中，是随机事件的是（）A．通常加热到100℃时，水沸腾B．骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一枚骰子，向上一面的点数为7C．任意画一个三角形，其内角和为360°D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯3．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2 4．如图，AB∥CD，，AB＝2，则CD的长为（）A．B．C．3D．45．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则cos B的值为（）A．B．C．D．26．如图，△ABC内接于⊙O，BD是直径，∠ABD＝30°，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，若直线A'C'经过点A，则CC'的长为（）A．1B．2C．D．48．有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为800cm2．设切去的正方形的边长为xcm，可列方程为（）A．4x2＝800B．50×30﹣4x2＝800C．（50﹣x）（30﹣x）＝800D．（50﹣2x）（30﹣2x）＝8009．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是BC上一点，BE＝5，DE⊥AB，垂足为D，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．410．画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：x……12345……y……010﹣3﹣8……关于此函数有下列说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．tan45°＝．12．从某小麦新品种的种子中抽取6批，在相同条件下进行发芽实验，数据统计如表：种子粒数100400800100020005000发芽种子粒数9535874489318044505发芽频率0.9500.8950.9300.8930.9020.901据此可知，该种子发芽的概率为（精确到0.1）．13．如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为．14．一元二次方程mx2﹣2x+1＝0没有实数根，则m的取值范围是．15．圆锥的底面半径为40cm，母线长80cm，则它的侧面展开图的圆心角度数为．16．如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为．三、解答题（本题共4小题，其中第17、18、20题各10分，第19题9分，共39分）17．解方程：（1）4x2﹣9＝0；（2）x2﹣2x﹣5＝0．18．布袋中装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．在看不到球的前提下，随机从布袋中向外摸球．（1）摸出一个球是红球的概率是．（2）若摸出两个球，求摸到结果是一个红球和一个白球的概率．19．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝DE，连接AC，AD，求证：∠BCD+∠CAE＝180°．20．某种蔬菜的价格为15元/kg，经过两次下调后价格为9.6元/kg，求两次价格下调的平均百分率．四、解答题（本题共3小题，其中第21题9分，第22、23题各10分，共29分）21．如图，小明在甲楼顶部观测乙楼，甲，乙两楼水平距离为120m，小明观测乙楼顶部的仰角为60°，底部的俯角为30°，求乙楼的高度（结果取整数）．（参考数据：≈1.73）22．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OB，抛物线y＝ax2+bx经过点A，O，B．（1）求点B的坐标；（2）求a，b的值．23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，第26题12分，共34分）24．如图，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿线段BC以2cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B 运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．（1）求sin B；（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．25．如图，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD，∠ABC＝∠BAD＝2∠ABD，∠BDC ﹣∠ADB＝∠ABD，AB＝kAD．（1）求证：BD＝CD；（2）求的值（用含k的代数式表示）；（3）当AB＝AC时，k的值为．26．在平面直角坐标系xOy中，已知函数C1：y＝x2+bx+c，C2：y＝﹣x2+x+c，其中b，c为常数，C1的图象记为L1，C2的图象记为L2；点A（1，1）在L1上，直线x＝﹣b与x轴交于点B，与L1，L2分别交于点C和点D．（1）c＝（用含b的代数式表示）；（2）点M的坐标为（b﹣1，0），以BC，BM为邻边作矩形BCNM，当图象L1在矩形BCNM内的部分从左到右上升时，求b的取值范围；（3）连接OC，OD，当△OCD是等腰三角形时，求b的值．。

辽宁省大连市甘井子区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题一、单选题1．用配方法解方程2810x x -+=，变形后的结果正确的是（ ） A ．()245x -= B ．()2416x -= C ．()347x -=D ．()2415x -=2．下列计算正确的是（ ）A =B ．2CD ．=3．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=无实数根，则m 的值可以为（ ） A ． 1-B ．0C ．1D ．24．一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款的各种尺码鞋销售量如图所示．鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为23.5cm 的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差5．在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列验证方法中错误的为（ ）A ．OA OB = B ．AC BD = C ．OA OC = D ．OA OD =6．如图，正方形ABCD 的面积为50，则AC 的长为（ ）A ．B ．5C ．D ．107．某同学记录了平时体质健康测试成绩，其中立定跳远和50米跑的10次测试成绩如图所示，立定跳远和50米跑成绩的方差分别为21S ，22S ，则21S 和22S 大小关系为（ ）A ．2212S S > B ．2212S S < C ．2212S S =D ．无法确定8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ，高AD ＝h ，则AB 的长为（ ）A B C D ．2h9．在A B C D Y 中，5AD =，以B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 于点E ，再分别以点A ，E 为圆心，大于12AE 长为半径画弧，两弧相交于点M ，射线BM 交AD 于点F ，连接EF ，则四边形ECDF 的周长为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2010．一辆汽车油箱中有汽油30L ，该汽车耗油量为0.1L/km ．如果不再加油，则油箱中的油量y （单位：L ）与行驶路程x （单位：km ）之间的函数关系用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．12．命题“平行四边形对角线互相平分”的逆命题是：，它是命题． 13．已知一组数据是：5，6，6，6，7，则这组数据的方差是．14．我国2024年六五环境日的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在提高人们保护生态环境意识，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容包含保护“自然环境”，“人类环境”，“生态环境”，“地球生物”四个项目，小红四项成绩（百分制）依次是95，90，85，100.若以上四个项目按2:4:3:1的比确定综合成绩，则小红的综合成绩为分．15．全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．研究发现华氏温度值()F y ︒与摄氏温度值()C x ︒之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：则y 与x 之间的函数解析式为．（不用写出自变量的取值范围）三、解答题16．（1）计算： （2）解方程：2250x x +-=．17．如图，四边形ABCD 为矩形，过点A 作AE BD ∥交CD 的延长线于点E ．求证：AC AE =．18．如图，某小区有一块四边形空地ABCD ，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量90A ∠=︒，3AB =米，4=AD 米，12BC =米，13CD =米．若在这块空地上种植草坪，每平方米草坪需要70元，那么铺这块空地需要投入多少资金？19．如图，在平面直角坐标系中，四边形OCDE 为矩形，点C 的坐标为(3,0)，正比例函数2y x =的图象交DE 于点A ，过点A 作AO 的垂线交CD 于点B ，且满足AO AB =．(1)求点B 的坐标；(2)点M 在线段AB 上，横坐标为a ，设OCM V 的面积为S ，请用含a 的式子表示S ． 20．大连樱桃种植至今已有130多年的历史，樱桃果实光泽鲜艳闪亮，酸甜可口，深受人们喜欢，某校开展劳动教育实践活动，组织同学们到樱桃基地，了解樱桃成熟时间和采摘方式，感受樱桃采摘、筛选、洗净等劳动过程．甲、乙两位同学从自己采摘的樱桃中，各随机选取15个樱桃，他们测量了每个樱桃的质量（单位：g ），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：甲同学选取樱桃质量14.1，14.2，14.2，14.2，14.2，14.3，14.3，14.4，14.5，14.6，14.6，14.9，15，15，15信息二：乙同学选取樱桃质量的统计图如下信息三：甲、乙两位同学选取的15个樱桃质量的平均数、中位数、众数根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：m =__________，n =__________；(2)同学们用采摘的樱桃点缀蛋糕，一个蛋糕中需要5个樱桃．如果这5个樱桃质量的方差越小，则认为这个蛋糕的品相越好，甲、乙两位同学从各自选取的15个樱桃中，选出5个樱桃点缀蛋糕．甲同学选出樱桃的质量分别为15，14.9，14.6，14.6，14.5；乙同学选出樱桃的质量分别为14.8，14.6，14.6，a ，b ．若乙同学想要选出的樱桃的平均质量不低于甲同学选出樱桃的平均质量，且樱桃蛋糕品相尽可能好，于是乙同学设计了三个方案：方案1：15a =，14.6b =，此时5个樱桃质量的方差为：210.0256S =方法2：15a =，15b =，此时5个樱桃质量的方差为220.032S =方法3：14.6a =，14.4b =，此时5个樱桃质量的方差为：230.016S =请你利用学过的统计量，帮助乙同学选择最优方案，并分析选择的理由． 21．【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水水量和漏水时间的关系，实践小组在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每10分钟记录一次容器中的水量，并收集、整理相关数据． 【问题发现】实践小组将收集的数据整理成下面的表格，检查后发现40t =时，y 的值是错误的，请你改正过来．（1）y 的值是__________； 【问题探究】实践小组把上表中t ，y 的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出草图，猜想并验证y 与t 之间的函数关系；（2）请你在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象，求出这个函数解析式并进行验证； 【问题解决】（3）如果这个水龙头持续漏水，且每分钟的漏水量不变，那么一个月的漏水量能否超过十瓶矿泉水的总容量？（一个月按30天计算，一瓶矿泉水容量约为500ml ）22．【问题情景】如图1，在菱形ABCD 中，AB =N 为菱形ABCD 外部一点，连接AN 交对角线BD 于点M ，且满足180AMD ANC ∠+∠=︒． 【初步探究】（1）求证：AM MN =；【解决问题】（2）如图2，连接DN ，当AM =6CN =时， ①求线段BM 的长； ②求BDN ∠的度数； 【类比探究】（3）如图3，在菱形ABCD 中，当90BCD ∠=︒时，AN 交CD 于点E ，连接BE ，DN ，并延长BE 交DN 于点F ．若DM AD =，请直接写出线段NF 的长____________．23．定义：对于给定的一次函数()0y kx b k =+≠，当x m <时，自变量x 对应的函数值不变；当x m ≥时，自变量x 对应的函数值为原函数值的相反数，我们称这样的函数是一次函数y kx b =+的m 级反联函数．例如：当1m =时，一次函数y x =的1级反联函数为,1,1x x y x x <⎧=⎨-≥'⎩，对应的函数图象如图所示．(1)若点()2,M t 在一次函数21y x =-的1级反联函数的图象上，求t 的值；(2)已知一次函数3y x =-．①当16x -≤≤时，求这个函数的1级反联函数y '的函数值的取值范围；②当2x n -≤≤时，此时这个函数的1级反联函数y '的函数值的取值范围为52y '-≤≤，则n 的取值范围为___________；（直接写出答案）③已知点()2,0A m -，点()2,0B m +，在x 轴上方作矩形ABCD ，使2BC =，当矩形ABCD 与这个函数的m 级反联函数的图象有两个交点，且矩形ABCD 与这个反联函数的图象所围成的三角形的面积为1时，求此时m 的值．。

2020-2021学年甘肃省甘南州夏河县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）“若a是实数，则|a|≥0”这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．不确定事件D．随机事件2．（3分）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（）A．3B．2C．﹣1或3D．﹣13．（3分）一枚质地均匀的立方体骰子的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，抛掷骰子一次，则朝上一面的数字为2的概率是（）A．B．C．D．4．（3分）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x+2）2+1 5．（3分）函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（）A．k＜2B．k＜2 且k≠0C．k≤2D．k≤2 且k≠0 6．（3分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．C．2D．27．（3分）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10B．18C．20D．228．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A'B'C，使点A'恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．120°B．110°C．150°D．160°10．（3分）已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，若m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（）A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n二、填空题（每小题3分，共12分）11．（3分）点P（2a+1，4）与P'（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝．12．（3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为．13．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是．14．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝．三、解答题（共78分）15．（5分）用适当的方法求解方程：x2+6x+5＝0．16．（5分）如图，已知抛物线y＝x2+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）．（1）求A、B的坐标；（2）利用函数图象，写出y＜0时，x的取值范围．17．（5分）如图所示，四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，AF＝3，AB＝7．（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求DE的长度．18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，求证：无论k为何值，此方程总有两个不等实根．19．（7分）某公司推出一款新产品，该产品的成本单价是80元，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣5x+600．（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）销售单价x＝元时，日销售利润w最大，最大值是元；（2）要实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？20．（7分）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3．（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数．21．（7分）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B （4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点对称；（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出线段OB旋转到OB2扫过图形的面积．22．（7分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？23．（8分）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）若BC＝4，求DE的长．24．（10分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．25．（12分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出P A+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点Q，使△ABQ的面积为6，求Q点坐标．2020-2021学年甘肃省甘南州夏河县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）“若a是实数，则|a|≥0”这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．不确定事件D．随机事件【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和绝对值的定义可正确解答．【解答】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，因为a是实数，所以|a|≥0．故选：A．2．（3分）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（）A．3B．2C．﹣1或3D．﹣1【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，解得：a＝﹣1，故选：D．3．（3分）一枚质地均匀的立方体骰子的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，抛掷骰子一次，则朝上一面的数字为2的概率是（）A．B．C．D．【分析】让朝上一面的数字是2的情况数除以总情况数6即为所求的概率．【解答】解：∵抛掷六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6种结果，其中朝上一面的数字为2的只有1种，∴朝上一面的数字为2的概率为，故选：A．4．（3分）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x+2）2+1【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣1）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣3（x﹣h）2+k，代入得：y＝（x+2）2﹣1，化成一般形式得：y＝﹣3x2﹣6x﹣5．故选：C．5．（3分）函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（）A．k＜2B．k＜2 且k≠0C．k≤2D．k≤2 且k≠0【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值．【解答】解：∵函数y＝kx2﹣4x+2，∴当k＝0时，函数y＝kx2﹣4x+2是一次函数，与x轴有一个交点为（，0），当k≠0时，函数y＝kx2﹣4x+2是二次函数，∵二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，∴△＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，解得k≤2，综上所述，k的取值范围是k≤2．故选：C．6．（3分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．C．2D．2【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．故选：B．7．（3分）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10B．18C．20D．22【分析】根据切线长定理得出P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝P A+PB，代入求出即可．【解答】解：∵P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝P A+PB＝10+10＝20．故选：C．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A'B'C，使点A'恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】先利用互余得到∠A＝60°，再根据旋转的性质得CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′＝60°，从而得到旋转角的度数．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，即旋转角度为60°．故选：B．9．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．120°B．110°C．150°D．160°【分析】设C′D′与BC交于点E，根据旋转的角度结合矩形的性质可得出∠BAD′的度数，再由四边形内角和为360°即可得出∠BED′的度数，根据对顶角相等即可得出结论【解答】解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．∵旋转角为20°，∴∠DAD′＝20°，∴∠BAD′＝90°﹣∠DAD′＝70°．∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′＝360°，∴∠BED′＝360°﹣70°﹣90°﹣90°＝110°，∴∠1＝∠BED′＝110°．故选：B．10．（3分）已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，若m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（）A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n 【分析】根据二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2＝0的两个根，利用二次函数的性质和方程的知识，可以得到m，n，p，q的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝2，∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2＝0的两个根，∴p、q一定一个最大，一个最小，m、n一定处于p、q中间，故选：C．二、填空题（每小题3分，共12分）11．（3分）点P（2a+1，4）与P'（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝﹣3．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：∵点P（2a+1，4）与P'（1，3b﹣1）关于原点对称，∴2a+1＝﹣1，3b﹣1＝﹣4，解得：2a＝﹣2，b＝﹣1，∴2a+b＝﹣2﹣1＝﹣3，故答案为：﹣3．12．（3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为16．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．【解答】解：解方程x2﹣10x+21＝0得x1＝3、x2＝7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7＝16．故答案为：16．13．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是．【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为4××1×2＝4，∴飞镖落在阴影部分的概率是，故答案为：．14．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝5．【分析】根据旋转的性质，EC＝BC＝4，DC＝AC＝6，∠ACD＝∠ACB＝90°，由点F 是DE的中点，可求出EG、GF，因为AE＝AC﹣EC＝2，可求出AG，然后运用勾股定理求出AF．【解答】解：作FG⊥AC，根据旋转的性质，EC＝BC＝4，DC＝AC＝6，∠ACD＝∠ACB＝90°，∵点F是DE的中点，∴FG∥CD，∴GF＝CD＝AC＝3，EG＝EC＝BC＝2，∵AC＝6，EC＝BC＝4，∴AE＝2，∴AG＝4，根据勾股定理，AF＝5．三、解答题（共78分）15．（5分）用适当的方法求解方程：x2+6x+5＝0．【分析】利用因式分解后求解可得．【解答】解：x2+6x+5＝0，（x+5）（x+1）＝0，∴x+5＝0或x+1＝0，∴x1＝﹣5，x2＝﹣1．16．（5分）如图，已知抛物线y＝x2+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）．（1）求A、B的坐标；（2）利用函数图象，写出y＜0时，x的取值范围．【分析】（1）令y＝0代入y＝x2+x﹣6即可求出x的值，此时x的值分别是A、B两点的横坐标．（2）根据图象可知：y＜0是指x轴下方的图象，根据A、B两点的坐标即可求出x的范围．【解答】21．解：（1）令y＝0，即x2+x﹣6＝0解得x＝﹣3或x＝2，∵点A在点B的左侧∴点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（2，0）（2）∵当y＜0时，x的取值范围为：﹣3＜x＜217．（5分）如图所示，四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，AF＝3，AB＝7．（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求DE的长度．【分析】（1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；（2）根据旋转的性质可得AE＝AF，AD＝AB，再根据DE＝AD﹣AE计算即可得到答案．【解答】解：（1）根据正方形的性质可知，△AFD≌△AEB，∠DAB＝90°，可得旋转中心为点A，旋转角为90°或270°；（2）∵△AFD≌△AEB，∴AD＝AB＝7，AE＝AF＝3，∴DE＝AD﹣AE＝7﹣3＝4．18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，求证：无论k为何值，此方程总有两个不等实根．【分析】根据Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣3）＝4（k﹣）2+4＞0判断即可．【解答】解：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣3）＝4k2﹣12k+13＝4（k﹣）2+4＞0，∴无论k为何值，此方程总有两个不等实根．19．（7分）某公司推出一款新产品，该产品的成本单价是80元，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣5x+600．（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）销售单价x＝100元时，日销售利润w最大，最大值是2000元；（2）要实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？【分析】（1）根据题意列出有关利润w与销售单价x之间的二次函数，配方后即可确定最值；（2）根据销售利润不低于3750元列出不等式即可确定正确的答案．【解答】解：（1）w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，∵﹣5＜0，∴当x＝100时，w取得最大值，最大值是2000；故答案为：100，2000；（2）设成本单价为a圆，当x＝100时，w＝（﹣5×90+600）（90﹣a）≥3750，解得，a≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．20．（7分）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3．（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数．【分析】（1）蓝色球的个数等于总个数乘以摸到蓝色球的概率即可；因为摸到红球的频率在0.5附近波动，所以摸出红球的概率为0.5，再设出红球的个数，根据概率公式列方程解答即可．【解答】解：（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.3）＝50（个）（2）设小明放入红球x个根据题意得：，解得：x＝60（个）．经检验：x＝60是所列方程的根答：小明放入的红球的个数为60．21．（7分）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B （4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点对称；（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出线段OB旋转到OB2扫过图形的面积．【分析】（1）根据△A1B1C1与△ABC关于原点对称进行作图即可；（2）根据△ABC绕点O逆时针旋转90°，即可得到旋转后得到的△A2B2C2，依据扇形的面积计算公式，即可得到线段OB旋转到OB2扫过图形的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．∵OB＝＝2，∠BOB2＝90°，线段OB旋转到OB2扫过图形的面积为＝5π．22．（7分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【分析】（1）利用原46000﹣22000＝24000米2的工作时间﹣现46000﹣22000＝24000米2的工作时间＝4天这一等量关系列出分式方程求解即可；（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣＝4解得：x＝2000，经检验，x＝2000是原方程的解．答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为a米，根据题意得，（20﹣3a）（8﹣2a）＝56，解得：a＝2或a＝（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．23．（8分）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）若BC＝4，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由平行线的判定定理可得OD∥AC，利用平行线的性质得∠ODE ＝∠DEA＝90°，可得DE为⊙O的切线；（2）连接CD，由BC为直径，利用圆周角定理可得∠ADC＝90°，由∠A＝30°，AC ＝BC＝4，利用锐角三角函数可得DE．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∴∠ODB＝∠A，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠DEA＝90°，∴DE为⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝30°，又∵AC＝BC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，∴DE＝AD＝．24．（10分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为180件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）＝200﹣20＝180（件），故答案为：180；（2）由题意得：y＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+2250∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．25．（12分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出P A+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点Q，使△ABQ的面积为6，求Q点坐标．【分析】（1）首先把A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组可得b、c 的值，进而可得函数解析式；（2）根据抛物线对称轴x＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3）可得C、D关于x轴对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，然后利用勾股定理可得答案；（3）设点Q坐标（m，m2+2m﹣3），令y＝0，可得x2+2x﹣3＝0，解方程可得AB的长，进而得出Q点纵坐标，进而可得Q点坐标．【解答】解：（1）因为二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），所以，解得．所以一次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线对称轴x＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴C、D关于x轴对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，此时P A+PD＝P A+PC＝AC＝＝＝3；（3）设点Q坐标（m，m2+2m﹣3），令y＝0，x2+2x﹣3＝0，x＝﹣3或1，∴点B（1，0），则AB＝4，∵三角形ABP的面积为6，∴Q点到AB的距离为3，故当Q点纵坐标为3时，3＝x2+2x﹣3，解得：x＝﹣1±，符合题意的Q点坐标为：（﹣1+，3），（﹣1﹣，3），当Q点纵坐标为﹣3时，﹣3＝x2+2x﹣3，解得：x＝0或﹣2，符合题意的Q点坐标为：（0，﹣3），（﹣2，﹣3）．综上所述：符合题意的Q点坐标为：（﹣1+，3），（﹣1﹣，3），（0，﹣3），（﹣2，﹣3）．。

