文科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1.下列结论正确的是（ ） A. 若ac bc >，则a b > B. 若88a b >，则a b > C. 若a b >，0c <，则ac bc < D. a b <a b >【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质和特殊值法来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误； 对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满足，但a b <，B 选项错误； 对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确； 对于D a b <a b >，D 选项错误.故选C.【点睛】本题考查利用不等式的性质来判断不等式的正误，同时也可以利用特殊值法等一些基本方法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.2.已知等比数列{}n a 中，1a ，101a 是方程210160x x -+=的两根，则215181a a a ⋅⋅的值为（ ） A. 64B. 64±C. 256D. 256±【★★★答案★★★】A 【解析】 分析】利用韦达定理和等比数列的性质，结合等比数列通项公式求出51a ，再利用等比数列的性质即可求解.【详解】因为1a ，101a 是方程210160x x -+=的两根， 所以由韦达定理可得，1101110116,10a a a a ⋅=+=, 即()1001110a q+=，所以10a>，由等比数列的性质知,2110121815116a a a a a ⋅=⋅==， 因为50511a a q =⋅0>，所以514a =，所以215181a a a ⋅⋅64=. 故选:A【点睛】本题考查等比数列的性质和通项公式；考查运算求解能力；利用韦达定理和等比数列的性质正确求出51a 的值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3.已知向量()0,2OA =，()1,OB t =，且OA OB OA ⋅=，则OA 与AB 的夹角为( ) A.6π B.34π C.3π D.512π 【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】由OA OB OA ⋅=结合数量积的坐标公式和模长公式，可得到1t =，再利用公式求OA 与AB 的夹角.【详解】向量()0,2OA =，()1,OB t =， 所以2OA OB t ⋅=，2OA =由OA OB OA ⋅=，即22t =，所以1t = 所以()1,1OB =()1,1AB OB OA =-=-cos ,22OA AB OA AB OA AB⋅===-⨯⋅又OA 与AB 的夹角在[]0π，内,所以OA 与AB 的夹角为34π. 故选：B【点睛】本题考查利用向量的数量积的坐标公式求向量的夹角，注意向量夹角的范围，属于基础题.4.已知数列{}n a 中，732,1a a ==，又数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a 等于（ ） A. 0B.12C.23D. 1-【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】先根据条件得等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭公差以及通项公式，代入解得11a .【详解】设等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭公差为d ，则731111144,112324d d d a a =-∴=-=++， 从而31115(3)11242424n n n a a =+-⋅=+++ 11111115211242432a a =+=∴=+，选B. 【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本求解能力，属基本题. 5.关于x 的不等式()2110+++<ax a x （0a <）的解集为（ ）A. 1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,⎛⎫--⎪⎝⎭a C. ()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D . ()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】把原不等式变形为1ax +与1x +积小于0，根据a 小于0，在不等式两边同时除以a ，不等号方向改变，化为1(1)()0x x a ++>，易得1-与1a-的大小，结合不等号方向，可以写出原不等式的解集，进而做出正确的选择. 【详解】原不等式化为(1)(1)0x ax ++<， 因为0a <，所以进一步化为1(1)()0x x a++>，因为0a <，所以11a->-， 所以1(1)()0x x a++>的解集为1x <-或1x a>-， 即原不等式的解集为1(,1)(,)a-∞--+∞， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的求解问题，在解题的过程中，注意利用不等式的性质对不等式进行等价变形，再者就是根据题意比较两个边界值的大小，属于简单题目. 6.设向量,a b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +上的投影的数量为( ) A. 1B. 1-C. 12-D.12【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】根据()b a b ⊥+利用垂直数量积为0求得21a b b =-=-⋅,再根据投影的公式代入求解即可. 【详解】()b a b ⊥+,()20a b b a b b =⋅+⋅+=,21a b b ∴=-=-⋅.()2221b a b a b b ∴⋅+=⋅+=,222442a b a b a b +=++⋅=,∴向量b 在向量2a b +上的投影的数量为()2122b a b a b⋅+=+.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运用与夹角的计算,属于中档题.7.已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若满足2b =，60B =的三角形有两解，则边长a 的取值范围是（ ） A. 2a << B. 23a <<C.22a << D.122a << 【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】由ABC ∆有两解时，可得sin a B b a <<，代入数据，即可求解，得到★★★答案★★★． 