2-指数函数习题精选精讲

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上递减，在 1



．∴x 的取值范围是  ， ∞ ．

，习题精选精讲

指数函数

指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考

考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例 1 已知函数 f (x)  x2  bx  c 满足 f (1 x)  f (1 x) ，且 f (0)  3 ，则 f (bx ) 与 f (c x ) 的大小关系是_____．

分析：先求 b，c 的值再比较大小，要注意 b x，c x 的取值是否在同一单调区间内．

解：∵ f (1 x)  f (1 x) ，

∴函数 f ( x) 的对称轴是 x  1 ．

故 b  2 ，又 f (0)  3 ，∴ c  3 ．

∴函数 f ( x) 在 ∞， 1， ∞ 上递增．

若 x ≥ 0 ，则 3x ≥ 2x ≥1 ，∴ f (3x ) ≥ f (2x ) ；

若 x  0 ，则 3x  2x  1 ，∴ f (3x )  f (2 x ) ．

综上可得 f (3x ) ≥ f (2x ) ，即 f (c x ) ≥ f (bx ) ．

评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参

数进行讨论．

2．求解有关指数不等式

例 2 已知 (a2  2a  5)3x  (a2  2a  5)1 x ，则 x 的取值范围是___________．

分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．

解：∵ a2  2a  5  (a  1)2  4 ≥ 4  1 ，

∴函数 y  (a2  2a  5)x 在 (∞， ∞) 上是增函数，

∴ 3x  1  x ，解得 x  1  1 

4  4 

评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意

对参数进行讨论．

3．求定义域及值域问题

例 3 求函数 y  1  6x2 的定义域和值域．

解：由题意可得 1  6x2 ≥ 0 ，即 6x2 ≤1 ，

∴ x  2 ≤ 0 ，故 x ≤ 2 ． ∴函数 f ( x) 的定义域是 ∞，．

令 t  6x2 ，则 y  1  t ，

又∵ x ≤ 2 ，∴ x  2 ≤ 0 ． ∴ 0  6x2 ≤1 ，即 0  t ≤1 ．

∴ 0 ≤1  t  1 ，即 0 ≤ y  1 ．

∴函数的值域是 01 ． 1 ≤ a x ≤ a ，即 ≤ t ≤ a ．

，即 a ≤ t ≤ ，

1  1 2

a  a 

解得 a  1 ，

，

，习题精选精讲

评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．

4．最值问题

例 4 函数 y  a2 x  2a x  1(a  0且a  1)在区间 [11] 上有最大值 14，则 a 的值是_______．

分析：令 t  a x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 t 的取值范围．

解：令 t  a x ，则 t  0 ，函数 y  a2x  2a x  1 可化为 y  (t  1)2  2 ，其对称轴为 t  1 ．

∴当 a  1 时，∵ x 11，

1 ∴ a a

∴当 t  a 时， y

 (a  1)2  2  14 ． max

解得 a  3 或 a  5 （舍去）；

当 0  a  1 时，∵ x 11，

1 1 ∴ a ≤ a x ≤ a a

∴ t  时， y   1  2  14 ， max

1 1 或 a  （舍去），∴a 的值是 3 或． 3 5 3

评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．

5．解指数方程

例 5 解方程 3x2  32 x  80 ．

解：原方程可化为 9  (3x )2  80 3x  9  0 ，令 t  3x (t  0) ，上述方程可化为 9t 2  80t  9  0 ，解得 t  9 或 t  

（舍去），

∴ 3x  9 ，∴ x  2 ，经检验原方程的解是 x  2 ．

评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．

6．图象变换及应用问题

例 6 为了得到函数 y  9  3x  5 的图象，可以把函数 y  3x 的图象（）．

A．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度

B．向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度

C．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度

D．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度

分析：注意先将函数 y  9  3x  5 转化为 t  3x2  5 ，再利用图象的平移规律进行判断．

解：∵ y  9  3x  5  3x2  5 ，∴把函数 y  3x 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数 y  9  3x  5

的图象，故选（C）．

评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变

化规律，比如：平移、伸缩、对称等．

习题

1、比较下列各组数的大小：习题精选精讲

（1）若，比较与；

（2）若

（3）若，比较

，比较与

与；

；

（4）若

（5）若，且

，且，比较 a 与 b；

，比较 a 与 b．

解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．

（2）由，故．又，故．从而．

（3）由，因，故．又，故．从而．

（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从

而，这与已知矛盾．

（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故

．从而，这与已知矛盾．

小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．

2 曲线分别是指数函数 , 和的图象,则与 1 的大小关系是 ( ).