2022-2023学年辽宁省大连市沙河口区、甘井子区八年级（下）期中数学试卷1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是( )A. B. C. D.2. 若正方形的面积为S，则其边长可表示为( )A. 4SB.C.D.3. 下列计算正确的是( )A. B. C. D.4. 如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是( )A. B. C. 12 D. 245. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度是( )A. 4mB. 5mC. 8mD. 9m6. 如图，D、E、F分别是三边的中点，若，，则的度数为( )A.B.C.D.7. 由下列长度的三条线段组成的三角形不是直角三角形的是( )A. 1，2，3B. 3，4，5C. 1，1，D. ，，8. 如图，在中，，，于D，若，则( )A. B. a C. D. 2a9. 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.这其中的数学道理是( )A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形10. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为( )A. B. C. D.11. 化简的结果是__________.12. 如图，矩形ABCD的面积为4，若，则______ .13. 已知n是正整数，是整数，则n的值可以是______ 写出一个即可14. 如图，在平面直角坐标系中有两点和，则AB的长是______ .15. 当，，时，代数式的值是______ .16. 我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一.如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则中间小正方形的对角线长为______ .17. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以A，B，C，D 为顶点的四边形为平行四边形，且点D在第三象限，那么点D的坐标是______ .18. 如图，两个长为12，宽为3的矩形纸条倾斜地重叠着.若，则叠合部分四边形ABCD面积的是______ .19. 计算：；20. 已知，，求下列各式的值：；21. 如图，在▱ABCD中，对角线，过点D作于求证：四边形ACED是矩形.22. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．23. 求证：菱形两对角线的平方和等于边长平方的四倍.若将中命题题设中的“菱形”改为“平行四边形”，其它条件不变，可以得到的真命题是：______ 直接写出结论24. 如图1，若，，点D，分别是AB，的中点，连接OD，，可以判断OD与的数量关系是______ 直接写出结论如图2，若，，且，D是AB上一动点，连接OD，以OD、AD为邻边，OA为对角线作平行四边形ODAE，则对角线DE的最小值为______ 直接写出结论如图3，若D是AB的一点，以OB，OA为边，在的内部作平行四边形AOBC，以OD，DA为边，以OA为对角线作平行四边形ODAE，连接EC，交AB于点求证：①；②25. 数学课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动.操作判断小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下：步骤①：如图1，对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；步骤②：连接AF，可以判定的形状是：______ 直接写出结论小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤①，得到折痕EF后把纸片展平；在BC上选一点P，沿AP折叠AB，使点B恰好落在折痕EF上的一点M处，连接小华得出的结论是：请你帮助小华说明理由.迁移探究小明受小华的启发，继续利用正方形纸片进行探究，过程如下：如图3，第一步与步骤①一样；然后连接AF，将AD沿AF折叠，使点D落在正方形内的一点M处，连接FM并延长交BC于点P，连接AP，可以得到：______ 直接写出结论；同时，若正方形的边长是4，可以求出BP的长，请你完成求解过程.拓展应用如图4，在矩形ABCD中，，点P为BC上的一点不与B点重合，可以与C点重合，将沿着AP折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连结MA，MD，当为等腰三角形时，可求得BP的长为______ 直接写出结论答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意得：，解得：，故选：根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：设正方形边长为a，则，故选：根据正方形的面积公式计算．本题考查了正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式．3.【答案】C【解析】解：与不能合并，所以A选项不符合题意；B.，所以B选项不符合题意；C.，所以C选项符合题意；D.，所以D选项不符合题意．故选：根据二次根式的加减乘除法运算的计算法则计算即可求解．本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4.【答案】D【解析】解：如图，正方形B，C的面积分别为6，18，，，，，正方形A的面积，故选：由正方形的面积得，，再由勾股定理得，即可得出结论．本题考查了勾股定理以及正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，折断的部分长为：，折断前高度为故选：由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆折断之前的高度．此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．6.【答案】C【解析】解：在中，，，、E、F分别是三边的中点，，，四边形DFCE是平行四边形，故选：先根据三角形内角和定理求出的度数，再由D、E、F分别是三边的中点得出，，从而可得四边形DFCE是平行四边形，进而可得出结论．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．7.【答案】A【解析】解：，不能组成三角形，故A符合题意；B、，，，能组成直角三角形，故B不符合题意；C、，，，能组成直角三角形，故C不符合题意；D、，，，能组成直角三角形，故D不符合题意；故选：根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：，，，又，，，，，故选为：根据等腰直角三角形的性质可得，从而推出三角形ADC为等腰直角三角形，这样便可以利用勾股定理求出本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是证明出，再用勾股定理计算．9.【答案】D【解析】解：这其中的数学道理是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．故选：根据平行四边形的判定定理可得答案．此题主要考查了平行四边形的判定方法，关键是掌握平行四边形的判定定理．10.【答案】B【解析】解：设剪口与折痕所成锐角的大小为，则为就可以得到一个正方形．根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，即菱形，菱形里只要有一个角是就是正方形．展开四边形后的角为：，即故选：根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．11.【答案】5【解析】解：根据二次根式的性质解答．解答此题，要弄清二次根式的性质：的运用．12.【答案】【解析】解：矩形ABCD的面积为4，，，故答案为：根据矩形的面积公式，即可得到，然后分母有理化即可．本题考查了矩形的面积，二次根式的除法，能正确分母有理化是解此题的关键．13.【答案】答案不唯一【解析】解：，是正整数，是整数，的值可以是故答案为：答案不唯一先求出，再根据二次根式的性质求出答案即可．本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．14.【答案】【解析】解：点，，，，，，即AB的长为，故答案为：由题意得，，再由勾股定理求出AB的长即可．本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15.【答案】【解析】解：，，，，故答案为：先计算的值，然后根据二次根式的性质计算代数式的值．本题考查了解一元二次方程：记住一元二次方程的求根公式是解决问题的关键．也考查了二次根式的性质与化简．16.【答案】【解析】解：由题意可得，中间小正方形的边长为，中间小正方形的对角线长为，故答案为：根据题意可知：中间小正方形的边长为，然后根据勾股定理即可得到中间小正方形的对角线的长．本题考查勾股定理的证明，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键．17.【答案】【解析】解：，，轴，，以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，且点D在第三象限，，，轴，，点D的坐标是，故答案为：先由，，证明轴，，再由以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，且点D在第三象限，证明，轴，则，于是得到问题的答案．此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定等知识，由，证明轴，是解题的关键．18.【答案】【解析】解：，，四边形ABCD是平行四边形，作于点E，于点F，则，两个矩形的宽都是3，，在和中，，≌，，，，，，，，，故答案为：先证明四边形ABCD是平行四边形，作于点E，于点F，则，再证明≌，则，由，，得，则，所以，求得，即可求得四边形ABCD面积的是，得到问题的答案．此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．19.【答案】解：；【解析】先算乘方，二次根式的除法，再算减法即可求解；根据二次根式的乘法，完全平方公式计算即可求解．本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：；【解析】先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．21.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，，，，四边形ACED是平行四边形，，四边形ACED是矩形．【解析】由平行四边形的性质得，则，由，，得，即可根据平行四边形的定义证明四边形ACED是平行四边形，而，则四边形ACED是矩形．此题重点考查平行四边形的判定、在平面内垂直于同一条直线的两条直线平行、矩形的判定等知识，证明是解题的关键．22.【答案】解：连接AC，如图所示：，为直角三角形，又，，根据勾股定理得：，又，，，，，为直角三角形，，则【解析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD 的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．23.【答案】平行四边形两对角线的平方和等于边长平方的四倍，是假命题【解析】解：已知：四边形ABCD是菱形，求证：，证明：四边形ABCD是菱形，，，，，，，；平行四边形两对角线的平方和等于边长平方的四倍，是假命题，故答案为：平行四边形两对角线的平方和等于边长平方的四倍，是假命题．根据菱形的性质解答即可；根据平行四边形的性质解答即可．此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直解答．24.【答案】【解析】解：，和为直角三角形，点D，分别是AB，的中点，，，，故答案为：记AO与DE交于点C，四边形ODAE为平行四边形，为AO的中点，，要使DE最小，即CD最小，当时，CD取得最小值，如图，，，且，为等边三角形，，，，，在中，，，，的最小值为故答案为：证明：①如图，在AB上截取点G，使，四边形AOBC为平行四边形，，，，在和中，，≌，，，，即，，四边形ODAE为平行四边形，，，，，，在和中，，≌，；②由①知，≌，，，，直接利用直角三角形斜边上的中线性质即可得到结论．记AO与DE交于点C，由平行四边形的对角线互相平分可知C为AO的中点，，由垂线段最短可知时，CD取得最小值，易得为等边三角形，则，，再根据含30度角的直角三角形性质即可得到结果．①在AB上截取点G，使，根据平行四边形的性质，，易通过SAS证明≌，，，根据等角的余角相等得，于是，进而根据平行四边形的性质得到，，以此可通过AAS证明≌，以此即可得到；②由知，≌，得到，由即可证明．本题主要考查直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟记相关知识点及性质，正确作出辅助线，构建合适的全等三角形解决问题是解题关键．25.【答案】等腰三角形或【解析】解：由折叠可知，EF是AB的垂直平分线，，是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．由折叠可知：，，，中，，，，四边形ABCD是正方形，，，由折叠可知：，，，，，又，≌，，，，设，则，，，解得：，即BP的长为故答案为：45；如图①，若，由折叠可知：，，此种情况不存在；如图②，若，在AD的垂直平分线上，过点M作于点E，EM的延长线交BC于点F，则有，，，，设BP的长为x，在中，，解得：，即BP的长为；如图③，若，由得：，解得：，，设BP的长为y，在中，，解得：，即BP的长为：故答案为：或由折叠可知，EF是AB的垂直平分线，可得是等腰三角形；，，由锐角三角函数可求，即可得证；先由“HL”可证≌，可得，进而求出；利用勾股定理构造方程可求BP的长；由折叠的性质和勾股定理可分类进行求解．本题是四边形综合题，考查了勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．。

辽宁省大连市甘井子区汇文中学2024-—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷一、单选题1．方程213x x +=二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A ．1，3-，1B ．1-，3-，1C ．1，3，1-D ．1，3，12．一元二次方程210x -=的根的情况（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．若二次函数2y ax =的图象经过点()3,6A -，则该图象必经过点（ ） A ．()3,6-B ．()3,6--C ．()6,3-D ．()6,34．关于x 的一元二次方程210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是() A ．14a ≤且0a ≠ B ．14a ≤ C ．1a 4≥且0a ≠ D ．1a 4≥5．将抛物线23y x =先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A ．23(1)2y x =++ B ．23(1)2y x =-+ C ．23(2)1y x =-+D ．23(2)1y x =--6．用配方法解一元二次方程28100x x -+=配方后得到的方程是（ ） A ．()2854x += B ．()2854x -= C ．()246x +=D ．()246x -=7．若二次函数()221y x =+-的图象经过点1(1,)A y -，2(2,)B y -，3(3,)C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．132y y y >>B ．231y y y >>C ．123y y y >>D ．312y y y >>8．下列关于二次函数231y x =-的图象说法中，错误的是（ ） A ．它的对称轴是直线0x =B ．在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大C ．它的顶点坐标是()0,1-D ．它的图象有最低点9．参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有x 个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A ．1(1)902x x +=B ．(1)90x x +=C ．1(1)902x x -=D ．(1)90x x -=10．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠中，y 与x 的部分对应值如下表：下列结论中，正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．对称轴是直线4x =C ．当>4x 时，y 随x 的增大而减小D ．当 4.5x <时，y 随x 的增大而增大二、填空题11．一元二次方程240x x a -+=的一个解为1x =，则a =． 12．设1x 、2x 是方程2320x x -+=的两个根，则12x x +=．13．根据物理学规律，如果把一物体从地面以7m /s 的速度竖直上抛，那么经过x 秒物体离地面的高度（单位：m ）约为27 4.9x x -．根据上述规律，则物体经过秒落回地面． 14．有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为．15．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A 点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m 处达到最高，高度为5m ，水柱落地处离池中心距离为6m ，则水管的长度OA 是m ．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 与相交于点A ，B ，点B 的坐标为(3,0)，若点(2,3)C 在抛物线上，则AB 的长为．三、解答题 17．解下列方程： (1)247x x -= (2)2352x x -=18．已知抛物线2y x bx c =++经过点(3,0)A ，(0,3)B -． (1)求抛物线表达式并写出顶点坐标；(2)联结AB ，与该抛物线的对称轴交于点P ，求点P 的坐标． 19．阅读材料，解答问题．解方程：2411041240x x ---+=（）（），解：把41x -视为一个整体，设41x y -=， 则原方程可化为：210240y y -+=， 解得：16y =，24y =，416x ∴-= 或414x -=，∴174x =，154x =， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题：已知2222(1)(3)5x y x y +++-=，求22x y +的值． 20．已知2924A a a =-+，21B a =+．(1)当a 为何值时？2A B =．(2)对于任意实数a ，试比较A 与B 的大小．21．某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元)(040)x <<之间的关系如图所示：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？22．如图，抛物线214y x mx n =-++与x 轴相交于B ，C 两点（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于点A ，直线AC 的函数解析式为122y x =-+．(1)求点A ，C 的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标． 23．【提出问题】如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()1,2--，在x 轴上任取一点M ，完成以下操作步骤：①连接AM ，作线段AM 的垂直平分线1l ，过点M 作x 轴的垂线2l ，记12,l l 的交点为P ． ②在x 轴上多次改变点M 的位置，用①的方法得到相应的点P ，把这些点用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L ，猜想它是我们学过的哪种曲线． 【观察实验】某数学兴趣小组在探究时发现在x 轴上取几个特殊位置的点M ，可以求出相对应的点P 的坐标；例如：取点()1,0M -，则点P 的坐标为______； 取点()4,0M ，过P 作直线1x =-的垂线，垂足为点B ．()4,,P y PM y ∴∴=-，在Rt PAB △中，根据勾股定理得：()2222252PA PB AB y =+=+--（用含y 的代数式表示）P Q 在AM 的垂直平分线上，22,PA PM PM PA ∴=∴=， 由此可列关于y 的方程：()()22252,y y -=+--解得：294y =-． 294,4P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭．【解决问题】（1）请帮忙完成以上填空；（2）在x 轴上多次改变点M 的位置，按上述作图方法得到相应点P 的坐标，并完成下列表格；（3）请你帮该数学兴趣小组求出点P x ,y 所在曲线L 的解析式；（,x y 满足的函数关系式）（4）兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制，若M 点只能在76x -<<的范围内移动，则y 的取值范围是______； 【结论应用】（5）过点A 任作直线y =kx +b k ≠0 交曲线L 于点,D E （点D 在点E 的左侧），分别过点,D E 作x 轴的垂线，垂足分别为点,F G ，取FG 的中点K ，连接,DK EK ，求DKE ∠的度数；【拓展提升】（6）若点()(),0A m d d <，猜想曲线L 的最高点的坐标为______，说明理由．。

2020-2021年九年级数学人教版（上）二次函数期末专题复习（含答案）一、选择题 1. 已知函数y=21x 2-x-12，当函数y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ） A. x ＜1 B. x ＞1 C. x ＞-4 D . -4＜x ＜62. 下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax 2+bx +c(a ≠0)模型的是( ) A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D ．圆的周长与圆的半径之间的关系．3. 把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x y B. 32-=x y C . 2)3(+=x y D. 2)3(-=x y4. 在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( )A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x －2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x ＋2)2－25. 将抛物线y ＝x 2－4x －4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝(x ＋1)2－13B ．y ＝(x －5)2－3C ．y ＝(x －5)2－13D ．y ＝(x ＋1)2－36. 如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m ，门宽为2m ．若饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式为（ ）A ．yx 2+26x （2≤x ＜52） B ．yx 2+50x （2≤x ＜52） C ．y ＝﹣x 2+52x （2≤x ＜52）D ．yx 2+27x ﹣52（2≤x ＜52）7. 已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且图象过A(x 1，m)、B(x 1＋n ，m)两点，则m 、n 的关系为( )A. m ＝12nB. m ＝14nC. m ＝12n 2D. m ＝14n 28. 某同学在用描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象时，列出了下面的表格：A. －11B. －2C. 1D. －59. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a ＋c<b ；④b 2－4ac>0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.已知点A （b ﹣m ，y 1），B （b ﹣n ，y 2），C （b，y 3）都在二次函数y ＝﹣x 2+2bx+c 的图象上，若0＜m ＜n ，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 3＜y 1 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 211.如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（ ）A 、1y x =+B 、1y x =-C 、21y x x =-+ D 、21y x x =--12. 已知函数y ＝x 2+x ﹣1，当m ≤x ≤m+2时，y ≤1，则m 的取值范围（ ） A ．m ≥﹣2 B ．﹣2≤m ≤﹣1C ．﹣2≤mD ．m ≤﹣1二、填空题13. 抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.14. 已知函数①y=x 2+1，②y=-2x 2+x ．函数____(填序号)有最小值，当x=____时，该函数的最小值是_______． 15. 若函数是关于x 的二次函数，则a 的值为 ． 16. 关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于 点，此时 ．17. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B(m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c)，则点A 的坐标是________．18. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝________．19. 如图，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为242y x x =-++，则水柱的最大高度是 米。

