辽宁省沈阳市东北育才学校高三数学第五次模拟考试试题 理

辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三第五次模拟考试（理）试卷综析：试卷整体结构及难度分布合理，贴近高考，着重考查基础知识、基本技能、基本方法(包括基本运算)和数学基本思想，对重点知识作了重点考查，主要检测学生对基本知识的掌握以及解题的一些通性通法，同时也注重考查学生的数学素养的考查，试题有所创新。

第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合，若（为自然对数底），则（ ） A.B.C.D.【知识点】对数的运算性质，元素与集合关系. 【答案】C 【解析】∵=e>2, ∴，故选C.【思路点拨】由对数运算性质得m 值，进一步得出正确选项. 2.设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非不充分不必要条件 【知识点】充分条件，必要条件. 【答案】A 【解析】∵ 若“”则“”，是真命题；而若“”则“”当a=0时不成立，是假命题.故选A.【思路点拨】通过判断命题：若“”则“”与若“”则“”的真假获得结论. 3.若，则（ ） A.B.C.D.【知识点】复数的有关概念与运算. 【答案】B 【解析】()()111122121i i i +-+--=+-=+【思路点拨】根据共轭复数、复数的模、复数积得意义求解. 4.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）A．B．C．D．【知识点】对数的性质，不等式的性质.【答案】D【解析】由得a>b>0,所以111 332a b b 骣骣骣鼢?珑?鼢?<<珑?鼢?珑?鼢?桫桫桫，故选D.【思路点拨】由对数的性质得a>b>0，再由函数的单调性得结论.5.阅读如下图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列前项的和B．计算数列前项的和C．计算数列前项的和D．计算数列前项的和【知识点】算法与程序框图.【答案】C【解析】循环过程依次是：（1）A=1，i=2;(2)A=3,i=3; (3)A=7,i=4; (4)=15,i=5;(5)A=31,i=6; (6)A=63,i=7.而7>6成立，所以输出A=63.它是数列前项的和，故选C. 【思路点拨】根据程序框图描述的意义，分析框图执行的结果，从而得该算法的功能.6.设满足则（）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值.【知识点】简单的线性规划.【答案】B【解析】画出可行域，平移直线y=-x+z 得，目标函数在（2，0）处取最小值，无最大值，故选B.【思路点拨】画出可行域，平移直线y=-x+z 得结论.7.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点】几何体的三视图，几何体的结构. 【答案】C【解析】由三视图可知此四棱锥是底面边长2，一条侧棱与底面垂直，其长2，与这条棱相对的另一条棱的长为22，剩余两条侧棱长为6，可求得这个四棱锥的侧面积为，故选C.【思路点拨】由三视图得此几何体的结购及各棱长，从而求得此几何体的侧面积. 8.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为（ ） A ．B ．C ．D ．【知识点】双曲线的性质. 【答案】D【解析】根据题意得PQ ⊥x 轴，则22212124162PF PF C PF PF a ìï-==ïïíï-==ïïî，解得， 1283PF PF +=,则△的周长为121632()PF PF +=，故选D.【思路点拨】根据题意得，△是以PQ 为底边的等腰三角形，由勾股定理及双曲线的定义求得12833PF PF +=，进而求得△的周长.9.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是（ ） A ．B ．C ．D ．【知识点】平移变换. 【答案】A 【解析】将函数的图象向左平移个单位得，函数2sin 2sin 2cos22cos 1662y x x x x p p p 轾骣骣鼢珑犏鼢=++=+==-珑鼢犏珑鼢桫桫犏臌图像，再将这个函数图像向上平移一个单位得，222cos 112cos y x x =-+=图像.故选A. 【思路点拨】由平移变换的意义得正确选项. 10.已知数列为等比数列，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点】等比数列的的性质，定积分. 【答案】C 【解析】由，得，()22013201520131a a a qp +=+=，所以=()232222013201320132013201321a a q a q a q a q qp 骣÷ç÷ç++=+=÷ç÷ç桫，故选C.【思路点拨】由定积分的几何意义得p =ò，再由等比数列两项关系得所求.11.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为（ ） A ．B ．C ．D ．【知识点】几何体的结构，旋转组合体的性质.【答案】C【解析】根据题意得，圆锥的轴截面是等边三角形，其内切圆半径为1，则高为3，所以此三角形边长为: 21333pp 创=,故选C.【思路点拨】由已知得此组合体的结构：圆锥的轴截面是等边三角形，其内切圆半径为1，由此得圆锥的体积. 12.已知R ，且≥对∈R 恒成立，则的最大值是（ ） A ．B ．C ．D ．【知识点】导数的应用，数形结合法确定不等式恒成立的条件. 【答案】A【解析】即1x ax e b +?对∈R 恒成立，设直线y=ax 与曲线1x y e b +=-相切的切点为()010,x x eb +-，又1x y e +¢=，则01ln 1x a ex a +=?-，所以，()ln 12ln a b a a ba a a -=-?-，所以222ln ab a a a =-，设：22()2ln f a a a a =-，则()32l n 0f a a a a ¢=-=得32a e =，可判断f(a)在32a e =处有最大值，所以的最大值是：33322333222312()()ln()222e e e e e e ?=-=，故选A. 【思路点拨】≥对∈R 恒成立，即1x ax e b +?对∈R 恒成立，即直线y=ax恒在曲线1x y eb +=-的下方，为此先求直线y=ax 与曲线1x y e b +=-相切的条件，2ln b a a a =-，再用导数法求得ab 的最大值.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13.若的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则.【知识点】二项式定理的性质. 【答案】6【解析】根据题意得：64264262nn n n===?.【思路点拨】根据二项式定理的性质，列出关于n 的方程求解.14. 有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率是 .【知识点】古典概型的概率求法.【答案】1920【解析】五个位置的全排列为5！，其中三个r 位置无论如何互换都正确，即在5！种排法中，有3！种正确排法，所以所求概率为：3!1915!20-=. 【思路点拨】先求正确排法种数及所有排法种数，再用减法得所求概率. 15. 已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，且。

辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第五次模拟预测数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集U 为实数集R ，集合{}|02A x x =<<，集合{}|lg 0B x x =>，则图中阴影部分表 示的集合为 （ ）A.{|01}x x <≤B.{|02}x x <<C.{|1}x x <D.∅（2）已知i 是虚数单位，若12(,)ii a b a bi-=+∈+R ，则复数a bi +在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（3）已知向量(3,1),(1,2)a b =-=-，则向量a 与b 夹角,a b <>等于（ ）A ．34π B ．23π C ．3π D ．4π（4）过抛物线28y x =-的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线1x =的距离之和等于8，则这样的直线（ ）A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在（5）为了了解我校今年新入学的高一A 班学生的体重情况，将所得的 数据整理后，画出了频率分布直方图(如右图)，已知高一A 班学生人数 为48人，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，则第2小 组的频数为（ ）A.16B.14C.12D.11（6）已知命题p:函数()1xf x x =-的图象的对称中心坐标为(1,1)；命题q ：若函数()g x 在区间[],a b 上是增函数，则有()()()()()bag a b a g x dx g b b a -<<-⎰成立.下列命题为真命题的是( )A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.p q ⌝∧⌝（7）若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图， 则输出的S 值为 （ ）A.4B.5C.7D.9（8）已知点(,)P x y 是双曲线:C 22(0)x y a a -=>右支上动点，双曲线C 的过点P 的切线分别交两条渐近线于点,A B ，则OABA.随x 的增大而增大B.随x 的增大而减小 C. 2a D. a（9）设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且满足(4)n n nT n S =+，则89a b 的值为（ ） A. 1317 B. 89 C.57 D. 813（10）设函数2log |1|(1)() 2 (1)x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，若关于x 的方程2()()0(,)f x bf x c b c R ++=∈恰有5个不同的实数解(1,2,3,4,5)i x i =，则51()i i f x =∑的值为（ ）A.8B.5C.4D.2（11）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，12AA =，底面ABCD 的边长均大于2，且45DAB ∠=，点P 在底面ABCD 内运动且在,AB AD 上的射影分别为M ，N ，若2PA =，则三棱锥1P D MN -体积的最大值为（ ）1B.11)3C.1(23D.1(23+(12) 定义在()02π，上的函数()f x ,()f x '是它的导函数,且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立,则（ ） A()()43ππ>B ．()()12sin16f f π< C()()64f ππ>D()()63f ππ<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． （13）如图，已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的最长的棱长为________(cm).（14）数列{}n a 的首项为2，数列{}n b 为等比数列且563b b =，则11a 的值为______.（15）若b a ,是两个非零向量,且]1,33[|,|||||∈+==λλb a b a ,则b 与b a -的夹角的 取值范围是____.(16) 已知0a >且1a≠,则使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解时的k 的取值范围为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）(本小题满分12分)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，且2sin sin sin sin sin sin A C A B B C =+． （Ⅰ）求角B 的最大值；（Ⅱ）设向量sin ,1)22B B =+-a，(2cos 2B=b ，求a b 的取值范围.（18）(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90PAB ABC ∠=∠=，//AD BC ，2PA AB BC AD ===，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A PD E --的余弦值．（19）（本小题满分12分）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷” 冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与. 志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示：（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及数学期望.