人教版中考数学压轴题 易错题提高题检测试卷

一、中考数学压轴题1．已知四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P ，G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD =PG ，DF ⊥PG 于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，连结EF ．（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时．①求证：DF =PG ；②若AB =3，PC =1，求四边形PEFD 的面积；（2）如图2，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．2．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），求线段CE 长度的取值范围． （2）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点D 的坐标．3．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（32，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．4．已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=23，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB 折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，90EOF ∠=︒，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =，3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 也停止运动，设点P 的运动时间为()t s ，PDO △的面积为S ．（1）分别写出点B 到OF 、OE 的距离（用含t 的代数式表示）；（2）当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，求S 与t 之间的函数关系式；（3）设点P 到BD 的距离为h ，当15h OD =时，求t 的值； （4）若在点P 出发的同时，点Q 从点B 以每秒43个单位长度的速度向终点A 运动，当点Q 停止运动时，点P 与矩形ABCD 也停止运动，设点A 关于PQ 的对称点为E ，当PQE 的一边与CDB △的一边平行时，直接写出线段OD 的长．6．已知：如图，二次函数213222y x x =-++的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线,EB D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点．过D 点作 直线l 平行于直线.EB M 是直线 EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接,MO NO ，始终保持MON ∠为90︒，以MO 和ON 边，作矩形MONC ．（1）在D 点移动过程中，求出当DEB ∆的面积最大时点D 的坐标；在DEB ∆的面积最大 时，求矩形MONC 的面积的最小值．（2）在DEB ∆的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点,,,D N G B 四个点组成平行 四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标．7．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．8．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．9．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．10．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝13，BC ＝8．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求⊙O 的半径OC ；（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．11．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式．（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标．（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．已知：如图①，在等腰直角ABC ∆中，斜边2AC =．（1）请你在图①的AC 边上求作一点P ，使得90APB ∠=︒；（2）如图②，在（1）问的条件下，将AC 边沿BC 方向平移，使得点A 、P 、C 对应点分别为E 、Q 、D ，连接AQ ，BQ ．若平移的距离为1，求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积；（3）将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ，是否存在这样的m ，使得在直线DE 上有一点M ，满足30AMB ∠=︒，且此时四边形ABDE 的面积最大？若存在，求出四边形ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值；若不存在，请说明理由．13．（1）如图①，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，13AB =，5BC =，则tan A 的值是_______．（2）如图②，在正方形ABCD 中，5AB =，点E 是平面上一动点，且2BE =，连接CE ，在CE 上方作正方形EFGC ，求线段CF 的最大值．问题解决：（3）如图③，O 半径为6，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，点, A B 在O 上，点C 在O 内，且3tan 4A =．当点A 在圆上运动时，求线段OC 的最小值．14．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ， 所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．15．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点B ，24OC OB ==．（1）如图1，求a m 、的值；（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当154d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点P 的坐标．16．已知：菱形ABCD，点E 在线段BC 上，连接DE，点F 在线段AB 上，连接CF、DF， CF 与DE 交于点G，将菱形ABCD 沿DF 翻折，点A 恰好落在点G 上．（1）求证：CD=CF；（2）设∠CED= x，∠DCF= y，求y 与x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，当x=45°时，以CD 为底边作等腰△CDK，顶角顶点K 在菱形ABCD 的内部，连接GK，若GK∥CD，CD=4 时，求线段KG 的长．17．如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC=6cm，点P从点B出发，沿B→C方向以1．5cm/s 的速度运动到点C停止，同时点Q从点A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，过点P作BC的垂线，过点Q作BC的平行线，两直线相交于点M．设点P的运动时间为x（s），△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y（cm2）（规定：线段是面积为0的图形）．（1）当x= （s）时，PQ⊥BC；（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．18．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若728CG AG =，求点P 的坐标．19．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；②取BF的中点G，连接OG，判断OG与AD的数量关系，并说明理由；（3）若四边形ABCD的周长为8，直接写出GE2＋GF2＝____．20．已知：AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，点D为⊙O上一点，连接CD，交AB 于点M，AE为∠DAM的平分线，交CD于点E．（1）如图1，连接BE，若∠ACD=22°，求∠MBE的度数；（2）如图2，连接DO并延长，交⊙O于点F，连接AF，交CD于点N．①求证：DM2+CN2=CM2；②如图3，当AD=1，AB=10时，请直接写出．．．．线段ME的长．21．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm．bcm，满足(a－3)2＋|2a＋b－9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D，设运动时间为t s．（1）a＝______cm，b＝______cm；（2）t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．22．在△ABC中∠B=45°，∠C=30°，点D为BC边上任意一点，连接AD，将线段AD绕A顺时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．（1）如图1，点E 落在BA 的延长线上时，∠EDC= （度）直接填空．（2）如图2，点D 在运动过程中，DE ⊥AC 时，AB=4 ，求DE 的值．（3）如图3，点F 为线段DE 中点，AB=2a ，求出动点D 从B 运动到C ，点F 经过的路径长度．23．已知，抛物线212y x bx c =++与y 轴交于点()0,4C -与x 轴交于点A ，B ，且B 点的坐标为()2,0．（1）求该抛物线的解析式．（2）如图1，若点P 是线段AB 上的一动点，过点P 作//PE AC ，交BC 于E ，连接CP ，求PCE ∆面积的最大值．（3）如图2，若直线y x m =+与线段AC 交于点M ，与线段BC 交于点N ，是否存在M ，N ，使得OMN ∆为直角三角形，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．24．（1）（发现）如图1，在ABC 中，//DE BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD BE ⊥，3CD =，5BE =，求BC DE +的值．思考发现，过点E 作//EF DC ，交BC 延长线于点F ，构造BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：BC DE +的值为______．（2）（应用）如图3，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD 与BC 不平行且AD BC =，对角线AC BD ⊥，垂足为O ．若3CD =，5AB =，DAB CBA ∠=∠，求AC 的长．（3）（拓展）如图4，已知平行四边形ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，FD FB =，且30BFD ∠=︒，60EBF ∠=︒，判断AC 与DF 的数量关系并证明．25．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线l 交O 于AB 、两点．（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB的长度．OM=．（2）已知M是O一点，1cm①若折叠后的圆弧经过点M，则线段AB长度的取值范围是________．②若折叠后的圆弧与直线OM相切于点M，则线段AB的长度为_________cm．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．E解析：（1）①详见解析；②8；（2）（2）四边形PEFD是菱形，证明详见解析【解析】【分析】（1）①根据四边形ABCD为正方形得AD=CD ，然后证明△ADF≌△CDP，则DF=DP，得到DF=PG；②先判断四边形PEFD是菱形，然后求出223110+=P作PM⊥AD于点M，则四边形CDMP是矩形，则△DHG∽△PMG，根据相似三角形的性质，即可求出答案；（2）根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形．【详解】解：（1）①证明∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD ，∠A= ∠C=∠ADC=90°，∵DF⊥PG，∴∠DHG=90°，∴∠HGD+∠ADF=90°，∠CDP+∠PDG=90°，∵ PD=PG ，∴∠PGD=∠PDG ，∴∠ADF=∠CDP ，∴△ADF ≌△CDP （ASA ），∴DF=DP ，∵ PD=PG ，∴DF=PG ；②∵线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE∴∠GPE=∠DHG=90°， PG=PE=DF= PD∴PE ∥DF∴四边形PEFD 是菱形在Rt △DCP 中，AD=AB=3，PC=1，PG=DP=223110+= 过点P 作PM ⊥AD 于点M ，则四边形CDMP 是矩形∴DM=MG=PC=1，DG=2DM=2，∠PMG=∠DHG=90°，∠DGH=∠PGM∴△DHG ∽△PMG∴DG GH PG MG = 即=110GH ∴GH=10， PH=PG-GH=410 由（1）DF=DP=10∴四边形PEFD 的面积是DF PH ⋅=10×4105=8 ； （2）四边形PEFD 是菱形 ；作PM ⊥DG 于M ，如图2，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=AB ，∵四边形ABPM 为矩形，∴AB=PM ，∴AD=PM ，∵DF ⊥PG ，∴∠DHG=90°，∴∠GDH+∠DGH=90°，∵∠MGP+∠MPG=90°，∴∠GDH=∠MPG ，在△ADF 和△MPG 中FAD PMG AD MP ADF MPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADF ≌△MPG （ASA ），∴DF=PG ，而PD=PG ，∴DF=PD ，∵线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，∴∠EPG=90°，PE=PG ，∴PE=PD=DF 而DF ⊥PG ，∴DF ∥PE ，且DF =PE ，∴四边形PEFD 为平行四边形，∵DF=PD ，∴四边形PEFD 为菱形．【点睛】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．2．E解析：（1）①EC ＝2； ②748CE <<；（2）点D 的坐标为233(,)82-或113(,)55- 【解析】【分析】（1）①根据A (－4，3)和反比例函数图象上点的特征可得E 、F 的坐标，从而可表示出AE 、AF 并求得43=AE AF ，从而证得△AEF ∽△ACB ，利用相似三角形的性质的折叠的性质可推出12EC AC =，即可求得结果； ②当D 在BO 上时，由折叠的性质和同角的余角相等证得△AEF ∽△BAD ，设AF =x ，利用勾股定理可列出方程，解之得AF 的长，进而求出AE 、CE 的长，即可得出CE 的取值范围； （2）由△ABD 是等腰三角形，可得AD BD =或AD AB =，分情况进行求解即可．【详解】解:（1）①由题意得(,3)3k E ，(4,)4--k F ，∵k 0<，则3=-k EC ，4=-k FB ， ∴43=+k AE ，34=+k AF ， ∴14(12)433133(12)44++===++k k AE k AF k ， ∵由A (－4，3)得：4,3AC AB ==， ∴43=AC AB ， ∴AE AC AF AB=， 又∵∠A =∠A ，∴△AEF ∽△ACB ，∴∠AEF =∠ACB ，∴EF ∥CB ，如图2，连接AD 交EF 于点H ，由折叠的性质得：AH =DH ，∵D 在BC 上，∴1==AE AH EC DH，则AE EC =， ∴122==EC AC ； ②由折叠得EF 垂直平分AD ，∴90AHE =︒∠，则90∠+∠=︒EAH AEF ，又∵90∠+∠=∠=︒BAD EAH BAC ，∴∠=∠BAD AEF ，如图，当D 落在BO 上时，∵90∠=∠=︒EAF ABD ，∴△AEF ∽△BAD ， ∴=AE AF AB BD ，则43==AB AE BD AF ， ∴4393344=÷=⨯=BD AB ， 设AF =x ，则FB =3－x ，FD=AF =x ，在Rt △BDF 中，由勾股定理得：222FB BD FD +=， 即2229(3)4⎛⎫-+= ⎪⎝⎭x x ，解得：7532=x ， ∴7532=AF ， ∴44752533328==⨯=AE AF ， ∴2574488=-=-=CE AE ， ∴748CE <<，即折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），CE 的取值范围为748CE <<； （2）∵△ABD 是等腰三角形，显然AB AD ≠，∴AD BD =或AD AB =，①当AD BD =时，BAD ABD ∠=∠，由（1）得：∠=∠BAD AEF ，∴∠=∠ABD AEF ，如图，过点D 作//DG x 轴分别交AB 、y 轴于点M 、N ，则DM AB ⊥，4==MN AC ，∴90∠=∠=︒BMD EAF ，1322==BM AB ， ∴△AEF ∽△MBD ，∴=AE AF MB MD ，则43==MB AE MD AF ， ∴43393248=÷=⨯=MD MB ， ∴923488=-=-=DN MN MD ， ∴点D 的坐标为233(,)82-； ②当AD AB =时，如图，过点D 作//DG x 轴分别交AB 、y 轴于点M 、N ，则3AD AB ==，DM AB ⊥，4==MN AC ，∴90∠=∠=︒AMD EAF ，由（1）得∠=∠BAD AEF ，∴△AEF ∽△MAD ，∴=AE AF AM MD ，则43==AM AE MD AF ， 设4=AM a ，则3=MD a ，在Rt △MAD 中，由勾股定理得：222+=AM MD AD ，即222(4)(3)3+=a a ，解得：35a =，∴125=AM ，95=MD ， ∴123355=-=-=BM AB AM ，911455=-=-=DN MN MD ， ∴点D 的坐标为113(,)55-； 综上所述，若折叠后，△ABD 是等腰三角形，点D 的坐标为233(,)82-或113(,)55-． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的判定与性质，解题的关系是熟悉反比例函数图象上点的特征和熟练掌握相似三角形的判定与性质．3．E解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）E （2，3）或（1，4）；（3）P 点横坐标为【解析】【分析】(1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，由抛物线过点B,（3，0），即可求出a 的值，即可求得解析式； （2）过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x xx -++，求出A 、D 点的坐标，得到OM=x ，则AM=x+1，由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==，从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+，由23FN EM =，列出关于x 的方程求解即可；（3）先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ，得到FG=FH ，PT=45GH.设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），则PT=m²-4m ，GH=1-m ， 可得m²-4m=45（1-m ），解方程即可. 