2020-2021学年辽宁省大连市甘井子区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．圆B．等边三角形C．平行四边形D．正方形2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天的最高气温将达35℃B．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上D．对顶角相等3．抛物线y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣4）2+2B．y＝3（x﹣4）2﹣2C．y＝3（x+4）2﹣2D．y＝3（x+4）2+24．已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣6，﹣5）B．（6，5）C．（6，﹣5）D．（5，﹣6）5．关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．56．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝110°，则∠C的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°7．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．120°8．在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在45%，那么估计盒子中黄球的个数为（）A．80B．90C．100D．1109．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，则tan A的值为（）A．B．C．D．10．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0二、填空题（共6小题）.11．cos60°＝．12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是．14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是．15．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．16．已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是cm2．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）按要求解方程：（1）x2﹣x﹣2＝0（公式法）；（2）2x2+2x﹣1＝0（配方法）．18．（9分）一个不透明的口袋中装有2个红球和1个白球，小球除颜色外其余均相同．从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个小球．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球颜色不同的概率．19．（9分）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分22、23题各10分，共29分21．（9分）据统计，某市2018年某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2020年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2018年开始五年内保持不变．（1）求年平均增长率；（2）求该品牌汽车2021年的年产量为多少万辆？22．（10分）如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC的顶部看乙楼BD 的顶部其仰角为27°．如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？（结果精确到0.1米）【参考数据：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.51】23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E．（1）证明：ED是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长．五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）24．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin∠A＝．点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC向终点C运动，同时点E从点B出发，以相同速度沿BA方向运动，过点E作EF⊥AB，过点D作DF⊥EF垂足为F，连结ED，当点D 运动到终点时，点E也停止运动．设△EDF与△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点D的运动时间为t秒．（1）线段AC的长为；（2）当直线EF经过点D时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．25．（11分）在△ABC中，AB＝AC，点D平面内一点，M是BD中点，连接AM，作ME ⊥AM．（1）如图1，若点E在CD的垂直平分线上，∠BAC＝m°，则求∠DEC的度数（用含m的式子表示）；（2）如图2，当点D在CA延长线上，且DE⊥BC，若tan∠ABC＝k，则求的值（用含k的式子表示）．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝．（1）函数y的图象经过点（﹣1，0）．①求m值；②当﹣2≤x≤0时，求函数值y的取值范围；③当t﹣1≤x≤t+1时，函数y图象上的点到x轴的最大距离为2，求t的取值范围；（2）平面直角坐标系中有点A（﹣1，﹣2）、B（﹣1，4）、C（4，4）、D（4，﹣2）．若函数y的图象与四边形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．圆B．等边三角形C．平行四边形D．正方形解：A．是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项符合题意；C．属于中心对称图形，故本选项不合题意；D．是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：B．2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天的最高气温将达35℃B．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上D．对顶角相等解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为100%，故选：D．3．抛物线y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣4）2+2B．y＝3（x﹣4）2﹣2C．y＝3（x+4）2﹣2D．y＝3（x+4）2+2解：y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x+4）2﹣2．故选：C．4．已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣6，﹣5）B．（6，5）C．（6，﹣5）D．（5，﹣6）解：∵点P的坐标是（﹣6，5），∴P点关于原点的对称点的坐标是（6，﹣5），故选：C．5．关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5解：∵关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，另一根为a，∴﹣1+a＝4，解得：a＝5，则另一根为5．故选：D．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝110°，则∠C的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣110°＝70°．故选：A．7．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．120°解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∴∠E＝∠A＝80°，故选：B．8．在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在45%，那么估计盒子中黄球的个数为（）A．80B．90C．100D．110解：设盒子中黄球的个数为x，根据题意，得：＝45%，解得：x＝90，即盒子中黄球的个数为90，故选：B．9．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，则tan A的值为（）A．B．C．D．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，则tan A＝＝，故选：D．10．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．cos60°＝．解：cos60°＝．故答案为：．12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是（6，6）．解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，∴＝，＝，即＝，＝，解得，OD＝6，OF＝6，则点E的坐标为（6，6），故答案为：（6，6）．14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是（1，1）．解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是（1，1）．故答案为（1，1）．15．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为4s．解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．16．已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是18πcm2．解：∵圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，∴圆锥的侧面积为π×3×6＝18πcm2．故答案为18π．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）按要求解方程：（1）x2﹣x﹣2＝0（公式法）；（2）2x2+2x﹣1＝0（配方法）．解：（1）∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，∴b，2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝2，x2＝﹣1；（2）2x2+2x＝1，x2+x＝，x2+x+＝+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝，x2＝．18．（9分）一个不透明的口袋中装有2个红球和1个白球，小球除颜色外其余均相同．从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个小球．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球颜色不同的概率．解：树状图如下图所示，则一共有9种可能性，其中两次摸出的小球颜色不同有4种可能性，故两次摸出的小球颜色不同的概率是．19．（9分）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠F＝90°∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝180°﹣90°＝90°，∴∠CED＝∠F，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AFE∽△DEC．（2）∵△AFE∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6，∴＝，解得BF＝5．答：线段BF的长为5．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3），∴，解得：．∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．（2）当y＞﹣3时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分22、23题各10分，共29分21．（9分）据统计，某市2018年某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2020年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2018年开始五年内保持不变．（1）求年平均增长率；（2）求该品牌汽车2021年的年产量为多少万辆？解：（1）设年平均增长率为x，依题意，得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：年平均增长率为25%．（2）100×（1+25%）＝125（万辆）．答：该品牌汽车2021年的年产量为125万辆．22．（10分）如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC的顶部看乙楼BD 的顶部其仰角为27°．如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？（结果精确到0.1米）【参考数据：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.51】解：如图，在△ABE中，有BE＝tan27°×AE＝0.51×78＝39.78（米），故BD＝ED+BE＝34+39.78≈73.8（米）．答：乙楼的高度约为73.8米．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E．（1）证明：ED是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OD．∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴ED⊥DO，∵点D在⊙O上，∴ED是⊙O的切线；（2）解：如图2，过点O作OK⊥AC，∵∠E＝∠ODE＝∠OKE＝90°，∴四边形OKED为矩形，AK＝KC，∴EK＝OD＝3，∴AK＝CK＝EK﹣CE＝3﹣2＝1，∴AC＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2，∴BC＝＝＝4，答：BC的长为4．五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）24．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin∠A＝．点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC向终点C运动，同时点E从点B出发，以相同速度沿BA方向运动，过点E作EF⊥AB，过点D作DF⊥EF垂足为F，连结ED，当点D 运动到终点时，点E也停止运动．设△EDF与△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点D的运动时间为t秒．（1）线段AC的长为8；（2）当直线EF经过点D时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin∠A＝，∴AB＝，∴AC＝，故答案为8；（2）如图1，∵EF⊥AB，∴∠AEF（D）＝90°，∵sin∠A＝，∴cos∠A＝，∵AD＝t，∴AE＝，BE＝t，∴+t＝10，解得t＝；（3）当0＜t＜时，如图2，过点D作DH⊥AB，垂足为H，则四边形DHEF为矩形，在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝，AD＝t，AH＝，∴EF＝DH＝，DF＝HE＝10﹣t﹣t＝10﹣t，∴S＝DF•EF＝（10﹣t）•＝；当时，如图3，设EF交AC于点K，在Rt△AKE中，∠AEK＝90°，sin∠A＝，则AE＝10﹣t，KE＝，∴S＝S△ADH﹣S△AKE＝＝＝，综上所述：．25．（11分）在△ABC中，AB＝AC，点D平面内一点，M是BD中点，连接AM，作ME ⊥AM．（1）如图1，若点E在CD的垂直平分线上，∠BAC＝m°，则求∠DEC的度数（用含m的式子表示）；（2）如图2，当点D在CA延长线上，且DE⊥BC，若tan∠ABC＝k，则求的值（用含k的式子表示）．解：（1）如图1中，延长AM到K，使得MK＝AM，连接BK，EK，AD，KD，延长KD 交AC于N．∵M是BD的中点，∴BM＝MD，∵MA＝MK，∴四边形ABKD是平行四边形，∴AB∥DK，AB＝DK，∵AB＝AC，∴DK＝AC，∵EM⊥AK，AM＝MK，∴EA＝EK，∵点E在CD的垂直平分线上，∴ED＝EC，∴△AEC≌△KED（SSS），∴∠EAC＝∠EKD，∠AEC＝∠KED，∴∠AKN＝∠KEA，∠KEA＝∠DEC，∴∠DEC＝∠ANE，∵AB∥DK，∠BAC＝m°，∴∠ANK+∠BAC＝180°，∴∠DEC＝180°﹣m°．（2）如图2中，延长AM到K，使得MK＝AM，连接AE，BK，EK，DK，延长DK交CB的延长线于N，过点E作EP⊥AN于P，EQ⊥CD于Q．∵M是BD是中点，∴BM＝DM，∵MA＝MK，∴四边形ABKD是平行四边形，∴DN∥AB，DK＝AB＝AC，∴∠DNC＝∠ABC＝∠ACB，∴DN＝DC，∵DE⊥CN，∴∠EDP＝∠EDQ，∵EP⊥DN，EQ⊥DC，∴EP＝EQ，∵ME⊥AK，MA＝MK，∴AE＝EK，∵∠EQA＝∠EPK＝90°，∴Rt△EPK≌Rt△EQA（HL），∴∠EKP＝∠EAQ，∴△KED≌△AEC（SAS），∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠ECQ，∵∠EDC+∠DCB＝90°，∠ECQ+∠CEQ＝90°，∴∠EQC＝∠ACB，∴tan∠ABC＝k＝tan∠EQC＝，∴＝．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝．（1）函数y的图象经过点（﹣1，0）．①求m值；②当﹣2≤x≤0时，求函数值y的取值范围；③当t﹣1≤x≤t+1时，函数y图象上的点到x轴的最大距离为2，求t的取值范围；（2）平面直角坐标系中有点A（﹣1，﹣2）、B（﹣1，4）、C（4，4）、D（4，﹣2）．若函数y的图象与四边形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．解：（1）①若﹣1＞m，当x＝﹣1时，y＝﹣12﹣4﹣2＝﹣7≠0，∴m≥﹣1，∴点（﹣1，0）在y＝x2﹣2mx+2m+2上，∴0＝1+4m+2，∴m＝﹣．②当m＝﹣时，y＝，函数图象如图1所示：当x＝﹣时，y＝﹣（﹣）2+4×（﹣）﹣2＝﹣，当x＝0时，y＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2+×（﹣2）+＝，当x＝﹣时，y＝（﹣）2+×（﹣）+＝﹣，观察图象可知，﹣＜y≤﹣2或﹣．③若x＞﹣，当y＝﹣2时，﹣x2+4x﹣2＝﹣2，解得x＝0或4，当y＝2时，﹣x2+4x﹣2＝2，解得x1＝x2＝2，如图2，3，4，要使得函数y图象上的点到x轴的最大距离为2，则，解得1≤t≤3，若x≤﹣，函数图象上的点到x轴的距离大于2，不符合题意．综上所述，1≤t≤3．（2）y＝，由题意，随着m的增大，左半支的顶点（m，﹣m2+2m+2）沿抛物线y＝﹣x2+2x﹣2向右移动，如图5中，当顶点落在AB上时，m＝﹣1，函数y的图象与四边形ABCD的边有3个交点．如图6中，当m＝0时，函数Y的图象与四边形ABCD有2个解得．如图7中，当顶点落在边AD上时，﹣m2+2m+2＝﹣2，解得m＝1+或1﹣（舍弃），函数y有四边形ABCD有3个解得．如图8中，当m＝4时，函数y的图象与四边形ABCD有2个解得．综上所述，要使得函数y的图象与四边形ABCD有2个交点，则m＜﹣1或0≤m＜1+或m≥4．。

2024—2025学年度第一学期期中阶段性学习质量抽测九年级数学(本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟)注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效第一部分 选择题(共30分)一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响. 下列图形“杨辉三角”、“赵爽弦图”、“刘徽割圆术”、“中国七巧板”中，属于中心对称图形的是2. 用配方法解方程x²−6x +4=0, 下列配方正确的是A.(x −3)²=5B.(x +3)²=5C.(x −3)²=13D.(x +3)²=13A. 无实根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定5. 已知点A (x ₁, y ₁), B (x ₂, y ₂)都在反比例函数y =1x 的图象上.如果 x ₁<x ₂，且 x ₁x ₂>0,则y ₁，y ₂ 的大小关系是A.y ₁=y ₂B.y ₁<y ₂C.y ₁>y ₂D. 无法确定6. 关于二次函数y= (x+1) ²-4，下列结论不正确的是A. 开口向上B. x<0时, y 随x 的增大而减小C. 对称轴是直线x=-1D. 顶点坐标为 (-1, - 4)九年级数学 第1页 (共8页)3. 如图，根据二次函数y =x²+x−2 的图象，一元二次方程 x²+x−2=0的解是A.x₁=−1,x₂=−2B.x₁=−1,x₂=2C.x₁=1,x₂=−2D.x₁=1,x₂=24. 一元二次方程x²−8x +17=0根的情况是7. 如图，已知点A 的坐标为（-23，2），菱形ABCD 的对角线交于坐标原点O ，则点C 的坐标为A.(-2, 23） B.(−2, −23） C.(-23, -2） D.(23, −2）8.利用位似可以设计有立体感的美术字.如图，是某同学以点O 为位似中心，设计“MATH ”中字母“M ”美术字的一种方法.若AB=5，A'B'=3，则C 'D 'CD 的值为9.数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端C ，此时∠AEB=∠CED ，小明画出如图所示的示意图,并估计他的眼睛与地面的距离为1.5m ，同时测得BE=30cm ，BD=2.3m ，则旗杆的高度为A. 10mB. 11.5mC. 22.5mD. 40m10. 如图，取一根长100 cm 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O 并将其吊起来.在中点O 的左侧距离中点O10cm 处悬挂一个重量已知的物体，在中点O 右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态.改变弹簧测力计与中点O 的距离L (单位：cm) , 观察弹簧测力计的示数F (单位: N)的变化, 发现: F (单位:N)是L(单位：cm) 的函数，部分数据对应如下：L/ cm…4939.224.519.614…F/N …2 2.5457..若弹簧测力计的示数F 为2.8N ，则弹簧测力计与中点O 的距离L 为A. 30.2cmB. 32.6cmC. 35cmD. 36cm 九年级数学 第2页 (共8页)25 B. 35 C. 23D. 53A.第二部分非选择题(共90分)二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)11. 方程x²+x=0的根为 .的图象经过第一、三象限，则常数m的取值范围是 .12. 反比例函数y=m−5x13. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°，将△ABC绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADE，连接BD.若BC=3，AE=5，则线段BD的长为 .14. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD. 若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离OE，OF分别为8cm，6cm,则实像CD的高为 cm.15. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，−1），点M是x轴上一动点，连接AM，作线段AM的垂直平分线l₁，过点M作x轴的垂线l₂，记l₁，l₂的交点为P，改变点M的位置，可以得到相应的点P，设点P的坐标是(x，y) ，则y关于x的函数解析式为.三、解答题(本题共8小题，共75分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)16. (每题5分, 共10分)用适当的方法解方程：(1)x²+10x=6;(2)x2−2x−1=0.4九年级数学第3页 (共8页)17. (本小题8分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（−1，3）,B（−3，4）,C（−4，1）.(1)以点O为对称中心，画出△ABC关于点O的对称图形△A₁B₁C₁;(2)以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂,画出△A₂B₂C₂,并直接写出A₂的坐标 .蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A) 与电阻R (单位：Ω) 之间的函数关系如图所示.(1) 求这个函数的解析式；(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围?九年级数学第4页 (共8页)18. (本小题8分)19. (本小题8分)某商场销售一种商品，经市场调查发现，每件盈利20元，每星期可卖出300件.为吸引顾客，商场决定在“双十一”期间进行促销活动.若每件商品降价1元，每星期可多卖出20件.(1)为了实现该商品每星期3000元的销售利润，则每件需降价多少元?(2)该商品每星期的销售利润能否达到6200元? 如果能，求出每件盈利；如果不能，请说明理由.20. (本小题8分)如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB=2,BD=7,CD=6,点P从点 D 出发，沿DB方向以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动，连接AP，CP，过点A 作AE‖CP 交DB的延长线于点 E，设点P 的运动时间为t秒.(1)当t=1时，求证：△ABP∼△PDC;(2)当t>1时，若△ABE与△ABP相似，求线段BE的长.21. (本小题8分)【发现问题】在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠.两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止.我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线.【提出问题】(1) 请把上表中x ，y 的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出y 关于x 的函数解析式；【解决问题】(2) 双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作.从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等.小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系 y =−5x²+35x −50.①用k ₁，k ₂分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则k ₁ k ₂(填“>”“<”或“=”) ;②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误.小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是435 米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由.在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点A 处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度y (单位：m) 与水平距离x (单位：m) 之间有怎样的函数关系.【分析问题】小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度y 与水平距离x 的几组数据如下：水平距离x(m)33.64.2 4.85.2竖直高度y(m)1010211121565【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系.老师给出了下面的已知条件：在△ABC中，∠ABC=90°，B=CB，点D是△ABC边上的一动点，点P是△ABC外任意一点，过点D与点P作射线DP，将射线DP绕点D逆时针旋转90°得到射线DQ.【问题初探】(1) 如图1,点D与直角顶点B 重合,射线DP交边AC于点E,点F在射线 DQ上,且满足DE=DF，连接AF.求证:AF=CE，AF⊥CE.【问题深探】(2) 如图2, 点D在直角边AB上, 射线DP恰巧经过点C, 点F在射线DQ上,且满足DC=DF,连接AF.请直接写出AC,AD,AF之间的数量关系是 .【问题拓展】(3) 点D 在斜边AC上, 且(CD=kAD(0<k≤1), 射线DP 交边AB于点E, 射线DQ 交边CB于点 F.①如图3,当k=1,AE=4,CF=3时，求线段AC的长；2②如图4,连接BD, 请直接写出BE,BD, BF之间的数量关系 (用含k的代数式表示).抛物线y₁=−x²+b₁x+c₁与x轴交于点(−2,0),与y轴交于点 (0, 4) .(1) 求抛物线y₁的解析式；(2) 将抛物线y₁=−x²+b₁x+c₁顶点的横坐标加1，纵坐标不变，得到抛物线y₂=−x²+b₂x+c₂.①请直接写出b₂=,c₂=;②若点A，B为抛物线y₂上的点，横坐标分别为y₂−2,t,点A，B之间(包括端点)的函数图象称为图象M，设图象M的最高点与最低点的纵坐标分别为d₁，d₂，当d₁−d₂=2t+6时，求t的值；③点C为抛物线y₁上的任意一点，其横坐标为m，过点C作(y₁CD⊥x轴交抛物线y₂于点D，过点C作y轴的垂线交抛物线y₁于点E，过点D作y轴的垂线交抛物线y₂于点F,设以C,D,E,F为顶点的图形面积为S,y₂12<S<2当点C 在D的上方，以C，D，E，F为顶点的图形是四边形时，请直接写出此时m的取值范围 .。

九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．109．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm211．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 718．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm，即OP＝6，∴点P在⊙O上．故选：B．2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不中心对称图形，故本选项不合题意；D、不中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π【分析】根据弧长公式l＝，计算即可．【解答】解：弧长＝＝，故选：D．4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列表法展示所以36种等可能的结果数，找出向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，然后根据概率公式进行计算．【解答】解：列表如下：共有6×6＝36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率＝＝．故选：D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，∴△ABC∽△DEF，∴＝，即＝，解得，DE＝，故选：B．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD＝20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC＝OA，即可求得∠ACO的度数【解答】解：∵AB为⊙O的直径，C为的中点，∴OC⊥AD，∵∠BAD＝20°，∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝70°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝＝＝55°，故选：C．7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．10【分析】直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则把y＝﹣4x+1代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△＝0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：x2+2x+k＝﹣4x+1，即x2+6x+（k﹣1）＝0，则△＝36﹣4（k﹣1）＝0，解得：k＝10．故选：D．9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意；故选：A．10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm2【分析】作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，由正六边形和等边三角形的性质求出GH＝PG+PQ+QH ＝9cm，由等边三角形的面积公式即可得出答案．【解答】解：如图所示：作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，如图所示：∵△GHM是等边三角形，∴∠MGH＝∠GHM＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠ABC＝120°，正六边形ABCDEF是轴对称图形，∵G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△GHM是等边三角形，∴AG＝BH＝3cm，∠MGH＝∠GHM＝60°，∠AGH＝∠FGM＝60°，∴∠BAF+∠AGH＝180°，∴AB∥GH，∵作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，∴PQ＝AB＝6cm，∠PAG＝90°﹣60°＝30°，∴PG＝AG＝cm，同理：QH＝cm，∴GH＝PG+PQ+QH＝9cm，∴△GHM的面积＝GH2＝cm2；故选：A．11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝α，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，∴AB＝AD，∠BAD＝α，∴∠B＝＝90°﹣，故选：C．12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．【解答】解：当0≤t≤2时，S＝＝，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当2＜t≤4时，S＝﹣＝，即S与t是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C符合题意，故选：C．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．【解答】解：∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，∴随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是，故答案为．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件AC2＝DC•BC（答案不唯一）．【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD＝∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠B或∠ADC＝∠BAC；②AC2＝DC•BC；故答案为：AC2＝DC•BC（答案不唯一）．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为4．【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为，可求出AB的长，则DB的长可求出．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴＝，∴＝，∵AD＝4，∴AB＝4．∴DB＝AB﹣AD＝4﹣4．故答案为：4﹣4．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为20cm．【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到CA＝CE，DE＝DB，然后三角形周长的定义得到△PDC 的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PB＝PA＝10cm，∵CA与CE为⊙的切线，∴CA＝CE，同理得到DE＝DB，∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC∴△PDC的周长＝PA+PB＝20cm，故答案为20cm．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为﹣1 ．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．【解答】解：根据图表可以得到，点（﹣2，7）与（4，7）是对称点，点（﹣1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x＝1，∴横坐标是2的点与（0，﹣1）是对称点，∴m＝﹣1．18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为﹣1 ．【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣7x﹣30＝0，（x﹣10）（x+3）＝0，x﹣10＝0，x+3＝0，x1＝10，x2＝﹣3．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】解：（1）如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，所有两次摸出的小球标号相同的概率为＝；（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种，所以其概率为．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案；（2）首先连接OE，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：（1）连接OD，∵OA为半径的圆与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ADO＝25°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；（2）连接OF，OD，由（1）得：OD∥AC，∴∠AFO＝∠FOD，∵OA＝OF，点F为的中点，∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵OA＝OD＝2，∴OB＝2OD＝4，∴AB＝OA+OB＝6．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，可得，由此即可解决问题；（Ⅱ）由PB∥DC，可得，可得PA的长．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵，∴，又∵BF＝15，∴，∴；（Ⅱ）解：能．∵四边形ABCD是平行四边形，∴PB∥DC，AB＝DC＝8，∴，∴，∴PA＝．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；（2）设AB＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得：x（100﹣2x）＝450解得：x1＝5，x2＝45当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100﹣2x＝10＜20答：AD的长为10m；（2）设AB＝xm，则S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，（0＜x≤70）∴x＝50时，S的最大值是1250．答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由图形得∠BAE＝∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA＝∠BAD+45°，可得∠BAE＝∠CDA，根据∠B＝∠C＝45°，证明两个三角形相似；（2）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠BAD+45°，∠CDA＝∠BAD+45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；（2）解：成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，则CE＝BH，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°．连接HD，在△EAD和△HAD中，，∴△EAD≌△HAD（SAS）．∴DH＝DE．又∠HBD＝∠ABH+∠ABD＝90°，∴BD2+BH2＝HD2，即BD2+CE2＝DE2．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x 轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，∴＝，∴．∴PE+PA的最小值是3．。

