2008年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)

全国卷历年高考平面向量真题归类分析（2015年-2019年共14套）一、代数运算（3题）1.(2015全国2卷13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 解：因为向量λa+b 与a+2b 平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，， ，则.解解，所以3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0 解：因为所以选B.4.（2019全国1卷7）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3 C. 2π3 D. 5π6解：因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：121222221122cos x x y y a b a bx y x y θ+⋅==++，注意向量夹角范围为[0,]π．求模长则利用公式22a a a a ⋅==转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12,k k λ=⎧⎨=⎩，12λ=12a b 602=a 1=b 2+=a b ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b 221222222=+⨯⨯⨯+=444++=122+=a b 所有相关向量统一用同一个基底表示22a a a a ⋅==求模，模长记得开平方二、几何运算（3题） 1.（2018全国1卷6）在解中，为边上的中线，为的中点，则A.B.C.D.解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.2.（2015全国1卷7）设D 为解ABC 所在平面内一点,BC →=3CD →,则 ( )A. B. C. D. 解：选A.由题知3.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.A. B. C. D. 解：方法一：如图所示，取的中点，联结，取的中点，由， 则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=，当且仅当，即点与点重合时，取得最小值为，故选B.（方法二见模块三第8题）AC AB AD 3431+-=AC AB AD 3431-=AC AB AD 3134+=AC AB AD 3134-=11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=1433AB AC -+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-BC D AD AD E 2PB PC PD +=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭20PE =P E 32-【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的线性运算，解题时尽量画出符合要求的图形.平面向量基本定理是解决向量问题的出发点，通过线性运算可将平面内相关向量用同一基底表示.题目如果没有选定基底，则如何选取基底是关键，一般是选已知模长及夹角的两个不共线向量为基底，且其它向量便于用该基底表示.三、坐标运算（7题）1.（2016全国2卷3）已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 解：a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.选D.2.（2016全国3卷3）已知向量1BA 2=⎛ ⎝⎭,31BC ,2=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则∠ABC= ( )A.30°B.45°C.60°D.120°解：选A.因为BA BC ⋅=12×12=,BA =BC =1,所以cos ∠ABC=BA BC 3=2BA BC⋅,即∠ABC=30°3.（2019全国2卷3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，||BC =1，则AB BC ⋅= A. -3B. -2C. 2D. 3解：由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．4.（2016全国1卷13）(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .解：由已知得:a+b=(m+1,3),所以|a+b|2=|a|2+|b|2⇔(m+1)2+32=m 2+12+12+22,解得m=-2.答案:-25.（2018全国3卷13）已知向量，，．若，则________． 解：由题可得 ，即，故答案为6.（2019全国3卷13）已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 解：因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅．7.（2017全国3卷12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）. A ．3B ．C.D ．2解：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为 ．因为，．所以．因为切于点． 所以⊥．所以是斜边上的高．， 即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，而，，． 因为， 所以，． 两式相加得2sin()3θϕ++≤ (其中)， 当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.8.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.A. B.C. D. 方法二：如图所示建立直角坐标系，则()3,0A ，()0,1-B ,()0,1C ，设()y x P ,， 则()y x PA --=3,，()y x PB ---=,1，()y x PC --=,1，ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =BD =BD C E CE BD CE Rt BCD △BD 1222BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅==△C P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0112x μθ==01y λθ==+(22255112sin 55λμθθθϕ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ϕcos ϕπ2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-()()()23232232222,23,2222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=----=+⋅y x y y x y x y x PC PB PA所以，当23,0==y x ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0P 时，取得最小值为，故选B. 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的坐标运算，渗透了数学运算、直观想象素养．对于向量坐标运算，一定要弄清楚坐标运算的本质.由于选取了平面上两个互相垂直的单位向量作为基底（单位正交基底），这大大的降低了解题的难度.因此，遇到平面向量难题时要想到建立直角坐标系，用坐标法．32-相关点尽量在坐标轴上或成对称关系，向量坐标零越多越好 (1x AB =，写出所有相关向量的坐标。