【详解】由题意得，当ABC ∆有两解时，则满足sin a B b a <<，即sin 602a a <<，解得4323a <<，故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形一题多解的问题，其中解答中熟记三角形两解的条件是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8.ABC ∆ 中,若2lga lgc lgsinB lg -==- 且π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则ABC ∆的形状是 A. 等边三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【★★★答案★★★】C 【解析】 【详解】由,得2lglgsin lg2a B c ==, 所以得22sin ,sin 22a B B c ===所以4B π=.所以2c a =,所以2cos 2a B c ==, 即cos ,sin sin cos a c B A C B ==,所以()sin sin cos cos sin cos sin B C B C B C B C +=+=,所以sin cos 0B C =,即cos 0C =,所以2C π=,4A π=,即三角形为等腰直角三角形,选C .点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且10a >，500S =.设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，则当数列{}n b 的前n 项和nT取得最大值时, n 的值为（ ）A. 23B. 25C. 23或24D. 23或25【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】先依据条件知等差数列{}n a 的前25项为正数，从第26项起各项都为负数，所以可以判断{}n b 的前23项为正数，24b 为负数，25b 为正数，从第27项起各项都为负数，而24250b b +=，故{}n b 的前n 项和nT取得最大值时，n 的值为23或25．【详解】1500,0a S >=，等差数列{}n a 的公差0d <，且()()150502526502502a a S a a +==+=则25260,0a a ><，且2526a a =，由()12n n n n b a a a n N +++=∈，知{}n b 的前23项为正数，24b 为负数，25b 为正数，从第27项起各项都为负数，而24b 与25b 是绝对值相等，符号相反，相加为零，2325T T ∴=，之后n T 越来越小，所以数列{}n b 的前n 项和n T 取得最大值时,n 的值为23,25，故选D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及求数列前n 项和取最值的判断方法．10.方程()2250x m x m +-+-=的一根在区间()2,3内，另一根在区间()3,4内，则m 的取值范围是（ ） A. ()5,4--B. 13,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. ()5,2--【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】由一元二次方程和二次函数关系，结合零点存在定理即可得关于m 的不等式组，解不等式组即可确定m 的取值范围.【详解】令()()225f x x m x m =+-+-，由二次函数根的分布性质，若一根在区间()2,3内，另一根在区间（3，4）内，只需()()()203040f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩，即()()()4225093250164250m m m m m m ⎧+-+->⎪+-+-<⎨⎪+-+->⎩，解不等式组可得1343m -<<-， 即m 的取值范围为13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选：C .【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，函数零点存在定理的简单应用，属于基础题.11.已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( )A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰（非等边）三角形D. 等边三角形【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【详解】解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=，1cos ||||2AB AC A AB AC ==，3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．12.在锐角三角形ABC cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，则a c +的取值范围是（ ）A.B. (C. (6,D.(3,【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得,b B ，构造a c +的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果.cos 2B B +=，故可得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得60B =︒.因为cos cos sin sin 3sin B C A B b c C +=，故可得33ccosB bcosC sinA a sinB bc sinc c +=⨯=整理得b =24bR sinB==.故可得()()4444sin 6030a c sinA sinC sinA A A +=+=++︒=+︒，因为0,,1200,22A A ππ⎛⎫⎛⎫∈︒-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可得()30,90A ∈︒︒.则()(43sin 306,43A ⎤+︒∈⎦ 故可得(6,43a c ⎤+∈⎦. 故选：C.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的范围问题，涉及正弦的和角公式，属综合困难题.二、填空题（每小题5分，共20分） 13.不等式1223x x+≤-的解集是______． 【★★★答案★★★】32,,73⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【解析】 【分析】通过“移项，通分”等步骤，将不等式等价转化为一元二次不等式，注意分母不为0，解出即可. 