辽宁省大连市甘井子区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程2x2−(m+1)x+1=x(x−1)化成一般形式后一次项的系数为−2，则m的值为()A. −1B. 1C. −2D. 22.下列图案中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BE=2，EF⊥BC.若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE=()A. 3B. 3.5C. 4D. 4.54.抛物线y=3x2+2x−1向上平移4个单位长度后的函数解析式为()A. y=3x2+2x−5B. y=3x2+2x−4C. y=3x2+2x+3D. y=3x2+2x+45.若点P(m,2)与点Q(3,n)关于原点对称，则m，n的值分别是()A. −3，2B. 3，−2C. −3，−2D. −2，36.一元二次方程x2−x−2=0在实数范围内的根的情况是()A. 无根B. 一个根C. 两个根D. 以上答案都不对7.下列各组线段的长度成比例的是()A. 2cm，3cm，4cm，5cmB. 1cm，√2cm，2cm，√2cmC. 1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cmD. 1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm8.用配方法将方程x2+6x−11=0变形，正确的是()A. (x−3)2=20B. (x−3)2=2C. (x+3)2=2D. (x+3)2=209.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则旗杆CD高度是()A. 9mB. 10.5mC. 12mD. 16m10.已知二次函数y=x2−4x+3，当x>0时，函数值y的取值范围是()A. y>3B. y<3C. y≥−1D. −l≤y<3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若x1，x2是一元二次方程x2−3x+2=0的两根，则x1+x2的值是________．12.已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，BE、B1E1分别是∠B、∠B1的对应角平分线，如果AB：A1B1=2：3，那么BE：B1E1=______．13.方程(x−1)2=1的解为．14.二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交点的坐标是______ ，y轴的交点坐标是______ ，顶点坐标是______ ．15.如图，直线l1//l2//l3，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，若DE=4，则EF的值为 ______．16.抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,4)，B(6,4)两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为______．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）17.解下列方程．(1)(3x−1)(x−2)=2；(2)2x2−1=3x．四、解答题（本大题共9小题，共93.0分）18.在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，AB=10，D为AC上点．将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE．(1)证明：∠ABD=∠CBE；(2)连接ED，若ED=2√13，求CA的值．CD19.已知函数y=ax2+b过点(−2,−3)和点(1,6)．(1)求这个函数的解析式；(2)当x在什么范围内时，函数值y随x的增大而增大；(3)求这个函数的图象与x轴的交点坐标．20.如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T(1,1)、A(2,3)、B(4,2).(1)以图中的点T为位似中心，在第一象限内将△TAB放大到2倍得到△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′，请在网格图中画出△TA′B′．(2)请直接写出点A′、B′的坐标．21.某工厂2016年的年产值是100万元，2018年的年产值是144万元．假设2016年到2018年该厂年产值的年增长率相同．求该工厂2016年到2018年的年平均增长率．22.如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y=−x2+bx+c表示，且抛物线经过点B(12,2)，C(2,54).请根据以上信息，解答下列问题；(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？23.如图，已知：AD和BC相交于点O，∠A=∠C，AO=2，BO=4，OC=3，求OD的长．24.如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(−6,0)、B(0,3)，P是线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，点C的坐标为(−4,0)．(1)求直线AB所对应的函数关系式；(2)设动点P的坐标为(m,n)，△PAC的面积为S．①当PC=PO时，求点P的坐标；②写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围；并求出使S△PAC=S△PBO时点P的坐标．25.如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由．(2)如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE//AM时，①求证：AE=EC；②直接写出∠MAC的度数以及线段NE与AC的数量关系．26.已知，关于x的二次函数y=ax2−2ax(a>0)的顶点为C，与x轴交于点O、A，关于x的一次函数y=−ax(a>0)．(1)试说明点C在一次函数的图象上；(2)若两个点(k,y1)、(k+2,y2)(k≠0,±2)都在二次函数的图象上，是否存在整数k，满足1y1+1 y2=16a？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由；(3)若点E是二次函数图象上一动点，E点的横坐标是n，且−1≤n≤1，过点E作y轴的平行线，与一次函数图象交于点F，当0<a≤2时，求线段EF的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解决本题的关键是得到整理后的相关式子．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．整理为一般形式后，根据一次项的系数为−2，列方程求解即可．解：2x2−(m+1)x+1=x(x−1)，整理得：x2−mx+1=0，∵一次项的系数为−2，∴−m=−2，解得：m=2．故选：D．2.答案：B解析：解：A、是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项正确；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.答案：D解析：解：设CE=x，∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，∴ABBE =CEEF，∵AB=3，BE=2，EF=AB，∴32=x3，解得：x=4.5，故选：D．可设CE=x，由四边形EFDC与四边形BEFA相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与四边形BEFA相似得到比例式．4.答案：C解析：[分析]本题考查了二次函数的图象与几何变换，准确掌握平移规律是解题关键．利用平移规律“上加下减”计算即可．[解答]解：抛物线y=3x2+2x−1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2+2x−1+ 4=3x2+2x+3，故选C．5.答案：C解析：本题考查了关于原点对称的点的坐标有关知识，根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．解：点P(m,2)与点Q(3,n)关于原点对称得m=−3，n=−2，故选C．6.答案：C解析：解：△=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−2)=9，∵9>0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：C．先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．△>0，有两个不相等的实数根；△=0，有两个相等的实数根；△<0，没有实数根．7.答案：B解析：解：A、3×4≠2×5，故本选项错误；B、1×2=√2×√2，故选项正确；C、1.5×6.5≠2.5×4.5，故选项错误；D、1.1×4.4≠2.2×3.3，故本选项错误．故选B．根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．本题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．8.答案：D解析：本题考查了配方法，属于基础题．把常数项−11移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．解：把方程x2+6x−11=0的常数项移到等号的右边，得到x2+6x=11，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+6x+9=11+9，配方得(x+3)2=20．故选：D．解析：解：依题意得BE//CD，∴△AEB∽△ADC，∴ABAC =BECD，即22+14=1.5CD，则CD=12．故选：C．根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．10.答案：C解析：本题考查了二次函数的性质，根据x的取值，结合图象，利用数形结合思想解决问题.先求出x=0时y的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可．解：如图，当x=0时，y=3，∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴当x>2时，y随x的增大而减小，且y有最小值−1，∴当x>0时，y的取值范围是y≥−1．11.答案：3解析：本题考查了根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q，属于基础题．由一元二次方程x2−3x+2=0，根据根与系数的关系即可得出答案．解：∵x1，x2是一元二次方程x2−3x+2=0的两根，∴x1+x2=3．故答案为3．12.答案：2：3解析：解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴BE：B1E1=AB：A1B1=2：3，故答案为：2：3．根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．13.答案：x1=0,x2=2解析：本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.直接利用开平方法，即可求得答案．解：(x−1)2=1，x−1=±1，解得：x1=0,x2=2．故答案为x1=0,x2=2．14.答案：(−1,0)，(3,0)；(0,−3)；(1,−4)解析：解：根据题意，令y=0，代入函数解析式得，x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1，∴与x轴交点坐标为(−1,0)，(3,0)，同理令x=0，代入解析式得，y=−3，∴与y轴交点为(0,−3)，把二次函数解析式化为顶点坐标形式得，y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴顶点坐标为(1,−4)．求函数与x轴交点，令y=0，代入求解即可，同理求与y轴交点坐标，可令x=0，代入解析式求解即可，把二次函数化为顶点坐标形式可求得顶点坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题．15.答案：203解析：本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．求出AB=3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．解：∵AH=2，HB=1，∴AB=AH+BH=3，∵l1//l2//l3，∴DEEF =ABBC=35；∵DE=4，∴EF=203，故答案为203．16.答案：y=14x2−x+1解析：解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A(−2,4)，B(6,4)两点，∴抛物线的对称轴是直线x =6+(−2)2=2，即顶点坐标为(2,0)，设y =ax 2+bx +c =a(x −2)2+0，把(−2,4)代入得：4=a(−2−2)2+0，解得：a =14，即y =14(x −2)2+0=14x 2−x +1，故答案为：y =14x 2−x +1．先根据点A 、B 的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把A 点的坐标代入求出a ，即可得出函数解析式．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质、用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出顶点坐标是解此题的关键． 17.答案：解：(1)3x 2−7x =0，x(3x −7)=0，x =0或3x −7=0，所以x 1=0，x 2=73；(2)2x 2−3x −1=0，△=(−3)2−4×2×(−1)=17，x =3±√172×2， 所以x 1=3+√174，x 2=3−√174．解析：本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了公式法解一元二次方程．(1)先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；(2)先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．18.答案：解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠A =30°，∠ACB =90°，∴∠ABC =60°，∵将BD 绕点B 顺时针旋转60°得到BE ，∴∠EBD =60°，∴∠ABD =60°−∠CBD ，∠CBE =60°−∠CBD ，∴∠ABD =∠CBE ；(2)过D 作DH//AB 于H ，∵∠A =30°，∴AD =2DH ，AH =√3DH ，∴BH =10−√3DH ，∵将BD 绕点B 顺时针旋转60°得到BE ，∴BE =BD ，∴△BDE 是等边三角形，∴BD =DE =2√13，在Rt △BDH 中，BD 2=BH 2+DH 2，即(2√13)2=(10−√3DH)2+DH 2，解得：DH =√3，或DH =4√3(不合题意舍去)，∴AD =2√3，∵AC =5√3，∴CD =3√3，∴CA CD =53．解析：(1)根据三角形的内角和得到∠ABC =60°，根据旋转的性质得到∠EBD =60°，根据角的和差即可得到∠ABD =∠CBE ；(2)过D 作DH//AB 于H ，解直角三角形得到AD =2DH ，AH =√3DH ，求得BH =10−√3DH ，推出△BDE 是等边三角形，得到BD =DE =2√13，根据勾股定理列方程即可得到结论．本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 19.答案：解：(1)由题意，函数y =ax 2+b 过点(−2,−3)和点(1,6)，所以{4a +b =−3a +b =6,解得{a =−3b =9, 所以函数解析式为y =−3x 2+9；(2)∵a =−3<0，∴当x ≤0时，y 随x 的增大而增大；(3)函数解析式为y =−3x 2+9，令y =0，解得x =±√3，∴函数图象与x 轴交点为(√3,0)和(−√3,0).解析：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、以及二次函数与坐标轴的交点问题，属于中档题．(1)把点(−2,−3)和点(1,6)代入即可求解;(2)根据二次函数的性质即可求解；(3)令y =0，即可求出二次函数与x 轴的交点坐标．20.答案：解：(1)如图所示：△TA′B′，即为所求；(2)如图所示：A′(3,5)、B′(7,3)．解析：(1)利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)由位似图形的性质得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．21.答案：解：设2016年到2018年该工厂年产值的年平均增长率为x ，则100(x +1)2=144解得：x 1=0.2，x 2=−2.2.(不符合题意，舍去)．答：2016年到2018年该工厂年产值的年平均增长率为20%．解析：设该工厂从2016年至2018年的年平均增长率为x ，根据该工厂2016年及2018年年产值，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．22.答案：解：(1)∵抛物线y =−x 2+bx +c ，且经过点B(12,2)，C(2,54)，∴{−(12)2+b ×12+c =2−22+b ×2+c =54， 解得，{b =2c =54，∴抛物线y =−x 2+2x +54，当x =0时，y =54，即抛物线的函数关系式是y =−x 2+2x +54，喷水装置OA 的高度是54米；(2)∵y =−x 2+2x +54=−(x −1)2+94，∴当x =1时，y 取得最大值，此时y =94，答：喷出的水流距水面的最大高度是94米；(3)令−x 2+2x +54=0，解得，x 1=−0.5，x 2=2.5，答：水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外．解析：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．(1)根据抛物线y =−x 2+bx +c 表示，且经过点B(12,2)，C(2,54)，可以求得抛物线的解析式，然后令x =0，求得y 的值，即可得到OA 的值；(2)将(1)中的函数解析式化为顶点式，即可求得喷出的水流距水面的最大高度；(3)根据题意和图象，求出抛物线与x 轴的交点，即可得到水池半径的最小值． 23.答案：解：在△AOB 与△COD 中，∵∠A =∠C ，∠AOB =∠COD ，∴△AOB ～△COD ，∴OA OC =OB OD ，∴23=4OD ，∴OD =6．解析：由△AOB ～△COD ，可得OA OC =OB OD ，由此即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24.答案：解：(1)设直线AB 所对应函数关系式为y =kx +b ，把A(−6,0)、B(0,3)代入解析式得，{−6k +b =0b =3, 解得{k =12b =3,直线AB 所对应的函数关系式为y =12x +3．(2)①∵PC =PO ，∴点P 在CO 的垂直平分线上，∵点C 的坐标为(−4,0)，∴点P 的横坐标为−2，∴n =12×(−2)+3=2，∴点P 的横坐标为(−2,2)．②将点P(m,n)代入y =12x +3得，n =12m +3，∴S =12AC ⋅n =12×2n =n =12m +3，(−6<m <0)． ∵S △PAC =S △PBO ，∴12m +3=12×3×|m|，即12m +3=−12×3×m ，解得m =−32，∴P(−32，94).解析：本题考查了一次函数综合题，熟悉待定系数法、垂直平分线的性质、三角形的面积公式是解题的关键．(1)利用待定系数法求出函数解析式即可；(2)①根据PC=PO，利用点P在CO的垂直平分线上，求出P点坐标；②将点P(m,n)代入y=12x+3得，n=12m+3，根据S△PAC=S△PBO，得到关于m的解析式，求出P点坐标．25.答案：解：(1)BF=AC，理由是：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，∵∠ABC=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵∠AFE=∠BFD，∴∠DAC=∠EBC，在△ADC和△BDF中，{∠DAC=∠DBF∠ADC=∠BDF=90°AD=BD，∴△ADC≌△BDF(AAS)，∴BF=AC；(2)①如图2，由折叠得：MD=DC，∵DE//AM，∴AE=EC，②NE=12AC，理由是：如图2，∵AE=EC，BE⊥AC，∴AB=BC，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=12×45°=22.5°，由(1)得：△ADC≌△BDF，∵△ADC≌△ADM，∴△BDF≌△ADM，∴∠DBF=∠MAD=22.5°，∴∠MAC=2∠MAD=45°，∵∠NEA=90°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴EN=AE=EC，∴EN=12AC．解析：(1)如图1，证明△ADC≌△BDF(AAS)，可得BF=AC；(2)①如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC；②由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，结合(1)得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，最后证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=12AC．本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，(2)中解题的关键是证明AB=BC是关键，有难度．26.答案：解：(1)∵二次函数y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴顶点C(1,−a)，∵当x=1时，一次函数值y=−a∴点C在一次函数y=−ax的图象上；(2)存在．∵点(k,y1)、(k+2,y2)(k≠0,±2)都在二次函数的图象上，∴y1=ak2−2ak，y2=a(k+2)2−2a(k+2)，∵满足1y1+1y2=16a，∴1ak2−2ak +1a(k+2)2−2a(k+2)=16a，整理，得1ak(k−2)+1ak(k+2)=16a，∴1k(k−2)+1k(k+2)=16，∴2k2−4=16，解得k=±4，经检验：k=±4是原方程的根，∴整数k 的值为±4．(3)∵点E 是二次函数图象上一动点，∴E(n,an 2−2an)，∵EF//y 轴，F 在一次函数图象上，∴F(n,−an)．①当−1≤n ≤0时，EF =y E −y F =an 2−2an −(−an)=a(n −12)2−14a ， ∵a >0，∴当n =−1时，EF 有最大值，且最大值是2a ，又∵0<a ≤2，∴0<2a ≤4，即EF 的最大值是4；②当0<n ≤1时，EF =y F −y E =−an −(an 2−2an)=−a(n −12)2+14a ， 此时EF 的最大值是14a ，又∵0<a ≤2，∴0<14a ≤12，即EF 的最大值是12；综上所述，EF 的最大值是4．解析：(1)先求出二次函数y =ax 2−2ax =a(x −1)2−a 顶点C(1,−a)，当x =1时，一次函数值y =−a 所以点C 在一次函数y =−ax 的图象上；(2)存在．将点(k,y 1)、(k +2,y 2)(k ≠0,±2)代入二次函数解析式，y 1=ak 2−2ak ，y 2=a(k +2)2−2a(k +2)，因为满足1y 1+1y 2=16a ，1ak 2−2ak +1a(k+2)2−2a(k+2)=16a ，整理，得1ak(k−2)+1ak(k+2)=16a ，2k 2−4=16，解得k =±4，经检验：k =±4是原方程的根，所以整数k 的值为±4； (3)分两种情况讨论：①当−1≤n ≤0时，EF =y E −y F =an 2−2an −(−an)=a(n −12)2−14a ，②当0<n ≤1时，EF =y F −y E =−an −(an 2−2an)=−a(n −12)2+14a. 本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