【详解】（1）∵抛物线的顶点为C （1，4），∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，∵抛物线过点B,（3，0），∴20(31)4a =-+，解得a=-1，∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+，即2y x 2x 3=-++；（2）如图，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x x x -++，∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，当y=0时，2023x x =-++，解得x=-1或x=3，∴A （-1.0），∴点D （0,3），∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+，点F 在直线BD 上，则OM=x ，AM=x+1， ∴22(1)33x AN AM +==， ∴2(1)2111333x x ON AN +=-=-=-， ∴21210(,)3333x x F --+， ∴2210332233FN EM x x x +--++==， 解得x=1或x=2， ∴点E 的坐标为（2，3）或（1，4）；（3）设直线DM 的解析式为y=kx+b ，过点D （0,3），M （32，0）， 可得，3023k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得k=-2，b=3，∴直线DM 的解析式为y=-2x+3，∴32OM=，3OD=，∴tan∠DMO=2，如图，过点P作PT∥y轴交直线DM于点T，过点F作直线GH⊥y轴交PT于点G，交直线CE于点H.∵PQ⊥MT，∴∠TFG=∠TPF，∴TG=2GF，GF=2PG，∴PT=25 GF，∵PF=QF，∴△FGP≌△FHQ，∴FG=FH，∴PT=45 GH.设点P（m，-m²+2m+3），则T（m，-2m+3），∴PT=m²-4m，GH=1-m，∴m²-4m=45（1-m），解得：111201m-=211201m+=（不合题意，舍去），∴点P 11201-【点睛】本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用数形结合的思想解决问题，有一定难度.4．C解析：（1）y=﹣x23；（2）333⎝⎭,338；（3）存在，P(33，53)或(﹣3 3，﹣73)【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，过点C作CD⊥OA于D，求出OD、CD，然后写出点C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）求出直线OC的解析式，根据点M到OC的最大距离时，面积最大；平行于OC的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m的值，利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）分两种情况求出直线AP与y轴的交点坐标，然后求出直线AP的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．【详解】解：（1）∵Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，∴OC=OA=23，∠BOC=∠BAO=30°，∴∠AOC=30°+30°=60°，过点C作CD⊥OA于D，则OD=1233 33，所以，顶点C33），设过点O，C，A抛物线的解析式为为y=ax2+bx，则223)33(23)230a ba b⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：123 ab=-⎧⎪⎨=⎪⎩∴抛物线的解析式为y=﹣x23；（2）∵C33），∴直线OC的解析式为：y =，设点M 到OC 的最大距离时，平行于OC的直线解析式为y m =+，联立2y m y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩， 消掉未知数y并整理得，20x m +=，△=（2-4m=0，解得：m=34．∴2304x +=，∴x =； ∴点M 到OC 的最大距离=34×sin30°=313428⨯=；∵OC ==∴13288MOC S ∆=⨯⨯=； 此时，M ⎝⎭，最大面积为8； （3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°，∴23=， ∴直线AP 与y 轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），当直线AP经过点（0）、（0，2）时，解析式为23y x =-+，联立22y x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得110x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2253x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以点P的坐标为（3，53），当直线AP经过点（0）、（0，﹣2）时，解析式为23y x =-，联立223y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩解得110x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22373x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 所以点P的坐标为（73-）． 综上所述，存在一点P，5373），使∠OAP=∠BOA ． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，（2）判断出点M 到OC 的距离最大是，平行于OC 的直线与抛物线只有一个交点是解题的关键，（3）确定出直线AP 的解析式是解题的关键．5．B解析：（1）35t ，45t ；（2）当0＜t ＜3时，224655S t t =--+；当3＜t ＜7时，23391052S t t =+-；（3）75；（4）132，7713，477 【解析】【分析】（1）过点B 作x 轴垂线，利用相似三角形可求得； （2）分2种情况，一种是点P 在AD 上，另一种是点P 在CD 上，然后利用三角形面积公式可求得；（3）直接令15h OD =即可求出； （4）存在3种情况，第一种是：QP ∥BD ，第二种是EP ∥CD 或EQ ∥CB ，第三种是QE ∥BD ，分别按照几何性质分析求解．【详解】（1）如下图，过点B 作x 轴垂线，垂足为点M根据平移的特点，可得∠BOM=∠DBA∵∠BMO=∠DAB=90°，∴△BMO ∽△DAB∵AB=4，AD=BC=3∴BD=5 ∵BM OM BO DA BA BD ==，OB=t ∴BM=35t ，OM=45t （2）情况一：当0＜t ＜3时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N∵∠NDP=∠BDA ，∠PND=∠BAD ，∴△PND ∽△BAD∵AP=t ，∴PD=3－t∵PN BA PD BD =，∴PN=()435t - 图中，OD=5+t ∴()()243124562555OBD t S t t t -=+=--+ 情况二：当3＜t ＜7时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N图中，PD=t －3，OD=5+t同理，△PND ∽△BCD ，可得PN=()335t - ∴()()23313395251052OBD t S t t t -=+=-+- （3）情况一：当0＜t ＜3时则h=PN=()435t - ∵15h OD =∴()43555t t -+= 解得：t=75情况二：当3＜t ＜7时则h=PN=()335t - ∵15h OD =∴()33555t t -+= 解得：t=7(舍)（4）情况一：QP ∥BD ，图形如下由题意可得：BQ=43t ，AP=t ，则QA=4－43t ，DP=3－t ∵BD ∥QP∴QA PA QB PD= 代入得：4()2243t t =-解得：t=32∴OD=5+t=13 2情况二：如下图，EP∥CD(或EQ∥CB)∵点E是点A关于QP对称的点∴EP=PA，EQ=QA，QP=QP∴△APQ≌△EPQ∵EP∥CD，CD⊥AD∴EP⊥AD∴∠APQ=∠EPQ=45°∴△AQP是等腰直角三角形，AQ=PA∴4－43 tt=解得：t=12 7∴OD=5+t=47 7情况三：如下图，QE∥BD，延长QE交DA于点N∵△APQ≌△EPQ，∴∠QEP=∠QAP=90°∴△ENP是等腰直角三角形∵QN∥BD，∴∠NQA=∠DBA，∠A=∠A∴△QNA∽△BDA∵BQ=43t，AP=t，QA=4－43t，DP=3－t∴QN QA AN BD BA AD==∴QN=5－43t ，NA=3－t ∴EN=QN －QE=QN －QA=1－3t ，NP=NA －AP=3－2t ，EP=PA=t ∴在Rt △ENP 中，()2223213t t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 解得：t=1213或t=3(舍) ∴OD=5+t=7713 【点睛】本题考查动点问题，解题关键是利用相似将图形中各边用t 表示出来．6．D解析：（1）D 点坐标为()2,3，矩形MONC 的最小值为645；（2）交点坐标为（3+13，﹣9313+），（3﹣13，﹣9313-），（1﹣5，15-），（1+5，15+）． 【解析】【分析】（1）当△DEB 的面积最大时，直线DN 与抛物线相切，可求出直线DN 的解析式和点D 的坐标，当矩形面积最小时，MG 最小，求出MG 的最小值即可．（2）分两种情况讨论，以DB 为边和以DB 为对角线，分别求出此时ON 的解析式，联立求出交点坐标即可．【详解】解：（1）如图1所示，过点D 作y 轴的平行线交MB 于点H ，过点O 作OQ 垂直MB 于点Q ，令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，y＝2，∴E（0，2），设直线BE的解析式为y＝kx+b，则2, 40,bk b=⎧⎨+=⎩解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BE的解析式为y＝﹣12x+2，∵DN∥BE，∴设直线DN的解析式为y＝﹣12x+b1，S△DEB＝DH12⨯•（x B﹣x E），∴当△DEB面积最大时，即是DH最大的时候，∴﹣12x+b1＝﹣12x2+32x+2，△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，解得b1＝4，点D（2，3），S矩＝2S△MOG+S平形四边形，∴矩形面积最小时就是MG最小，设QG＝m，MQ＝n，∴MG＝m+n，∵m+n≥∵△QOG∽△MQO，∴OQ2＝m•n，∵△OEQ∽△EOB，∴OQ＝5，∴m•n＝165，∴m+n．∴MG，∴S 矩＝2S △MOG +S 平形四边形＝645． （2）分两种情况讨论， 情况一：当GN ∥DB 时，直线DB 的解析式为：y ＝﹣32x +6， 则直线NG 的解析式为y ＝﹣32x ， ∴﹣32x ＝﹣12x 2+32x +2，解得x 1＝x 2＝3∴交点坐标为（），（3）， 情况二：DB 为对角线时，此时NG 必过DB 的中点（3，32）， 设直线ON 的解析式为y ＝k 1x ，则k 1＝12， ∴直线OD 的解析式为y ＝12x ， 12＝﹣12x 2+32x +2，解得x 1＝1x 2＝∴交点坐标为（1），（），综上所述：交点坐标为（），（3），（1﹣），（）． 【点睛】此题考查了二次函数的性质以及二次函数与几何相结合的问题，转化矩形面积最小和三角形面积最大为某条线段的最值为解题关键．7．C解析：（12CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3． 【解析】【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(03，∴OD=1，3OE =∴3OE tan EDO OD∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，3•60OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小， 当点P 与E 重合时，OP 3当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•603CD cos =︒=当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，故答案为：32332CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ，故点O 与线段DE 满足限距关系．故答案为O ．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ，∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴1+b ≥2（1-b ），解得13b ≥，∴b 的取值范围为131b ≤＜． 当1≤b ≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系，当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 没有公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为121b -，最大距离为b+1， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴11212b b ⎛⎫+≥-⎪⎝⎭， 而11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭总成立， ∴b ＞2时，线段FG 与⊙O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b ≥． （3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H 和⊙K 都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r ≤3，故r 的取值范围为0＜r ≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．8．A解析：（1）①(1,2),(2.5,0)A C ；②2232m ≤；（2）最小值为2．【解析】【分析】（1）①根据“特征点”的定义判断即可；②如图2中，当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，1(22,0)W ，当⊙W 2与直线y =−x +3相切时，2(32,0)W +，结合图象，⊙W 与图中阴影部分有交点时，⊙W 上存在满足条件的特征点．（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x+的值最小（如图3中）．【详解】解：（1）①∵1+2=3，1+3=4，2.5+0=2.5，又∵2≤a ≤3，∴A ，C 是特征点，故答案为：(1,2),(2.5,0)A C ； ②如图1，∵2≤a ≤3，∴直线y =−x +2和直线y =−x +3之间的区域（包括两直线）上的点都为“特征点”， 直线y =−x +2和直线y =−x +3分别与x 轴的交点为(2,0)P ，(3,0)Q ，当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，设切点为M ，此时2OP =，1MW MP ⊥，145MPW ∠=︒，则1MPW 为等腰直角三角形， ∵⊙W 1半径为1，即11MW =，∴12PW =1122OW OP PW =-=-∴1(22,0)W ，当⊙W 2与直线y =−x +3相切时，设切点为N ，此时3OQ =，2NW NQ ⊥，245NQW ∠=︒，则2NQW 为等腰直角三角形，同理得：22QW =，则2232OW OQ QW =+=+，∴2(32,0)W +，观察图象可知满足条件的m 取值范围为：2232m ≤（2）根据0x >，在第一象限画出1y x=的图象，∴在此坐标系中图象上的点就是1x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵特征点满足x y a +=（x ≥0，a 为常数），∴在此图象上对应的就是1x a x+=， ∴将特征点的图象由原点向外扩大，当与反比例函数1y x =的图象第一次有交点时，1x x +出现最小值，如图2，由x >0可将1x a x+=整理得：210x ax -+=， ∴2()40a ∆=--=，解得：12a =，22a =-（舍去），∴2a =，∴12Z x x =+=，即()10Z x x x=+>的最小值为2．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了直线与圆的位置关系，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．9．C解析：（1）C ；（2）﹣12≤x k 22﹣1≤x k 2；（3）m≤3﹣10或10【解析】【分析】（1）由题意可知当Q 与A 重合时，点C 在以AP 为直径的圆上，所以可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ；（2）根据题意由两点的距离公式可得2，分别画以AP 和BP 为直径的圆交x 轴于4个点：K 1、K 2、K 3、K 4，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；（3）由题意先根据直线y=12x+3，当x=0和y=0计算与x 轴和y 轴的交点坐标，分两种情况：M 在A 的左侧和右侧，先计算圆E 与直线y=12x+3相切时m 的值，从而根据图形可得结论．【详解】解：（1）如图1，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ，故答案为：C ；（2）∵P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．∴AP ＝BP ＝22(20)(11)--+--＝22，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点K 1、K 2、K 3、K 4，∵OP ＝OG ＝1，OE ∥AB ，∴PE ＝AE 2，∴OE ＝12AG ＝1， ∴K 1（﹣12，0），k 2（120），k 32﹣1，0），k 4（2，0）， ∵点K 为点P 与线段AB 的共圆点，∴﹣12≤x k ≤122﹣1≤x k 2；（3）分两种情况：①如图3，当M 在点A 的左侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝12x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，。