【详解】∵1223x x+≤-，∴12023x x +-≤-， 即73032x x -≥-，等价于()()73320320x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得37x ≤或23x >即不等式的解集为32,,73⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭， 故★★★答案★★★为32,,73⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，等价转化为一元二次不等式是解题的关键，考查转化思想，属于中档题．14.如图，在ABC 中，12021BAC AB AC ∠=︒==，，，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC = ．【★★★答案★★★】83-【解析】【详解】由图及题意得 ，=∴=()()=+==. 15.如图，一栋建筑物AB 高（30-103）m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m ．【★★★答案★★★】60 【解析】 【分析】由已知可以求出CAM ∠、AMC ∠、ACM ∠的大小，在Rt ABM ∆中，利用锐角三角函数，可以求出AM .在ACM ∆中，运用正弦定理，可以求出CM .在Rt DCM ∆中，利用锐角三角函数，求出DC .【详解】由题意可知：45CAM ∠=，105AMC ∠=，由三角形内角和定理可知30ACM ∠=.在Rt ABM ∆中，sin sin15AB ABAMB AM AM ∠=⇒=.在ACM ∆中，由正弦定理可知：sin 45sin 45sin sin sin 30sin15sin 30AM CM AM AB CM ACM CAM ⋅⋅=⇒==∠∠⋅， 在Rt DCM ∆中，sin 45sin sin 60sin 6060sin15sin 30CD AB CMD CD CM CM ⋅∠=⇒=⋅=⋅=⋅. 【点睛】本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力. 16.下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N *)，则(20,20)a =_____.【★★★答案★★★】1952 【解析】【分析】先计算第一列形成的数列205b =，再计算第20行形成的数列201952c =，得到★★★答案★★★.【详解】设第一列形成的数列为n b ，则{}n b 是首项为14，公差为14的等差数列，故4n n b =，205b =.设第20行形成的数列为n c ，{}n c 是首项为5，公比为12的等比数列，故201952c =. 即(20,20)201952a c ==. 故★★★答案★★★为：1952. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.三、解答题（共70分）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差0d ≠，414S =且137a a a ，，成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【★★★答案★★★】（1）1n a n =+ （2）2(2)n n T n =+【解析】【分析】（1）由题意建立方程组()()1211143414226a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩求解即可（2）11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++，然后即可求出前n 项和n T 【详解】（1）由题意可得()()1211143414226a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩， 又因为0d ≠，所以121a d =⎧⎨=⎩，所以1n a n =+． （2）因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++， 所以11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-+⋯+-=-=++++． 【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法18.已知ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=.(1)求角B 的大小；(2)若2,b a c =+= 求ABC 的面积S .【★★★答案★★★】(1) 3B π=【解析】【分析】（1）用正弦定理将已知等式化为角，再利用两角和的正弦公式，即可求得角B 的三角函数值，进而求解；（2）由余弦定理求出ac ，即可求出面积.【详解】解:(1)由()20a c cosB bcosC --=可得:() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=.2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+可得:()2sinAcosB sin B C sinA =+=()0,,0A sinA π∈>.∴可得12cosB =又由(0,)B π∈得3B π=又由(0,)B π∈得3B π=.(2)由余弦定理及已知得()222223b a c accosB a c ac =+-=+-84123,3ac ac ∴=-∴= 1232S acsinB ∴==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形以及求面积，属于中档题.19.如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（Ⅰ）求边AC 的长；（Ⅱ）若APB ∆的面积是3sin BAP ∠的值．【★★★答案★★★】（1）2（2）217 【解析】【分析】（Ⅰ）在APC ∆中利用余弦定理可以求出2AC =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得APC ∆为等边三角形，其PC 边的高线为ABP ∆的高线，根据已知的面积可以得到BP 的长，根据余弦定理可以得到AB 的长，再利用正弦定理可以求出sin BAP ∠．