圆内接正多边形
1．[2014·天津]正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是( )
图52－5
A. 3 B．2
C．3 D．2 3
2．如图52－6，正五边形ABCDE中，连接AC，AD，CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是( )
图52－6
A．△CDF的周长等于AD＋CD
B．FC平分∠BFD
C．AC2＋BF2＝4CD2
D．DE2＝EF·CE
3．已知一个正n边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n＝______．4．[2014·曲靖]如图52－7，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长是________．
图52－7
5．[2014·河北]如图52－8，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则
S 阴影S 空白
＝ ( )
图52－8
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．如图52－9，正五边形ABCDE ，连接对角线AC ，BD ，设AC 与BD 相交于点O .
(1)写出图中所有的等腰三角形；
(2)判断四边形AODE 的形状，并说明理由．
图52－9
7．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图52－10)，求证：五边形ABCDE是正五边形．
图52－10
参考答案
1．B 2.B 3.8 4.2 3 5.C
6．(1)△ABO，△ABC，△BOC，△DOC，△BCD；
(2)四边形AODE是菱形．理由略．
7．略。
3.8圆内接正多边形同步练习一．选择题1．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°2．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π3．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°4．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（）A．厘米B．5厘米C．3厘米D．10厘米5．如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A．90°B．85°C．84°D．80°6．圆内接正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°7．一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，则这个正多边形外接圆的半径可以表示为（）A．sin15°B．tan15°C．D．8．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，过点A作圆O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（）A．AE∥BF B．AF∥CD C．D．AB＝BF9．如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（）A．8B．10C．12D．1610．如图，在⊙O的内接正六边形ABCDEF中，OA＝2，以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点E，得到，连接CE，OE，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4B．2π﹣2C．﹣3D．﹣2二．填空题11．中心角为36°的正多边形边数为．12．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于度．13．正方形ABCD内接于⊙O，点F为CD的中点，连接AF并延长交⊙O于点E，连接CE，则sin∠DCE＝．14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M是边CD的中点，连结AM，若⊙O的半径为2，则AM＝．15．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为．三．解答题16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．17．如图，⊙O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．18．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A ＝PB+PC；（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PC+PB．参考答案一．选择题1．解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：D．2．解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA＝OB＝AB＝4，∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，故选：A．3．解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴，，∠BAE＝108°，∴，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，故选：C．4．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∴AG＝BG，BH＝CH，∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，连接OA，OB交AC于N，则OB⊥AC，∠AOB＝60°，∵OA＝15cm，∴AN＝OA＝（cm），∴AC＝2AN＝15（cm），∴GH＝AC＝5（cm），故选：B．5．解：由正五边形内角，得∠I＝∠BAI＝＝108°，由正六边形内角，得∠ABC＝＝120°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABK＝60°，∴由四边形的内角和，得∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK＝360°﹣108°﹣108°﹣60°＝84°．故选：C．6．解：因为多边形的外角和为360°，所以圆内接正十边形的外角和为360°，故选：B．7．解：如图所示：，∵一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，∴此正多边形的边数为＝12，即多边形为12边形，连接OA、OB，过O作ON⊥AB，边AB对的圆心角AOB的度数为＝30°，∵OA＝OB，ON⊥AB，∴∠NOB＝∠AOB＝15°，AN＝BN＝AB＝1，∴OB＝＝，即这个正多边形的半径是，故选：C．8．