一、中考数学压轴题1．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由；（3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．2．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且m=2n -+2n -+4，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、Q ∠的数量关系并说明理由；（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（32，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．6．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分BAC ∠交边BC 于点E ，经过点A D E 、、的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 里面相交于另一点G ．（1）求证：BC 是⊙F 的切线 ；（2）若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，求⊙F 的半径及线段AC 的长； （3）试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．7．如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC 、BC ，已知点A 、C 的坐标为()2,0A -、()0,6C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是线段BC 下方抛物线上的一动点，如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 的坐标；（3）如图2，若点M 是AOC △内一动点，且满足AM AO =，过点M 作MN OA ⊥，垂足为N ，设AMN 的内心为I ，试求CI 的最小值．8．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的横坐标为1，对称轴交x 轴交于点E ，交BC 与点F .（1）求顶点D 的坐标；（2）如图2所示，过点C 的直线交直线BD 于点M ，交抛物线于点N .①若直线CM 将BCD ∆分成的两部分面积之比为2:1，求点M 的坐标；②若NCB DBC ∠=∠，求点N 的坐标．9．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEP S =，求sin APB ∠的最大值．10．问题背景：如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，8BC =，17AD =+32AB =45ABC ∠=︒，P 为边AD 上一动点，连接BP 、CP ．问题探究（1）如图1，若30PBC ∠=︒，则AP 的长为__________．（2）如图2，请求出BPC △周长的最小值；（3）如图3，过点P 作PE BC ⊥于点E ，过点E 分别作EM PB ⊥于M ，EN PC ⊥于点N ，连接MN①是否存在点P ，使得PMN 的面积最大？若存在，求出PMN 面积的最大值，若不存在，请说明理由；②请直接写出PMN 面积的最小值．11．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线l 交O 于AB 、两点．（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度．（2）已知M 是O 一点，1cm OM =．①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________．②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ．12．如图1，已知抛物线21833y x x c =--+与x 轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的左侧），与y 轴相交于C 点，且10AB =．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图2，D 点在x 轴上，且在A 点的右侧，E 点为抛物线上第二象限内的点，连接ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ，点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为3:1，已知4tan 3BDE ∠=，求点E 的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点G 由B 出发，沿x 轴负方向运动，连接EG ，点H 在线段EG 上，连接DH ，EDH EGB ∠=∠，过点E 作EK DH ⊥，与抛物线相交于点K ，若EK EG =，求点K 的坐标． 13．如图，直线y ＝﹣x+4与抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式； （2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图①，在ABC ∆中，90C ∠=︒，10,8AB BC ==．点,D E 分别是边,AC BC 上的动点，连接DE ．设CD x =（0x >），BE y =，y 与x 之间的函数关系如图②所示．（1）求出图②中线段PQ 所在直线的函数表达式；（2）将DCE 沿DE 翻折，得DME ．①点M 是否可以落在ABC ∆的某条角平分线上?如果可以，求出相应x 的值；如果不可以，说明理由；②直接写出．．．．DME 与ABC ∆重叠部分面积的最大值及相应x 的值．15．已知AM //CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B ．（1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系；（2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD =∠C ；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB +∠NCF =180°，∠BFC =5∠DBE ，求∠EBC 的度数．16．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．（1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．17．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度18．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ．（1）求A，B，C三点坐标；（2）如图1，点D为AC中点，点E在线段BD上，且BE=2DE，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M坐标；（3）如图2，将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，点P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在它们的左侧作等边△APR和等边△AGQ，求PA+PC+PG的最小值，并求当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标（直接写出结果即可）．19．如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P．（1）求证：CM＝BN；（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；（3）在（2）的条件下，求PFBN的值．20．已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AO．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时，若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE；（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试说明AF与BE的数量关系；（3）如图3，当点E、F同时在AB边上运动时，将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP，取线段CB的中点Q．连接PQ，若AD＝2a（a＞0），则当PQ最短时，求PF之长．21．已知菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，点M 在BC 边上，过点M 作PM ∥AB 交对角线BD 于点P ，连接PC ．（1）如图1，当BM=1时，求PC 的长；（2）如图2，设AM 与BD 交于点E ，当∠PCM=45°时，求证：BE DE =33+； （3）如图3，取PC 的中点Q ，连接MQ ，AQ ．①请探究AQ 和MQ 之间的数量关系，并写出探究过程；②△AMQ 的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．22．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 的坐标是（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿折线BCA 的方向运动，当点P 与点A 重合时，运动停止，设运动的时间为t 秒．（1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；（2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；（3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP 是不以DP 为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．（1）请求出EAF ∠的度数？（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .（3）直接写出EAF ∠=_________度；（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.24．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =2，AC =4．对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC 、AD 于点E 、F ．（1）当α=_____°时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）在旋转的过程中，从A 、B 、C 、D 、E 、F 中任意4个点为顶点构造四边形， ①当α=_______°时，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．25．（1）如图①，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，13AB =，5BC =，则tan A 的值是_______．（2）如图②，在正方形ABCD 中，5AB =，点E 是平面上一动点，且2BE =，连接CE ，在CE 上方作正方形EFGC ，求线段CF 的最大值．问题解决：（3）如图③，O 半径为6，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，点, A B 在O 上，点C 在O 内，且3tan 4A =．当点A 在圆上运动时，求线段OC 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．A解析：（1）菱形；（2）①AF=ADAF⊥AD；②2，理由见解析；（3）4AD OG【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得AB=AD=BC=CD，可得四边形ABCD是菱形；（2）①由菱形的性质可得AD∥BC，且AF⊥BC，可得AD⊥AF，由等腰三角形的性质和外角的性质可求∠OBE=∠OEB=45°，∠ABE=∠AFB，可得AF=AB；②取AB中点M，由三角形中位线定理可得MO∥AD，AD=2MO，AF∥MG，AF=2MG，且AF=AD，AD⊥AF，可得MO=MG，MG⊥MO，可得2OM，即可得OG与AD的数量关系；（3）连接AG，由等腰三角形的性质可得AG⊥BF，且∠BEO=45°，可得AG=GE，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵将△ABC沿y轴翻折∴AB=AD，BC=CD又∵AB=CB∴AB=AD=BC=CD∴四边形ABCD是菱形故答案为：菱形；（2）①∵四边形ABCD是菱形∴AD∥BC，且AF⊥BC∴AD⊥AF，∴∠FAC+∠CAD=90°，且∠CAD+∠ADO=90°，∴∠FAC=∠ADO，∵AB=AD∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABD=∠FAC∵OE=OB∴∠OBE=∠OEB=45°∴∠ABD+∠OBE=∠FAC+∠OEB∴∠ABE=∠AFB∴AF=AB∴AF=AD，故答案为：AF=AD，AD⊥AF；②AD=2OG；如图，取AB中点M，∵点M是AB的中点，点G是BF的中点，点O是AC的中点，∴MO∥AD，AD=2MO，AF∥MG，AF=2MG，且AF=AD，AD⊥AF ∴MO=MG，MG⊥MO∴GO=2OM∵AD=2MO=2GO；（3）∵四边形ABCD的周长为8，∴AB=BC=CD=AD=2=AF如图，连接AG，∵AB=AF，点G是BF的中点，∴AG⊥BF，且∠BEO=45°∴∠GAE=∠BEO=45°∴AG=GE，∵AG2+GF2=AF2=4，∴GE2+GF2=4，故答案为：4；【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，折叠的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．2．A解析：（1）A（0，1）（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°.（3）α+2β＝45°．【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质求出m、n的值，求出B、C两点坐标，由S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，推出12×2×4+12×OA×4＝6，求出OA即可；（2）如图2中，结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质即可解决问题；（3）由AD∥BC，推出∠ADC＝∠DCB＝α，由BE平分∠CBx，推出∠CBE＝∠EBx，由∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，推出∠OBF＝∠EBx＝α+β，由OC平分∠AOB，可得∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），由此即可解决问题；【详解】解：（1）由题意2020nn-≥⎧⎨-≥⎩，，得，解得n＝2，∴m＝4，B（2，0），C（4，4）．如图：∵S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，∴12×2×4+12×OA×4＝6，∴OA＝1，∴A（0，1）．（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．如图：理由如下：∵OC∥PQ，∴∠Q＝∠OCB，∵∠ABQ＝∠1+∠OCB＝∠1+∠Q，∠1＝180°﹣∠OAB﹣∠AOC＝180°﹣∠OAB﹣45°＝135°﹣∠OAB，∴∠ABQ＝∠Q+135°﹣∠OAB，∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．（3）如图：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB＝α，∵BE平分∠CBx，∴∠CBE＝∠EBx，∵∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，∴∠OBF＝∠EBx＝α+β，∵C（4，4），∴OC平分∠AOB，∴∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），∴α+2β＝45°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题．3．B解析：（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】【分析】 ()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；()2由题意设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BMC 1S MK OB 2=⋅⋅，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2∠=，在RtQNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=+，2QN m 4sin QHN QHm 65∠+===+，进行分析计算即可求解．【详解】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213y x x 222=+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 则直线BC 的表达式为：1y x 22=--， 设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 22BMC 1113S MK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭， a 10=-<，BMC S∴有最大值， 当b x 22a=-=-时， BMC S 最大值为4，点M 的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ， 过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -，点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴，QHN OCA ∠∠∴=，1tan QHN 2∠∴=，则sin QHN 5∠= 将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩， 则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-，则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===QN sin QHNQH m 6∠===+， 解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．4．E解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）E （2，3）或（1，4）；（3）P 点横坐标为【解析】【分析】(1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，由抛物线过点B,（3，0），即可求出a 的值，即可求得解析式； （2）过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x xx -++，求出A 、D 点的坐标，得到OM=x ，则AM=x+1，由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==，从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+，由23FN EM =，列出关于x 的方程求解即可；（3）先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ，得到FG=FH ，PT=45GH.设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），则PT=m²-4m ，GH=1-m ， 可得m²-4m=45（1-m ），解方程即可. 【详解】（1）∵抛物线的顶点为C （1，4），∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，∵抛物线过点B,（3，0），∴20(31)4a =-+，解得a=-1，∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+，即2y x 2x 3=-++；（2）如图，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x x x -++，∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，当y=0时，2023x x =-++，解得x=-1或x=3，∴A （-1.0），∴点D （0,3），∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+，点F 在直线BD 上，则OM=x ，AM=x+1， ∴22(1)33x AN AM +==， ∴2(1)2111333x x ON AN +=-=-=-， ∴21210(,)3333x x F --+， ∴2210332233FN EM x x x +--++==， 解得x=1或x=2， ∴点E 的坐标为（2，3）或（1，4）；（3）设直线DM 的解析式为y=kx+b ，过点D （0,3），M （32，0）， 可得，3023k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得k=-2，b=3，∴直线DM 的解析式为y=-2x+3， ∴32OM =，3OD =，∴tan ∠DMO=2，如图，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.∵PQ ⊥MT ，∴∠TFG=∠TPF ，∴TG=2GF ，GF=2PG ，∴PT=25GF ， ∵PF=QF ，∴△FGP ≌△FHQ ，∴FG=FH ，∴PT=45GH. 