2024-2025学年度第一学期期中阶段性学习质量抽测八年级数学（本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟）注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在美术字中，有些汉字是轴对称图形.下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.2.六边形的外角和等于（ ）A.180°B.270°C.360°D.720°3.如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B .连接并延长到点D ，使.连接并延长到点E ，使.连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A ，B 的距离证明.的依据是（ ）（第3题）A. B. C. D.4.如图，在中，，，，点D 是的中点，，则的长度是（ ）（第4题）A.0.5B.1C.2D.45.如图，，若，，则的长度是（）AC CD CA =BC CE CB =DE ABC DEC ≅△△DE ABC DEC ≅△△SAS AAS AAS HLRt ABC △90ACB ∠=︒30A ∠=︒2BC =AB DE AC ⊥DE EFG NMH ≅△△ 1.1EH = 3.3NH =GH（第5题）A.1.1B.2.1C.2.2D.3.36.如图，在中，，，是的角平分线，则（ ）（第6题）A.65°B.75°C.85°D.90°7.如图，在中，，点D 在上，且，下列结论正确的是（ ）（第7题）A. B. C. D.8.如图，在中，，，的高与的比是（ ）（第8题）A. B. C. D.9.如图，在中，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，交于点G ，交于点H ；再分别以点G ，H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O ；连接并延长交于点D .点P 是上的一点，过点P 分别作，，交于点E ，E 过点D 作于点M ，于点N ，交于点K ，于点L .下列线段的数量关系正确的是（ ）ABC △40BAC ∠=︒75B ∠=︒AD BAC ∠ADB ∠=ABC △AB AC =AC BD BC AD ==36A ∠=︒66ABC ∠=︒70C ∠=︒105ADB ∠=︒ABC △2AB =4BC =ABC △AD CE 1:11:21:32:1ABC △AB AC 12GH AO BC AD PE AB ∥PF AC ∥BC DM AB ⊥DN AC ⊥PE PF（第9题）A. B. C. D.10，如图，电信部门要在S 区修建一座电视信号发射塔.设计要求：发射塔到两个城镇A ，B 的距离相等，到两条高速公路m 和n 的距离也相等.关于发射塔应修建的位置，下列说法正确的是（ ）（第10题）A.线段的中点B.直线m 和n 的交角（锐角）的角平分线与线段的交点C.线段的垂直平分线和直线m 和n 的交角（锐角）的角平分线的交点D.线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.如图，和关于直线对称，，______°.（第11题）12.如图，，，重垂足分别为E ，F ，，若要依据证明，则需添加的一个条件是______.（第12题）13.如图，从A 处观测C 处的仰角，从B 处观测C 处的仰角，则DE DF =PE PF =2DM DL =MK NL=AB AB AB OA OB ABC △A B C '''△MN AB BC ⊥A B C '''∠=AE BC ⊥DF BC ⊥BE CF =HL BAE CDF ≅△△30CAD ∠=︒45CBD ∠=︒ACB ∠=（第13题）14.如图，五边形的内角都相等，且，，则x 的值是______.（第14题）15.如图，是等边三角形，是中线，延长至点E ，使，，垂足为F .若，，则的面积是______.（用含a 和b 的式子表示）（第15题）三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16.（本小题8分）如图，，，.求的度数.（第16题）17.（本小题8分）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，，，.求证：.ABCDE 12∠=∠34∠=∠ABC △BD BC CE CD =DF BE ⊥AB a =BD b =BDE △CD AB ⊥1A ∠=∠65B ∠=︒ACB ∠AB DE =AC DF =BE CF =A D ∠=∠18.（本小题8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.（第18题）（1）请画出关于y 轴对称的图形，并直接写出顶点的坐标______；（2）关于x 轴对称的图形为.①不用画图，请直接写出三个顶点的坐标：______，______，______；②若内任意一点P 的坐标为，则点在内的对应点的坐标为______.（用含x 和y 的式子表示）（建议：先用铅笔画图，确定无误后用黑色水性笔画在答题卡上）19.（本小题8分）如图，点D 在上，点E 在上，，，和相交于点O .求证：.（第19题）20.（本小题8分）如图，中，，，平分，平分，过点O 作交，于点M ，N .求的周长.ABC △()4,1A -()1,1B --()3,2C -ABC △111A B C △1A ABC △222A B C △2A 2B 2C ABC △(),x y P 222A B C △2P AB AC AB AC =B C ∠=∠BE CD OD OE =ABC △10AB =7AC =BO ABC ∠CO ACB ∠MN BC ∥AB AC AMN △（第20题）21.（本小题10分）【课题回顾】在学习《13.4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题.【问题探究】如图1，在等边中，点D 为中点，点P ，Q 分别为，上的点，，，点M 是线段上的动点，连接，，求的最小值.（1）小明提出的探究思路如下：如图2，作点Q 关于直线的对称点，连接交于点M ，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小.①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小；②求的最小值.【类比探究】（2）如图3，在平面直角坐标系中，点A 坐标为，点B 为y 轴正半轴上一点，连接，，点C 为中点，平分交边于点D ，点P 为边上的一个动点.若点M 在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点P 的坐标______.（图1） （图2） （图3）（第21题）22.（本小题12分）【发现问题】在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定ABC △BC AC BC 2AP CQ ==1DQ =AD MP MQ MP MQ +AD Q 'PQ 'AD MQ MP MQ +MP MQ +MP MQ +()4,0AB 30ABO ∠=︒AB OD AOB ∠AB OB OD MC MP MC MP +理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是轴对称图形.【提出问题】小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系.（1）如图1，在四边形中，，，对角线与相交于点O .求证：.（图1）（图2）（第22题）【分析问题】（2）如图2，在四边形中，，，于点B ，于点D ，点M ，N 分别是，上的点，且，求的周长.（用含a 的式子表示）【解决问题】（3）①如图3，在中，点D 为内一点，平分，且.求证：.②如图4，在中，，，点D ，E 分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出______°.（图3）（图4）（第22题）23.（本小题13分）【活动初探】在学习等十三章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系.（1）如图1，在中，，点D 为中点，于点E ，于点F .求证：.ABCD AB AD =CB CD =AC BD 12ABCD S AC BD =⋅筝形ABCD AB AD a ==CB CD =AB BC ⊥AD CD ⊥AD AB MCD NCB MCN ∠+∠=∠AMN △ABC △ABC △AD BAC ∠BD CD =AB AC =ABC △80A ∠=︒30B ∠=︒BC AB AEDC BDE ∠=ABC △AB AC =BC DE AB ⊥DF AC ⊥DE DF =（图1）（图2）（第23题）【变式再探】（2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G ，连接并延长，交于点D ，求证：点D 为的中点.（图3）（备用图）（第23题）【类比深探】（3）在中，，点D 为中点，，点F 为直线上一动点，点E 为射线上一动点（点E 不与点A ，C 重合），，连接.①如图3，当点F 在点A 上方，猜想并证明，，的数量关系；②若，，，请直接写出______（用含m ，n 的代数式表示）.ABC △AB AC =CFA △BEA △CF BE AG BC BC ABC △AB AC =BC 30ABC ∠=︒AD CA FB FE =BE AC AE DF AC m =AE n =2m n >DF =2024-2025学年度第一学期期中阶段性学习质量抽测八年级数学参考答案第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.B.2.C.3.A.4.B.5.C.6.C.7.A.8.B.9.D. 10.C.第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.90. 12.. 13.15. 14.36.15..三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16.（本小题8分）解：∵，∴.……2分∴在中，.……4分∵，∴.……6分∵在中，，∴.……8分（第16题）17.（本小题8分）证明：∵，∴.……1分∴.……2分在和中，……4分∴.……6分∴.……8分AB CD =38ab CD AB ⊥90ADC ∠=︒Rt ACD △90CAD C ∠+∠=︒1A ∠=∠145A ∠=∠=︒ABC △65B ∠=︒180ACB A B∠=︒-∠-∠1804565=︒-︒-︒70=︒BE CF =BE EC CF EC +=+BC EF =ABF △DCE △AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩()SSS ABC DEF ≅△△A D ∠=∠（第17题）18.（本小题8分）解：（1）；……1分图正确；……4分（第18题）（2）①，，；……7分.……8分19.（本小题8分）证明：在和中，……2分∴.……3分∴.……4分∴.∴.……5分在和中，......6分∴.......7分∴. (8)分()14,1A ()24,1A --()21,1B -()23,2C --()2,P x y -ABE △ACD △A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ABE ACD ≅△△AE AD =AB AD AC AE -=-BD CE =OBD △OCE △BOD COE B C BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS OBD OCE ≅△△OD OE =（第19题）20.（本小题8分）证明：∵平分，平分，∴，.……1分∵，∴，.……2分∴，.……4分∴，.……6分∵…………7分∴的周长为17.……8分（第20题）21.（本小题10分）（1）①证明：如图，在上另取一点，连接，，，∵点Q 关于直线的对称点为，点M ，在上，∴，.∴.……1分在中，∵， (2)分BO ABC ∠CO ACB ∠12∠=∠34∠=∠MN BC ∥25∠=∠36∠=∠15∠=∠46∠=∠MB MO =NO NC =AMN C AM MN AN=++△AM MO NO AN=+++AM MB NC AN=+++AB AC=+17=AMN △AD M 'PM 'M Q ''M Q 'AD Q 'M 'AD MQ MQ ='M Q M Q '=''MP MQ MP MQ PQ +=+=''M PQ ''△PQ PM M Q <''+''∴.即的值最小.……3分（第21题）②解：∵是等边三角形，点D 为中点，∴，，.……4分∵，，∴.∴.……5分∵点Q 关于直线的对称点为，∴.∴.……6分∴.∵，∴是等边三角形.……7分∴.∴的最小值为4.……8分（2）.……10分22.（本小题12分）（1）证明：∵，，∴垂直平分.……1分∵，∴MP MQ PM M Q '+'<'+MP MQ +ABC △BC 2AB AC BC CD ===60C ∠=︒AD BC ⊥2CQ =1DQ =3CD BD CQ DQ ==+=6AB AC BC ===AD Q '1DQ DQ ='=2BQ AP BD DQ ==-'='4CP CQ AC AP BC BQ '==-'=-=60C ∠=︒CPQ ' 4PQ CP '==MP MQ +()0,2AB AD =CB CD =AC BD ACD ABC ABCD S S S =+△△筝形()11112222ABCD S AC OD AC OB AC OD OB AC BD =⋅+⋅=+=⋅筝形即.……2分（2）如图2，延长至E ，使，连接，∵，，∴.在和中，∴.……3分∴，.∵，∴.……4分在和中，∴.……5分∴∴的周长.……6分（第22题图2）（3）①证明：如图3，过点D 作于M ，过点D 作于N ，∵平分，，，∴.……7分又∵，∴.……8分∴.12ABCD S AC BD =⋅筝形AD DE BN =CE AB BC ⊥AD CD ⊥90CDE CBN ∠=∠=︒CDE △CBN △CD CB CDE CBNDE BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS CDE CBN ≅△△ECD NCB ∠=∠CE CN =MCD NCB MCN ∠+∠=∠MCD ECD MCN MCE ∠+∠=∠=∠MCN △MCE △CN CE MCN MCEMC MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS MCN MCE ≅△△.MN ME =AMN △AM MN AN=++AM ME AN=++AM MD DE AN=+++AD BN AN=++2AD AB a =+=DM AB ⊥DN AC ⊥AD BAC ∠DM AB ⊥DN AC ⊥DM DN =BD CD =()Rt Rt HL BDM CDN ≅△△ABD ACD ∠=∠∵，∴.……9分∴.∴.∴.……10分（第22题图3）②100°或40°.……12分23.（本小题13分）（1）证明：∵，点D 为中点，∴平分.……1分∵，，∴.……2分（第23题图1）（2）证明：∵，∴.……3分∵和分别为等边三角形，∴.……4分∴.∴.∴.……5分∵，∴垂直平分.∴点D 为的中点 (6)分BD CD =DBC DCB ∠=∠ABD DBC ACD DCB ∠+∠=∠+∠ABC ACB ∠=∠AB AC =AB AC =BC AD BAC ∠DE AB ⊥DF AC ⊥DE DF =AB AC =ABC ACB ∠=∠CFA △BEA △60FCA EBA ∠=∠=︒ABC EBA ACB FCA ∠-∠=∠-∠GBC GCB ∠=∠GB GC =AB AC =AD BC BC（第23题图2）（3）①猜想：.证明：如图3，过点F 作于M ，过点F 作，交延长线于点N ，∴.∵，点D 为中点，∴，平分.∵，∴.∵，∴.……7分∵，∴.∴.……8分∴.在中，，∴.∴.同理.……9分∴.∴.∴.在中，，∴.……10分∴.∴.……11分（第23题图3）②或.……13分12AE AC DF =+FM AE ⊥FN BA ⊥BA 90FME FNB ∠=∠=︒AB AC =BC AD BC ⊥AD BAC ∠30ABC ∠=︒60BAD CAD FAM FAN ∠=∠=∠=∠=︒FM AE ⊥FN BA⊥FM FN =FB FE =()Rt Rt HL EFM BFN ≅△△EM BN =AE AM AB AN -=+Rt AFM △60FAM ∠=︒30AFM ∠=︒12AM AF =12AN AF =1122AE AF AB AF -=+AE AB AF =+AE AC DF AD =+-Rt ABD △30ABC ∠=︒1122AD AB AC ==12AE AC DF AC =+-12AE AC DF =+12m n +12m n -。

2020-2021学年辽宁省大连市甘井子区福佳中学九年级（下）期末数学复习试卷（3）1.（单选题，0分）下列的式子一定是二次根式的是（）A. √−x−2B. √xC. √x2+2D. √x2−22.（单选题，0分）下列计算√18 - √2的结果是（）A.4B.3C.2 √2D. √23.（单选题，0分）如图，在△ABC中，∠A=∠B=45°，AB=4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（）A.2B.4C.8D.164.（单选题，0分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A. √5 +1B.- √5 +1C. √5 -1D. √55.（单选题，0分）如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）A.5B.20C.24D.326.（单选题，0分）若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是（）A.30°B.45°C.60°D.75°7.（单选题，0分）一次函数y=3x-2的图象不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.（单选题，0分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A.4B.6C.16D.559.（单选题，0分）某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表：车速（km/h）48 49 50 51 52车辆数（辆） 5 4 8 2 1A.50，8B.50，50C.49，50D.49，810.（单选题，0分）在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（）A.平均数B.众数C.中位数D.方差11.（填空题，0分）计算（√3 -2）（√3 +2）的结果等于___ ．12.（填空题，0分）在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm，则BC=___ ．13.（填空题，0分）菱形ABCD中，已知AB=4，∠B=60°，那么BD的长是___ ．14.（填空题，0分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，若AD=6，则OE的长是___ ．15.（填空题，0分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E．若AC=4，BD=6，则BE的长为___ ．16.（填空题，0分）一次函数y=ax+b的图象如图所示，不等式ax+b＞-2的解集为___ ．17.（填空题，0分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，7）、B（9，6），直线y=kx（k≠0）与线段AB有交点，则k的取值范围为 ___ ．18.（问答题，0分）计算：（√3 +1）2- √12 +2 √1．319.（问答题，0分）某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟）：30 60 70 10 30 115 70 60 75 90 15 70 40 75 105 80 60 30 70 45对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：表一时间t（单位：分钟）0≤t＜30 30≤t＜60 60≤t＜90 90≤t＜120 人数 2 a 10 b 平均数中位数众数60 c dd="___" ；（2）如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．20.（问答题，0分）如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．求证：四边形BEDF 是平行四边形．21.（问答题，0分）如图，已知直线y="kx-3"经过点M，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）求A，B两点坐标；（2）结合图象，直接写出kx-3＞1的解集．22.（问答题，0分）甲、乙两个工程队分别同时修整两段公路，所修公路的长度y（米）与修路时间x（时）之间的关系如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）甲队每小时修路___ 米；乙队修路2小时后，每小时修路___ 米；（2）修路6小时，甲比乙多修了___ 米；（3）当修路时间是多少时，甲、乙两队所修公路的长度相同？23.（问答题，0分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=- 4x+8分别交x轴，y轴于点3A，B，直线AB上有一点C（m，4）．点D（0，n）是y轴上任意一点，连接CD，以CD为边在直线CD下方，作正方形CDEF．（1）填空：m="___" ；（2）若正方形CDEF的面积为S，求S关于n的函数关系式；（3）点A关于y轴的对称点为A′，连接A′B，是否存在n的值，使正方形的顶点E或F落在△ABA′的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．。