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠ABC＝∠C＝∠EDC＝∠E＝＝108°，BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝×（180°﹣∠C）＝36°，∴∠ABD＝108°﹣36°＝72°，∴∠EAB+∠ABD＝180°，∴AE∥BF，故本选项不符合题意；B、∵∠F＝∠CDB＝36°，∴AF∥CD，故本选项不符合题意；C、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF＝∠AHD＝90°，∵∠EDC＝108°，∠CDB＝∠EDA＝36°，∴∠ADF＝108°﹣36°﹣36°＝36°＝∠F，∴AD＝AF，∴FH＝DH，当∠F＝30°时，AF＝2AH，FH＝DH＝AH，此时DF＝AF，∴此时∠F＝36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；D、连接OA、OB，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣72°）＝54°，∵F A切⊙O于A，∴∠OAF＝90°，∴∠F AB＝90°﹣54°＝36°，∵∠ABD＝72°，∴∠F＝72°﹣36°＝36°＝∠F AB，∴AB＝BF，故本选项不符合题意；故选：C．9．解：连接AO，BO，CO．∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，∴∠BOC＝30°，∴n＝＝12，故选：C．10．解：连接OB、OC、OD，S扇形CAE＝＝2π，S△AOC＝＝，S△BOC＝＝，S扇形OBD＝＝，∴S阴影＝S扇形OBD﹣2S△BOC+S扇形CAE﹣2S△AOC＝﹣2+2π﹣2＝﹣4；故选：A．二．填空题11．解：由题意可得：∵360°÷36°＝10，∴它的边数是10．故答案为10．12．解：连接OC、OD，如图所示：∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，∵DG⊥PC，∴∠PGD＝90°，∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54．13．解：由圆周角定理得∠DCE＝∠DAE，设正方形的边长为2a，∵F为CD的中点，∴FD＝a，由勾股定理得：AF＝＝，∴sin∠DCE＝sin∠DAE＝＝＝，故答案为：．14．解：连接AC，OB交于点H．∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，OB＝2，∴AB＝BC＝CD＝2，∠ABC＝∠BCD＝120°，∴＝，∴OB⊥AC，∴AH＝HC，∠ABH＝∠CBH＝60°，∴AH＝AB•sin60°＝，∴AC＝2AH＝2，∵∠ACB＝∠BAC＝30°，∠BCD＝120°，∴∠ACM＝90°，∵CM＝MD＝1，AC＝2，∴AM＝＝＝，故答案为．15．解：如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∵AK＝BK，∴KF＝AK＝BK，∵正方形ABCD的外接圆的半径为，∴AB＝BC＝＝2，∴KF＝AK＝KB＝1，∵∠CBK＝90°，∴CK＝＝＝，∵CF≥CK﹣KF，∴CF≥﹣1，∴CF的最小值为﹣1．故答案为﹣1．三．解答题16．（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．17．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，∵⊙O的周长等于8πcm，∴半径OC＝4cm，∵六边形ABCDE是正六边形，∴∠COD＝60°，∴∠COH＝30°，∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2，∴圆心O到AF的距离为2cm；（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．18．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPC+∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°，∵PE＝PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°；又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，在△BEC和△APC中，，∴△BEC≌△APC（SAS），∴P A＝BE＝PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交P A于E，连接OA，OB．如图2，∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，∵∠APB＝∠AOB＝45°，∴BP＝BE，∴PE＝PB，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴PC＝AE，∴P A＝AE+PE＝PC+PB；。
北师大新版九年级下学期《3.8 圆内接正多边形》同步练习卷一．选择题（共34小题）1．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是（）A．45度B．60度C．72度D．90度2．在正六边形ABCDEF的中，若BE＝10，则这个正六边形外接圆半径是（）A．B．5C．D．53．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（）A．0.5B．0.7C．﹣1D．﹣14．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（）A．12°B．16°C．20°D．24°5．如图，分别把正六边形边AB、EF、CD向两个方向延长，相交于M、N、Q，则阴影部分与空白部分的面积比为（）A．B．C．D．6．正六边形ABCDEF与正三角形△ACG，如图所示位置摆放，在六边形AGCDEF 中，的值是（）A．B．C．D．7．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm8．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．如图，正六边形的顶点在矩形的各条边上，若阴影部分的面积为3，则正六边形的面积是（）A．B．6C．9D．1210．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，O间的距离不可能是（）A．0B．0.8C．2.5D．3.411．如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是（）A．5：2B．3：2C．3：1D．2：112．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（）A．5B．6C．8D．1013．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，连接DM，若⊙O 的半径为2，则MD的长度为（）A．B．C．2D．114．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4B．