2017_2018版高中数学第一章计数原理3组合第1课时组合与组合数公式学案北师大版选修
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1 第1课时 组合与组合数公式 学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．
知识点一 组合的定义 思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除； ②从3,5,7,11中任取两个数相乘． 以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？
梳理 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 知识点二 组合数与组合数公式 从3,5,7,11中任取两个数相除， 思考1 如何用分步乘法计数原理求商的个数？
思考2 你能得出C24的计算公式吗？ 梳理 组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示.
组合数公式 乘积形式 Cmn＝AmnAmm＝________________
阶乘形式 Cmn＝________________ 性质 Cmn＝____________ Cmn＋1＝____________＋____________ 2
备注 n，m∈N＋，且m≤n，规定C0n＝________ 类型一 组合概念的理解 例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ (2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？ (3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？
反思与感悟 判断一个问题是否是组合问题的流程 跟踪训练1 给出下列问题： (1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ 在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题． 3
类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例2 (1)计算C410－C37·A33；
(2)求证：Cmn＝m＋1n＋1Cm＋1n＋1.
反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式Cmn＝AmnAmm＝nn－n－n－m＋
m！
计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！n－m！计算． (3)计算时常利用的组合数的两个性质 ①Cmn＝Cn－mn.②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n. 跟踪训练2 (1)计算C98100＋C199200＝________. (2)计算C34＋C35＋C36＋…＋C32 015的值为( ) A．C42 015 B．C52 015 C．C42 016－1 D．C52 015－1 命题角度2 含组合数的方程或不等式
例3 (1)已知1Cm5－1Cm6＝710Cm7，求Cm8＋C5－m8； (2)解不等式：C4n>C6n.
反思与感悟 与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cmn中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要 4
验证所得结果是否适合题意． 跟踪训练3 解方程3Cx－7x－3＝5A2x－4.
类型三 简单的组合应用题 例4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
反思与感悟 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成． 跟踪训练4 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 5
1．下列四个问题属于组合问题的是( ) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 2．集合M＝{x|x＝Cn4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆M C．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4} 3．满足方程Cx2－x16＝C5x－516的x值为( ) A．1,3,5，－7 B．1,3 C．1,3,5 D．3,5 4．不等式Cn－310A．3C．n＝3,4,5 D．n＝3,4,5,6,7 5．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量． 2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式等问题，一是要注意组合数本身的意义及
未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算Cmn时，若m>n2，通常使用Cmn＝Cn－mn转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n. 6
答案精析 问题导学 知识点一 思考 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列． 梳理 为一组 知识点二 思考1 第1步，从这四个数中任取两个数，有C24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C24A22＝12.
思考2 因为A24＝C24A22，所以C24＝A24A22＝6. 梳理 所有组合的个数 Cmn nn－n－n－m＋m！ n！
m！n－m！
Cn－mn Cmn Cm－1n 1
题型探究 例1 解 (1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题． (2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的． (3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数． (4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变． 跟踪训练1 (1)(3) (2)(4) 例2 (1)解 原式＝C410－A37
＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5 ＝210－210＝0. (2)证明 因为右边＝m＋1n＋1Cm＋1n＋1
＝m＋1n＋1·n＋！m＋！n－m！ ＝n！m！n－m！＝Cmn， 左边＝Cmn，所以左边＝右边，所以原式成立． 跟踪训练2 (1)5 150 (2)C 7
例3 解 (1)∵1Cm5－1Cm6＝710Cm7， ∴m！－m！5！－m！－m！6！ ＝－m！m！10×7！， 即m！－m！5！－m！－m－m！6×5！ ＝7×m！－m－m－m！10×7×6×5！. ∴1－6－m6＝－m－m60， 即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21. ∵0≤m≤5，∴m＝2， ∴Cm8＋C5－m8＝C28＋C38＝C39＝84. (2)由C4n>C6n，得
n！4！n－！>n！
6！n－！，
n≥6
⇒ n2－9n－10<0，n≥6⇒
－1
n≥6，
又n∈N＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}． 跟踪训练3 解 原式可变形为3C4x－3＝5A2x－4，
即x－x－x－x－4×3×2×1 ＝5(x－4)(x－5)， 所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5. 所以x＝11或x＝－2(舍去负根)． 经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.
例4 解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C11C27
＝7×62×1＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35. 8
跟踪训练4 解 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C210＝45(种)． (2)从6名男教师中选2名有C26种选法，从4名女教师中选2名有C24种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法C26C24＝90(种)． 当堂训练 1．C 2.D 3.B 4.D 5．140
