每日一题·第一周
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2010.07.18
已知函数f(x)=Cos（2x+3π）+Sin2x
①求［f（x）］max
解：f(x)=Cos2x·Cos3π—Sin2x·Sin3π+Sin2x=（1—2Sin2x）·21—Sin2x·23+Sin2x
=21—Sin2x—23·Sin2x+Sin2x
=21—23·Sin2x
∴当Sin2x=—1时，f(x)有最大值，为21+
2
3
②在△ABC中，CosB=31，f（2C）=41−，C为锐角，求SinA
解：Sin2B=1—Cos2B→SinB=±322（舍去负值）
f（2C）=21—23·SinC=41−→SinC=
2
3
Cos2C=1—Sin2C→CosC=±21且C为锐角，所以CosC=
2
1
SinA=Sin(B+C)=SinB·CosC+CosB·SinC
=322·21+31·
2
3
=
6
322+
2010.07.19（2009江苏高考15题）
已知a=（4Cosα，Sinα），b=（Sinβ，4Cosβ），c=（Cosβ，—4Sinβ）
①若a与b—2c垂直，求tan（α+β）
解：b—2c=（Sinβ—2Cosβ，4Cosβ+8Sinβ）
∵a⊥（b—2c）
∴4Cosα·（Sinβ—2Cosβ）+Sinα·（4Cosβ+8Sinβ）=0
整理得Sin(α+β）=2Cos（α+β）
∴tan（α+β）=Sin(α+β）╱Cos（α+β）=2
②求｜b+c｜max
解：b+c=（Sinβ+Cosβ，4Cosβ—4Sinβ）
法一：｜b+c｜
2=（Sinβ+Cosβ）2+（4Cosβ—4Sinβ）2
=2
（22Sinβ+22Cosβ）2+32（22Cosβ—22Sinβ）
2
=2Sin2（45°+β）+32Cos2（45°+
β）
=2+30Cos2（45°+
β）
∵
Cos2（45°+β）max=1
∴｜b+c｜2max=32∴｜b+c｜max=4
2
法二：｜b+c｜2=（Sinβ+Cosβ）2+（4Cosβ—4Sinβ）
2
=Sin2β+Cos2β+2Sinβ·Cosβ16Sin2β+16Cos2β—32Sinβ·Cosβ
=17—15Sin2β≤32
∴｜b+c｜2max=32∴｜b+c｜max=4
2
③若tanα·tanβ=16，求证a∥
b
证明：∵tanα·tanβ=16∴
16CosβSinβ·CosαSinα=
∴Sinα·Sinβ=16Cosα·
Cosβ
∴Sinα·Sinβ=4Cosα·4
Cosβ
又
∵a=（4Cosα，Sinα）b=（Sinβ，4Cosβ）
∴a∥
b
2010.07.20
在△ABC内，内角A、B对应a、b，且a+b=tanBbtanAa+，求∠C
解
07.21
f（x）=2SinxCos22ρ+CosxSinρ—Sinx（0＜ρ＜π）。在x=π时，f（x）取最小值
①求ρ
解：f（x）=2SinxCos22ρ+CosxSinρ—Sinx
f（x）=Sinx（2Cos22ρ—1）+CosxSinρ
f（x）=Sinx（Cos22ρ—Sin22ρ）+CosxSinρ
f（x）=SinxCosρ+CosxSinρ
f（x）=Sin（x+ρ）
Sin（x+ρ）min=—1，且当在x=π时，f（x）取最小值
∴f（x）min=Sin（π+ρ）=—1，∴—Sinρ=—1即Sinρ=1
又0＜ρ＜π，∴ρ=
2
π
②在△ABC内，a=1，b=2，f（A）=23，求∠C
解：∵f（A）=Sin（A+2π）=
2
3
∴CosA=23∴A=30°
∴SinA=0.5
∴SinB=ab·SinA=
2
2
∴B=45°或135°且C=180°—（A+B）
∴C=15°或105°
7.22
已知a=（Sinθ，2）与b=（1，Cosθ）互相垂直，
θ∈﹙0，﹚
①求Sinθ，Cos
θ
解：∵a⊥
b
∴Sinθ—2Cos
θ=0
∴Sinθ=2Cosθ
∴
Sin2θ=4Cos2θ
∴Sin2θ=54；Cos2θ=
5
1
∴Sinθ=552；Cosθ=
5
5
②Sin（θ﹣ρ）=1010，ρ∈﹙0，﹚，求Cosρ
解：∵Sin（θ﹣ρ）=
10
10
∴SinθCosρ—CosθSinρ=
10
10
∴552Cosρ—55Sinρ=
10
10
∴2Cosρ—Sinρ=
2
2
∴
2Cosρ—22=Sinρ
∴4Cos2ρ—22Cosρ+21=Sin2ρ
∴5Cos2ρ—22Cosρ—21=0
解得Cosρ=22或—102，且ρ∈﹙0，﹚
∴Cosρ=
2
2
07.23
在△ABC内，b2+c2-bc=a2，ba=21+3，求A，tanB
解：①：
由b2+c2-bc=a2，得
b2+c2-a2=bc
CosA=（b2+c2-a2）÷2bc
=bc÷2bc
=
2
1
∴A=60°
②：∵
321baSinBSinA+==
∴SinB=
11
36−
∴Sin2B=
121
31239−
∴Cos2B=
121
31282+
∴tan2B=
3128231239+
−
∴化简后，tanB=
26
31215−
07.24
已知f(x)=21Cos2x+23SinxCosx+1，x∈R
①f(x)max时，求x的集合
解：f(x)=21（Cos2x+3SinxCosx）+1x∈R
=21（21Cos2x+23Sin2x）+45x∈R
=21Sin(2x+6π)+45x∈R
当2x+6π=2π+2kπ，即x=kπ+3π时，f(x)取最大值
∴f(x)max时，x属于集合﹛x｜x=kπ+3π，k∈Z﹜
②所得f(x)是由y=Sinx如何变换？
y=Sinx⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯21为原来纵坐标不变，横坐标变y=Sin2x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯
个单位横坐标向左平移
6
π
y=Sin（2x+
6
π
）
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯
2
1
为原来横坐标不变，纵坐标变
y=21Sin（2x+6π）
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯
个单位纵坐标向上平移
4
5
y=
21Sin(2x+6π)+4
5
总结：这一周主要是三角函数的复习，主要用到了一下的公式
Sin（α±β）=SinαCosβ±CosαSin
β
Cos（α+β）=CosαCosβ—SinαSin
β
Cos（α—β）=CosαCosβ+SinαSin
β
Cos2x+Sin2x=1
Sin2x=2SinxCosx
Cos2x=Cos2x—Sin2x
=1—2Sin2x
=2Cos2x—1
在三角形内：为三角形外接圆半径）（RR2SinCcSinBbSinAa===
CosA=（b2+c2-a2）╱2bc
另在解题时可用到三角函数定义式xytanθrxCosθrySinθ===，，
附图一张：
BY三木2010.07课下整理