2C．D．15．如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB＝2，则这个圆的内接正十二边形的面积为（）A．6B．6C．12D．1216．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2C．2D．217．正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是（）A．12B．10C．8D．618．图中的正三角形和正六边形有公共的外接圆⊙O．则这个正三角形和正六边形边长的比为（）A．：2B．：2C．：1D．2：119．已知⊙O的面积为4π，则其内接正方形的面积为（）A．2B．4C．8D．1620．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A．B．2C．3D．321．已知五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则五边形ABCDE的中心角的度数为（）A．90°B．72°C．62°D．60°22．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．C．2D．223．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是（）A．△ACF是等边三角形B．连接BF，则BF分别平分∠AFC和∠ABCC．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形D．四边形AFGH与四边形CFED的面积相等24．如图，正六边形DEFGHI的顶点分别在等边△ABC各边上，则＝（）A．B．C．D．25．张萌取三个如图所示的面积为4cm2的钝角三角形按如图所示的方式相连接，拼成了一个正六边形，则拼成的正六边形的面积为（）A．12cm2B．20cm2C．24cm2D．32cm226．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A．B．2C．D．327．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（）A．S1＝S2＝S3B．S1＞S2＞S3C．S1＜S2＜S3D．S2＞S3＞S1 28．正△ABC与正六边形DEFGH的边长相等，初始如图所示，将三角形绕点I 顺时针旋转使得AC与CD重合，再将三角形绕点D顺时针旋转使得AB与DE重合，…，按这样的方式将△ABC旋转2015次后，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是（）A．AB B．BC C．AC D．无法确定29．半径为16cm的圆的内接正三角形的边长为（）A．16cm B．8cm C．4cm D．16cm30．如图是由5个形状、大小完全相同的正六边形组成的图案，我们把正六边形的顶点称为格点．若Rt△ABC的顶点都在格点上，且AB为Rt△ABC的斜边，则Rt△ABC的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个31．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（）A．10B．8C．6D．532．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．233．如图，边长为a的正六边形，里面有一菱形，边长也为a，空白部分面积为S1，阴影部分面积为S2，则＝（）A．B．C．D．34．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A．B．20C．18D．二．填空题（共15小题）35．有一个边长为4的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是．36．如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为．37．如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边AB，AE的中点，四边形MNHG 是位于该正五边形内的正方形，则∠BMH的度数是．38．如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm．39．如图，M、N分别是正六边形ABCDEF的边AB、BC上的点，且AM＝BN，AN交FM于点P，∠FPN的度数是．40．我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．41．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．42．圆的内接正八边形的中心角的度数为．43．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为．44．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是度．45．如图，小亮将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为正六边形为EFMNPQ （忽略铁丝的粗细），则所得正六边形的面积为．46．现有一个正六边形的纸片，该纸片的边长为20cm，张萌想用一张圆形纸片将该正六边形纸片完全覆盖住，则圆形纸片的直径不能小于cm．47．如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC ∥AD；②∠BAE＝3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC＝2CD．其中判断正确的是．（填序号）48．一个中心角等于24°的正多边形的边数为．49．如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为．三．解答题（共1小题）50．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BM＝C N，证明△ABM≌△BCN，并求出∠BQM的度数．（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD 上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：北师大新版九年级下学期《3.8 圆内接正多边形》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共34小题）1．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是（）A．45度B．60度C．72度D．90度【分析】连接OA、OB、OC，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠AOB，证明△AOM≌△BON，根据全等三角形的性质得到∠BON＝∠AOM，得到答案．【解答】解：连接OA、OB、OC，∠AOB＝＝72°，∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBC，在△AOM和△BON中，，∴△AOM≌△BON（SAS）∴∠BON＝∠AOM，∴∠MON＝∠AOB＝72°，故选：C．