设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），∴PT=m²-4m ，GH=1-m ，∴m²-4m=45（1-m ）， 解得：111201m -=211201m +=（不合题意，舍去）， ∴点P 11201- 【点睛】 本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用数形结合的思想解决问题，有一定难度.5．A解析：（1）6y x =-+；（2）636S t =-，()6t >；（3）5599y x =+ 【解析】【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，从而得出△ABO 是等腰直角三角形，再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形，从而可求得点C 的坐标，将点B 、C 代入可求得解析式；（2）存在2种情况，一种是点D 在线段BC 上，另一种是点D 在线段BC 的延长线上，分别利用三角形的面积公式可求得；（3）如下图，先证ACR CAD ∆≅∆，从而推导出//RD AC ，进而得到CF RG =，同理还可得NF DG =，RD CN =，然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标，代入即可求得．【详解】解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴-，(0,6)B ．6OA OB ∴==．45BAO ∴∠=︒，180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒，2ABC ACB ∠=∠，45BCO ∴∠=︒6OC OB ∴==，()6,0C ∴．设直线BC 的解析式为y kx b =+，将B 、C 两点坐标代得606k b b +=⎧⎨=⎩ 解得16k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为6y x =-+．（2）点D 是射线BC 上一点，点D 的横坐标为t ，(,6)D t t ∴-+，6(6)12AC =--=．如下图，过点D 作DK AC ⊥于点K ，当点D 在线段BC 上时，6DK t =-+，16362S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<； 如下图，当点D 在线段BC 的延长线上时，6DK t =-，636S t ∴=-()6t >．（3）如图，延长CE 交AB 于点R ，连接DR 交BF 于点G ，交y 轴于点P ．45BAO BCO ∠=∠=︒，BA BC ∴=．AO CO =，BO AC ⊥EA EC ∴=，EAC ECA ∴∠=∠．ACR CAD ∴∆≅∆．BAD BCR ∴∠=∠．AR CD ∴=．BR BD ∴=．//RD AC ∴．BH AD ⊥，HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠．MB MC ∴=，∠MRB MRB MBR ∠=∠MR MB ∴=．CM MR ∴=．//RD AC ，::1:1CF RG CM RM ∴==．CF RG ∴=．同理NF DG =．RD CN =．∵:7:12NF FC =．:7:12DG RG ∴=．RP PD BP ==，5tan 19PG OF OBF BP OB∴==∠= 6OB ∴=，3019OF ∴=，6OC =，8419CF ∴=． 7RD GN ∴==．1ON ∴=，72PD =．52OP OB BP ∴=-=． (1,0)N ∴-，75,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设直线 DN 的解析式为y ax c =+，将N 、D 两点代入，07522a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5959 ac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DM的解析式为5599y x=+．【点睛】本题考查了一次函数与图形的综合，需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识，解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标．6．E解析：（1）详见解析；（2）52r=，55AC+=；（3）2AG AD CD=+，理由详见解析．【解析】【分析】（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出半径的长，证FEB∆∽AOD∆，求出BF的长，再证BFE∆∽BAC∆，即可求出AC的长；（3）过点F作FR AC⊥于点R，得到四边形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）如图，连接EF，∵AE平分BAC∠，FAE CAE∴∠=∠，FA FE=，FAE FEA∴∠=∠，FAE EAC∴∠=∠，//FE AC∴，90FEB C∴∠=∠=︒，又E为⊙F上一点，BC∴是⊙F的切线；（2）如图，连接FD，设⊙F 的半径为r ，∵点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，1,2,1OA OD OF r ∴===-，5AD ∴=在Rt FOD ∆中，由勾股定理得，222FD OF OD =+，222(1)2r r ∴=-+， 解得52r =， 即⊙F 的半径为52， 90ODA OAD EBF OAD ∠+∠=∠+∠=︒，ODA EBF ∴∠=∠，90AOD FEB ∠=∠=︒，∴FEB ∆∽AOD ∆，EF BF OA DA ∴=，即2.515= 552BF ∴=， 555BA +∴=， //EF AC ，∴BFE ∆∽BAC ∆，EF BF AC BA∴=，即55522555AC =+ 552AC ∴= （3）2AG AD CD =+．理由如下：如图，过点F 作FR AC ⊥于点R ，则∠FRC=90°，∵∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF 为矩形，EF RC RD CD ∴==+，FR AD ⊥，AR RD ∴=，12EF RD CD AD CD ∴=+=+， 22AG EF AD CD ∴==+．【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．7．C解析：（1）26y x x =--；（2）Q 的坐标为()2,0或()4,0；（3）CI 的最小值为42【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）根据//CP BQ 即点C 坐标，可以求出P 点坐标，算出CP 长，即可写出Q 点坐标; （3）利用AIM AIO ≌△△可判断出I 的运动轨迹是圆弧，设I 运动轨迹所在的圆心为G 计算出圆心G 的坐标及半径为，当G 、I 、C 三点共线时候CI 最短.【详解】（1）由题意得：A 点坐标为()2,0-，C 点坐标为()0,6-带入2y x bx c =++中得：4206b c c -+=⎧⎨=-⎩， 解得：16b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为26y x x =--．（2）∵点Q 在x 轴上，又点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形∴//CP BQ ，由对称性可知，P 点的坐标为()1,6-∴1PC =，∴1BQ =．∴Q 的坐标为()2,0或()4,0．（3）连接AI ，MI ，OI∵I 为AMN 的内心∴AI 、MI 分别平分MAN ∠，AMN ∠∴MAI OAI ∠=∠又∵MN AN ⊥，∴90ANM ∠=︒∴135AIM ︒∠=．又∵MA OA =，AI AI =∴AIM AIO ≌△△∴135AIO AIM ∠=∠=︒∴I 的运动轨迹是圆弧．设I 运动轨迹所在的圆心为G∵135AIO ∠=︒，∴90AGO ∠=︒又∵AG OG =，2AO =∴圆心G 的坐标为()1,1-2当G 、I 、C 三点共线时候CI 最短∵()()2210165052CG =--++== 2GI =∴CI 的最小值为52242=综上所述：CI 的最小值为42【点睛】此题为二次函数的综合应用，第一问利用待定系数法求解属基本题型；第二问判断出//CP BQ 是解题关键；第三问判断出I 的运动轨迹是解题关键.8．A解析：（1）(1,4)D ；（2）158(,)33M ，274(,)33M ；（3）N 的坐标为57(,)24．【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入函数关系式可得a 与b 的方程，再根据顶点D 的横坐标为1可得另一个关于a 和b 的方程，联立方程组求解即可得到a 和b 的值，进而求得抛物线的函数关系式，再将顶点D 的横坐标代入即可求得点D 坐标；（2）①如图，取DB 得三等分点12,M M ，过点12,M M 分别作x 轴，y 轴的平行线分别交DE 、x 轴于点G 、H 、P 、Q ，通过证相似三角形可得点M 的横纵坐标与点B 、D 的横纵坐标之间的数量关系，进而得解；（3）取线段BC 的中点G ，连接GM ，由中点坐标可得33(,)22G ，根据等腰三角形的三线合一可得GM ⊥BC ，在根据两条直线互相垂直可求得:GM l y x =，与:26BD l y x =-+联立方程组可求得点M 的坐标，再由(2,2),(0,3)M C 利用待定系数法可得1:32CM l y x =-+，最后将132y x =-+与2y x 2x 3=-++联立方程组即可求得点N 的坐标．【详解】解：（1）将(1,0)A -代入23y ax bx =++可得03a b =-+①∵顶点D 的横坐标为1， ∴12b a-=，即2b a =-② 联立①②解得1,2a b =-= ∴2y x 2x 3=-++当1x =时，4y =(1,4)D ∴（2）由（1）得2y x 2x 3=-++当y=0时，x 1=-1，x 2=3，∴B （3,0），即BO=3，如图，取DB 的三等分点12,M M ，过点12,M M 分别作x 轴，y 轴的平行线分别交DE 、x 轴于点G 、H 、P 、Q ，则可得△DGM 1∽△DHM 2∽△DEB ，△BQM 2∽△BPM 1∽△BED ，且相似比为1:2:3， ∴12833M D y y == 115()33M D B D x x x x =+-= 158(,)33M ∴ 同理可得：274(,)33M∴点M 的坐标为：158(,)33M ，274(,)33M （3）NCB DBC ∠=∠CM MB ∴=取线段BC 的中点G ，作直线GM ，∵点B （3,0），点C （0，3）∴中点G 的坐标为33(,)22∵CM MB =，点G 为线段BC 的中点，∴GM ⊥BC ，∴设直线GM 为y=x+m 将33(,)22G 代入得m=0，∴:GM l y x =①设直线BD 为y=kx+n将,B D 坐标代入得k=-2，n=6，∴:26BD l y x =-+② 联立①②可得22x y =⎧⎨=⎩∴(2,2)M设直线MC 为y=k 2x+n 2将(2,2),(0,3)M C 坐标代入得k 2=12-，n 2=3， ∴1:32CM l y x =-+③联立③与2y x 2x 3=-++可得5274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴57(,)24N故N 的坐标为57(,)24.【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，能够根据题意做出正确的辅助线，利用数形结合思想进行转化是解决本题的关键． 9．B解析：（1）∠BPC ＜∠BAC ；（2）点P坐标为（0）；（3）sin ∠APB 的最大值为1．【解析】【分析】（1）如图，设PB 与⊙O 交于点D ，连接CD ，根据圆周角定理可得∠BDC=∠BAC ，根据三角形外角性质可得∠BDC ＞∠BPC ，进而可得答案；（2）如图，作过A 、B 两点的⊙C ，与x 轴相切于点P ，连接AC 、BC 、PC ，可知x 轴正半轴上的点除P 点外都在⊙C 外，由（1）可得∠APB 的度数最大，根据锐角的度数越大，余弦值越小可得点P 即为所求，由AC=BC 可得点C 在AB 的垂直平分线上，由A 、B 坐标可得点C 纵坐标为3，根据切线的性质可得PC ⊥x 轴，可得PC=BC=3，设P （x ，0），则P （x ，3），根据两点间距离公式列方程求出x 的值，即可得答案；（3）如图，过点B 作BH ⊥CD 于H ，过点A 作AM ⊥DE 于M ，延长AM 至N ，使MN= AM ，过N 作DE 的平行线l ，作FG ⊥l 于G ，交DE 于Q ，以AB 为直径作⊙F ，交直线l 于P ，由AB 、CD 的长可求出CH 点长，根据tan 2C =可得BH 的长，可得AD 的长，可求出△ADE 点面积，根据S △DEP =9可得△ADE 与△DEP 对应高的比为2：1，可得点P 在直线l 上，根据等腰直角三角形点性质可求出FG 的长，可得FG ＜AB ，可知⊙F 与直线l 有两个交点，根据圆周角定理可得∠APB=90°，可得∠APB 正弦的最大值．【详解】（1）如图，设PB 与⊙O 交于点D ，连接CD ，∵∠BAC 和∠BDC 是BC 所对的圆周角，∴∠BAC=∠BDC ，∵∠BDC 是△PDC 的外角，∴∠BDC ＞∠BPC ，∴∠BPC ＜∠BAC ．（2）如图，作过A 、B 两点的⊙C ，与x 轴相切于点P ，连接AC 、BC 、PC ，∵x 轴正半轴上的点除P 点外都在⊙C 外，∴∠APB 的度数最大，∵锐角的度数越大，余弦值越小，∴点P 即为所求，∵AC=BC ，∴点C 在AB 的垂直平分线上，∵A （0，2），B （0，4），∴点C 点纵坐标为3，设点P 坐标为（x ，0），∵⊙C 与x 轴相切于点P ，∴PC ⊥x 轴，∴点C 坐标为（x ，3），BC=PC=3， ∴22(43)x +-=3，解得：x=22，∴点P 坐标为（22，0）．（3）如图，过点B 作BH ⊥CD 于H ，过点A 作AM ⊥DE 于M ，延长AM 至N ，使MN=12AM ，过N 作DE 的平行线l ，作FG ⊥l 于G ，交DE 于Q ，以AB 为直径作⊙F ，交直线l 于P ，∵tan 2C =，AB=8，CD=11，∴BH 2CH=，CH=3，解得：BH=6，∴AD=6，∵AD=AE ，∴S △ADE =18，∵S △DEP =9，AN ⊥DE ，DE//l ，MN=12AM ， ∴点P 在直线l 上，∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AM=32，MN=322， ∵BF=12AB=4，BE=AB-AE=2， ∴EF=2，∵∠FEQ=45°，∠FQE=90°，∴FQ=2，∴FG=FQ+QG=2+322=522＜FB ， ∴⊙F 与直线l 有两个交点，∵AB 是直径，∴∠APB=90°，∴sin ∠APB 的最大值为1．【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形点性质及锐角三角函数的定义，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边．10．B解析：（1）333 ；（2）18；（3）①2716；②972625【解析】【分析】（1）过点B 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于点F ，利用等腰直角三角形ABF 求得AF 和BF 的长，再利用Rt △PBF 求得PF 的长，进而得解；（2）作点B 关于直线AD 的对称点B'，连接B'C ，交AD 于点P'，连接BP'，根据两点之间线段最短可知当B'，P ，C 三点共线时，BPC △周长取得最小值，再利用勾股定理计算即可；（3）①②根据EM PB ⊥，EN PC ⊥可得点E 、M 、P 、N 在以PE 为直径的圆上，利用圆周角定理和直角三角形两锐角互余可证得△MPN ∽△CPB ，进而可知当MN 最大时，PMN 面积的最大，当MN 最小时，PMN 面积的最小，由圆的性质可知当MN 为直径时MN 最大，当MN ⊥PE 时，MN 最小，最后利用勾股定理、等积法和相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图，过点B 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于点F ，∵AD ∥BC ，∠ABC ＝45°，∴∠FAB ＝∠ABC ＝45°，∵BF ⊥AD ，∴在Rt △ABF 中，AF 2+BF 2＝AB 2， ∵32AB = ∴AF ＝BF ＝2AB ＝2323⨯=， ∵AD ∥BC ，∠PBC ＝30°，∴∠FPB ＝∠PBC ＝30°，∵在Rt △PBF 中，tan ∠FPB ＝BF PF ∴tan30°＝33PF =， ∴33PF =∴333AP PF AF =-=-；（2）如图，作点B 关于直线AD 的对称点B'，连接B'C ，交AD 于点P'，连接BP'，∵点B 与点B'关于直线AD 对称，∴AD 垂直平分BB'，BF ＝B'F ＝3，∴P'B ＝P'B'，BB'＝6，∴当点P 在点P'时，PB+PC 取得最小值，最小值为B'C 的长，此时△BPC 的周长最小， 在Rt △BB'C 中，B'C ＝22226810'BB BC +=+=，∴△BPC 的周长最小值为B'C +BC ＝10+8＝18；（3）①∵EM PB ⊥，EN PC ⊥，∴∠EMP ＝∠ENP ＝90°，∴点E 、M 、P 、N 在以PE 为直径的圆上，如图所示，则∠PMN ＝∠PEN ，∵PE BC ⊥，EN PC ⊥，∴∠PEC ＝∠ENC ＝90°，∴∠PEN+∠NEC ＝∠NEC+∠PCB ＝90°，∴∠PEN ＝∠PCB ，∴∠PMN ＝∠PCB ， 又∵∠MPN ＝∠CPB ， ∴△MPN ∽△CPB ，∴2PMN PCB S MN S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵PE BC ⊥，∴PE ＝3，∴11831222PCB S BC PE ==⨯⨯= ∴2128PMN SMN ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴当MN 取得最大值时，PMN 的面积取得最大值， 当MN ＝PE ＝3时，23128PMN S ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得2716PMN S = 即当MN ＝PE ＝3时，PMN 的面积最大，最大值为2716； ②由①可知，2128PMN S MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴当MN 取得最小值时，PMN 的面积取得最小值，由垂径定理可知，当MN⊥PE时，MN取得最小值，如图，当MN⊥PE时，则弧ME＝弧NE∴∠MPE＝∠NPE，∵PE BC⊥，∴∠PEB＝∠PEC＝90°，∴△PEB≌△PEC，∴EB＝EC＝12BC＝4，在Rt△BEP中，BP2222435BE PE+=+=,∵1122BEPS BE PE BP ME ==∴1143522ME ⨯⨯=⨯∴125 ME=,在Rt△PME中，PM2222129355 PE ME⎛⎫-=-=⎪⎝⎭∵1122PMES PM ME PE MH ==∴191213 2552MH ⨯⨯=⨯∴3625 MH=,∴72225 MN MH==,∴227292512825PMNS⎛⎫⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭,解得972625PMNS=，∴PMN面积的最小值为972 625．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、特殊角的三角函数、相似三角形的判定及性质、勾股定理、垂径定理和圆周角定理等相关知识，有点难度，属中考压轴题，能够将第（3）问转化为利用圆的相关知识和相似三角形的性质解决是解决本题的关键．11．A解析：（1）图见解析，33cm ；（2）①25cm 42cm AB ≤≤；②26【解析】【分析】（1）连接AO ，直线l 垂直平分PO ．13cm 22OH PO ==，在Rt △AHO 中即可求解； （2）①分两种情况求解； ②过O 作弦AB 的垂直与圆交于点D ，与弧AB 交于点C ，与AB 交于点E ，过M 作OM 的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO ，得到OO'垂直平分AB ，O'为弧ABM 所在圆的圆心，10cm OO '=，在Rt △ADO 中即可求解；【详解】（1）如图，直线l 为所求，连接AO ．∵点P 与点O 关于直线l 对称，∴直线l 垂直平分PO ．∴13cm 22OH PO ==． 在Rt AHO ∆中，∵222AH HO AO +=，∴2233cm 2AH AO HO =-=． 在O 中，∵PO AB ⊥，PO 为半径，∴233cm AB AH ==．（2）如图1：。