2020-2021学年九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共16小题，共48.0分）1.某班参加课外兴趣小组情况的统计图如图所示，则参加人数最多的兴趣小组是()A. 美术B. 舞蹈C. 书法D. 体育2.若正比例函数y=−2x的图象经过点O(a−1,4)，则a的值为()A. −1B. 0C. 1D. 23.正十边形的每一个内角的度数为()A. 120°B. 135°C. 140°D. 144°4.若A、B、C是不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可以画()A. 一个B. 两个C. 三个D. 四个5.在函数y=√x+4+x−2中，自变量x的取值范围是()A. x≥−4B. x≠0C. x≥−4且x≠0D. x>−4且x≠06.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为()①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A. ①③B. ②③C. ③④D. ①②③7.在平面直角坐标系中，一次函数y=x−1的图象是()A. B. C. D.8.甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y(km)与行驶时间t(ℎ)的函数图象如图所示，下列说法正确的有()①甲车的速度为50km/ℎ②乙车用了3h到达B城③甲车出发4h时，乙车追上甲车④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.某校对八年级300名学生就“分组合作学习”方式的支持程度进行了调查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图，据此统计图估计该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生(含非常喜欢和喜欢两种情况)约为()A. 180名B. 210名C. 240名D. 270名10.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是()A. 2√3B. 3√3C. 4D. 4√311.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，其图象如图所示，则不挂物体的弹簧长度是()A. 10 cmB. 8 cmC. 7 cmD. 5 cm12.将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为()A. 2cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 8cm213.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE：EC=2：1，则线段CH的长是()A. 3B. 4C. 5D. 614.如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC，BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，连接PE，PD，PC，DE.设AP=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的()A. 线段PDB. 线段PCC. 线段PED. 线段DE15.在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是(0,−1)，AB=5，点(a,b)在如图所示的阴影部分内部(不包括边界)，已知OA=OD=4，则a的取值范围是()A. B. C.D.16.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确结论的个数为()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）17.如图EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB=4，BC=6，则DF=______．18.如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x(kx+b)<0的解集为______．19.如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图……若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30，则第n个矩形的边长分别是______，______．三、解答题（本大题共5小题，共43.0分）20.建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种(必选且只选一种)，学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？(2)请通过计算补全条形统计图；(3)如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．21.如图点P(x,y)是第一象限内一个动点，且在直线y=−2x+8上，直线与x轴交于点A．(1)当点P的横坐标为3时，△APO的面积为多少？(2)设△APO面积为S，用含x的解析式表示S，并写出x的取值范围．22.如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．23.我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．(1)求A、B两种型号电动自行车的进货单价；(2)若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？24.已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．(1)当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部(顶点A除外)时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是______；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部(顶点A除外)时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：参加舞蹈的人数百分比为1−25%−22%−28%=25%，所以参加体育的人数最多．故选：D．求出参加舞蹈的人数百分比，再比较即可得出答案．本题考查的是扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．2.【答案】A【解析】【分析】由正比例函数图象过点O，可知点O的坐标满足正比例函数的关系式，由此可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点O的坐标代入正比例函数关系得出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将点的坐标代入函数解析式中找出方程是关键．【解答】解：∵正比例函数y=−2x的图象经过点O(a−1,4)，∴4=−2(a−1)，解得：a=−1．故选：A．3.【答案】D【解析】解：∵一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°−36°=144°；故选：D．利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数．本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．多边形的内角与它的外角互为邻补角．4.【答案】C【解析】解：已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，①以AB为平行四边形的对角线，BC、CA为两边可以画出▱ACBD；②以CB为平行四边形的对角线，BA、CA为两边可以画出▱ACEB；③以CA为平行四边形的对角线，BA、CB为两边可以画出▱ABCF；可构成的平行四边形有三个：▱ACBD，▱ACEB，▱ABCF．故选：C．不在同一直线上的三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个平行四边形．本题考查了画平行四边形的方法，关键是首先确定平行四边形的对角线与两边，再画出图形．5.【答案】C【解析】解：由题意得，x+4≥0，x≠0，解得，x≥−4且x≠0，故选：C．根据二次根式有意义的条件、负整数指数幂列出不等式，解不等式即可．本题考查的是二次根式有意义的条件、负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确；②▱ABCD中，∠BAD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误；③▱ABCD中，AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确；D、▱ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故④错误．故选：A．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．7.【答案】B【解析】解：一次函数y=x−1，其中k=1，b=−1，其图象为，故选：B．观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可．此题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与性质是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：①甲车的速度为3006=50km/ℎ，故本选项正确；②乙车到达B城用的时间为：5−2=3ℎ，故本选项正确；③甲车出发4h，所走路程是：50×4=200(km)，甲车出发4h时，乙走的路程是：3003×2=200(km)，则乙车追上甲车，故本选项正确；④当乙车出发1h时，两车相距：50×3−100=50(km)，当乙车出发3h时，两车相距：100×3−50×5=50(km)，故本选项正确；故选：D．根据路程、时间和速度之间的关系判断出①正确；根据函数图象上的数据得出乙车到达B城用的时间，判断出②正确；根据甲的速度和走的时间得出甲车出发4h时走的总路程，再根据乙的总路程和所走的总时间求出乙的速度，再乘以2小时，求出甲车出发4h时，乙走的总路程，从而判断出③正确；再根据速度×时间=总路程，即可判断出乙车出发后经过1h或3h，两车相距的距离，从而判断出④正确．本题主要考查了一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义，正确的从函数图象中得到必要的信息是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：根据题意得：300×6+366+36+6+12=210(名)，答：该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生约为210名．故选：B．用“分组合作学习”方式所占的百分比乘以该校八年级的总人数，即可得出答案．此题考查了条形统计图和用样本估计总体，关键是根据题意求出抽查人数中“分组合作学习”方式所占的百分比．10.【答案】A【解析】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，∴DF//BC，∴∠C=90°，∴四边形BCDE是矩形．∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，∴AB=4，∴AC=√42−22=2√3．∴BE=CD=√3．∴四边形BCDE的面积为：2×√3=2√3．故选：A．因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF//BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等．11.【答案】D【解析】解：设解析式为y=kx+b，把(5,12.5)(10,20)代入得：{5k+b=12.510k+b=20，解得：{k=1.5b=5，则函数关系式为：y=1.5x+5，当x=0时，y=5．故选：D．根据图象，设出直线解析式为y=kx+b，把(5,12.5)(10,20)代入函数解析式，可得函数关系式为：y= 1.5x+5，求直线与y轴交点即可．此题主要考查了一次函数的应用，关键是设出函数关系式，利用待定系数法求出k、b的值．12.【答案】B【解析】解：如图，以某一部分两正方形重合部分进行探讨，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∴∠PAF=∠NAE，∴△PAF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的14，而正方形的面积为4cm2，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选B．连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得△PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案．13.【答案】B【解析】解：设CH=x，则DH=EH=9−x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=13BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即(9−x)2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选：B．根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9−x，根据BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．在直角三角形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键．14.【答案】C【解析】解：设边长AC=a，则0<x<a，根据题意和等边三角形的性质可知，当x=14a时，线段PE有最小值；当x=12a时，线段PC有最小值；当x=34a时，线段PD有最小值；线段DE的长为定值．故选：C．设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质确定各个线段取最小值时，x的范围，结合图象得到答案．本题考查的是动点问题的函数图象，灵活运用等边三角形的性质和函数的对称性是解题的关键．15.【答案】D【解析】解：∵AB=5，OA=4，∴OB=√AB2−OA2=3，∴点B(−3,0)．∵OA=OD=4，∴点A(0,4)，点D(4,0)．设直线AD的解析式为y=kx+b，将A(0,4)、D(4,0)代入y=kx+b，{b=44k+b=0，解得：{k=−1b=4，∴直线AD的解析式为y=−x+4；设直线BC的解析式为y=mx+n，将B(−3,0)、C(0,−1)代入y=mx+n，{−3m+n=0n=−1，解得：{m=−13n=−1，∴直线BC的解析式为y=−13x−1．联立直线AD、BC的解析式成方程组，{y=−x+4y=−13x−1，解得：{x=152y=−72，∴直线AD、BC的交点坐标为(152,−72).∵点(a,b)在如图所示的阴影部分内部(不包括边界)，∴−3<a<152．故选：D．根据勾股定理即可得出OB的长度，由此可得出点B的坐标，由OA、OD的长度可得出点A、D的坐标，根据点A、D、B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AD、BC的解析式，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组即可求出其交点的坐标，再根据点(a,b)在如图所示的阴影部分内部(不包括边界)结合点B以及交点的横坐标即可得出结论．本题考查了两条直线相交或平行问题、在数轴上表示不等式的解集、待定系数法求一次函数解析式以及解二元一次方程组，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．16.【答案】B【解析】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，∴AD−DF=CD−CE，即AF=DE，在△ABF和△DAE中，{AB=AD ∠BAF=∠D=90° AF=DE ，∴△ABF≌△DAE(SAS)，∴AE=BF，故①正确；∠ABF=∠DAE，∵∠DAE+∠BAO=90°，∴∠ABF+∠BAO=90°，在△ABO中，∠AOB=180°−(∠ABF+∠BAO)=180°−90°=90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO=OE，∵AE⊥BF(已证)，∴AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)，∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF−S△AOF=S△DAE−S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；综上所述，错误的有③．故选：B．根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE>BC，即BE>AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ABF和△DAE全等是解题的关键，也是本题的突破口．17.【答案】1【解析】解：∵EF是△ABC的中位线，∴EF//BC，EF=12BC=3，∴∠CBD=∠BDE，∵BD平分∠ABC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，∵AB=4，EF是△ABC的中位线，∴BE=12×4=2，∴DF=EF−DE=EF−BE=3−2=1．故答案为：1．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//BC，EF=12BC，再根据角平分线的性质以及平行线的性质求出∠ABD=∠BDE，根据等角对等边的性质可得BE=ED，然后代入数据进行计算即可得解．本题考查了三角形的中位线定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及等角对等边的性质，熟记性质以及定理，求出DE =BE 是解题的关键．18.【答案】−3<x <0【解析】解：不等式x(kx +b)<0化为{x >0kx +b <0或{x <0kx +b >0，利用函数图象得为{x >0kx +b <0无解，{x <0kx +b >0的解集为−3<x <0，所以不等式x(kx +b)<0的解集为−3<x <0． 故答案为−3<x <0．先把不等式x(kx +b)<0化为{x >0kx +b <0或{x <0kx +b >0，然后利用函数图象分别解两个不等式组．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =kx +b 的值大于(或小于)0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b 在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．19.【答案】10×(12)n−1； 5×(12)n−1【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD =BC ，∠D =∠C =90° ∵M 为CD 的中点， ∴DM =CM ，∴△ADM≌△BCM(SAS)， ∴AM =BM ， ∵AM ⊥MB ，∴△ABM 是等腰直角三角形， ∴∠MAB =∠MBA =45°， ∴∠DAM =∠CBM =45°， ∴∠DAM =∠DMA ， ∴AD =MD =12CD ， ∵矩形ABCD 的周长为30， ∴CD =10，AD =5，∵P 、Q 分别是AM 、BM 的中点， ∴矩形PSRQ 的长和宽之比为2：1，在△ABM 中，PQ =5，则宽为52，同理可得：第三个矩形的边长为10×(12)2 和5×(12)2， 则可得：第n 个矩形的边长分别是10×(12)n−1，5×(12)n−1． 故答案为：10×(12)n−1，5×(12)n−1．根据四边形ABCD 是矩形，M 为CD 的中点，AM ⊥MB ，可得AM =BM ，即可证明AD =MD =12CD ，进而可求出矩形的边长为CD =10，AD =5，再根据P 、Q 分别是AM 、BM 的中点，可得矩形PSRQ 的长和宽之比为2：1，可得第二个矩形的边长为PQ =5，宽为52，第三个矩形的边长为10×(12)2 和5×(12)2，进而可得第n 个矩形的边长．本题考查了规律型−图形的变化类，解决本题的关键是利用矩形的性质和三角形中位线定理，难度较大．20.【答案】解：(1)根据题意得：18÷30%=60(名)，答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；(2)60−(18+9+12+6)=15(名)，则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名， 补全条形统计图，如图所示：(3)根据题意得：1500×960=225(名)， 答：该校最想读科技类书籍的学生有225名．【解析】(1)由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可； (2)确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；(2)求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以1500即可得到结果．此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21.【答案】解：(1)∵令y =0，则−2x +8=0，解得x =4，∴OA=4，∵点P(x,y)是第一象限内一个动点，且在直线y=−2x+8上，∴当x=3时，y=(−2)×3+8=2，∴S△APO=12×4×2=4；(2)∵点P(x,−2x+8)，∴S△APO=12OA×(−2x+8)=12×4×(−2x+8)=−4x+16(0<x<4)．【解析】(1)根据一次函数的解析式求出A点坐标，故可得出OA的长，再把x=3代入直线y=−2x+8求出y的值，故可得出△APO的面积；(2)设点P(x,−2x+8)，根据三角形的面积公式用x表示出S即可．本题考查的是一次函数的性质及三角形的面积．熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．22.【答案】证明：(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，∵DE//AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB//DC，∴CE=D′B，CE//D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；∵AD=AD′，∵AB=2，AD=1，∴AD=AD′=BD′=CE=BC=1，∴▱BCED′是菱形，(2)∵四边形DAD′E是菱形，∴D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，∵CD//AB，∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，∴AG=12，DG=√32，∴BG=52，∴BD=√DG2+BG2=√7，∴PD′+PB的最小值为√7．【解析】(1)利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形，根据折叠的性质得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到结论；(2)由四边形DAD′E是平行四边形，得到▱DAD′E是菱形，推出D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=12，DG=√32，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】解：(1)设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元(x+500)元．由题意：50000x=60000x+500，解得x=2500，经检验：x=2500是分式方程的解．答：A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元3000元．(2)y=300m+500(30−m)=−200m+15000；(3)设购进A型电动自行车m辆，∵最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，∴2500m+3000(30−m)≤80000，解得：m≥20，∴m的取值范围是：20≤m≤30，∵y=300m+500(30−m)=−200m+15000，∵−200<0，∴m=20时，y有最大值，最大值为11000元．【解析】(1)设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元(x+500)元，构建分式方程即可解决问题；(2)根据总利润=A型的利润+B型的利润，列出函数关系式即可；(3)利用一次函数的性质即可解决问题；本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】MN=BM+DN【解析】解：(1)①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN.理由如下：在△ADN与△ABM中，{AD=AB∠ADN=∠ABM=90°DN=BM，∴△ADN≌△ABM(SAS)，∴AN=AM，∠NAD=∠MAB，∵∠MAN=135°，∠BAD=90°，∴∠NAD=∠MAB=12(360°−135°−90°)=67.5°，作AE⊥MN于E，则MN=2NE，∠NAE=12∠MAN=67.5°．在△ADN与△AEN中，{∠ADN=∠AEN=90°∠NAD=∠NAE=67.5°AN=AN，∴△ADN≌△AEN(AAS)，∴DN=EN，∵BM=DN，MN=2EN，∴MN=BM+DN．故答案为：MN=BM+DN；②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM与△ADP中，{AB=AD∠ABM=∠ADP=90°BM=DP，∴△ABM≌△ADP(SAS)，∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°−∠MAN−(∠3+∠4)=360°−135°−90°=135°．在△ANM与△ANP中，{AM=AP∠MAN=∠PAN=135°AN=AN，∴△ANM≌△ANP(SAS)，∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，第11页，共11页∴MN =BM +DN ；(2)如图3，以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDA =∠DBA =45°， ∴∠MDA =∠NBA =135°． ∵∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°， ∴∠1=∠3．在△ANB 与△MAD 中， {∠ABN =∠MDA =135∘∠1=∠3， ∴△ANB∽△MAD ， ∴BN AD=ABMD，∴AB 2=BN ⋅MD ， ∵AB =√22DB ， ∴BN ⋅MD =(√22DB)2=12BD 2，∴BD 2=2BN ⋅MD ，∴MD 2+2MD ⋅BD +BD 2+BD 2+2BD ⋅BN +BN 2=MD 2+BD 2+BN 2+2MD ⋅BD +2BD ⋅BN +2BN ⋅MD ，∴(MD +BD)2+(BD +BN)2=(DM +BD +BN)2， 即MB 2+DN 2=MN 2，∴以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形．(1)①如图1，先利用SAS 证明△ADN≌△ABM ，得出AN =AM ，∠NAD =∠MAB ，再计算出∠NAD =∠MAB =12(360°−135°−90°)=67.5°.作AE ⊥MN 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质得出MN =2NE ，∠NAE =12∠MAN =67.5°.再根据AAS 证明△ADN≌△AEN ，得出DN =EN ，进而得到MN =BM +DN ；②如图2，先利用SAS 证明△ABM≌△ADP ，得出AM =AP ，∠1=∠2=∠3，再计算出∠PAN =360°−∠MAN −(∠3+∠4)=360°−135°−90°=135°.然后根据SAS 证明△ANM≌△ANP ，得到MN =PN ，进而得到MN =BM +DN ；(2)如图3，先由正方形的性质得出∠BDA =∠DBA =45°，根据等角的补角相等得出∠MDA =∠NBA =135°.再证明∠1=∠3.根据两角对应相等的两三角形相似得出△ANB∽△MAD ，那么BN AD =ABMD ，又AB =AD =√22DB ，变形得出BD 2=2BN ⋅MD ，然后证明(MD +BD)2+(BD +BN)2=(DM +BD +BN)2，即MB 2+DN 2=MN 2，根据勾股定理的逆定理即可得出以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形．本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，补角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线，利用数形结合是解(1)小题的关键，证明△ANB∽△MAD 是解(2)小题的关键．。

2020-2021学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题是（）A．任意两个平行四边形都相似B．任意两个菱形都相似C．任意两个矩形都相似D．任意两个正方形都相似2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小C．不变D．无法确定3．（3分）已知2x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．4．（3分）已知抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）5．（3分）如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A （2，1），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，4）D．（4，2）6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值等于（）A．B．C．D．7．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣258．（3分）若将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2 9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1C．2﹣D．10．（3分）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，则tan A的值是．12．（3分）抛物线y＝2x2﹣5x+6与y轴的交点坐标是．13．（3分）若3a＝2b，则的值为．14．（3分）比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为m2．15．（3分）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m ，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．16．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、20题各10分，19题9分，共39分）17．（10分）计算：|﹣2|×cos60°﹣sin45°．18．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，求tan∠OCD的值．19．（9分）如图，在△P AB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°，△APC 与△BPD相似吗？为什么？20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…01234…y…41014…（1）根据表格，画出此函数图象草图；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当y＞3时，求x的取值范围．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）21．（9分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．22．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，分别连接AB，BC，CD，DA．求：四边形ABCD的面积．23．（10分）如图，矩形ABCD且BC＝2，∠ACB＝30°，动点E在对角线AC上，连接ED，过点E作EF⊥DE，交BC于点F．（1）如图1，当AC平分角∠DEF时，求AE的长度；（2）若AE：CE＝1：2，求BF：FC．五、解答题（本题共3小题，其中24、25小题各11分，26小题12分，共34分）24．（11分）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝5，BD⊥AC于点D，BD＝3，P在AB上，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF＝90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，AP的长度为x ．（1）填空：BP PE（填写＞或＝或＜）；（2）当F在边AC上时，求线段AP的长；（3）求S与x之间的函数关系式．25．（11分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上一点，连接AD．（1）如图1，AB＝CB，E是AB延长线上一点，CE与AD垂直．求证：BD＝BE；（2）如图2，AB＝CB，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF并延长交AB于点G．求证：＝；（3）如图3，若AB＝kBC且D是BC的中点，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF 并延长交AB于点G，直接写出tan∠BFG的值（用含k的式子表示）．26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m．（1）抛物线的顶点坐标；（含m的式子表示）（2）当m＝1时，①抛物线上一点P到x轴的距离为5，求点P的坐标；②当n≤x≤时，函数值y的取值范围是﹣≤y≤2﹣n，求n的值；（3）当2m﹣1≤x≤2m+1时，抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为﹣5，求：m ．2020-2021学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题是（）A．任意两个平行四边形都相似B．任意两个菱形都相似C．任意两个矩形都相似D．任意两个正方形都相似【分析】利用相似多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、任意的平行四边形不一定相似，故错误，是假命题，不符合题意；B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误，是假命题，不符合题意；C、任意两个矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，故错误，是假命题，不符合题意；D、任意两个正方形都相似，正确，是真命题，符合题意，故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小C．不变D．无法确定【分析】根据锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦解答即可．【解答】解：设Rt△ABC的三边长为a，b，c，则sin A＝，如果各边长都扩大5倍，∴sin A＝＝，故∠A的正弦值大小不变．故选：C．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．3．（3分）已知2x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【分析】本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．【解答】解：∵2x＝5y，∴．故选：B．【点评】本题主要考查了比例的性质，在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键．4．（3分）已知抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．【解答】解：因为y＝（x﹣2）2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．故选：B．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标．5．（3分）如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A （2，1），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，4）D．（4，2）【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点A的坐标为（2，1），∴点C的坐标为（2×2，1×2），即（4，2），故选：D．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值等于（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则cos B＝sin A＝．故选：B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．7．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．8．（3分）若将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2x2向上平移3个单位可得到函数y＝2x2+3，故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1C．2﹣D．【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC＝AC，DE＝EC＝DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD＝DC＝AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝DC＝AC．∴tan∠DBC＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．10．（3分）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【分析】根据函数y＝ax2+ax+a（a≠0），对a的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确选项．【解答】解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中，当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，则tan A的值是．【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形，再根据正切的定义即可求解．【解答】解：在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，∵122+52＝169，132＝169，∴122+52＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴tan A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．对于常见的勾股数如：3，4，5或5，12，13等要注意记忆．12．（3分）抛物线y＝2x2﹣5x+6与y轴的交点坐标是（0，6）．【分析】根据题意得出x＝0，然后求出y的值，即可以得到与y轴的交点坐标．【解答】解：令x＝0，得y＝6，故与y轴的交点坐标是：（0，6）．故答案为：（0，6）．【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键，此题难度不大．13．（3分）若3a＝2b，则的值为﹣．【分析】直接利用已知得出a＝b，进而代入原式求出答案．【解答】解：∵3a＝2b，∴a＝b，∴＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确代入化简是解题关键．14．（3分）比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为4×104m2．【分析】根据面积比是比例尺的平方比，列比例式求得该区域的实际面积．【解答】解：设实际面积为xcm2，则400：x＝（1：1000）2，解得x＝4×108，4×108cm2＝4×104m2．故实际面积为4×104m2．故答案为：4×104．【点评】本题考查了比例线段、比例尺的定义，掌握面积比是比例尺的平方比是解题的关键，注意单位间的换算．15．（3分）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m ，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是0.8m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．【分析】首先根据三角函数求得BC的长，然后根据CD＝BC﹣BD即可求解．【解答】解：在直角三角形中，sin A＝，则BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，＝0.801≈0.8（m），故答案为：0.8．【点评】本题主要考查了解直角三角形，正确利用三角函数解得BC的长是解题关键．16．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为10米．【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、20题各10分，19题9分，共39分）17．（10分）计算：|﹣2|×cos60°﹣sin45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：原式＝＝1＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．18．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，求tan∠OCD的值．【分析】将A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入一次函数y＝kx+b，组成方程组，即可求出k、b的值，从而得到一次函数解析式，求出直线与x轴、y轴的交点坐标，即可求出tan ∠OCD的值．【解答】解：将A（﹣2，﹣1），B（1，3）分别代入y＝kx+b得，，解得，∴y＝x+，当x＝0时，y＝；当y＝0时，x＝﹣；∴C（﹣，0），D（0，），故OD＝，OC＝．在Rt△OCD中，∴tan∠OCD＝＝＝．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、锐角三角函数的定义，找到∠OCD 所在的三角形是解题的关键．19．（9分）如图，在△P AB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°，△APC 与△BPD相似吗？为什么？【分析】由PC＝PD＝CD可判断△PCD为等边三角形，则∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，利用邻补角得到∠3＝∠4＝120°，又由于∠APB＝120°，可计算出∠1+∠2＝60°，加上∠A+∠2＝60°，所以∠1＝∠A，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△P AC∽△BPD．【解答】解：△APC与△BPD相似．理由如下：如图，∵PC＝PD＝CD，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠3＝∠4＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠1+∠2＝120°﹣60°＝60°，∵∠PCD＝∠A+∠2＝60°，∴∠1＝∠A，∴△P AC∽△BPD．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等边三角形的判定与性质．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…01234…y…41014…（1）根据表格，画出此函数图象草图；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当y＞3时，求x的取值范围．【分析】（1）描点、连线画出函数图象即可；（2）可将该二次函数解析式设为顶点式，任取一点坐标代入即可求得该二次函数的解析式；（3）把y＝3代入y＝（x﹣2）2得到关于x的方程，求得方程的解，然后根据图象即可求得结果．【解答】解：（1）描点、连线画出函数图象如图：（2）由图象知，二次函数顶点坐标为（2，0），设y＝a（x﹣2）2，又二次函数过点（0，4），代入得，4＝4a，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣4x+4；（3）把y＝3代入y＝（x﹣2）2得3＝（x﹣2）2；解得x＝2+或x＝2﹣，∵图象开口向上，∴当y＞3时，求x的取值范围是x＜2﹣或x＞2+．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）21．（9分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．【分析】根据矩形的性质得AD＝BC，∠BAD＝90°，再利用等角的余角相等得∠BAC ＝∠ADE＝α，然后在Rt△ABC中利用正弦的定义得到＝，设BC＝4x，则AC＝5x ，AB＝3x，则3x＝4，解得x＝，于是得到AD＝BC＝．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠DAE＝90°，而∠BAC+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠ADE＝α，在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，∴＝，设BC＝4x，则AC＝5x，∴AB＝3x，∴3x＝4，解得x＝，∴BC＝∴AD＝．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了矩形的性质．22．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，分别连接AB，BC，CD，DA．求：四边形ABCD的面积．【分析】四边形ABCD的面积＝BD×（x C﹣x A）＝2×（3+1）＝4；【解答】解：由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1得到顶点A（2，﹣1）．由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1）得到B（3，0），D（1，0）．令x＝0，则y＝3，故C（0，3）．综上所述，点B、D、C、A的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3）、（2，﹣1）；所以，四边形ABCD的面积＝×BD×（x C﹣x A）＝×2×（3+1）＝4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．23．（10分）如图，矩形ABCD且BC＝2，∠ACB＝30°，动点E在对角线AC上，连接ED，过点E作EF⊥DE，交BC于点F．（1）如图1，当AC平分角∠DEF时，求AE的长度；（2）若AE：CE＝1：2，求BF：FC．【分析】（1）作DM⊥AC于M，利用矩形的性质结合解直角三角形可求解AB＝2，AC ＝4，再由30°角的直角三角形的性质，角平分线的定义可求解CM，EM的长，进而可求解；（2）作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．结合已知条件易求AE＝，EC＝，通过证明△END∽△EMF，列比例式可求解．【解答】解：（1）如图1中，作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∵∠ACB＝30°，∴AB＝CD＝BC•tan30°＝2，AC＝2AB＝2CD＝4，在Rt△CDM中，∵∠CMD＝90°，∠DCM＝60°，CD＝2，∴∠CDM＝30°，∴CM＝CD＝1，DM＝CM＝，∵∠DEF＝90°，EM平分∠DEF，∴∠DEM＝∠DEF＝45°，∴EM＝DM＝，∴AE＝AC﹣EM﹣CM＝3﹣．（2）作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．∵AB＝CD＝2，AC＝4，AE：EC＝1：2，∴AE＝，EC＝，在Rt△CEN中，∵∠ECN＝30°∴CN＝EC＝，EN＝CN＝，∴DN＝2﹣＝，在Rt△CEM中，∵∠ECM＝30，∴EM＝EC＝，CM＝EM＝，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠NEM＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠END＝∠EMF＝90°，∴△END∽△EMF，∴，可得MF＝，∴CF＝CM﹣MF＝，BF＝﹣CF＝，∴BF：CF＝4：5．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，矩形的性质等知识的综合运用．五、解答题（本题共3小题，其中24、25小题各11分，26小题12分，共34分）24．（11分）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝5，BD⊥AC于点D，BD＝3，P在AB上，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF＝90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，AP的长度为x ．（1）填空：BP＝PE（填写＞或＝或＜）；（2）当F在边AC上时，求线段AP的长；（3）求S与x之间的函数关系式．【分析】（1）由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠PEB＝∠ABC，可得BP＝PE；（2）由勾股定理可求AD＝4，通过证明Rt△APF～Rt△ABD，，可得AF＝AP ＝x，由平行四边形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质分别求出AM，PM，PF的长，即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，∴∠ABC＝∠ACB，∵PE∥AC，∴∠ACB＝∠PEB＝∠ABC，∴BP＝PE，故答案为：＝；（2）如图1，∵AB＝AC＝5，BD⊥AC，BD＝3，∴AD＝＝＝4，当F在边AC上时，∵PE∥AC，EF∥AB，∴四边形AFEP是平行四边形，∠AFP＝∠EPF＝90°＝∠ADB，又∵∠A＝∠A，∴Rt△APF～Rt△ABD，∴，∴AF＝AP＝x，∵四边形AFEP是平行四边形，∴AF＝PE＝PB，∴x＝5﹣x，∴x＝，∴AP的长度为；（3）如图2中，当0＜x＜时，重叠部分是四边形PMNE．∵∠AMP＝∠ADB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴Rt△APM～Rt△ABD，∴，∴AM＝AP，PM＝AP，∵P A＝x，∴，，，∴S＝×x（5﹣x+5﹣x）＝﹣x2+3x；如图3中，当时，重叠部分是△PEF．∵EF∥AB，PE∥AC，∴∠A＝∠BPE＝∠PEF，又∵∠EPF＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△EFP，∴，∵PB＝PE＝5﹣x，∴PF＝（5﹣x），∴S＝PE•PF＝（5﹣x）×（5﹣x）＝x2﹣x+，综上所述：S＝．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．25．（11分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上一点，连接AD．（1）如图1，AB＝CB，E是AB延长线上一点，CE与AD垂直．求证：BD＝BE；（2）如图2，AB＝CB，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF并延长交AB于点G．求证：＝；（3）如图3，若AB＝kBC且D是BC的中点，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF 并延长交AB于点G，直接写出tan∠BFG的值（用含k的式子表示）．【分析】（1）如图1中，延长AD交CE于点H．证明△ABD≌△CBE（ASA），可得结论．（2）如图2中，作CE∥BF交AB的延长线于E．利用平行线分线段成比例定理以及（1）中结论，即可解决问题．（3）作CH∥AB交BF的延长线于N，过点C作CN⊥BH于N．设BC＝2m，则AB＝2mk ，BD＝CD＝m，由tan∠BAD＝tan∠CBH，推出＝，推出＝，推出CH＝，由tan∠CBH＝＝，推出＝＝，再证明BF＝FN，根据tan∠BFG＝tan∠CFN＝，可得结论．【解答】（1）证明：如图1中，延长AD交CE于点H．∵AH⊥CE，∴∠AHE＝∠ABC＝∠CBE＝90°，∴∠BAD+∠E＝90°，∠E+∠ECB＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，∵BA＝BC，∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△ABD≌△CBE（ASA），∴BD＝BE．（2）证明：如图2中，作CE∥BF交AB的延长线于E．∵CE∥BF，∴＝，∵BF⊥AD，CE∥BF，∴AD⊥CE，∴BD＝BE，∴＝．（3）解：作CH∥AB交BF的延长线于N，过点C作CN⊥BH于N．设BC＝2m，则AB ＝2mk，BD＝CD＝m，∵AB∥CH，∴∠ABC＝∠BCH＝90°，∵CN⊥BH，∵∠BAD＝∠CBH，∴tan∠BAD＝tan∠CBH，∴＝，∴＝，∴CH＝，∵tan∠CBH＝＝，∴＝＝，∵AD⊥BH，CN⊥BH，∴DF∥CN，∵BD＝DC，∴BF＝FN，∴tan∠BFG＝tan∠CFN＝＝＝＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m．（1）抛物线的顶点坐标（m，﹣m2﹣3m）；（含m的式子表示）（2）当m＝1时，①抛物线上一点P到x轴的距离为5，求点P的坐标；②当n≤x≤时，函数值y的取值范围是﹣≤y≤2﹣n，求n的值；（3）当2m﹣1≤x≤2m+1时，抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为﹣5，求：m ．【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）①由点P到x轴的距离可得出点P的纵坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；②利用二次函数的性质找出关于n的一元二次方程，解之取其负值即可得出结论；（3）分m＜2m﹣1，2m﹣1≤m≤2m+1及m＞2m+1三种情况考虑，利用二次函数的性质结合函数图象，即可得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx﹣3m＝（x﹣m）2﹣m2﹣3m，∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣m2﹣3m），故答案为（m，﹣m2﹣3m）；（2）当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4，当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，无解，综上所述：点P的坐标为（﹣2，5），（4，5）；②∵当时，y值随x值的增大而减小，且函数值y的取值范围是，∴n2﹣2n﹣3＝2﹣n，解得：，（舍去），∴n的值为；（3）∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，设抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为y0，∴分三种情况考虑：①当m＜2m﹣1，即m＞1时，如图1，在2m﹣1≤x≤2m+1上，y值随x值的增大而增大，∴；②当2m﹣1≤m≤2m+1，即﹣1≤m≤1时，如图2，y0＝m2﹣2m•m﹣3m＝﹣m2﹣3m，即﹣m2﹣3m＝﹣5，解得m＝（不合题意，舍去）；③当m＞2m+1，即m＜﹣1时，如图3，在2m﹣1≤x≤2m+1上，y值随x值的增大而减小，∴y0＝（2m+1）2﹣2m（2m+1）﹣3m＝﹣m+1，即﹣m+1＝﹣5，解得m＝6（舍去），综上所述：．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，找出抛物线的对称轴；①利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点P的坐标；②利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元二次方程；（3）分m＜2m﹣1，2m﹣1≤m≤2m+1及m＞2m+1三种情况，找出y0与m之间的函数关系式．。