【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形与圆的关系、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．在正六边形ABCDEF的中，若BE＝10，则这个正六边形外接圆半径是（）A．B．5C．D．5【分析】根据正六边形的性质解答即可．【解答】解：因为正六边形ABCDEF的中，BE＝10，所以这个正六边形外接圆半径是，故选：B．【点评】此题考查了正六边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（）A．0.5B．0.7C．﹣1D．﹣1【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，由此即可判断．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或﹣1，故选：D．【点评】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．4．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（）A．12°B．16°C．20°D．24°【分析】设点E第一次落在圆上时的对应点为E′，连接OA、OB、OE′，如图，利用正多边形的性质计算出∠EAB＝108°，再证明△OAE′、△OAB都为等边三角形，所以∠OAB＝∠OAE′＝60°，则∠EAE′＝12°，然后根据旋转的性质得到点C转过的度数．【解答】解：设点E第一次落在圆上时的对应点为E′，连接OA、OB、OE′，如图，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝108°，∵正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，点E第一次落在圆上E′点，∴AE＝AE′＝3，∵OA＝AB＝OB＝OE′＝3，∴△OAE′、△OAB都为等边三角形，∴∠OAB＝∠OAE′＝60°，∴∠E′AB＝120°，∴∠EAE′＝12°，∴当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为12°．故选：A．【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．熟练掌握正多边形的有关概念．也考查了旋转的性质．5．如图，分别把正六边形边AB、EF、CD向两个方向延长，相交于M、N、Q，则阴影部分与空白部分的面积比为（）A．B．C．D．【分析】直接利用正六边形的性质得出△MAF和△BNC和△EDQ都是全等的等边三角形，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：空白部分为正六边形，阴影部分是三个全等的正三角形，它们的边长相等，由正六边形可以分割为6个全等的三角形，则阴影部分与空白部分的面积比为：＝．故选：A．【点评】此题主要考查了正多边形的性质，正确把握正六边形的性质是解题关键．6．正六边形ABCDEF与正三角形△ACG，如图所示位置摆放，在六边形AGCDEF 中，的值是（）A．B．C．D．【分析】设AC＝2a，连接DF，过G作GM⊥AC于M，先分别求出阴影部分的面积、正六边形的面积、等边三角形的面积，再代入求出即可．【解答】解：设AC＝2a，连接DF，过G作GM⊥AC于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，△ACG是正三角形，∴∠ABC＝＝120°，AB＝BC，AG＝CG＝AC＝2a，∴GM过B，∵AG＝CG，GM⊥AC，∴AM＝CM＝a，∵∠ABC＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴BM＝＝a，AB＝2BM＝a，∴AF＝AB＝a，在Rt△GMA中，由勾股定理得：GM＝＝a，∴正六边形ABCDEF的面积为2××2a×a+2a×a＝a2，正△ACG的面积为＝＝a2，阴影部分的面积为＝a＝a2，∴的值是＝，故选：D．【点评】本题考查了正多边形与圆，能分别求出阴影部分的面积、正六边形的面积、等边三角形的面积是解此题的关键．7．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠1＝30°，再通过解直角三角形即可得出a的值，进而可求出a的值，此题得解．【解答】解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1＝30°（如图），∴a＝2cos∠1＝，∴a＝2．故选：A．【点评】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．8．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，问题得解．【解答】解：如图1，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图2，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝；如图3，∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝，则该三角形的三边分别为：1，，，∵12+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，故选：C．【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．9．如图，正六边形的顶点在矩形的各条边上，若阴影部分的面积为3，则正六边形的面积是（）A．B．6C．9D．12【分析】构建方程求出正六边形的边长即可解决问题；【解答】解：∵∠ECF＝120°，∴∠ACE＝∠BCF＝30°，设AE＝a，则EC＝2a，AC＝a，由题意4××a×a＝3，解得a2＝，＝6××（2a）2＝9，∴s正六边形故选：C．【点评】本题考查矩形的性质、正多边形和圆等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．10．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，O间的距离不可能是（）A．0B．0.8C．2.5D．3.4【分析】如图，点O的运动轨迹是图在黄线，点B，O间的距离d的最小值为0，最大值为线段BK＝+，可得0≤d≤+，即0≤d≤3.1，由此即可判断；【解答】解：如图，点O的运动轨迹是图在黄线，点B，O间的距离d的最小值为0，最大值为线段BK＝+，∴0≤d≤+，即0≤d≤3.1，故点B，O间的距离不可能是3.4，故选：D．【点评】本题考查正多边形与圆、旋转变换等知识，解题的关键是正确作出点O 的运动轨迹，求出点B，O间的距离的最小值以及最大值，属于中考选择题中的压轴题．11．如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是（）A．5：2B．3：2C．3：1D．