(

分析:首先可以根据指数函数单调性,确定

,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .

,在轴右侧令

小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)

数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.

求最值

3 求下列函数的定义域与值域.

1 题则是由图到

(1)y＝2 x 3 ; (2)y＝4x+2x+1+1.

高一数学辅导精讲：指数函数和对数函数·换底公式·例题

指数函数和对数函数·换底公式·例题

例1-6-38 log34·log48·log8m=log416，则m为 [

]

解 B 由已知有

[ ]

A．b＞a＞1

B．1＞a＞b＞0

C．a＞b＞1

D．1＞b＞a＞0

解 A 由已知不等式得

故选A．

[

]

故选A．

[ ]

A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2)

2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，

[ ]

A．m＞p＞n＞q

B．n＞p＞m＞q

C．m＞n＞p＞q

D．m＞q＞p＞n

例1-6-43 (1)若logac+logbc=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；

(2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．

但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．

例1-6-44 函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．

由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．

例1-6-45 已知log1227=a，求log616的值．

例1-6-46 比较下列各组中两个式子的大小：

例1-6-47 已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足

3logxa+logax-logxy=3

(1)若x=at(t≠0)，试以a，t表示y；

(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．

解 (1)由换底公式，得

即 logay=(logax)2-3logax+3

当x=at时，logay=t2-3t+3，所以

给学生--新课标高中数学必修①第二章-基本初等函数(Ⅰ)精讲 (1)概论

第二章基本初等函数

1 / 1 第1讲 § 2.1.1 指数与指数幂的运算

¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.

¤知识要点：

1. 若nxa，则x叫做a的n次方根，记为na，其中n>1，且nN. n次方根具有如下性质：

（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.

（2）n次方根（*1,nnN且）有如下恒等式：

()nnaa；,||,nnanaan为奇数为偶数；npnmpmaa，（a0）.

2. 规定正数的分数指数幂：mnmnaa （0,,,1amnNn且）； 11mnmnmnaaa.

¤例题精讲：

【例1】求下列各式的值：

（1）3nn（）（*1,nnN且）；（2）2()xy.

解：

【例2】已知221na，求33nnnnaaaa的值.

解：

【例3】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)ababab；（2）3322114423()ababbaba（a＞0，b＞0）；（3）243819.

解：

点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.

【例4】化简与求值：

（1）642642；（2）11111335572121nn.

解：

点评：形如AB的双重根式，当2AB是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧。而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想。第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得。

指数与指数函数图像及性质(教师版)

指数与指数函数图像及性质

【知识要点】

1．根式

（1）如果axn，那么x叫做a的n次方根.其中1n，且Nn。

（2）如果axn，当n为奇数时，nax；当n为偶数时，nax0a.其中na叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数. 其中1n，且Nn。

(3)Nnnaannn,1,00。

(4),||,nnanaan为奇数为偶数其中1n，且Nn。

2. 分数指数幂

(1)正分数指数幂的定义: nmnmaa1,,,0nNnma

(2)负分数指数幂的定义:

nmnmaa11,,,0nNnma

(3) 要注意四点：

①分数指数幂是根式的另一种表示形式；

②根式与分数指数幂可以进行互化；

③0的正分数指数幂等于0；

④0的负分数指数幂无意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:

①srsraaaQsra,,0；

② rssraaQsra,,0；

③rrrbaabQrba,,0,0.

3.无理数指数幂

(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近;

(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4．指数函数的概念：

一般地，函数0,1xyaaa且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

5．指数函数的图像与性质

函数名称指数函数

定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数

图象 1a 01a

定义域 R

值域 (0,)

过定点图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．

奇偶性非奇非偶

单调性在R上是增函数在R上是减函数

a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．

第一课时

【典例精讲】

题型一根式、指数幂的化简与求值 xayxy(0,1)O1yxayxy(0,1)O1y1.na叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1aa；

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