简单的线性规划问题
[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
知识点一 线性规划中的基本概念
知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值
线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z
b ，
当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，
(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．
(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型
(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题
例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题
例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤
(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会例给出的模型建立方法．
(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．
题型一 求线性目标函数的最值
例1 已知变量x ，y 满足约束条件????
?
y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )
A ．12
B ．11
C ．3
D ．－1
答案 B
解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经
过点A 时，z 取得最大值．由????? y ＝2，x －y ＝1?????
?
x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.
跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件????
?
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．
，则实数a 的值为( ) A.1
2或－1 B ．2或1
2
C ．2或1
D ．2或－1
(2)若变量x ，y 满足约束条件????
?
x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，
x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．
答案 (1)D (2)1
解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，
故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.
(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.
题型二 非线性目标函数的最值问题
例2 设实数x ，y 满足约束条件????
?
x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，
2y －3≤0，
求
(1)x 2＋y 2的最小值； (2)y
x
的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，
(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 任一点(x ，y )与原点的距离的平方．
过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为?????
x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即????
45，85， 又由?????
x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，
得C ????1，3
2， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋????322＝
13
2
， 所以，x 2＋y 2的最小值为13
4
.
(2)令v ＝y
x ，其几何意义是可行域ABC 任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.
由图形可知，当直线l 经过可行域点C 时，v 最大， 由(1)知C ???
?1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为3
2
.
跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件????
?
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≥1，
则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．
答案 10
解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，
∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用
例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？
解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有?????
x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，
x ≥0，y ≥0，
x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，
在坐标平面画出该不等式组表示的平面区域及直线
300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．
反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．
跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？
解 设桌子、椅子分别买x 、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为
?????
50x ＋20y ≤2 000，
y ≥x ，
y ≤
1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *
.
由?
??
??
50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得???
x ＝200
7，
y ＝200
7，
所以A 点的坐标为????
2007，2007.
由?????
50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得?
????
x ＝25，
y ＝752
，
所以B 点的坐标为?
???25，75
2. 所以满足条件的可行域是以A ????2007，2007，B ????25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．
由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域的最优解为B ????25，75
2， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，
故取?
????
x ＝25，
y ＝37.
故买桌子25，椅子37把是最好的选择．
1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件????
?
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m ，则实数m 的最大值为( )
A ．－1
B ．1 C.3
2
D ．2
2．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件?????
5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，
2x ≤11，
x ∈N *
，y ∈N *
，
则z
＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．95