2：1【分析】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题；【解答】解：正六边形的面积＝6××（2a）2＝6a2，阴影部分的面积＝a•2a＝2a2，∴空白部分与阴影部分面积之比是＝6a2：2a2＝3：1，故选：C．【点评】本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（）A．5B．6C．8D．10【分析】由题意得出拼成的四边形的面积是正六边形面积的六分之一，求出正六边形的面积，即可得出结果．【解答】解：根据题意得：正六边形的面积＝6×2＝12，故纸片的剩余部分拼成的五边形的面积＝12﹣2＝10；故选：D．【点评】本题主要考查的是正多边形的性质、三角形面积的计算；熟记正六边形的性质是解决问题的关键．13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，连接DM，若⊙O 的半径为2，则MD的长度为（）A．B．C．2D．1【分析】连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM ⊥EF，∠MFO＝60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．【解答】解：连接OM、OD、OF，如图所示：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO＝60°，∴∠MOD＝∠OMF＝90°，∴OM＝OF•sin∠MFO＝2×＝，∴MD＝＝＝；故选：A．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．14．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4B．2C．D．【分析】过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B 三点一定共线，设OM＝1，则OD＝ON＝2，再求得DE，BC的长，根据三角形的面积公式即可得出△DEF和△ABC的面积．【解答】解：过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，设OM＝1，则OD＝ON＝2，∵∠ODM＝∠OBN＝30°，∴OB＝4，DM＝，DE＝2，BN＝2，BC＝4，∴S＝×4×6＝12，△ABC＝×2×3＝3，∴S△DEF∴＝＝4．故选：A．【点评】本题考查了正多边形和圆，以及勾股定理、垂径定理，直角三角形的性质，明确边心距半径边长的一半正好组成直角三角形是解题的关键．15．如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB＝2，则这个圆的内接正十二边形的面积为（）A．6B．6C．12D．12【分析】如图，作辅助线；首先求出该正多边形的中心角；运用勾股定理求出半径R；求出△OCD的面积，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA；取的中点D，连接AD、CD、OD；过点D作DE⊥OC于点E；∵OF＝OA，且∠OF A＝90°，∴∠OAF＝30°，∠AOC＝60°，∠AOD＝∠COD＝30°；∵圆的内接正十二边形的中心角＝＝30°，∴AD、DC为该圆的内接正十二边形的两边；∵OC⊥AB，且AB＝2，∴AF＝；在△AOF中，由勾股定理得：，解得：R＝2；在△ODE中，∵∠EOD＝30°，∴DE＝OD＝1，＝1，∴这个圆的内接正十二边形的面积为12．故选：C．【点评】该题主要考查了正多边形和圆的关系及其应用问题；解题的关键是作辅助线，求出该正多边形的半径、中心角．16．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2C．2D．2【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的半径是2，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．17．正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是（）A．12B．10C．8D．6【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．【解答】解：∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是30°，∴这个正多边形的边数＝＝12．故选：A．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．18．图中的正三角形和正六边形有公共的外接圆⊙O．则这个正三角形和正六边形边长的比为（）A．：2B．：2C．：1D．2：1【分析】根据题意画出图形，通过解直角三角形用R分别表示出它们的边长，进而可得出结论．【解答】解：设外接圆的半径为R，如图所示：连接O2A，O2B，则O2B⊥AC，∵O2A＝R，∠O2AG＝30°，∠AO2B＝60°，∴△AO2B是等边三角形，AG＝O2A•cos30°＝R，∴AB＝R，AC＝2AG＝R；∴外接圆的半径相等的正三角形、正六边形的边长之比为R：R＝：1．故选：C．【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形；熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．19．已知⊙O的面积为4π，则其内接正方形的面积为（）A．2B．4C．8D．16【分析】作辅助线，根据圆的面积公式求出半径；根据勾股定理求出对角线长问题即可解决．【解答】解：如图，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，连接AC、BD；设⊙O的半径为R，则πR2＝4π，∴R＝2；又∵∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，AC＝2R＝4；∴其内接正方形的面积＝×4×4＝8，故选：C．【点评】该题主要考查了圆内接正多边形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理，熟练掌握正方形的面积求法．20．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A．B．2C．3D．3【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC＝S△AEC﹣S△BEC即可求解．【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．如图所示：正六边形的边长为1，则半径是1，则CE＝4，两平行的边之间距离是：，则△BCE的边EC上的高是：，△ACE边EC上的高是：，则S△ABC ＝S△AEC﹣S△BEC＝×4×（﹣）＝3．故选：D．【点评】本题考查了正六边形的性质、正多边形的计算；正确理解S△ABC ＝S△AEC﹣S△BEC是关键．21．已知五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则五边形ABCDE的中心角的度数为（）A．90°B．72°C．62°D．60°【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角的度数为＝72°，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．