2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（14空间向量与立体几何）一、选择题：1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ）A ．13B．3 C．3 D ．231.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为11AO AB =另解：设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为060长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u ur u u u r211112,33OA AB a OA AB ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r则1AB 与底面ABC所成角的正弦值为11113OA AB AO AB ⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u r .二、填空题：1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 61． 1.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO ==⋅∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,(,2222M N ---, 则31131(,,),(,,,2222222AN EM AN EM AN ==-⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r .三、解答题：1．（2008安徽文）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S =4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A ·B)=P(A) ·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V=43πR3n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 P n (k )=C k n P k (1-p )n-k (k =0,1,2,…,n )一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合M =｛x |-3＜x ＜1|,N={x |x ≤-3},则M =⋃N (A)∅ (B) {x|x ≥-3} (C){x|x ≥1}(D){x |x ＜1|(2)若函数y=(x +1)(x-a )为偶函数，则a = (A)-2 (B) -2 (C)1 (D)2(3)圆x 2+y 2=1与直线y=kx +2没有公共点的充要条件是 (A)2,2(-∈k )(B) 3,3(-∈k )(C)k ),2()2,(+∞⋃--∞∈(D) k ),3()3,(+∞⋃--∞∈(4)已知0＜a ＜1,x =log a 2log a 3,y =,5log 21a z =loga 3,则 (A)x ＞y ＞z(B)z ＞y ＞x(C)y ＞x ＞z(D)z ＞x ＞y(5)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2),B (-1,-2),C (3,1),且AD BC 2=,则顶点D 的坐标为 (A)(2,27) (B)(2,－21) (C)(3,2) (D)(1,3)(6)设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 (A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1(B)[-1,0] (C)[0,1](D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21(7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 (A)31 (B)21 (C)32 (D)43 (8)将函数y=2x +1的图象按向量a 平移得到函数y =2x +1的图象，则 (A)a =(-1,-1) (B)a =(1,-1) (C)a =(1,1) (D)a=(-1,1)(9)已知变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+,01,013,01x y x y x y 则z ＝2x+y 的最大值为第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）函数23()x y ex +=-∞+∞的反函数是 .（14）在体积为的球的表面上有A 、B 、C 三点，AB =1,BCA 、C 两点的球面距离为3π，则球心到平面ABC 的距离为 . （15）3621(1)()x x x++展开式中的常数项为 . （16）设(0,)2x π∈，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ,C ，对边的边长分别是a ,b ,c .已知2,3c C π==. （Ⅰ）若△ABC，求a ,b ;（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积. （18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：频数205030（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 （i ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率; （ii ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率. （19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AP =BQ =b （0＜b ＜1），截面PQEF ∥A ′D ，截面PQGH ∥AD ′.（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直;（Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值; （Ⅲ）若12b =，求D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值. （20）（本小题满分12分）已知数列{a n },{b n }是各项均为正数的等比数列，设(N*)nn nb c n a =∈. （Ⅰ）数列{c n }是否为等比数列？证明你的结论;（Ⅱ）设数列{tna n },{lnb n }的前n 项和分别为S n ,T n .若12,,21n n S n a T n ==+求数列{c n }的前n 项和.(21)（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(Ⅰ)写出C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点.k 为何值时?⊥此时||的值是多少？(22)（本小题满分14分）设函数f (x )=ax 3+bx 2－3a 2x +1(a 、b ∈R )在x =x 1，x =x2处取得极值，且|x 1－x 2|=2. (Ⅰ)若a =1，求b 的值，并求f (x )的单调区间； (Ⅱ)若a ＞0，求b 的取值范围.2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(012)k kn k n n P k C P p k n -=-=，，，，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}31M x x =-<<，{}3N x x =-≤，则M N =（ D ）A ．∅B ．{}3x x -≥C ．{}1x x ≥D ．{}1x x <答案：D解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。