九年级上册押题重难点检测卷【人教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（23-24九年级·浙江台州·自主招生）在平面直角坐标系中，平移二次函数yy=(xx−2015)(xx−2017)+3的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（）A．向上平移3个单位B．向下平移3个单位C．向左平移3个单位D．向右平移3个单位【答案】B【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线与xx轴的交点坐标，根据平移规则，将二次函数yy= (xx−2015)(xx−2017)+3的图象，向下平移3个单位即可．【详解】∵平移二次函数yy=(xx−2015)(xx−2017)+3的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，∴将二次函数yy=(xx−2015)(xx−2017)+3的图象向下平移3个单位得yy=(xx−2015)(xx−2017)，∵yy=(xx−2015)(xx−2017)与x轴的交点坐标为(2015,0),(2017,0)，∴与x轴两交点间的距离为2个单位长度．满足题意；故选：B．2．（3分）（23-24九年级·河北秦皇岛·阶段练习）若方程(aa−bb)xx2+(bb−cc)xx+(cc−aa)=0是关于xx的一元二次方程，则（）A．一根为0 B．一根为1C．一根为−1D．无实根【答案】B【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子左边=右边，据此对各项进行判断即可．【详解】解：A.当xx=0时，(aa−bb)xx2+(bb−cc)xx+(cc−aa)=cc−aa，即方程(aa−bb)xx2+(bb−cc)xx+(cc−aa)=0一根为0，只有当aa=cc时成立，故选项错误，不符合题意；B. 当xx=1时，(aa−bb)xx2+(bb−cc)xx+(cc−aa)=aa−bb+bb−cc+cc−aa=0，故选项正确，符合题意；C. 当xx=−1时，(aa−bb)xx2+(bb−cc)xx+(cc−aa)=aa−bb−bb+cc+cc−aa=2(cc−bb)，即方程(aa−bb)xx2+(bb−cc)xx+(cc−aa)=0一根为−1，只有当bb=cc时成立，故选项错误，不符合题意；D. 当xx=1时，(aa−bb)xx2+(bb−cc)xx+(cc−aa)=aa−bb+bb−cc+cc−aa=0，∴原方程一定有实根xx=1，故选项错误，不符合题意，故选：B3．（3分）（2024·辽宁营口·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20 80 100 200 400 1000“射中九环以上”的次数18 68 82 168 327 823“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84【答案】B【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．故选：B．【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．4．（3分）（23-24九年级·全国·期末）如图，AA，BB，CC都是⊙OO上的点，OOCC与AABB交于点EE，过点BB且与⊙OO相切的直线与AACC的延长线交于点DD．∠BBAACC=45°，∠DD=75°，则∠AAEECC的大小为（）A．60°B．75°C．45°D．30°【答案】A【分析】本题考查切线的定义、圆周角定理和平行线的判定与性质，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．根据切线的性质可得∠DDBBOO=90°，由圆周角定理得∠CCOOBB=2∠BBAACC=90°，所以CCOO∥BBDD，所以∠AACCOO=∠DD=75°，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：根据切线的性质可得∠DDBBOO=90°，∵∠BBAACC=45°，∴∠CCOOBB=2∠BBAACC=90°，∴CCOO∥BBDD，∴∠AACCOO=∠DD=75°，∴∠AAEECC=180°−∠AACCEE−∠BBAACC=60°，故答案为：A5．（3分）（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数yy=aaxx2−xx−2，若对满足4＜xx＜5的任意x都有yy＜0，则实数a的范围为（）A．aa≤725且aa≠0B．0<aa≤38C．725≤aa≤38D．aa＜0或aa≥38【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)，二次项系数aa决定抛物线的开口方向和大小．当aa>0时，抛物线向上开口；当aa<0时，抛物线向下开口；一次项系数bb和二次项系数aa共同决定对称轴的位置．当aa与bb同号时（即aabb>0)，对称轴在yy轴左；当aa与bb异号时（即aabb< 0)，对称轴在yy轴右．常数项cc决定抛物线与yy轴交点位置：抛物线与yy轴交于(0,cc)．当aa>0时，当xx=5，yy≤0时，满足条件；当aa<0时，当xx=4，yy<0，当xx=5，yy≤0时，满足条件，然后分别解不等式组确定实数aa的范围．【详解】解：当aa>0时，∵抛物线与yy轴的交点为(0,−2)，∴当xx=5，yy≤0时，满足4<xx<5的任意xx都有yy<0，即25aa−5−2≤0，解得0<aa≤725；当aa<0时，∵抛物线与yy轴的交点为(0,−2)，∴当xx=4，yy<0，且当xx=5，yy≤0时，满足4<xx<5的任意xx都有yy<0，即16aa−4−2<0且25aa−5−2≤0，解得aa≤725∴aa<0，综上所述，实数aa的范围为aa≤725且aa≠0．故选：A6．（3分）（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形AABBCCDD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠EE=54°41′，∠FF=43°19′，则∠AA的度数为（）A．42°B．41°20′C．41°D．40°20′【答案】C【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得∠AABBCC+∠AADDCC=180°，∠AA+∠BBCCDD=180°．根据三角形外角定理可得∠AABBCC=∠EE+∠EECCBB，∠AADDCC=∠FF+∠DDCCFF，由此可得∠EECCBB=41°，又由∠EECCBB+∠BBCCDD=180°，可得∠AA=∠EECCBB，即可得解．本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】∵四边形AABBCCDD是⊙OO的内接四边形我∴∠AABBCC+∠AADDCC=180°，∠AA+∠BBCCDD=180°,∵∠AABBCC=∠EE+∠EECCBB，∠AADDCC=∠FF+∠DDCCFF，∴∠EE+∠EECCBB+∠FF+∠DDCCFF=180°，∵∠EECCBB=∠DDCCFF，∠EE=54°41′，∠FF=43°19′，∴54°41′+43°19′+2∠EECCBB=180°，解得∠EECCBB=41°，∵∠EECCBB+∠BBCCDD=180°，∴∠AA=∠EECCBB=41°．故选：C7．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）已知aa，bb是方程xx2+2023xx+1=0的两个根，则(1+2024aa+aa2)(1+2024bb+bb2)的值为（）A．−2023B．2023C．1D．2024【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键．根据一元二次方程的解、根与系数的关系可得aa2+2023aa+1=0、bb2+2023bb+1=0、aabb=1，代数式(1+2024aa+aa2)(1+2024bb+bb2)可化为(1+2023aa+aa2+aa)(1+2023bb+bb2+bb)，然后整体代入计算即可．【详解】解：∵aa，bb是方程xx2+2023xx+1=0的两个根，∴aa2+2023aa+1=0，bb2+2023bb+1=0，aabb=1，∴(1+2023aa+aa2+aa)(1+2023bb+bb2+bb)=(0+aa)(0+bb)=aabb=1．故选：C．8．（3分）（2024·江苏泰州·中考真题）菱形AABBCCDD的边长为2，∠AA=60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（）A．3−√3B．2−√3C．√3−1D．2√3−2【答案】A【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，连接AACC，BBDD相交于点O，BBCC与CC′DD′交于点E AACC的长，再根据菱形的性质推出CCDD′与CCEE的长，再根据重叠部分的面积=SS△AAAAAA−SS△DD′EEAA求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积=3−√3．【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，连接AACC，BBDD相交于点O，BBCC与CC′DD′交于点E，∵四边形AABBCCDD是菱形，∠DDAABB=60°，∴∠CCAABB=30°=∠CCAADD，AACC⊥BBDD，AAOO=CCOO，BBOO=DDOO，∵AABB=2，∴DDOO=1，AAOO=√3DDOO=√3，∴AACC=2√3，∵菱形AABBCCDD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AABB′CC′DD′，∴∠DD′AABB=30°，AADD=AADD′=2，∴A，DD′，C三点共线，∴CCDD′=CCAA−AADD′=2√3−2，又∵∠AACCBB=30°，∴DD′EE=√3−1，CCEE=√3DD′EE=3−√3，∵重叠部分的面积=SS△AAAAAA−SS△DD′EEAA，∴重叠部分的面积=12×2√3×1−12×�√3−1�×�3−√3�=3−√3；②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积=3−√3，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．9．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形AABBCC和正八边形DDEEFFDDDDDD BB DD，若连接AADD，则∠AADDEE的度数是（）A．7.5°B．15°C．20°D．30°【答案】A【分析】本题考查正多边形和圆，连接OOAA，OOBB，OOEE，OODD，求出正三角形和正八边形的中心角的度数，再利用圆周角定理，进行求解即可．【详解】如图，连接OOAA，OOBB，OOEE，OODD．正三角形的中心角∠AAOOBB=360°3=120°，正八边形的中心角∠DDOOEE=360°8=45°，∴∠BBOOEE=3∠DDOOEE=3×45°=135°，∴∠AAOOEE=∠BBOOEE−∠AAOOBB=135°−120°=15°，∴∠AADDEE=12∠AAOOEE=12×15°=7.5°．10．（3分）（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线yy=aaxx2+bbxx+cc交x轴于AA(−1,0)，BB(3,0)，交y 轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①aabbcc<0；②2cc<3bb；③若方程aa(xx+1)(xx−3)+bb=0的两根分别为m，n，则mm+nn=2；④当△AABBDD是等腰直角三角形时，aa=0.5；⑤抛物线上有两点PP(xx1,yy1)、QQ(xx2,yy2)，且xx1<1<xx2，若xx1+xx2>2，则yy1<yy2．正确的有（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】依据题意，由抛物线yy=aaxx2+bbxx+cc交yy轴的负半轴于点CC，从而令xx=0,yy=cc<0，又对称轴是直线xx=−bb2aa=1>0，故可判断①；抛物线过(−1,0)，从而aa−bb+cc=0，又bb=−2aa，即aa=−12bb，进而cc=32bb，最后可以判断②；依据bb=−2aa，代入方程aa(xx+1)(xx−3)+bb=0，可化为xx2−2xx−5=0，根据一元二次方程根与系数关系即可判断③；由△AABBDD是等腰直角三角形，DD为顶点，从而AADD=BBDD，结合顶点为DD(1,nn)，对称轴是直线xx=1，故nn=−[1−(−1)]=−2，再由抛物线为yy=aa(xx−1)2−2，又抛物线过点(−1,0)，计算可以判断④；根据xx1<1<xx2，判断出点PP在直线xx=1左侧，点QQ在直线xx=1右侧，根据二次函数增减性即可判断⑤．【详解】解：∵抛物线yy=aaxx2+bbxx+cc交yy轴的负半轴于点CC，开口向上，∴令xx=0,yy=cc<0，aa>0．∵AA(−1，0)，BB(3,0)∴对称轴是直线xx=−bb2aa=1>0，∴aabb<0．bb=−2aa，∴aabbcc>0，故①错误．∵抛物线过(−1,0)，∴aa−bb+cc=0．又bb=−2aa，即aa=−12bb，∴cc=32bb．∴2cc=3bb，故②错误．∵bb=−2aa，则aa(xx+1)(xx−3)+bb=0可化为(xx+1)(xx−3)=2，即xx2−2xx−5=0，若方程aa(xx+1)(xx−3)+bb=0的两根分别为m，n，即方程xx2−2xx−5=0的两根分别为m，n，则mm+nn=2；故③正确；△AABBDD是等腰直角三角形，又DD为顶点，∴AADD=BBDD.∵抛物线yy=aaxx2+bbxx+cc交x轴于AA(−1,0)，BB(3,0)，故设顶点为DD(1,nn)，对称轴是直线xx=1，∴nn=−[1−(−1)]=−2，∴可设抛物线为yy=aa(xx−1)2−2，又抛物线过点(−1,0)，∴4aa−2=0．∴aa=12，故④正确．因为xx1<1<xx2，所以点PP在直线xx=1左侧，点QQ在直线xx=1右侧，又因为xx1+xx2>2，则xx2−1>1−xx1．因为抛物线的对称轴为直线xx=1，且开口向上，所以yy1<yy2，故⑤正确．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（23-24九年级·内蒙古·阶段练习）若二次函数yy=xx2−6xx+cc的图象经过AA(−1,yy1)，BB(2,yy2)，CC(5,yy3)三点，则关于yy1，yy2，yy3的大小关系为(用<号连接) ．【答案】yy2<yy3<yy1【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由yy=xx2−6xx+cc=(xx−3)2−9+cc可得抛物线开口向上，对称轴是直线xx=3，由对称性可得点CC(5,yy3)关于直线xx=3的对称点为(1,yy3)，又由开口方向可得xx<3时，yy随xx的增大而减小，根据−1<1<2即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：∵yy=xx2−6xx+cc=(xx−3)2−9+cc∴抛物线开口向上，对称轴是直线xx=3，∴点CC(5,yy3)关于直线xx=3的对称点为(1,yy3)，∵抛物线开口向上，∴xx<3时，yy随xx的增大而减小，又∵−1<1<2，∴yy2<yy3<yy1，故答案为：yy2<yy3<yy1．12．（3分）（2024·辽宁锦州·中考真题）若关于x的方程xx2−3xx+mm=0有两个不相等的实数根，且mm≥−3，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是．【答案】12/0.5【分析】根据题意，由关于x的一元二次方程的根的判别式Δ>0，可计算mm<94，再结合mm≥−3可知−3≤mm<94，进而推导满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有3个，由简单概率的计算公式即可得出结果．【详解】解：根据题意，关于x的方程xx2−3xx+mm=0有两个不相等的实数根，故该一元二次方程的根的判别式Δ>0，即Δ=(−3)2−4×1×mm>0，解得mm<94，又∵mm≥−3，∴−3≤mm<94，∴满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有-3、-2、-1共计3个，∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是PP=36=12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，解题关键是读懂题意，综合运用所学知识解决问题．13．（3分）（2024·河南信阳·模拟预测）如图，等边△AABBCC的边长为2，△AABBCC的内切圆与三边的切点分⌢，则阴影部分的面积为．别为DD，EE，FF，以点AA为圆心，AABB为半径作BBCC【答案】49ππ−√33【分析】此题考查了正三角形的内切圆、等边三角形的性质、扇形面积等知识，由等边△AABBCC的边长为2可得扇形BBAACC的面积为23ππ，等边△AABBCC的面积为√3，⊙OO的面积为13ππ．即可求出阴影部分的面积．【详解】解：∵等边△AABBCC的边长为2，∴∠BBAACC=∠AABBCC=∠AACCBB=60°,AABB=BBCC=CCAA=2，∴等边△AABBCC的面积为√34×22=√3，扇形BBAACC的面积为60ππ×22360=23ππ，⊙OO的半径为13×√32×2=√33∴⊙OO的面积为ππ×�√33�2=13ππ．∴阴影部分的面积=�23ππ−√3�+�√3−13ππ�×23=49ππ−√33故答案为：49ππ−√3314．（3分）（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在△AABBCC中，∠AACCBB=90°，AACC=BBCC=2√2，点DD是AACC的中点，连接BBDD，将△BBCCDD绕点BB旋转，得到△BBEEFF．连接CCFF，当CCFF∥AABB时，CCFF=．【答案】2+√6或√6−2【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得AABB，CCDD，BBDD，BBFF的值，作BBDD⊥CCFF，根据平行线的性质可得△BBCCDD是等腰直角三角形，可求出CCDD，BBDD的长，在直角△BBFFDD中，根据勾股定理可求出FFDD的长度，由此即可求解．【详解】解：∵在△AABBCC中，∠AACCBB=90°，AACC=BBCC=2√2，∴∠CCAABB=∠CCBBAA=45°，AABB=√2AACC=4，∵点DD是AACC的中点，∴AADD=CCDD=12AACC=√2，∴在RRRR△BBCCDD中，BBDD=√CCDD2+BBCC2=��√2�2+�2√2�2=√10，∵将△BBCCDD绕点BB旋转得到△BBEEFF，∴△BBCCDD≌△BBEEFF，∴BBDD=BBFF=√10，EEFF=CCDD=√2，BBCC=BBEE=2√2，如图所示，过BBDD⊥CCFF于点DD，∵CCFF∥AABB，∴∠FFCCBB=∠CCBBAA=45°，∴△BBCCDD是等腰直角三角形，且BBCC=2√2，∴CCDD=BBDD=√22BBCC=√22×2√2=2，在RRRR△BBFFDD中，FFDD=√BBFF2−BBDD2=��√10�2−22=√6，∴CCFF=CCDD+FFDD=2+√6，当点D运动点F′时，此时CCFF′∥AABB，同理可得，DDFF′=√6,CCDD=2，∴CCFF′=√6−2故答案为：2+√6或√6−2．15．（3分）（2024·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，△AABBCC内接于⊙OO且∠AACCBB=90°，弦CCDD平分∠AACCBB，连接AADD，BBDD．若AABB=5，AACC=4，则BBDD=，CCDD=．【答案】52√272√2【分析】首先利用已知条件得到AABB为直径，然后可以证明△AADDBB为等腰直角三角形，由此求出BBDD，接着把△AACCDD绕DD逆时针旋转90°得到△DDBBEE，证明△DDCCEE为等腰直角三角形即可解决问题．【详解】解：∵△AABBCC内接于⊙OO且∠AACCBB=90°，∴AABB为⊙OO的直径，∴∠AADDBB=90°，∴∠DDAACC+∠DDBBCC=180°，∵弦CCDD平分∠AACCBB，∴∠AACCDD=∠BBCCDD=45°，∴AADD=BBDD，∵AABB=5，AACC=4，∴CCBB=3，AADD=BBDD=52√2，∴如图把△AACCDD绕DD逆时针旋转90°得到△DDBBEE，∴∠DDBBEE=∠DDAACC，BBEE=AACC，∴∠DDBBCC+∠DDBBEE=180°，∴CC、BB、EE三点共线，∴△DDCCEE为等腰直角三角形，∴CCEE=AACC+BBCC=7，∴CCDD=DDEE=72√2．故答案为：52√2，72√2．【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆、圆周角定理及其推论、角平分线的性质及勾股定理，有一定的综合性．16．