初中一元二次方程讲解
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1/16 23.1 一元二次方程
类型1、一元二次方程的概念
解题要点：
（1）若一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未
知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。
（2）有些方程需要先整理，再判断。
（3）分母中含有未知数或根号下含有未知数的方程均不是一元二次方程。
题型1、一元二次方程的判别
例1．下列是一元二次方程的是（）
A．322
xx
B．2
15
2
xx
C．2
)2)(1(xxxD．)1(2)1(2
ttt
例2．下列方程哪些是一元二次方程？指出它们的序号。
（1）012
x
（2）
21
11
2
xx；（3）
012
yx；（4）0123
xx
（5）46)53(22
xxx（6）5)3)(2(xx
题型2、利用一元二次方程的概念求字母的值。
例3．方程013)2(||
mxxmm
是关于x的一元二次方程，则（）
A．2m
B．2m
C．2m
D．2m
例4．关于x的方程2322
mxxxmx
是一元二次方程的条件是什么？
题型3、利用一元二次方程的概念求不等式的解集
例5．若0352
xax
是一元二次方程，且a满足不等式063a
，则a的取值范围是（）
A．2a
B．2a
C．2a
且0a
D．
21
a
2/16 类型2、一元二次方程的一般形式
解题要点：
（1）一元二次方程一般形式的特点是：方程左边是按未知数降幂排列的整式，右边是0，并且在通常情况
下，左边各项系数不含有公约数。
（2）先化为一般形式：02
cbxax
，后确定各项系数和常数项，一般形式中0a
，b
、c可以等于0。
（3）在应用时，如果求各项系数，不要漏掉前面的符号。
题型1、化方程为一元二次方程的一般形式
例6．把方程2)23)(12(2
yyy化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数，一次项系数、
常数项。
题型2、利用一元二次方程的隐含条件解题
例7、a为何值时，关于x的方程
04)3()3(1||
xaxaa
，(1)是一元一次方程？(2)是一元二次方程？
例8、方程08)4(2||
axxaa
是一元二次方程，指出其二次项系数、一次项系数及常数项。
例9、若一元二次方程0)32()8(22
kxkx的二次项系数、一次项系数及常数项之和为5，求k
的值。
3/16 类型3、一元二次方程的根（解）
解题要点：
（1）根必须满足两个条件：①未知数的值；②必须使方程左右两边相等。
（2）用代入法验证一个数值是否为一元二次方程的解时，只要看方程左右两边是否相等即可。
题型1、判断一元二次方程的根
例10．下列哪些数是一元二次方程342
xx
的根？3
，2，1，0，1，2，3，4
题型2、由一元二次方程的根求未知数的值。
例11、关于x的一元二次方程01)1(22
axxa的一个根是0，求a的值。
例12、已知
2x，6x是关于
x的一元二次方程
02
baxx的根，求a和b的值。
题型3、由一元二次方程的根求代数式的值。
例13、已知
1x是一元二次方程
0402
bxax的一个根，且ba，求
baba
2222
的值。
例14、已知a是方程0120102
xx
的一个根，试求
12010
2009
22
aaa的值。
4/16 题型4、已知两方程有公共根，求代数式的值。
例15、已知关于x的方程02
qpxx与)(02
qppqxx有一个公共根，求2009
)(qp的值。
类型4、列一元二次方程
解题要点：
一元二次方程一般源于实际生活中的问题，解决问题的关键是先列出一元二次方程，列方程时需注意的两
个方面：
（1）设一个未知数x，由其他未知量与这个未知数的关系，用x表示其他量。
（2）寻找以上各量间的等量关系，一般为积的关系或平方差与平方和的关系，根据此关系列出一元二次
方程。
例16、已知一个长方体粉笔盒的体积为750cm3
，高为6cm，底面的长比宽多5cm，若设这个粉笔盒的底
面的宽为
xcm，请根据题意列出方程，并将其他为一般形式。
例17．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入
木板的钉子的长度后一次与前一次的比值为k(10k)，已知一个钉子受击三次后恰好全部进入木
板（铁钉在第二次受击后未入木板的部分足够长），且第一次受击后进入木板的钉长度是钉长的
74
，
设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的方程是（）
A．1
74
74
74
2
kkB．1
74
74
kC．1
74
74
2
kkD．1
78
74
k
5/16 23.2 一元二次方程的解法
类型5、直接开平方法
解题要点：
（1）用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义。
（2）对于形如
)0(2
ppx的一元二次方程，常用直接开平方法求解，方程的根是
px，当0p时，
0
21xx。
（3）对于形如
)0,0()(2
pmpnmx的一元二次方程，也可以用直接开平方法求解，方程的根为
mpn
x
，当0p
时，
mn
xx
21。
（4）解题时，一定要注意方程有两个根。
题型1、用直接开平方法解一元二次方程的必备条件
例18、用直接开平方法解方程bcxa2
)(，方程有根的条件是（）
A．0a
B．0b
C．0,0ba
D．a、b
同号或0a
，
题型2、用直接开平方法解一元二次方程
例19、求一元二次方程0)3(2
x的根。
例20、求一元二次方程22
)3()12(xx的根。
类型6、因式分解法
解题要点：
（1）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤可归纳为“右边化零，左边分解，分别为零，求解”。
（2）因式分解的常用方法：公式法（完全平方公式、平方差公式）、提公因式法等，需注意一般方程的左
边是因式的积，右边等于0。
（3）不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解。
题型1、用因式分解法解形如)0(02
abxax的一元二次方程。
例21、用因式分解法解下列方程：
（1）5552
xx
（2）)2(2)2(32
xx
题型2、用因式分解法解形如0)(2
abxbax（a、b
为常数）的一元二次方程。
例22、用因式分解法解下列方程。
（1）01662
xx
；（2）06)32(2
xx
6/16 题型3、用因式分解法解形如)0(02
acbxax的一元二次方程。
例23、用因式分解法解下列方程：
（1）01562
xx
；（2）061362
xx
；
题型4、因式分解法在解一元二次方程中的综合应用
例24、当x为何值时，代数式
2222
22
xxx
的值等于0。
例25、已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程01072
xx
的根，求△ABC的周长。
类型7、配方法
解题要点：
（1）配方法解一元二次方程是以完全平方公式222
)(2bababa和直接开平方法解一元二次为依
据。
（2）配方法的关键是配方，把一个一元二次方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个
非负数。
（3）配方法的一般步骤可以归纳为“一除、二移、三配、四开方”。
题型1、用配方法解形如
)04(022
cbcbxx的一元二次方程
例26、用配方法解下列方程
（1）0142
xx
（2）0752
xx
题型2、用配方法解形如)04,0(022
cbacbxax的一元二次方程
例27、用配方法解下列方程：
（1）08432
xx
；（2）04722
xx
；（3）07542
xx
类型8、公式法
解题要点：
（1）一元二次方程)0(02
acbxax的求根公式为
)04(
24
22
acb
aacbb
x。
（2）一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程
)0(02
acbxax的过程。
（3）由求根公式知，一元二次方程的根是由系数a、b、c决定的，只要确定了a、b、c的值就可以代