辽宁省大连市甘井子区大连弘文中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．任意画一个三角形，其内角和为180︒ B ．掷一次色子，向上一面的点数是3 C ．购买一张彩票，一定中奖D ．明天大连下雪3．将方程()4225x x +=化成20ax bx c ++=的形式，则a ，b ，c 的值分别为（ ） A ．4，8，25B ．4，2，25-C ．4，8，25-D ．1，2，254．如图，在O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心到AB 的距离为3cm ，则O 的半径为（ ）A ．4B ．5C ．3D ．75．抛物线2230y x x =-+的对称轴是（ ） A ．直线152x =-B ．直线152x =C ．直线15x =D ．直线15x =-6．在ABC 中，90ACB ∠=︒，若8AC =，6BC =，则sin A 的值为（ ） A ．53B ．35C ．45D ．547．如图，已知AC 与BD 相交于点O ，且::2:3AO OC BO OD ==，6AB =，则CD 的长度为（ ）A ．4B ．12C ．18D ．98．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞n 条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放回鱼塘，再从中打捞a 条鱼，如果在这a 条鱼中有b 条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（ ） A ．an bB ．bn aC ．ab nD ．n ab9．如图有一块直角边AB ＝4cm ，BC ＝3cm 的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）A ．67B ．3037C ．127D ．603710．如图，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转40°到△DBE （其中点D 与点A 对应，点E 与点C 对应），连接AD ，若//AD BC ，则△ABE 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°二、填空题11．关于x 的一元二次方程20x -=的根为_______12．如图，四边形ABCD 内接于△O ，E 为CD 延长线上一点．若△B ＝110°，则△ADE 的度数为_____．13．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为()1,2C 、()2,0D ，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 的坐标为()6,0，则点A 的坐标为______．14．如图，从一个腰长为60cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，则此扇形的弧长为______cm.15．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：据此估计，这名球员在罚球线上投中的概率为______．16．在ABC 中，8,16AB BC ==，点P 在AB 上，且AP BP =，点Q 是BC 边上一个动点，当BQ =______时，BPQ 与BAC △相似．三、解答题 17．解下列方程： (1)2460x x -=；(2)()142cos30---+-︒．18．如图，已知点D ，E 分别是ABC 边AB ，AC 上一点，且180C BDE ∠+∠=︒，若25AE AB =，6AD =，求AC 的长．19．汽车刹车后行驶距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是2156s t t =-．(1)当1s t =时，汽车的刹车后行驶距离是多少？(2)当t 为多少时，汽车刹车后的行驶距离s 达到最大值？最大值是多少？20．为了测量学校旗杆的高度，测量者在距离旗杆5米处用测角仪测得仰角为47︒，测量者眼睛距地面的距离为1.6米，求旗杆的高度约为多少？（结果保留小数点后一位，供选用数据：sin 470.73︒≈，cos470.68︒≈，tan 47 1.07︒≈）21．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点．求证：AP=BP ．22．青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg ，2012年平均每公顷产8450kg ．求水稻每公顷产量的年平均增长率．23．如图1，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ．(1)求证：AC 平分DAB ∠；(2)如图2，D 交O 于点E ，连接23CE AC CE AE ==，，，求AB 长．24．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =．点D 在边AB 上，AD AC =，DE BC ⊥，垂足为E ，点P 从点C 出发，以2cm/s 的速度沿边CB 运动，当点P 与点B 重合时，停止运动．过点P 作BC 的垂线，交射线CD 于点F ，设点P 的运动时间为()s t ，CPF 与DCB △重叠部分图形面积为()2cm S ．(1)请直接写出AB 的长； (2)求CE 的长；(3)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围． 25．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE EF =，5AB =，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE AD =，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =，DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒，猜想并验证EP 与GH 的数量关系．26．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为()30，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．(1)求直线BC 及抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标．参考答案：1．B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 不正确； B 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B 正确； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 不正确； D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 不正确. 故选B.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识. 2．A【分析】根据三角形内角和定理，随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可． 【详解】解：A 、任意画一个三角形，其内角和为180︒，是必然事件，故该选项符合题意； B 、掷一次色子，向上一面的点数是3，是随机事件，故该选项不符合题意； C 、购买一张彩票，一定中奖，是随机事件，故该选项不符合题意； D 、明天大连下雪，是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 3．C【分析】将一元二次方程化成一般式即可得出结论． 【详解】解：()4225x x +=可化为248250x x +-=， △4825a b c ===-，，． 故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握其形式是解决问题的关键． 4．B【分析】由垂径定理可得AE 的长，利用勾股定理即可求出OA 的长，即为圆的半径． 【详解】解：作OE AB ⊥于E ，连接AO ，△142AE BE AB ===， 又△3OE =，△5OA =， 故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理． 5．B【分析】把二次函数解析式化成顶点式，即可得出答案．【详解】解：二次函数22152252302()22y x x x =-+=--+， ∴该函数的对称轴是直线152x =， 故选：B ．【点睛】本题考查求二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．B【分析】根据勾股定理求出AB 的值，再根据三角函数定义得：sin BCA AB=即可选择． 【详解】在ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，10AB ∴=，63sin 105BC A AB ∴===． 故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，和勾股定理．了解锐角的正弦（sin ）等于对边比斜边，是解题的关键． 7．D【分析】由对顶角相等，对应边成比例可得AOB COD ∽，则23AB CD =，从而求得CD 即可． 【详解】解：::2:3AO OC BO OD ==，AOB COD ∠=∠，AOB COD∴∽，::2:3AO OC BA CD∴==，又=6AB，9CD∴=，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．8．A【分析】首先求出有记号的b条鱼在a条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．【详解】解：△打捞a条鱼，发现其中带标记的鱼有b条，△有标记的鱼占ba，△共有n条鱼做上标记，△鱼塘中估计有b anna b÷=（条）．故选：A．【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．9．D【分析】过点B作BP△AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE△△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．【详解】如图，过点B作BP△AC，垂足为P，BP交DE于Q．△S△ABC＝12•AB•BC＝12•AC•BP，△BP＝AB BCAC⋅＝345⨯＝125．△DE△AC，△△BDE＝△A，△BED＝△C，△△BDE △△BAC ， △DE AC ＝BQ BP． 设DE ＝x ，则有：5x ＝125125x-，解得x ＝6037， 故选：D ．【点睛】本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键． 10．B【分析】由旋转的性质可得AB ＝DB ，△ABD ＝△CBE ＝40°，由等腰三角形的性质可求△BAD ＝△BDA ＝70°，由平行线的性质可求△DAB ＝△ABC ＝70°，即可求解． 【详解】解：△将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转40°， △AB ＝DB ，△ABD ＝△CBE ＝40°， △△BAD ＝△BDA ＝70°， △AD //BC ，△△DAB ＝△ABC ＝70°， △△ABE ＝△ABC ﹣△EBC ＝30°， 故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 11．120,x x ==【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：20x -=，△(0x x -=，解得：120,x x ==故答案为：120,x x ==【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．12．110°．【分析】根据圆内接四边形的性质即可求解.【详解】△四边形ABCD 内接于△O ，且△B ＝110°△△ADE=△B ＝110°故填：110°.【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 13．()3,6【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A 点坐标．【详解】解：△以原点O 为位似中心，在第一象限内，将线段CD 放大得到线段AB ， △B 点与D 点是对应点，则位似比为：623:1=：，△()12C ，， △点A 的坐标为：()3,6故答案为()3,6．【点睛】本题考查位似图形的应用，熟练掌握位似图形的相似比和两点间的距离公式是解题关键．14．20π【分析】根据等腰三角形的性质得到OE 的长，再利用弧长公式计算出弧CD 的长．【详解】解：过O 作OE △AB 于E ，△OA =OB =60cm ，△AOB =120°，△△A =△B =30°，△OE =12OA =30cm ，△弧CD 的长=1203020180ππ⨯=(cm)， 故答案为：20π．【点睛】本题考查弧长公式的应用，要注意公式中的圆心角一定要用弧度来表示，不能用度数．15．0.5##12【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.50附近，△这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.5．故答案为：0.5．【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是理解这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．16．2或8##8或2【分析】分BPQ BAC ∽和BPQ BCA ∽两种情况求解．【详解】当BPQ BAC ∽时， 则=BP BQ BA BC， 因为8,16AB BC ==，4AP BP ==， 所以4816BQ =， 解得8BQ =；当BPQ BCA ∽时， 则=BP BQ BC BA， 因为8,16AB BC ==，4AP BP ==， 所以4168BQ =， 解得2BQ =；故答案为：2或8．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确进行分类计算是解题的关键．17．(1)10x =或232x =； (2)54．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）根据负整数指数幂、零次幂的性质以及特殊角的三角函数值计算即可．【详解】（1）解：2460x x -=，整理得()230x x -=，△0x =或230x -=，△10x =或232x =；（2）解：()142cos30--+-︒1124+-5454=． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零次幂，掌握相关运算法则是解题的关键．18．15AC =．【分析】利用同角的补角相等证明DAE CAB ∠=∠，推出ADE ACB ∽，据此求解即可．【详解】解：△180ADE BDE ∠+∠=︒，180C BDE ∠+∠=︒，△ADE C ∠=∠，△DAE CAB ∠=∠，△ADE ACB ∽， △AE AD AB AC =， △25AE AB =，6AD =， △15AC =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用同角的补角相等证明DAE CAB ∠=∠是解题的关键．19．(1)汽车刹车后1秒前进了9米；(2)汽车刹车后到停下来前进了758米．【分析】（1）令1t =求得s 的值即可；（2）根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s 的最大值即可得出结论．【详解】（1）解：令1t =得2151619s =⨯-⨯=（米），答：汽车刹车后1秒前进了9米；（2）解：△22575156648s t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭， △汽车刹车后到停下来前进了758米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键． 20．旗杆的高约为7.0米．【分析】在Rt ADE 中，利用正切概念求出AE 的长度，再根据旗杆的高度AE BE +即可求解．【详解】解：根据题意， 1.6m CD BE ==，5m DE BC ==，47ADE ∠=︒，在Rt ADE 中，tan 5tan 475 1.07 5.35AE DE ADE =⋅∠=⨯︒≈⨯=（米），△ 5.35 1.6 6.957.0AB AE BE =+=+=≈（米），答：旗杆的高约为7.0米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键．21．见解析【分析】根据切线的性质得出OP△AB ，根据垂径定理得出即可．【详解】证明：如图，连接OP ，△大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，△OP△AB ，△OP 过O ，△AP=BP ．【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．22．水稻每公顷产量的年平均增长率为112． 【分析】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x ，则根据题意易得7200(1＋x )2＝8450，然后求解即可．【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x ，则有：7200(1＋x )2＝8450．解得x ＝112或x ＝2512-（舍）． 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为112． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．23．(1)见解析(2)5【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到OC CD ⊥，则可判断OC AD ∥，所以OCA DAC ∠=∠，然后利用OAC OCA ∠=∠，得到DAC OAC ∠=∠；（2）连接BE 交OC 于点H ，先根据圆周角定理得到90AEB ∠=︒，证明DCE DAC △△∽，由23AC CE AE ==，，可得12CE DE CD AC CD AD===，然后利用勾股定理计算出AB 的长． 【详解】（1）连接OC ，△CD 切O 于点C ，△OC CD ⊥，△90OCD ∠=︒，△AD CD ⊥，△90D ，△180D OCD ∠+∠=︒，△OC AD ∥，△OCA DAC ∠=∠，△OA OC =，△OCA OAC ∠=∠，△OAC DAC ∠=∠，△AC 平分DAB ∠；（2）解：如图，连接BE 交OC 于点H ，△AB AB 为O 的直径，△90AEB ∠=︒，△AEB D ∠=∠，△CD BE ∥，△DCE CEB ∠=∠，△CEB CAB ∠=∠，△DCE DAC ∠=∠，△D D ∠=∠，△DCE DAC △△∽，△23AC CE AE ==，， △12CE DE CD AC CD AD===， △22CD DE CD AD DE =⋅，＝，△24DE AD DE =⋅，△4DE AD =，△3DE AE =，△2CD =．△90DEC D DCO ∠=∠=∠=︒，△四边形DCHE 是矩形，△90CD EH EHC =∠=︒，，△OC BE ⊥，△2BE EH =，△2EH =，△4EB =，在Rt AEB中，5AB =．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理、垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆的切线的性质，圆周角定理、垂径定理．24．(1)5cm AB =； (2)12cm 5CE =； (3)s 关于t 的函数解析式为：22605318664255t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩．【分析】（1）直接利用勾股定理可得AB 的长；（2）根据平行线分线段成比例定理可得CE 的长；（3）分两种情况：△当605t <≤时，CPF 与DCB △重叠部分是CFP ；△当645t <≤时，CPF 与DCB △重叠部分是四边形DCPG ，利用三角形的判定和性质分别计算可得结论．【详解】（1）解：△90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，△()5cm AB =；（2）解：△35AC AD AB ===，，△532BD =-=，△DE BC ⊥，△90DEB ACB ∠=∠=︒，△CE AD CB AB=，即354CE = △()12cm 5CE =； （3）解：分两种情况，△当605t <≤时，此时点P 在线段CE 上运动，如图， CPF 与DCB △重叠部分是CFP ，由题意得，2CP t =，△DE AC ∥，△BDE BAC ∽△△， △BD DE AB AC =，即253DE =， △65DE =， △tan FP DE DCE CP CE∠==， △61512225FP t ==， △FP t =， △211222S FP CP t t t =⋅⋅=⋅⋅=； △当645t <≤时，此时点P 在线段BE 上运动，如图，CPF 与DCB △重叠部分是四边形DCPG ，△42BC CP t ==，，△42PB t =-，△PG DE ∥，△BGP BDE ∽△△， △PG PB DE BE =，即42612455PG t -=- △332PG t =-， △353322GF t t t ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，1225EP PC CE t =-=-， △CPF DFG S S S =-△△212t FG EP =-⋅⋅ 2151232225t t t ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2318625t t =-+-； 综上，s 关于t 的函数解析式为：22605318664255t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形函数，勾股定理等知识，正确作出图形和分类讨论是解题的关键．25．阅读理解，54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+，理由见解析． 【分析】阅读理解，E 作EH BC ∥，证明FEH FDC ∽△△和AEH ABC ∽△△，列比例式并根据DE EF =，BD DC =，可得结论；解决问题，作DM GH ∥，证明CDM CHG ∽△△，得CD DM CH GH=，设DH CQ x ==，则DQ mx =，再证明AEP ADM ≌△△，得EP DM =，代入可得结论．【详解】解：阅读理解， 过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，△FEH FDC ∠=∠，FHE C ∠=∠， △FEH FDC ∽△△， △EH FE DC FD=， △DE EF =， △12EH DC =， △D 是BC 的中点，即BD DC =， △14EH BC =， 同理得：AEH ABC ∽△△， △14AE EH AB BC ==， △5AB =， △54AE =； 解决问题， 猜想：12EP m GH m +=+，理由是： 如图，作DM GH ∥交AC 于点M ，△CMD CGH ∠=∠，CDM CHG ∠=∠， △CDM CHG ∽△△，△CD DM CH GH=， 设DH CQ x ==，则DQ mx =， △122DM mx x m GH mx x m ++==++， △AD 平分BAC ∠，△EAP DAM ∠=∠，△180EFG EAD ∠+∠=︒，△180AEP ANF ︒∠+∠=，△GH DM ∥，△180ADM DNG ADM ANF ︒∠+∠=∠+∠=，△ADM AFP ∠=∠，△AE AD =，△AEP ADM ≌△△，△EP DM =， △12EP m GH m +=+． 【点睛】本题考查了三角形综合题，涉及到相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题．26．(1)直线BC 的解析式为3y x =-+，抛物线的解析式为243y x x =-+；(2)点P 的坐标为()22，或()22-，．【分析】（1）根据平移得出点C 的坐标，然后设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据二次函数得出点D 和点A 的坐标，然后得出OB OC OA 、、和AB 的长度，得出OBC △为等腰直角三角形，则45OBC ∠=︒，CB =然后得出AEC AFP △∽△，得出PF 的长度，从而得出点P 的坐标．【详解】（1）解：△y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后经过y 轴上的点C ，△()03C ，． 设直线BC 的解析式为3y kx =+．△()30B ，在直线BC 上， △330k +=．解得1k =-，直线BC 的解析式为3y x =-+．△抛物线2y x bx c =++过点B ，C ，△9303b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩． △抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）解：由()224321y x x x =-+=--．△顶点D 的坐标为()21-，， 解方程()2210x --=，得13x =，21x =， △点A 的坐标为()10，． △=3=3=1=2OB OC OA AB ，，，．△OBC △是等腰直角三角形．45OBC ∠=︒，CB =如图，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，△112AF AB ==． 过点A 作AE 于点E ．△90AEB ∠=︒． △BE AE ==CE =在AEC △与AFP 中，90AEC AFP ∠=∠=︒，ACE APF ∠=∠，△AEC AFP △∽△．△AE CE AF PF ==． 解得2PF =．△点P 在抛物线的对称轴上，△点P 的坐标为()22，或()22-，． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系得出B 、C 点坐标是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出PF 的长是解题关键．。