（3分）（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点PP(xx1,yy1)，QQ(xx2,yy2)为二次函数yy=xx2−mmxx+mm+2图象上两点，当xx<1时，二次函数yy随−2≤xx1≤mm+1，−2≤xx2≤mm+1时，|yy1−yy2|≤16恒成立，则mm的取值范围是．【答案】2≤mm≤4【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴xx=12mm，再根据二次函数的性质得到mm2≥1，即得mm≥2，又根据二次函数的性质可得当xx=−2时，yy有最大值，最大值为yy=3mm+6，当xx=12mm 时，yy有最小值，最小值为yy=−14mm2+mm+2，得到|yy1−yy2|最大值=3mm+6−�−14mm2+mm+2�=14mm2+ 2mm+4，由|yy1−yy2|≤16即可得到14mm2+2mm+4≤16，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．【详解】解：∵yy=xx2−mmxx+mm+2，∴抛物线的对称轴为直线xx=12mm，∵aa=1>0，∴抛物线开口向上，当xx<mm2时，yy随xx增大而减小，又∵当xx<1时，二次函数yy随xx增大而减小，∴mm2≥1，∴mm≥2，当xx=−2时，yy=4+2mm+mm+2=3mm+6，∵12mm<mm+1，∴在−2≤xx≤mm+1中，当xx=−2时，yy有最大值，最大值为yy=3mm+6，当xx=12mm时，yy有最小值，最小值为yy=�12mm�2−mm·12mm+mm+2=−14mm2+mm+2，∴当−2≤xx1≤mm+1，−2≤xx2≤mm+1时，|yy1−yy2|最大值=3mm+6−�−14mm2+mm+2�=14mm2+2mm+4，∵|yy1−yy2|≤16恒成立，∴14mm2+2mm+4≤16，画出函数yy=14mm2+2mm+4和yy=16的图象如图所示，由图象可得，当14mm2+2mm+4≤16时，−12≤mm≤4，∵mm≥2，∴2≤mm≤4，故答案为：2≤mm≤4．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）（23-24九年级·全国·期中）解方程：(1)xx2+2xx−2=0；(2)(xx−2)2=(2xx−1)(2−xx)．【答案】(1)xx1=√3−1，xx2=−√3−1(2)xx1=2，xx2=1【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．（1）利用配方法解一元二次方程，即可得到答案；（2）先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案.【详解】（1）解：xx2+2xx−2=0，xx2+2xx=2，xx2+2xx+12=2+12，(xx+1)2=3，xx+1=±√3，xx1=√3−1，xx2=−√3−1；（2）解：(xx−2)2=(2xx−1)(2xx)，(2−xx)2−(2xx−1)(2−xx)=0，(2−xx)(2−xx−2xx+1)=0，(2−xx)(3−3xx)=0，2−xx=0或3−3xx=0，xx1=2，xx2=1．18．（6分）（23-24九年级·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．(1)求抛物线L的函数解析式；(2)求小球P在x轴上的落点坐标；(3)在x轴上的线段AABB处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知OOAA=3，且每个回收箱的宽、高分别是0.5、0.3，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数．【答案】(1)抛物线L的函数解析式为yy=−34(xx−2)2+3；(2)小球P在x轴上的落点坐标为(4,0)；(3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个【分析】本题考查了二次函数的应用．（1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为(2,3)，再利用待定系数法求解即可；（2）对于yy=−34(xx−2)2+3，令yy=0，求解一元二次方程，据此计算即可求解；（3）由题意先求出，当xx=3和xx=3.5时，求得对应yy的值，再设竖直摆放的回收箱有mm个，根据题意得出关于mm的不等式组，求出mm的整数解即可．【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P 移动的水平距离为2，∴顶点坐标为(2,3)，∴设抛物线L对应的函数解析式为yy aa(xx−2)2+3(aa<0)，把(0,0)代入得0=aa⋅(0−2)2+3，解得aa=−34，∴抛物线L对应的函数解析式为yy=−34(xx−2)2+3；（2）解：对于yy=−34(xx−2)2+3，令yy=0，则0=−34(xx−2)2+3，解得xx1=0，xx2=4，∴小球P在x轴上的落点坐标为(4,0)；（3）解：∵OOAA=3，AABB=0.5，∴OOBB=3.5，对于yy=−34(xx−2)2+3，当xx=3时，yy=−34(3−2)2+3=94；当xx=3.5时，yy=−34(3.5−2)2+3=1116；设竖直摆放的回收箱有mm个，则1116<0.3mm<94，解得5524<mm<152，∵mm是正整数，∴mm可以是3或4或5或6或7，答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个．19．（6分）（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数yy=xx2+2mmxx+mm−1中，(1)若该二次函数图象经过(0,0)，求该二次函数的解析式和顶点坐标；(2)求证：不论mm取何值，该二次函数图象与xx轴总有两个公共点；(3)若mm<0时，点AA(nn−2,pp)，BB(2,qq)，CC(nn,pp)都在这个二次函数图象上且mm−1>qq>pp，求nn的取值范围．【答案】(1)yy=xx2+2xx，顶点坐标(−1,−1)(2)见解析(3)nn>4【分析】（1）二次函数yy=xx2+2mmxx+mm−1的图象经过(0,0)，即可求得mm=1，得到抛物线为yy=xx2+2xx，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标(−1,−1)；（2）依据题意，由Δ=4mm2−4(mm−1)=4mm2−4mm+4=(2mm−1)2+3，又对于任意的mm都有(2mm−1)2≥0，从而可以判断Δ的大小，进而可以得解；（3）依据题意，由BB(2,qq)，CC(nn,pp)在二次函数yy=xx2+2mmxx+mm−1图象上，从而对称轴直线xx=−mm= nn−2+nn2，故nn=−mm+1，即nn>1，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合qq>pp可得nn−(−mm)<|−mm−2|，再分类讨论即可得解．【详解】（1）解：∵二次函数yy=xx2+2mmxx+mm−1图象经过(0,0)，∴mm−1=0，∴mm=1，∴抛物线为yy=xx2+2xx，∵yy=xx2+2xx=(xx+1)2−1，∴顶点坐标为(−1,−1)；（2）证明：∵Δ=4mm2−4(mm−1)=4mm2−4mm+4=(2mm−1)2+3>0∴二次函数图象与xx轴总有两个公共点；（3）解：对称轴直线xx=−mm=nn−2+nn2，∴nn=−mm+1即mm=−nn+1．∵mm<0，∴nn>1，∵抛物线过BB(2,qq)，∴4+4mm+mm−1=qq，即qq=5mm+3，∵mm−1>qq，∴mm−1>5mm+3，解得mm<−1，即nn>2∵抛物线开口向上，∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．∵qq>pp，∴nn−(−mm)<|−mm−2|，当nn+mm<mm+2，解得nn<2（不合题意舍去）；当nn+mm<−mm−2，解得nn>4，∴nn>4．【点睛】本题主要考查了抛物线与xx轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．20．（8分）（23-24九年级·辽宁阜新·阶段练习）十一国庆期间，某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下：购票人数收费标准不超过25人50元/人超过25人每增加1人，每张票的单价减少2元，但单价不低于28元．某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有x人．(1)当xx=25时，该公司应支付购票费用多少元？当xx=28时，该公司应支付购票费用多少元？(2)若该公司观看此场演出超过25人，共支付1050元的购票费用，求出此时的x值？【答案】(1)1250元；1232元(2)35人【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．(1) 当xx=25时，直接按照单价乘以人数计算即可；当xx=28时，先计算单价为50−2(28−25)=44元，再按照单价乘以人数计算即可．(2)先计算单价50−2(xx−25)=(100−2xx)元，再根据单价乘以人数等于费用，列出方程计算即可．【详解】（1）∵不超过25人，每张票的单价50元，∴当xx=25时，该公司应支付的购票费用为：25×50=1250（元），∴超过25人，每增加1人，每张票的单价减少2元，∴当xx=28时，该公司应支付的购票费用为：28×[50−2×(28−25)]=1232（元），答：当xx=25时，该公司应支付的购票费用为1250元；当xx=28时，该公司应支付购票费用1232元．（2）由题意得：xx[50−2(xx−25)]=1050，整理得：xx2−50xx+525=0，解得：xx1=15,xx2=35，∵xx=15<25∴不符合题意，舍去当xx=35时，每张票的单价为：50−2×(35−25)=30>28，符合题意，答：该公司观看此场演出的员工35人．21．（8分）（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间xx分成五档：A档：0≤xx<1；B档：1≤xx<2；C档：2≤xx<3；D档：3≤xx<4；E档：4≤xx）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：(1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；(2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时．(3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．【答案】(1)50，见详解(2)2.5(3)16【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，中位数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．（1）运用D档人数除以D的百分比，得出调查的学生总数，再运用总数乘上EE档的百分比，即可作答．（2）根据中位数的定义，排序后位于中间位置的数为中位数，据此即可作答．（3）依题意，得出EE档有2名男学生，有2名女学生，运用列表法得共有12种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答．【详解】（1）解：依题意，(6+7)÷26%=50（名）∴本次调查中，共调查了50名学生；则50×8%=4（名）∴4−2=2（名）则EE档有2名男学生，有2名女学生,补全条形统计图如图所示：（2）解：依题意，5+3+7+6+2=23（名）本次调查的男学生的总人数是23名∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第12名，∵5+3=8，5+3+7=15∴第12名位于C档∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时，故答案为2.5；（3）解：用AA，BB表示2名男生，用CC，DD表示两名女生，列表如下：共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，∴PP=212=16．22．（9分）（2024·上海·中考真题）已知：在圆O内，弦AADD与弦BBCC交于点DD,AADD=CCBB,MM,NN分别是CCBB和AADD的中点，联结MMNN,OODD．（1）求证：OODD⊥MMNN；（2）联结AACC,AAMM,CCNN，当CCNN//OODD时，求证：四边形AACCNNMM为矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连结OOMM,OONN，由M、N分别是CCBB和AADD的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由AABB=CCDD，可得OOMM=OONN，可证RRRRRREEOOPP≌RRRRRRFFOOPP(DDHH)，MMDD=NNDD，∠MMDDOO=∠NNDDOO，根据等腰三角形三线合一性质OODD⊥MMNN;（2）设OG交MN于E，由RRRRRREEOOPP≌RRRRRRFFOOPP，可得MMDD=NNDD，可得∠CCMMNN=∠AANNMM，CCMM=12CCBB=12AADD= AANN，可证△CCMMNN≌△AANNMM可得AAMM=CCNN，由CN∥OG，可得∠AAMMNN=∠CCNNMM=90°，由∠AAMMNN+∠CCNNMM=180°可得AM∥CN，可证AACCNNMM是平行四边形，再由∠AAMMNN=90°可证四边形ACNM是矩形．【详解】证明：（1）连结OOMM,OONN，∵M、N分别是CCBB和AADD的中点，∴OM，ON为弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，∴∠DDMMOO=∠DDNNOO=90°，在⊙OO中，AABB=CCDD，∴OOMM=OONN，在Rt△OMG和Rt△ONG中，�OOMM=OONNOODD=OODD，∴RRRRRRDDOOMM≌RRRRRRDDOONN(DDHH)，∴MMDD=NNDD，∠MMDDOO=∠NNDDOO，∴OODD⊥MMNN;（2）设OG交MN于E，∵RRRRRRDDOOMM≌RRRRRRDDOONN(DDHH)，∴MMDD=NNDD，∴∠DDMMNN=∠DDNNMM，即∠CCMMNN=∠AANNMM，∵CCMM=12CCBB=12AADD=AANN，在△CMN和△ANM中�CCMM=AANN∠CCMMNN=∠AANNMMMMNN=NNMM，∴△CCMMNN≌△AANNMM，∴AAMM=CCNN,∠AAMMNN=∠CCNNMM，∵CN∥OG，∴∠CCNNMM=∠DDEEMM=90°，∴∠AAMMNN=∠CCNNMM=90°，∴∠AAMMNN+∠CCNNMM=90°+90°=180°，∴AM∥CN，∴AACCNNMM是平行四边形，∵∠AAMMNN=90°，∴四边形ACNM是矩形．【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．23．（9分）（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xxOOyy，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为(7,8)，(2,8)，(10,4)，(5,4)．(1)以点D为旋转中心，将△AABBCC旋转180°得到△AA1BB1CC1，画出△AA1BB1CC1；(2)直接写出以B，CC1，BB1，C为顶点的四边形的面积；(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AAEE平分∠BBAACC，写出点E的坐标．【答案】(1)见详解(2)40(3)EE(6,6)(答案不唯一)【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键．（1）将点A，B，C分别绕点D旋转180°得到对应点，即可得出△AA1BB1CC1．（2）连接BBBB1，CCCC1，证明四边形BBCC1BB1CC是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可．（3）根据网格信息可得出AABB=5AACC=√32+42=5，即可得出△AABBCC是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标．【详解】（1）解：△AA1BB1CC1如下图所示：（2）连接BBBB1，CCCC1，∵点B与BB1，点C与CC1分别关于点D成中心对称，∴DDBB=DDBB1，DDCC=DDCC1，∴四边形BBCC1BB1CC是平行四边形，∴SS▱AAAA1AA1AA=2△CCCC1BB1=2×12×10×4=40．（3）∵根据网格信息可得出AABB=5，AACC=√32+42=5，∴△AABBCC是等腰三角形，∴AAEE也是线段BBCC的垂直平分线，∵B，C的坐标分别为，(2,8)，(10,4)∴点EE�2+102,8+42�，即EE(6,6)．（答案不唯一）24．（10分）（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，△AABBCC内接于⊙OO，AABB是⊙OO的直径，BBCC⌢=BBDD⌢，DDEE⊥AACC 于点EE，DDEE交BBFF于点FF，交AABB于点DD，∠BBOODD=2∠FF，连接BBDD．(1)求证：BBFF是⊙OO的切线；(2)判断△DDDDBB的形状，并说明理由；(3)当BBDD=2时，求FFDD的长．【答案】(1)见解析(2)△DDDDBB是等腰三角形，理由见解析(3)FFDD=4【分析】（1）连接CCOO，根据圆周角定理得出∠BBOODD=∠BBOOCC=2∠BBAACC，根据已知得出∠FF=∠BBAACC，根据DDEE⊥AACC得出∠AAEEDD=90°，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得∠FFBBDD=∠AAEEDD=90°，即可得证；⌢=AACC⌢，则∠AABBDD=∠AABBCC，证明EEFF∥BBCC，得出∠AADDEE=∠AABBCC，等量代换得出∠FFDDBB=（2）根据题意得出AADD∠AABBDD，即可得出结论；（3）根据∠FFDDBB=∠AABBDD，AABB⊥BBFF，设∠FFDDBB=∠AABBDD=αα，则∠DDBBFF=∠FF=90°−αα，等边对等角得出DDBB=DDFF，则FFDD=2DDDD=2DDBB=4．【详解】（1）证明：如图所示，连接CCOO，∵BBCC⌢=BBDD⌢，∴∠BBOODD=∠BBOOCC=2∠BBAACC，∵∠BBOODD=2∠FF，∴∠FF=∠BBAACC，∵DDEE⊥AACC，∴∠AAEEDD=90°，∵∠AADDEE=∠FFDDBB∴∠FFBBDD=∠AAEEDD=90°，即AABB⊥BBFF，又AABB是⊙OO的直径，∴BBFF是⊙OO的切线；⌢=BBDD⌢，AABB是⊙OO的直径，（2）∵BBCC∴AADD⌢=AACC⌢，BBCC⊥AACC，∴∠AABBDD=∠AABBCC，∵DDEE⊥AACC，BBCC⊥AACC，∵EEFF∥BBCC，∴∠AADDEE=∠AABBCC，又∠AADDEE=∠FFDDBB，∴∠FFDDBB=∠AABBDD，∴△DDDDBB是等腰三角形，（3）∵∠FFDDBB=∠AABBDD，AABB⊥BBFF，设∠FFDDBB=∠AABBDD=αα，则∠DDBBFF=∠FF=90°−αα，∴DDBB=DDFF，∴FFDD=2DDDD=2DDBB=4．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．25．（10分）（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）平面直角坐标系中，抛物线yy=aa(xx−1)2+92与x轴交于A，BB(4,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BBCCPP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由；(3)如图，点M是直线BBCC上的一个动点，连接AAMM，是否存在点M使AAMM+OOMM最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)yy=−12(xx−1)2+92，AA(−2,0)，CC(0,4)；(2)存在，PP(1,5)，(1,−3)，�1,2+√7�，�1,2−√7�；。