【详解】（Ⅰ）在APC ∆中，设AC x =，则4AP x =-由余弦定理得：2222cos PC AC AP AC AP PAC =+-∠即：2214(4)2(4)2x x x x =+--⨯⨯-⨯，解之得：122x x ==即边AC 的长为2 （Ⅱ）由（Ⅰ）得APC ∆为等边三角形，作AD BC ⊥于D ，则sin 603AD PA =︒=， ∴132APB S PB AD ∆=⨯=33PB =，故4PB = ，23BPA π∠=， ∴在ABP ∆中，由余弦定理得：2222cos 3AB PB PA PB PA π=+-⋅27= ∴在ABP ∆中由正弦定理得：sin sin PB AB BAP BPA =∠∠ ，∴427sin 3BAP =∠，∴2321sin 727BAP ∠== 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.20.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（01x <<），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式； （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？【★★★答案★★★】（1）26000200020000y x x =-++，(01)x <<；（2）1(0,)3． 【解析】试题分析：（1）利用年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量列出表达式即可，要注意根据实际意义注明函数的定义域；（2）通过解一元二次不等式得到所求增加比例的范围．试题解析：（1）由题意得：[12(10.75)10(1)]10000(10.6)y x x x =+-+⨯⨯+，(01)x <<，整理得：26000200020000y x x =-++，(01)x <<（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须(1210)100000y --⨯>，(01)x << 即2600020000x x -+>，(01)x <<． 解得103x <<，所以投入成本增加的比例应在1(0,)3范围内． 考点：1．函数模型的应用；2．一元二次不等式的解法． 21.设数列{}n a 前n 项和为n S , 满足 ()31*42n n a S n N =+∈ ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na = 求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若不等式212209n n a T n ++⋅->对任意的*n N ∈ 恒成立，求实数a 的取值范围． 【★★★答案★★★】（1）212n n a -=;（2）211[(31)22].9n n T n +=-⋅+;（3）29a >- 【解析】试题分析：（1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；（2）b n =na n =2n×4n ﹣1，利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出． （3）不等式12209n n a T n ++⋅->的n ∈N *恒成立，化为a ＞21139n n -+ ，利用二次函数的单调性即可得出．试题解析： 解：（1）()*3142n n a S n N =+∈ ()1131242n n a S n --=+≥ 两式相减，得 ()113344n n n n n a a S S a ---=-=. 所以，()111,42.4n n n n a a a n a --==≥ 又113142a S =+，即11131242a a a =+∴= {}n a ∴是首项为2，公比是4的等比数列.所以 1222124222n n n n a ---=⋅=⋅=. （2）212.n n n b n a n -=⋅=⋅35211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ①()35212141222122n n n T n n -+=⋅+⋅++-⋅+⋅ ②- ②,得 ()352121322222.n n n T n -+-=++++-⋅ 故 ()2113122.9n n T n +⎡⎤=-⋅+⎣⎦ （3）由题意，再结合（2），知 3109n a n-+> 即 ()3190n n a -+>. 从而21139a n n >-+ 设 ()21139g n n n =-+，()()max 21.9g n g ==- 29a ∴>-. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22.对于函数()y f x =，若存在0x R ∈,使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）条件下，若()y f x =图象上的,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且AB的中点在直线1y x a=-+-上，求b 的最小值.【★★★答案★★★】（1）-1或3；（2）(0,1]；（31.【解析】【分析】（1）由已知可得()f x 的不动点，为方程()f x x =的解，将1,2a b ==-代入，解方程，即可得出结论；（2）由条件可得，将问题转化对于任意的实数b ，方程()f x x =有实数解，利用一元二次方程有实数解0∆≥，进而得到关于b 一元二次不等式恒成立，可求出a 的取值范围；（3）AB 的中点在直线1y x =-+-AB 中点坐标用,a b 表示，代入直线方程，b 表示成a 的函数，由a 的范围，利用函数思想求出b 的最小值.【详解】（1）当1a =，2b =-时，2()3f x x x =--，由2(),230,1f x x x x x =--=∴=-或3x =当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点为-1或3；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有不动点，即方程2(1)(1),0ax b x b x a +++-=≠时恒有实数解， 22(1)0440ax bx b b ab a ++-=∆=-+≥，，b R ∈上恒成立，2161600a a a ⎧∆=-≤⎨≠'⎩，解得01a <≤， 所以a 的取值范围(0,1]；（3）设()f x 的不动点为12,x x ，则12b x x a+=-， 且1122(),()f x x f x x ==，所以1122(,),(,)A x x B x x ，AB 的中点坐标为1212(,)22x x x x ++，即为(,)22b b a a --，代入1y x a=-+-得b a t =-+=， 22211111,(1)122222a tb t t t =-=-++=--+，当1t a ==时，b 1.【点睛】本题考查新定义问题，要认真审题，将问题转化为考查一元二次方程、一元二次不等式、二次函数，考查函数方程思想，属于较难题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