2021-2022学年辽宁省大连市沙河口区、甘井子区八年级（上）期中数学试卷1.如图，在△ABC中，∠B=75°，AD⊥BC，∠C=∠CAD，求∠C，∠BAC的度数．2.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD=______°.3.如图所示，由三角形两边的和大于第三边，可得到的结论是()A. AB+AD>BCB. PD+CD>BPC. AB+AC>BCD. BP+CP>AC4.在△ABC中，CB=CA，∠ACB=90°，点D，E分别在射线AB和射线AC上，点F在线段DE上，AF与BC相交于点G，且FA=FD．(1)如图1，当点D与点B重合，点E在线段AC上时，求证：FG=FE；(2)如图2，当点D，E分别在AB，AC延长线上，AF⊥BE，垂足为P，请补全图形．①请问(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并证明；②若EF=kFD，(0<k<1)，求AG的值(用含k的代数式表示)．DE5.如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，其它对应边及对应角正确的是()A. ∠ANB和∠AMC是对应角B. ∠BAN和∠CAB是对应角C. AM和BM是对应边D. BN和CN是对应边6.在△ABC中，∠B=∠A+25°，∠C=∠B+25°，则∠C的度数是()A. ∠C=55°B. ∠C=65°C. ∠C=75°D. ∠C=85°7.如图1，在平面直角坐标中，点A(0,m)，B(m,0)，C(0,−m)，其中m>0，点P为线段OA上任意一点，连接BP，CE⊥BP于E，AD⊥BP于D．(1)求证：AD=BE；(2)当m=3时，若点N(−3,0)，请你在图1中连接CD，EN交于点Q.求证：EN⊥CD；(3)若将“点P为线段OA上任意一点，”改为“点P为线段OA延长线上任意一点”，其他条件不变，连接CD，EN⊥CD，垂足为F，交y轴于点H，交x轴于点N，请在图2中补全图形，求点N的坐标(用含m的代数式表示)．8.如图，点E，F在BC上，∠A=∠D，∠B=∠C，AB=DC，求证：BE=CF．9.如图，在等边△ABE中，AC⊥BE，CD⊥AB，垂足分别为C，D，AE=a，则AD=______.(请用含a的代数式表示)10.如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AD和A′D′分别是边BC和B′C′上的中线，且AD=A′D′.求证：∠C=∠C′．11.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使CE=CD.则DB和DE是否相等？为什么？12.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=5，DE=2.7，则BE=______．13.一个多边形的内角和比四边形内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角的度数是______．14.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=x°，则下列结论正确的是()A. ∠BAC=180°+3x°4B. ∠B=2x°C. ∠C=180°−x°2D. ∠ADC=180°+2x°215.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD相交于点G，则下列关系正确的是()A. AG=DGB. AD⊥EF且EG=FGC. DE⊥DFD. DE//AC16.如图，OM=ON，若用“边边边”证明△CMO≌△CNO，则需要添加的条件是______．17.下列图形中有稳定性的是()A. 平行四边形B. 长方形C. 直角三角形D. 正方形18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−4,4)，B(0,3)，C(−2,1)．(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出三个顶点的坐标：A1______，B1______，C1______；(2)若△ABC关于y轴对称的图形△A2B2C2，不用画图请直接写出三个顶点的坐标：A2______，B2______，C2______；(3)△ABC关于y轴对称的图形再关于x轴对称，得到的图形为△A3B3C3，点P(m,n)为△ABC边上的任意一点，它在△A3B3C3上的对应点为P3，则P3的坐标为______.(用含m和n的式子表示)19.如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB=DC，可证得△ABC≌△DCB，则证明全等的依据是()A. SASB. AASC. SSSD. HL20.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，以下结论正确的是()A. BC=2ADB. AF=12ABC. AD=CDD. BE=CF21.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，∠ABE=1 2∠CBE，∠ACD=12∠BCD．(1)求证：BE=DC；(2)猜想AB，AC的位置关系，并证明；(3)若将“∠ABE=12∠CBE，∠ACD=12∠BCD”改为“∠ABE=n∠CBE，∠ACD=n∠BCD(0<n<2)”，其他条件不变，请直接写出∠BAC的度数______(用含n的式子表示)．22.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4，AD=5，则△ACD的周长为______．23.如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=60°，求∠DAC和∠BOA的度数．24.第24届冬奥会将于2022年2月在北京和张家口举办，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是()A. B. C. D.25.若点M(1,−2)与点N关于y轴对称，则点N的坐标是()A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,−2)D. (−1,2)26.如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，OA=OB．求证：OC=OD．答案和解析1.【答案】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，又∵∠C=∠CAD，∴∠C=∠CAD=45°，∵∠B=75°，∴∠DAB=90°−∠B，=90°−75°，=15°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=15°+45°=60°．∴∠C=45°，∠BAC=60°．【解析】根据三角形内角和定理即可求出答案．本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．2.【答案】130【解析】解：∵∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B=70°+60°=130°，故答案为：130°．根据三角形外角的性质即可求解．本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：在△ABC中，AB+AC>BC，故选：C．利用三角形的三边关系进行分析即可．此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．4.【答案】(1)证明：∵CB=CA，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵FA=FD，∴∠FAB=∠FBA，∴∠FAE=∠FBG，又∵∠AFE=∠BFG，∴△AFE≌△BFG(ASA)，∴FG=GE；(2)解：①结论仍然成立，理由如下：如图2，连接EG，∵CB=CA，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵FA=FD，∴∠FAD=∠FDA，∵AF⊥BE，∴∠APE=90°=∠ACB，∴∠AEP+∠EAP=90°=∠AEP+∠EBC，∴∠EBC=∠EAP，又∵∠ACB=∠BCE=90°，AC=BC，∴△ACG≌△BCE(ASA)，∴∠CGE=∠CEG=45°，设∠EAF=x=∠EBC，则∠BAF=∠FDA=45°−x，∴∠AFE=∠BAF+∠FDA=90°−2x，∠FGE=∠GEA+∠EAF=45°+x，∠BEG=∠EGC−∠EBC=45°−x，∴∠FEP=90°−∠EFP=90°−(90°−2x)=2x，∴∠FEG=∠FEP+∠GEP=45°+x=∠FGE，∴EF=FG；②解：由①可知：FG=EF，∵FA=FD，EF=kFD，∴FG=kFD=kFA，∴AG=FA−FG=FA−kFA=(1−k)FA，DE=EF+DF=kFD+FD=(1+k)FD，∴AGDE =1−k1+k．【解析】(1)由“ASA”可证△AFE≌△BFG，可得FG=GE；(2)①由“ASA”可证△ACG≌△BCE，可得∠CGE=∠CEG=45°，设∠EAF=x=∠EBC，则∠BAF=∠FDA=45°−x，由三角形的外角性质可求∠FEG=45°+x=∠FGE，可得EF=FG；②由线段的数量关系可求AG=FA−FG=FA−kFA=(1−k)FA，DE=EF+DF= kFD+FD=(1+k)FD，即可求解．本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质．5.【答案】A【解析】解：∵△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，∴对应边：AN与AM，BN与CM；对应角：∠BAN=∠CAM，∠ANB=∠AMC．故选：A．全等三角形的对应顶点在对应位置，按顺序找即可．关键要细心，找对对应角和对应边．本题用到的知识点为：全等三角形的对应边相等，对应角相等．本题需注意只找其余的两对角和两对边即可．要根据已知条件找对应边，对应角．6.【答案】D【解析】解：∵∠B=∠A+25°，∠C=∠B+25°，∴∠B=∠C−25°，∠A=∠B−25°=∠C−25°−25°=∠C−50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C−50°+∠C−25°+∠C=180°，∴∠C=85°，故选：D．将∠A和∠B用∠C的代数式表示，再利用三角形内角和为180°即可得出答案．本题主要考查了三角形内角和定理，分别用∠C的代数式表示∠A和∠B是解题的关键．7.【答案】(1)证明：如图1中，∵A(0,m)，B(m,0)，C(0,−m)，∴OA=OB=OC=m，∴∠ABC=90°，∵OB⊥AC，OA=OC，∴BA=BC，∵CE⊥BP于E，AD⊥BP于D，∴∠ADB=∠CEB=90°，∵∠CBE+∠ABD=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ABD=∠BCE，在△ADB和△BEC中，{∠D=∠BEC=90°∠ABD=∠BCEBA=CB，∴△ADB≌△BEC(AAS)，∴AD=BE．(2)证明：如图1中，设CD交ON于点J，EN交CD于点K．∵N(−3,0)，m=3，∴OA=OB=OC=ON=3，∴AC=BN，∵∠ADP=∠BOP=90°，∠APD=∠BPO，∴∠DAC=∠EBN，在△ACD和△BNE中，{AD=BE∠DAC=∠EBN AC=BN，∴△ACD≌△BNE(SAS)，∴∠ACD=∠BNE，∵∠ACD+∠CJO=90°，∠CJO=∠NJK，∴∠CNE+∠NJK=90°，∴∠NKJ=90°，∴CD⊥EN．(3)解：如图2中，∵CE⊥BP于E，AD⊥BP于D，∴∠ADB=∠CEB=90°，∵∠CBE+∠ABD=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ABD=∠BCE，在△ADB和△BEC中，{∠D=∠BEC=90°∠ABD=∠BCEBA=CB，∴△ADB≌△BEC(AAS)，∴AD=BE.∠BAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBO=45°，∴∠CAD=∠EBN，∵EN⊥CD，∴∠CFH=∠NOH，∵∠NHO=∠CHF，∴∠ACD=∠HNO，在△CAD和△NBE中，{∠ACD=∠BNE ∠CAD=∠NBE AD=BE，∴△CAD≌△NBE(AAS)，∴AC=BN=2m，∴ON=BN−OB=m，∴N(−m,0)．【解析】(1)证明△ADB≌△BEC(AAS)，推出AD=BE，可得结论；(2)证明△ACD≌△BNE(SAS)，推出∠ACD=∠BNE，可得结论；(3)证明△CAD≌△NBE(AAS)，推出AC=BN=2m，即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8.【答案】证明：在△ABF和△DCE中，{∠B=∠C AB=DC ∠A=∠D，∴△ABF≌△DCE(ASA)，∴BF=CE．∵BF−EF=CE−EF，∴BE=CF．【解析】根据已知，利用ASA判定△ABF≌△DCE，从而得到BF=CE.则可以推出BE= CF．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△DCE是解题的关键．9.【答案】34a【解析】解：在等边△ABE中，∵AC⊥BE，∴∠BAC=12∠CAB=30°，BC=12BE=12a，∴AC=√AB2−BC2=12√3a，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=12AC=√34a，∴AD=√AC2−CD2=34a，故答案为：34a.根据等边三角形的性质得到∠BAC=12∠CAB=30°，BC=12BE=12a，根据勾股定理得到AC=√AB2−BC2=√3a，根据直角三角形的性质得到CD=12AC=√32a，根据勾股定理得到AD=√AC2−CD2=32a.本题考查了含30°角的直角三角形，等边三角形的性质，熟练掌握在直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半是解题的关键．10.【答案】证明：∵AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，BC=B′C′，∴BD=B′D′，在△ABD和△A′B′D′中，{BD=B′D′AB=A′B′AD=A′D′，∴△ABD≌△A′B′D′(SSS)，∴∠B=∠B′，在△ABC和△A′B′C′中，{AB=A′B′∠B=∠B′BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)，∴∠C=∠C′．【解析】依据BD=B′D′，AB=A′B′，AD=A′D′，即可判定△ABD≌△A′B′D′，再根据∠B=∠B′，AB=A′B′，BC=B′C′，可判定△ABC≌△A′B′C′，由全等三角形的性质可得出结论．本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ABD≌△A′B′D′是解此题的关键．11.【答案】解：DB=DE，理由为：证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°(等腰三角形三线合一)，又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED，又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=12∠BCD=30°，∴∠DBC=∠DEC，∴DB=DE(等角对等边)．【解析】DB=DE，理由为：由三角形ABC为等边三角形，得到三内角为60°，再由BD为中线，利用三线合一得到BD为角平分线，可得出∠DBC=30°，由CE=CD，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠ACB为三角形DCE的外角，利用外角的性质得到∠DEC= 30°，等量代换得到一对角相等，利用等角对等边即可得证．此题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．12.【答案】2.3【解析】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，{∠CBE=∠ACD ∠CEB=∠ADC BC=AC，∴△BCE≌△ACD(AAS)，∴CE=AD=5，CD=BE，∴BE=CD=CE−DE=5−2.7=2.3，故答案为：2.3．证明△BCE≌△ACD(AAS)，根据全等三角形的性质得到CE=AD=5，BE=CD，结合图形计算即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13.【答案】135°【解析】解：设这个多边形边数为n，则(n−2)⋅180=360+720，解得：n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．答：这个多边形的每个内角是135度．故答案为：135°．首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数．本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题．14.【答案】A【解析】解：∵AD=DC，∴∠DAC=∠C，∴∠ADB=∠DAC+∠C=2∠DAC，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=2∠DAC，在△ABD中，∠BAD+∠B+∠ADB=180°，∴x°+2∠DAC+2∠DAC=180°，即∠DAC=∠C=180°−x°4，故C错误，不符合题意；∴∠B=∠ADB=2∠DAC=180°+x°2，故B错误，不符合题意；∠BAC=∠BAD+∠DAC=x°+180°−x°4=180°+3x°4，故A正确，符合题意；∠ADC=∠BAD+∠B=x°+180°+x°2=180°+3x°2，故D错误，不符合题意；故选：A．根据等腰三角形性质推出∠B=∠ADB，∠C=∠DAC，根据三角形外角性质推出∠B=∠ADB=2∠DAC，根据三角形的内角和定理求出即可．本题综合考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，关键是能根据定理推出∠B=∠ADB=2∠DAC，∠DAC=∠C．15.【答案】B【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和t△AFD中，{AD=ADDE=DF，∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴EG=GF，AG⊥EF．故选：B．根据角平分线性质得出DE=DF，证出Rt△AED≌Rt△AFD，推出AF=AE，根据等腰三角形的性质得出答案即可．本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．16.【答案】CM=CN【解析】解：∵OM=ON，OC=OC，∴当CM=CN时，△CMO≌△CNO(SSS)，故答案为：CM=CN．根据全等三角形的判定即可求解．本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．17.【答案】C【解析】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．故选：C．根据稳定性是三角形的特性解答．此题考查三角形的稳定性，稳定性是三角形的特性，这一点需要记忆．18.【答案】(−4,−4)(0,−3)(−2,−1)(4,4)(0,3)(2,1)(−m,−n)【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，A1(−4,−4)，B1(0,−3)，C1(−2,−1)；故答案为：(−4,−4)，(0,−3)，(−2,−1)；(2)如图，△A2B2C2为所作，A2(4,4)，B2(0,3)，C2(2,1)；故答案为：(4,4)，(0,3)，(2,1)；(3)P3的坐标为(−m,−n)．故答案为：(−m,−n)．(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；(3)根据关于x轴和y轴对称的点的坐标特征求解．本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．19.【答案】D【解析】解：∵AC⊥CB，DB⊥CB，∴∠ACB=∠DBC=90°，在Rt△ACB与Rt△DBC中，{AB=DCCB=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，∴证明全等的依据是HL，故选：D．根据AC⊥CB，DB⊥CB，AB=DC，BC=CB，依据HL即可证明．本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．20.【答案】B【解析】解：∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，∴AE=EC=12AC，AB=2BF=2AF，BD=DC=12BC，故A、C、D都不一定正确；B正确．故选：B．根据三角形的中线的定义判断即可．本题考查了三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．21.【答案】120°−60°n【解析】(1)证明：∵△ABD，△AEC是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠1=∠2=60°，∴∠1+∠3=∠2+∠3，∴∠DAC=∠BAE，在△ADC与△ABE中，{AD=AB∠DAC=∠BAE AC=AE，∴△ADC≌△ABE(SAS)，∴BE=DC；(2)解：猜想：AB⊥AC，∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE，在△ADF与△GBF中，∠AFD=∠GFB，∴∠1=∠BGF=60°，∴∠BGF=∠CBE+∠BCD=60°，∵∠ABE=12∠CBE，∠ACD=12∠BCD，∴∠ABE+∠ACD=12(∠CBE+∠BCD)=12∠BGF=30°，在△ABC中，∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，∴∠BAC=180°−(∠ABE+∠CBE)−(∠ACD+∠BCD)=180°−30°−60°=90°，∴AB⊥AC；(3)解：由(2)得，∵∠ABE=n∠CBE，∠ACD=n∠BCD，∴∠ABE+∠ACD=n(∠CBE+∠BCD)=n∠BGF=60°n，在△ABC中，∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，∴∠BAC=180°−(∠ABE+∠ACD)−(∠CBE+∠BCD)=180°−60°n−60°=120°−60°n．故答案为：120°−60°n．(1)利用等边三角形的性质，即可证△DAC≌△BAE，进而解答即可；(2)利用已知条件，进行角度转化，同时利用“S”字模型解答即可；(3)利用(2)中的证明过程，即可得出角度的代数式解答即可．本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．22.【答案】18【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD=5，AC=2AE=2×4=8，∴△ADC的周长是：AD+CD+AC=18．故答案为：18．由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=CD=5，AC=2AE= 2×4=8，继而求得△ADC的周长．此题考查了线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．23.【答案】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C=60°，∴∠DAC=90°−60°=30°，∵AE平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠BAO=12∠BAC=25°，∵∠ABC=180°−∠BAC−∠C=70°，BF平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=35°，∴∠BOA=180°−∠BAO−∠ABO=120°故∠DAC和∠BOA的度数分别为30°和120°．【解析】根据垂直的定义得到∠ADC=90°，根据三角形的内角和定理得到∠DAC=90°−60°=30°，根据角平分线的定义得到∠BAO=12∠BAC=25°，∠ABO=12∠ABC=35°，根据三角形的内角和定理即可得到结论．本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．24.【答案】B【解析】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B.是轴对称图形，故本选项符合题意；C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．25.【答案】C【解析】解：∵点M(1,−2)与点N关于y轴对称，∴点N的坐标是(−1,−2)，故选：C．利用关于y轴的对称点的坐标特点可得答案．此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．26.【答案】证明：∵AO=BO，∴∠A=∠B，∵DC//AB，∴∠D=∠B，∠C=∠A，∴∠C=∠D，∴CO=DO．【解析】首先根据等边对等角可得∠A=∠B，再由DC//AB，可得∠D=∠B，∠C=∠A，进而得到∠C=∠D，根据等角对等边可得CO=DO．此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角，等角对等边．。