一、中考数学压轴题1．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）．（1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ；（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．2．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ． （Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标；（Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求ABN 的面积；（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案） 在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题． 小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △．小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．3．已知：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG ，求KG AK的值．4．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标，有序实数对（x ，y ）称为点P 的斜坐标，记为P （x ，y ）（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC 中的一边OA 在x 轴上，BC 与y 轴交于点D ， OA ＝2，OC ＝1．①点A 、B 、C 在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．②设点P （x ，y ）在经过O 、B 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． ③设点Q （x ，y ）在经过A 、D 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． （2）若ω＝120°，O 为坐标原点．①如图3，圆M 与y 轴相切原点O ，被x 轴截得的弦长OA ＝3，求圆M 的半径及圆心M 的斜坐标．②如图4，圆M 的圆心斜坐标为M （33y 轴的距离为1，则圆M 的半径r 的取值范围是 ．5．已知抛物线217222y x mx m 的顶点为点C ．（1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．6．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分BAC ∠交边BC 于点E ，经过点A D E 、、的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 里面相交于另一点G ．（1）求证：BC 是⊙F 的切线 ；（2）若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，求⊙F 的半径及线段AC 的长； （3）试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．7．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2252m mn n ++= ； （2）若点(,)p q 在反比例函数8x y =的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由； （3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为53． 8．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围；（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．9．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．10．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．11．如图，直角三角形ABC ∆中，90460ACB AC A ∠︒=∠︒＝，，＝，O 为BC 中点，将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在BC 上以每秒3的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由． 12．已知：如图①，在等腰直角ABC ∆中，斜边2AC =．（1）请你在图①的AC 边上求作一点P ，使得90APB ∠=︒；（2）如图②，在（1）问的条件下，将AC 边沿BC 方向平移，使得点A 、P 、C 对应点分别为E 、Q 、D ，连接AQ ，BQ ．若平移的距离为1，求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积；（3）将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ，是否存在这样的m ，使得在直线DE 上有一点M ，满足30AMB ∠=︒，且此时四边形ABDE 的面积最大？若存在，求出四边形ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值；若不存在，请说明理由．13．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点B ，24OC OB ==．（1）如图1，求a m 、的值；（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当154d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点P 的坐标．14．已知，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DC ，点E 在BC 延长线上，连接DE ，∠A ＋∠E ＝180°．（1）如图1，求证：CD=DE ；（2）如图2，过点C 作BE 的垂线，交AD 于点F ，请直接写出BE 、AF 、DF 之间的数量关系_______________________；（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC 的平分线，交CD 于G ，交CF 于H ，连接FG ，若∠FGH=45°，DF=8，CH=9，求BE 的长．15．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．16．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．17．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与CD 相交于点E ．（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积； （2）将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得AA B ''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．18．在菱形ABCD 中，P 为直线DA 上的点，Q 为直线CD 上的点，分别连接PC ，PQ ，且PC PQ =．（1）若60B ∠=︒，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图①，易证：DQ PD AB +=（不需证明）；（2）如图②，若∠B ＝120°，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图③，猜想线段DQ ，PD 和AB 之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并选择其中一种情况给予证明．19．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上，点C 在y 轴上90ACB ∠=︒，OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根，且OC OB <．（1）求点A 的坐标；（2）D 是线段AB 上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），过点D 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边AC 或边BC 于点P ，设点D 的横坐标为t ，线段DP 的长为d ，求d 关于t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，当12d =时，请你直接写出点P 的坐标．20．ABC 内接于O ，AB BC =，连接BO ；（1）如图1，连接CO 并延长交O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ；（2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF AB BF =，求证：BAF HAF ∠=∠；（3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为O 上一点，连接ED 、OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=︒，若OF 3=，FH 4=，1362EBD S ∆=，连接OE ，求线段OE 的长．21．已知四边形ABCD 为矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD ＝AO ．点E 、F 为矩形边上的两个动点，且∠EOF ＝60°．（1）如图1，当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时，若∠OEB ＝75°，求证：DF ＝AE ； （2）如图2，当点E 、F 同时位于AB 边上时，若∠OFB ＝75°，试说明AF 与BE 的数量关系；（3）如图3，当点E 、F 同时在AB 边上运动时，将△OEF 沿OE 所在直线翻折至△OEP ，取线段CB 的中点Q ．连接PQ ，若AD ＝2a （a ＞0），则当PQ 最短时，求PF 之长．22．已知菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，点M 在BC 边上，过点M 作PM ∥AB 交对角线BD 于点P ，连接PC ．（1）如图1，当BM=1时，求PC 的长；（2）如图2，设AM 与BD 交于点E ，当∠PCM=45°时，求证：BE DE 33+； （3）如图3，取PC 的中点Q ，连接MQ ，AQ ．①请探究AQ 和MQ 之间的数量关系，并写出探究过程；②△AMQ 的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．23．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =2，AC =4．对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC 、AD 于点E 、F ．（1）当α=_____°时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）在旋转的过程中，从A 、B 、C 、D 、E 、F 中任意4个点为顶点构造四边形， ①当α=_______°时，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．24．问题探究（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式；（3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ． ①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a的值为 ．（直接写出答案）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．B解析：（1）1.5；（2）3；（3）()))22293333153932733.30 1.51534934x y x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+-⎪⎪⎩≤≤≤≤＜＜ 【解析】【分析】（1）令PQ ⊥BC ，表示出BP 和BQ 的长，利用余弦的定义得出方程，求解即可；（2）根据△ABC 是等边三角形得出BQ=CM ，表示出PC 的长，结合余弦的定义得出方程，求解即可；（3）根据（1）和（2）中结论，分0≤x ＜1.5时，1.5≤x≤3时，3＜x≤4时三种情况画出图形，求出相应边长，可得函数解析式.【详解】解：（1）当PQ ⊥BC 时，BP=1.5x ，BQ=6-x ，∴BQ= 1.5cos cos60BP x ABC =∠︒，即6-x=1.512x ， ∴6-x=3x ，解得：x=1.5，∴当x=1.5时，PQ ⊥BC ；（2）∵△ABC 是等边三角形，QM ∥BC ，∴AQ=AM，BQ=CM，PC=6-1.5x，CM=6 1.51231cos602PCxx-==-︒，∴BQ=12-3x，AQ=x，∴12-3x+x=6，解得x=3，∴当点M落在AC上时，x=3（s）；（3）当0≤x＜1.5时，过Q作QE⊥BC于E，∵BQ=6-x，∴QE=BQsin∠B=BQsin60°，而DP=BPtan∠B=BPtan60°，y=S△BPQ-S△BPD=1122BP QE BP DP⋅-⋅=()()11sin60tan6022BP BQ BP BP︒-︒=2933342x x-；当1.5≤x≤3时，过点Q作QD⊥BC于D，可知：四边形QDPM为矩形，∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°，PM=MC·sin60°=BQ·sin60°，则y=S△PQM=12QM PM ⋅ =()1cos60sin 602BP BQ BQ -⋅︒⋅⋅︒ =2315393242x x -+-；当3＜x≤4时，如图所示，过点Q 作QE ⊥BC 于点E ，可知四边形QEPM 为矩形，∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan ∠B=1.5x-12（6-x ）=2x-3， ∵QM ∥BC ，∴△AQO 为等边三角形，∠MON=∠C=60°，∴AQ=OQ=AO=x ，∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3，∵PC=6-1.5x ，∠C=60°，∴NP=PC·tan ∠C= PC·tan60°=3632x ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭， ∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·sin ∠B-NP=（6-x ）·sin60°-3632x ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=333x -，y=S △PQM -S △NOM=1122MQ PM OM MN ⋅-⋅=2315393242x x -+--12（x-3）（333x -） =2273393x x -+- 故y 关于x 的函数解析式为()()()22293333153932422733.30 1.51534934x x y x x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+-⎪⎪⎩≤≤≤≤＜＜. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的应用—几何问题，难度较大，解题的关键是根据图形的运动情况分情况求解.2．A解析：（I ）30DAM ∠=︒，()3,3M；（II ）245；（III ）DF 的最大值为47-． 【解析】【分析】（Ⅰ）由折叠的性质得：△ANM ≌△ADM ，由角平分线结合得：∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函数可求DM 的长，写出M 的坐标； （Ⅱ）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，在Rt △ANQ 中，由勾股定理列等式可得关于x 的方程：（x+1）2=32+x 2，求出x ，得出AB 是AQ 的45，即可得出△NAQ 和△NAB 的关系，得出结论；（III ）如图3，过A 作AH ⊥BF 于H ，证明△ABH ∽△BFC ，得BH CF AH BC＝，Rt △AHN 中，AH ≤AN=3，AB=4，可知：当点N 、H 重合（即AH=AN ）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图4所示，求此时DF 的长即可．【详解】（I ）如图()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，3AD ∴=，4AB =，由折叠得：ANM ADM ≌△△，MAN DAM ∴∠=∠， AN 平分MAB ∠，MAN NAB ∴∠=∠，BAM MAN NAB ∴∠=∠=∠，四边形ABCD 是矩形，90DAB ∴∠=︒，30DAM ∴∠=︒， 3tan 3tan 30333DM AD DAM ∴=⋅∠=⨯︒=⨯=， 30DAM ∴∠=︒，()3,3M ； （II ）延长MN 交AB 的延长线于点Q ，四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴∥，DMA MAQ ∴∠=∠，由折叠得：ANM ADM ≌△△， DMA AMQ ∴∠=∠，3AN AD ==，1MN MD ==，MAQ AMQ ∴∠=∠，MQ AQ ∴=，设NQ x =，则1AQ MQ x ==+，90ANM ∠=︒，90ANQ ∴∠=︒，在Rt ANQ △中，由勾股定理得：222AQ AN NQ =+， ()22213x x ∴+=+，解得：4x =， 4NQ ∴=，5AQ =，4AB =，5AQ =，441412434552525NAB NAQ S S AN NQ ∴==⨯⋅=⨯⨯⨯=△△；（III ）如图3，过A 作AH BF ⊥于H ，四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴∥，90AHB BCF ∴∠=∠=︒，ABH BFC ∴∽△△， BHCF AH BC∴=， Rt AHN 中，3AH AN =≤，4AB =， ∴当点N 、H 重合（即AH AN =）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图4所示，由折叠得：AD AH =，AD BC =， AH BC ∴=，在ABH 和BFC △中，HBA BFC ANB BCF AH BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABH BFC AAS ∴≌（）△△， CF BH ∴=，由勾股定理得：2222437BH AB AH =-=-=7CF ∴=，DF ∴的最大值为47DC CF -=【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形全等和相似的性质和判定、折叠的性质、勾股定理、图形与坐标特点、特殊的三角函数值，熟练掌握折叠的性质是关键，注意图形与坐标特点，第II 问构建直角三角形，利用勾股定理列方程是关键．3．A解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）15KG AK = 【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得90AHG HAG ∠+∠=︒，进而得到90AGH ∠=︒，即可证明AG HD ⊥；（2）连接AC 、AD 、CF ，根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得HFA HAF ∠=∠，进而得到HF HA =，再根据已知HC HF =，得到HC HA =； （3）在DH 上截取DT HC =，过点C 作CM HD ⊥于点M ，通过证明AHC ≌ATD 得到AH AT =，进而得到HG CH GD +=，再根据F 为DG 中点，得到GF DF =，通过勾股定理逆用，证明90HCF ∠=︒，再通过解ACE △得1tan 3CAB ∠=，解△CDH 得1tan 2CDF ∠=，求得OF 、OH ，逆用勾股定理证明90HOF ∠=︒，易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=，最后求得KG AK 的值． 