22．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．C．2D．2【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．故选：B．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算，记住基本概念是解题的关键，属于中考常考题型．23．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是（）A．△ACF是等边三角形B．连接BF，则BF分别平分∠AFC和∠ABCC．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形D．四边形AFGH与四边形CFED的面积相等【分析】由正八边形的性质得出A 不正确，B 、C 、D 正确，即可得出结论．【解答】解：∵八边形ABCDEFGH 是正八边形，∴AB ＝CB ＝AH ＝GH ＝GF ＝EF ＝DE ＝CD ，AF ＝CF ，∠AFC ＝90°﹣45°＝45°，∴∠F AC ＝∠FCA ＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴△ACF 不是等边三角形，选项A 错误；∵正八边形是轴对称图形，直线BF 是对称轴，∴连接BF ，则BF 分别平分∠AFC 和∠ABC ，∴选项B 、C 正确；∵四边形AFGH 与四边形CFED 的面积相等，∴选项D 正确；故选：A ．【点评】本题考查了正八边形的性质、等腰三角形的性质；熟记正八边形的性质是解决问题的关键．24．如图，正六边形DEFGHI 的顶点分别在等边△ABC 各边上，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据正六边形的每一个内角是120°得到△ADI 是等边三角形，得到＝，根据相似三角形的性质得到S △ADI ＝S △ABC ，计算即可．【解答】解：∵六边形DEFGHI 是正六边形，∴∠EDI ＝120°，∴∠ADI ＝60°，∴△ADI 是等边三角形，∴AD ＝DE ，同理，BE ＝DE ，∴AD ＝DE ＝EB ，∴＝，∴S △ADI ＝S △ABC ，同理S △BEF ＝S △ABC ，S △CGH ＝S △ABC ，∴＝，故选：C ．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的概念和性质以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．25．张萌取三个如图所示的面积为4cm 2的钝角三角形按如图所示的方式相连接，拼成了一个正六边形，则拼成的正六边形的面积为（ ）A ．12cm 2B ．20cm 2C ．24cm 2D ．32cm 2【分析】根据题意得出面积为4cm 2的钝角三角形为等腰三角形，顶角∠BAC ＝120°，∠B ＝∠C ＝30°，△DBC 为等边三角形，作AM ⊥BC 于M ，设AM ＝x ，则AB ＝2x ，BM ＝x ，BC ＝2x ，由三角形的面积得出x 2＝4，连接DM ，则DM ⊥BC ，由等边三角形的性质得出DM ＝BM ＝3x ，求出△BCD的面积，即可得出结果．【解答】解：如图所示： 根据题意得：面积为4cm 2的钝角三角形为等腰三角形，顶角∠BAC ＝120°，∠B ＝∠C ＝30°，△DBC 为等边三角形，作AM ⊥BC 于M ，设AM ＝x ，则AB ＝2x ，BM ＝x ，∴BC ＝2x ， ∴•2x •x ＝4，∴x2＝4，连接DM，则DM⊥BC，∴DM BM＝3x，∴△BCD的面积＝BC•DM＝×2x•3x＝3x2＝3×4＝12，∴拼成的正六边形的面积＝3×4+12＝24（cm2）；故选：C．【点评】本题考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形面积的计算等知识；通过设未知数求出△BCD的面积是解决问题的突破口．26．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A．B．2C．D．3【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC＝S△AEC﹣S△BEC即可求解．【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE＝4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：，则△BCE的边EC上的高是：，△ACE边EC上的高是：，则S△ABC ＝S△AEC﹣S△BEC＝×4×（﹣）＝2．【点评】本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC ＝S△AEC﹣S△BEC是关键．27．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（）A．S1＝S2＝S3B．S1＞S2＞S3C．S1＜S2＜S3D．S2＞S3＞S1【分析】根据三角形、正方形、正六边形的周长相等可设出三角形的边长，再求出S1，S2，S3，的值进行比较即可．【解答】解：设正三角形的边长为a，则正方形的边长为，正六边形的边长为；∵正三角形的边长为a，∴其高为，∴S1＝a×＝；S2＝（）2＝；∵正六边形的边长为，∴把正六边形分成六个三角形，其高为，∴S3＝6×××＝．∵S1＝＝，S3＝＝，＜＜，∴S1＜S2＜S3．【点评】此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法，属中等难度题目．28．正△ABC与正六边形DEFGH的边长相等，初始如图所示，将三角形绕点I 顺时针旋转使得AC与CD重合，再将三角形绕点D顺时针旋转使得AB与DE重合，…，按这样的方式将△ABC旋转2015次后，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是（）A．AB B．BC C．AC D．无法确定【分析】观察图象可知，6次一个循环，因为2015÷6＝335…5，所以旋转的结果与第五次结果相同，【解答】解：观察图象可知，6次一个循环，∵2015÷6＝335…5，∴旋转的结果与第五次结果相同，∵第五次，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是AB，∴旋转2015次后，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是AB，故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆、旋转的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，旋转规律．利用规律解决问题．29．半径为16cm的圆的内接正三角形的边长为（）A．16cm B．8cm C．4cm D．16cm【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据垂径定理得：AD＝CD，利用30°的直角三角形的性质求AD的长，所以AC＝16．【解答】解：过O作OD⊥AC于D，连接OA，∴AD＝DC，。
