最新(北师大版)九年级数学下：第1章《直角三角形的边角关系》单元试题及答案

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第一章 直角三角形的边角关系

一、选择题

1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值( )

A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定

2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( )

A.259 B.54 C.53 D.2516

3．如图1—125所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝15，则AD的长为 ( )

A．2 B．2 C．1 D．22

4．如图1—126所示，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tan B＝43，AC边上有一点E满足AE：EC＝2：3，那么tan∠ADE的值是 ( )

A.25 B．23 C. 12 D．13

5．如图l—127所示，在平面直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知AO＝3，AB＝1，则点A1的坐标是 ( )

A．(33,22) B．(3,22) C．(33,22) D．(13,22)

6．如图1—128所示．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC=22，AB＝23，设∠BCD＝a，则cos a的值为 ( )

A． 22 B．2 C. 32 D．63 7.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )

A.43 B.34 C.53 D.54

图28.1－15 图28.1－17 图28.1－16

8.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径23r，AC=2，则cosB的值是( )

A.23 B.35 C.25 D.32

9.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( )

A.45 B.5 C.51 D.451

10.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )

A.53 B.43 C.34 D.54

二、填空题

11．在Rt△ACB中，∠C＝90°，a：b＝1:2，则sinA＝ .

12．12sin 60°·22cos45°= .

13．某市东坡中学升国旗时，余露同学站在距旗杆底部12 m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为45°．若她的双眼距地面1.3 m，则旗杆的高度为 m．

14．已知矩形两邻边的长分别为1和3，则该矩形的两条对角线所夹的锐角的度数是 ．

15．如图1—130所示，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM．若AB＝13 cm，BC＝10 cm，DE＝5 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．

16．在菱形ABCD中，已知对角线AC=10，BD=6，那么sin2BAD＝ ．

17．2(cos301)1tan60= ．

18．已知B为锐角，tan(90°－β)＝3，则β＝ .

19．在△ABC中，若∠A和∠B均为锐角，且满足等式┃ 2sinA－3┃＋(tanB－1)2=0，则∠C的度数是 ．

20．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且∠C＝90°，∠A=60°a＋b＝3＋3，则c= ．

三、解答题

21.计算：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|；

22..已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°.

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.

23．如图1—131所示，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=35.

(1)求CD的长；

(2)求sin B的值．

24．如图1—132所示的示意图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高．(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)

25．如图1—133所示，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处，望见灯塔C在北偏西30°方向，又航行了半小时到达D处，望见灯塔C恰好在西北方向，若船速为每小时20海里，求A，D两点间的距离．(结果不取近似值)

26．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，如图1—136(1)所示，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为锐角θ，一般情况下，锐角θ愈小，楼梯的安全程度愈高，但占地面积较多，如图l—136(2)所示，为提高安全程度，把倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4 m，θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(精确到0.01 m，参考数据：sin 36°≈0.5878，cos 36°≈0.8090，tan 36°≈0.7265，sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0.8391)

27．在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，如图1—137所示，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在从与B地水平距离相距(BD＝21米)21米远的建筑物CD的顶端C点测得A点的仰角为45°，B点的俯角为30°，现在离B点25米远的地方有一受保护的文物，则该文物是否在危险区内?试说明理由．(3≈1.732，精确到0.01米)

参考答案

1．A 2．C 3．B 4．C

5．A[提示：过点A1作A1D⊥OA于D，由已知OA＝3，AB＝1，根据特殊三角函数值可得∠BOA＝30°，由折叠知识得∠AlOB＝30°，OA1＝3，则∠A1OA＝60°，在Rt△A1DO中，OD＝A1Ocos 60°＝32，A1D＝OA1 sin 60°＝32，则点A1(33,22)．故选A．]

6．D 7．c 8．d 9．b 10．B 11. 55 12. 3813．13．3

14．60° 15．30 16. 33434 17.32 18.30°

19．75°[提示：根据非负数的性质．因为，┃2sinA－3┃≥0，(tanB－1)2≥0，又┃2sinA－3┃十(tanB－1)2=0，所以2sinA－3＝0，tanB－1＝0，即sinA＝32，tanB＝l，则∠A＝60°，∠B＝45°．根据三角形内角和定理，得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°．]

20．23 [提示：在Rt△ABC中，tanA=ab，即 ab=tan 60°＝3 故。a= 3b．又因为a＋b＝3＋3，所以b=3，a＝3，所以c=22ab=223(3)23

21解：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|=21－3+1+3=23.

22(1)证明：如图，连接OA.

∵sinB=21，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.

∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形.

∴∠OAD=60°.

∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线.

(2)解：∵OD⊥AB ∴ OC垂直平分AB.

∴ AC=BC=5.∴OA=5.

在Rt△OAD中，由正切定义，有tan∠AOD=OAAD.

∴ AD=35.

23．解：(1)∵cos∠ADC=35，设CD=3x ,则AD=5x，AC=4x ,∴BC=AD=5x．∵BD=BC—CD，即5x－3x=4，解得z=2，CD=3x=6． (2)∵AC=4 x =8，BC=5 x =10．∴AB=2222810241ACBC,

8441sin.41241ACBAB

24．解：过C作CE⊥AB与E，在RtΔABD中，BD=80米，∠ADB=60°，tan∠ADB=ABBD，∴AB=BDtan∠ADB=80×3=803≈138．56(米)．在RtΔACE中，CE=BD=80米，∠ACE=45°∴AE=CE=80米，∴CD=BE=AB—AE=803－80=80(3－1)≈58．56(米)．答：塔高AB约为138．56米，楼高CD约为58．56米．

25．解：过C作CE⊥AD于E，在ΔCED中， ∠CDE=45°．∴CE=DE．在RtΔCEB中，∠CBE=60°，∴BE=3tan603CECE ∵BD=DE－BE=20×12=10 (米)，∴CE－33CE=10，∴CE=5(3＋3)米．∵∠CAD=∠CDA=45°．∴∠ACD=90°．又∵CE⊥AD，∴AD=2CE=10(3＋3)=(30＋103)(海里)．答：A，D两点间的距离为(30＋103)海里．

26．解：在RtΔABC中，BC=d1，∠ACB=θ1，AB=BC tan∠ACB，∴AB=d1tan 0=4tan

40°同理在RtΔABD，AB=d2tan θ2=d2，∴d2 tan 36°=4tan40°∴d2=tan 36°=4tan 40。∴d2=4tan400.839144.62tan360.7265(m)．∴ d2－d1≈4．62—4=0．62(m)．答：楼梯占用地板的长度约增加了0．62 m．

27．解：如图1—138所示，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=21米．在RtΔBCE中，因为tan∠BCE= BECE，所以BE=CEtanBCE=21×33≈12．12(米)．在Rt△ACE中，因为tan∠ACE=BECE，所以AE=CEtan∠ACE=21×1=21(米)，所以AB=AE＋BE≈21＋12.12=33.12(米)>25米．所以该文物在危险区内．