【详解】（1）证明：如图，设HAG ∠为α，∵HAG BDC ∠=∠，∴HAG BDC α∠=∠=，∵CD AB ⊥，∴90BDC DBE ∠+∠=︒∴90DBE α∠=︒-，∵AHG ∠与ABD ∠为同对弧AD 所对的圆周角，∴90AHG ABD α∠=∠=︒-，∴90AHG HAG ∠+∠=︒，∴18090AGH AHG HAG ∠=︒-∠-∠=︒∴AG HD ⊥（2）如图，连接AC 、AD 、CF ，∵AB 为直径，AB CD ⊥，∴CE DE =，∴AB 垂直平分CD ，∴AC AD =，FC FD =，∴ACD ADC ∠=∠，FCD FDC ∠=∠，∴ACD FCD ADC FDC ∠-∠=∠-∠，即ACF ADF ∠=∠，设FCD FDC α∠=∠=，ACF ADF β∠=∠=，∵ADH ∠与ACH ∠为同对弧AH 所对的圆周角，∴ADH ACH β∠=∠=，∴2HCF HCA ACF β∠=∠+∠=，∵HFC FCD FDC ∠=∠+∠，∴2HFC α∠=，∵HC HF =，∴HCF HFC ∠=∠，∴22αβ=，∴αβ=，∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∴90HDB β∠=︒-，∵HAB ∠与为HDB ∠同对弧BH 所对的圆周角，∴90HAB HDB β∠=∠=︒-，∵AB CD ⊥，∴9090BFD αβ∠=︒-=︒-，∵9090HFA BFD αβ∠=∠=︒-=︒-，∴HFA HAF ∠=∠，∴HF HA =，∴HC HA =；（3）如图，在DH 上截取DT HC =，∵ADH ∠与ACH ∠同对弧AH 所对的圆周角，∴ADH ACH ∠=∠，∵AB 为直径，且AB CD ⊥∴AC =AD ，∴AC AD =，∴AHC ≌ATD ，∴AH AT =，∵AG HT ⊥，∴HG TG =，∴HG CH GT DT GD +=+=，设2HG k =，则4CH k =，GD 6k =，∵F 为DG 中点，∴3GF DF k ==，∴5HF HG GF k =+=，FD =CF =3k ，在HCF 中，由勾股定理逆定理得90HCF ∠=︒，过点C 作CM HD ⊥于点M ，由△HCF 面积，可求CM =125k ， ∴229=5MF CF CM k -=， ∴1tan 2CM CM CDF MD MF FD ∠===+， 解ACE △得1tan 3CAB ∠=， 易求OF ，OH ，由勾股定理逆定理得90HOF ∠=︒， 易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=， ∴15KG AK =． 【点睛】本题考查圆与三角形综合，主要考查知识点有同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆用，解直角三角形，锐角三角函数等，知识点跨度大，计算量多；熟练掌握圆的性质和三角形相关知识是解决本题的关键．4．B解析：（1）①（2，0），（1，2），（﹣1，2）；②y＝2x；③y＝﹣22x+2；（2）①半径为2，M（4323,33）；②2＜r＜4【解析】【分析】（1）①如图2−1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；②如图2−2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；③如图3−3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．解直角三角形即可解决问题；②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN＝NE＝1时，⊙M的半径即可解决问题；【详解】解：（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．由题意OC＝CD＝1，OA＝BC＝2，∴BD＝OE＝1，OD＝CF＝BE＝2，∴A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)，故答案为：A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)．②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．∵OD∥BE，OD∥PM，∴BE∥PM，∴BE OEPM OM=，∴21y x=，∴y＝2x．故答案为：y＝2x．③如图2﹣3中，作QM∥OA交OD于M．222MQ DMOA DOx y∴=-∴=∴22y x=-+故答案为：y＝﹣22x+2．（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．∵ω＝120°，OM⊥y轴，∴∠MOA＝30°，∵MF⊥OA，OA＝3∴OF＝FA3∴FM＝1，OM＝2FM＝2，∴圆M的半径为2∵MN∥y轴，∴MN ⊥OM ，∴MN ＝233，ON ＝2MN ＝433， ∴M 4323,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． ②如图4中，连接OM ，作MK ∥x 轴交y 轴于K ，作MN ⊥OK 于N 交⊙M 于E 、F ．∵MK ∥x 轴，ω＝120°，∴∠MKO ＝60°，∵MK ＝OK ＝3∴△MKO 是等边三角形，∴MN ＝3， 当FN ＝1时，MF ＝3﹣1=2， 当EN ＝1时，ME ＝3+1=4，观察图象可知当⊙M 的半径r 的取值范围为2＜r ＜4．故答案为：2＜r ＜4． 【点睛】本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．5．（1）详见解析；（2）3m =，点C 坐标为(3,2)-；（3）5k =或417k或417k 时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】【分析】（1）从2172022x mx m 的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；（2）根据抛物线的对称轴32bx a 来求m 的值；然后利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式，由此可以写出点C 的坐标；（3）根据平行四边形的性质得到：215|1(3)|422MN k k k CD ．需要分类讨论：①当四边形CDMN 是平行四边形，2151(3)422MN k kk ，通过解该方程可以求得k 的值；②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)422NMk k k ，通过解该方程可以求得k 的值．【详解】 解：（1）2217()4(2)(2)322m m m ， ∵不论m 为何实数，总有2(2)0m -≥，2(2)30m ，∴无论m 为何实数，关于x 的一元二次方程2172022x mx m 总有两个不相等的实数根，∴无论m 为何实数，抛物线217222yx mx m 与x 轴总有两个不同的交点． （2）抛物线的对称轴为直线3x =，3122m，即3m =，此时，抛物线的解析式为221513(3)2222yx x x ， ∴顶点C 坐标为(3,2)-；（3）//,CD MN C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDMN （直线在抛物线的下方），如图所示，由已知215(3,2),(,1),(3)22D M k k N k k k ，， (3,2)C ， 4CD ∴=，2151(3)422MN k k k CD ，①当四边形CDMN 是平行四边形，2151(3)422MN k k k ，整理得，28150k k -+=，解得13k =（不合题意，舍去），25k =；②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)422NM k k k ，整理得2810k k ，解得，12417417k k ，， 综上，5k =或417k 或417k时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． 6．E解析：（1）详见解析；（2）52r =，55AC +=；（3）2AG AD CD =+，理由详见解析．【解析】【分析】（1）连接EF ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC ，得到FE ∥AC ，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出半径的长，证FEB ∆∽AOD ∆，求出BF 的长，再证BFE ∆∽BAC ∆，即可求出AC 的长；（3）过点F 作FR AC ⊥于点R ，得到四边形RCEF 是矩形，得到EF=RC=RD+CD ，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）如图，连接EF ，∵AE 平分BAC ∠，FAE CAE ∴∠=∠，FA FE =，FAE FEA ∴∠=∠，FAE EAC ∴∠=∠，//FE AC ∴，90FEB C ∴∠=∠=︒，又E 为⊙F 上一点，BC ∴是⊙F 的切线；（2）如图，连接FD ，设⊙F 的半径为r ，∵点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，1,2,1OA OD OF r ∴===-，5AD ∴=在Rt FOD ∆中，由勾股定理得，222FD OF OD =+，222(1)2r r ∴=-+， 解得52r =， 即⊙F 的半径为52， 90ODA OAD EBF OAD ∠+∠=∠+∠=︒，ODA EBF ∴∠=∠，90AOD FEB ∠=∠=︒，∴FEB ∆∽AOD ∆，EF BF OA DA ∴=，即2.515= 552BF ∴=， 555BA +∴=， //EF AC ，∴BFE ∆∽BAC ∆，EF BF AC BA ∴=，即55522555AC =+， 55AC +∴= （3）2AG AD CD =+．理由如下：如图，过点F 作FR AC ⊥于点R ，则∠FRC=90°，∵∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF 为矩形，EF RC RD CD ∴==+，FR AD ⊥，AR RD ∴=，12EF RD CD AD CD ∴=+=+， 22AG EF AD CD ∴==+．【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．7．（1）①不是；②0；（2）若点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程，理由详见解析；（3）详见解析【解析】【分析】（1）①解方程2280x x --=，根据“半等分根方程”定义作出判断即可；②解方程(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-，所以12n m -=或2n m -=，即：n =-2m 或m =-2n ，分别代入代数式2252m mn n ++=结果均为0 （2）根据点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上，得到8q p =，代入260px x q -+=，得到关于x 的方程2860px x p-+=，解方程，用含p 的式子表示x ，根据“半等分根方程”定义判断即可； （3）根据两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线上，且纵坐标相等，可以求出对称轴为52x =，根据方程20ax bx c ++=是半等分根方程，得到两根关系，根据抛物线对称轴为 12522x x +=，即可求出两个根，问题得证． 【详解】解：（1）①解方程2280x x --=得124,2x x ==-，不符合“半等分根方程”定义， 故答案为：不是；②解方程(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-，所以12n m -=或2n m-=，即：n =-2m 或m =-2n ， 当n =-2m 时，()()22225522022m mn n m m n m ++=+-+-=； 当m =-2n 时，()()22225522022m mn n n n n n ++=-+-+=； 故答案为：0； （2）若点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程 理由：∵点(,)p q 在反比例函数8y x =的图象上 ∴8q p=代入方程260px x q -+=得： 2860px x p -+= 解得：12x p =，24x p = ∵1212x x = ∴方程260px x q -+=是半等分根方程（3）∵相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上， ∴抛物线的对称轴为：(1)(4)522t t x ++-== 又∵方程20ax bx c ++=是半等分根方程∴设20ax bx c ++=的两个根分别为1x 和2x令1212x x =则有：12522x x += 所以153x =，2103x = 所以方程20ax bx c ++=的一个根为53得证． 【点睛】本题为“新定义问题”，考查了学生自主学习的能力，解决此题关键是理解新定义概念，并结合所学数学知识进行解答．8．A解析：（1）()1,1E -；（2）12m -≤≤-或01m ≤≤3）9t ≤≤.【解析】【分析】（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点"倍增点"在O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确定“倍增点”横坐标的范围；（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可．【详解】（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，32DC ==⨯∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；()1,1E -到线段BC 的距离为1，3EC ==>,∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；()0,2F 到线段BC 的距离为2，32FC ==<⨯∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点；综上，()1,1E -是线段BC 的倍增点；（2）设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ，当点在O 外时，222(2)8,m m +-+≤解方程222(2)8m m +-+=，得11m =21m =当点在O 内部时，43(4+≥解得：m≥0或m≤-2∴直线l上“倍增点”的橫坐标的取值范围为1312 m-≤≤-或0131m≤≤+；（3）如图所示，当点G(1,0)为T"倍增点"时，T(9,0)，此时T的横坐标为最大值，当点H(0,1)为T“倍增点”时，则T(63，此时T的横坐标为最小值；∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为：639t-≤≤．【点睛】在正确理解点A是图形M的“倍增点”定义的基础上，利用（1）判断是否是倍增点的不等关系式，即可列不等式组求解范围．9．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t tSt t t⎧⎛⎫<≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<<⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t的值为477或727．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan3A=，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分．【详解】（1）如图1，点N在AC上图1 由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t ∴PN=PQ=2t ∵4tan 3A = ∴43NP AP =，即2473t t =- 解得：t=145 （2）①如图2，图2 四边形PQMN 是正方形， 90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -=解得73t =， 故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==； ②如图3， 图3 90BQF ∠=︒，45B ∠=︒，7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，则37MF MQ QF t =-=-，90M ∠=︒，37ME MF t ∴==-，则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩．（3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G图4∵4tan 3A =∴设CG=4x ，则AG=3x ∵∠B=45°∴△CBG 是等腰直角三角形 ∴GB=GC=4x ∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2 ∴1148562ABCS == ∴1282ABCS =情况一：PM 所在的直线平分△ABC 的面积，如下图，PM 与BC 交于点E图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=214∴PB=47∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H图6同理，28AFQS=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°∴△FHQ是等腰直角三角形∵4 tan3A=∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y∴174282AFQS y y==，解得：2∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t∴2解得：27∴综上得：t的值为477或727．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．10．A解析：（1）①(1,2),(2.5,0)A C ；②2232m -+≤≤；（2）最小值为2． 【解析】 【分析】（1）①根据“特征点”的定义判断即可；②如图2中，当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，1(22,0)W -，当⊙W 2与直线y =−x +3相切时，2(32,0)W +，结合图象，⊙W 与图中阴影部分有交点时，⊙W 上存在满足条件的特征点．（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x+的值最小（如图3中）． 【详解】解：（1）①∵1+2=3，1+3=4，2.5+0=2.5， 又∵2≤a ≤3， ∴A ，C 是特征点，故答案为：(1,2),(2.5,0)A C ； ②如图1，∵2≤a ≤3，∴直线y =−x +2和直线y =−x +3之间的区域（包括两直线）上的点都为“特征点”， 直线y =−x +2和直线y =−x +3分别与x 轴的交点为(2,0)P ，(3,0)Q ，当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，设切点为M ，此时2OP =，1MW MP ⊥，145MPW ∠=︒，则1MPW 为等腰直角三角形， ∵⊙W 1半径为1，即11MW =，∴12PW =1122OW OP PW =-=- ∴1(22,0)W ，当⊙W 2与直线y =−x +3相切时，设切点为N ，此时3OQ =，2NW NQ ⊥，245NQW ∠=︒，则2NQW 为等腰直角三角形， 同理得：22QW =，则2232OW OQ QW =+=+，∴2(32,0)W +，观察图象可知满足条件的m取值范围为：2232m -≤≤+； （2）根据0x >，在第一象限画出1y x=的图象， ∴在此坐标系中图象上的点就是1x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，∵特征点满足x y a +=（x ≥0，a 为常数）， ∴在此图象上对应的就是1x a x+=， ∴将特征点的图象由原点向外扩大，当与反比例函数1y x =的图象第一次有交点时，1x x+出现最小值， 如图2，由x >0可将1x a x+=整理得：210x ax -+=， ∴2()40a ∆=--=，解得：12a =，22a =-（舍去），∴2a =， ∴12Z x x =+=，即()10Z x x x=+>的最小值为2．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了直线与圆的位置关系，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．11．C解析：（1）2233(06)2253103343(68)8333031503(810)t S t t t t +⎪⎪⎪=-+-<⎨-+<⎪⎩，S 的最大值为632）存在，m 的值为165或32163-163或1423-.。