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金山区2015学年第一学期期末考试
高三数学试卷
(满分：150分，完卷时间：120分钟)
（答题请写在答题纸上）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．3
21
3lim
+-∞→n n n = ．
2．已知全集U =R ，集合M ={x | x 2–4x –5<0}，N ={x | x ≥1}，则M ∩(U N ) = ． 3．若复数z 满足i
21i
43-+=
z (i 为虚数单位)，则z = ． 4．若直线l 1：6x +my –1=0与直线l 2：2x －y +1=0平行，则m = ．
5. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212332c c ，解为⎩
⎨⎧==12y x ，则c 1–c 2= ． 6．方程4x – 6⨯2x +8=0的解是 ． 7．函数y =sec x ⋅ sin x 的最小正周期T = ． 8．二项式6
2)1(x
x -
展开式中3x 系数的值是 ． 9．以椭圆
116
252
2=+y x 的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是 . 10．在报名的5名男生和3名女生中，选取5人参加数学竞赛，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为 ．(结果用数值表示) 11．方程cos2x +sin x =1在(0，π)上的解集是 ． 12．行列式
d
c b a (a 、b 、c 、
d ∈{–1,1,2})所有可能的值中，最小值为 ．
13．已知点P 、Q 分别为函数1)(2+=x x f (x ≥0)和1)(-=x x g 图像上的点，则点P 和
Q 两点距离的最小值为 ．
14．某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ．
A
P
M x
y B
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．“直线l 1、l 2互相垂直”是“直线l 1、l 2的斜率之积等于–1”的( )．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 16．若m 、n 是任意实数，且m >n ，则( )．
(A) m 2>n 2 (B)
1 (C) lg(m –n )>0 (D) n m )2 1()21(< 17．已知,是单位向量，0=⋅， 且向量满足||--=1，则||的取值范围是( )． (A) ]12,12[+- (B) ]2,12[- (C) ]12, 2[+ (D) ]22,22[+- 18．如图，AB 为定圆O 的直径，点P 为半圆AB 上的动点．过点P 作AB 的垂线，垂足为Q ，过Q 作OP 的垂线，垂足为M ．记 弧AP 的长为x ，线段QM 的长为y ，则函数y =f (x )的大致图像是( )． 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分） 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =3，cos A =3 6 ，B=A +2π． 试求b 的大小及△ABC 的面积S ． (A) ) (B) (C) y (D) 20．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ， 90=∠BAC ，且异面直线B A 1与1 1C B 所成的角等于 60，设a AA =1. (1) 求a 的值； (2) 求三棱锥BC A B 11-的体积． 21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 已知函数()()01||≠-+ =x x m x x f ． (1) 当m =2时，证明f (x )在(–∞，0)上是单调递减函数； (2) 若对任意x ∈R ，不等式f (2x ) > 0恒成立，求m 的取值范围； (3) 讨论函数y =f (x )的零点个数． 23．(本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S 1>1，且2362 ++=n n n a a S (n ∈N *)． (1) 求{a n }的通项公式； (2) 设数列{}n b 满足⎩⎨ ⎧=为奇数 为偶数 n n a b n a n n ,2,，T n 为数列{ b n }的前n 项和，求T n ； (3) 设为正整数） n b b C n n n (,1 += ，问是否存在正整数N ，使得当任意正整数n > N 时恒有C n >2015成立？若存在，请求出正整数N 的取值范围；若不存在，请说明理由．