（20）(本小题满分12分)已知双曲线C ：2212y x -=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线M 是以A 、B 两点为短轴端的椭圆．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆M 相交于另一点T ．（Ⅰ）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x =；（Ⅱ）设T A B ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB ≤9u u r u u r g ，求12S S ⋅ 的最大值．CD（21）(本小题满分12分)已知函数()2ln ()f x mx m x m =--∈R ． （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）若()0f x ≥恒成立，证明：当120x x <<时，21211()()11()2f x f x x x x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭（22）(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，过B 作圆O 的切线交AD 的 延长线于E ，若BD 是CBE ∠的平分线.证明： （Ⅰ）AD 是BAC ∠的平分线; （Ⅱ）AB BE AE CD ⋅=⋅.（23）(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴，以2πθ=的射线作为y 轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系,已知曲线C 的直角坐标方程为222x y +=，直线l 的参数方程12x ty t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设平面上伸缩变换的坐标表达式为2X xY y ==⎧⎨⎩，求C 在此变换下得到曲线C '的方程，并求曲线C '内接矩形的最大面积．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x x x =-++，不等式()4f x ≥的解集为M ． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当,a b M ∈时，证明：2|||1|2a ab b+≥+高三年级第五次模拟考试数学科试卷数学（理）参考答案一．选择题 ADABC ACDCD BD二．填空题 13. 4 14. 486 15. 25[,]36ππ16. 01k <<或1k <- 三．解答题（17）解：（Ⅰ）由2sin sin sin sin sin sin A C A B B C =+得2sin sin sin sin sin A CB A C=＋， 由正弦定理知2,acb a c+＝……………………………………………………2分 故2222222()1cos 2222122ac a c a c b c a a c B c a ac ac a c a c+-+-+===+-++，因为122c a a c +≥=，所以11cos 122B ≥-=， ……………………………4分又因为cos y x =在[0,]π上是减函数，所以Ｂ的取值范围是(0,]3B π∈．因此角B 的最大值3π． ………………………………………………………………6分（Ⅱ）sin cos )2sin()3B B B π=+=+a b ，…………………………8分由（Ⅰ）得2,333B πππ<+≤2sin()23B π≤+≤2≤≤a b ……………………………………12分（18）（Ⅰ）证明：侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90PAB ABC ∠=∠=，//AD BC ， 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，AD AB ⊥，如图，以点A 为坐标原点，分别以直线AD ， AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. ………………………………2分 设22PA AB BC AD ====，E 是PC 的中点，则有，(0,0,2)P ，(1,0,0)D ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(1,1,1)E ，于是(0,1,1)DE =，(0,2,2)PB =-，(2,2,2)PC =-，因为0DE PB =，0DE PC =，所以DE PB ⊥，DE PC ⊥，且PB PC P =， 因此DE ⊥平面PBC …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB ==1n ，设平面PCD 的法向量为2(,,)x y z =n ，(1,0,2)PD =-，(2,2,2)PC =-，则220,0,PD PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n nC所以20,2220,x z x y z -=⎧⎨+-=⎩不妨设1z =，则2(2,1,1)=-n ，于是12cos ,<>==n n ， …………………………………………………10分 由题意可知所求二面角为钝角，因此二面角A PD E --的余弦值为6-．……………12分（19）解：（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是515010=所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210⋅=人，参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有130310⋅=人，……2分故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是23257110C P C =-=………4分（Ⅱ）女生志愿者人数0,1,2X =则21222033(0)95C P X C ===1112822048(1)95C C P X C ===2822014(2)95C P X C ===……………9分 ∴X 的分布列为 ……………10分∴X 的数学期望为481476()01295959595E X =⋅+⋅+⋅=……………12分（20）解：（Ⅰ）依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．设椭圆M 的方程为2221y x b+=()1b >，因为椭圆M 的离心率为2，所以2b =，即22b =． 所以椭圆M 的方程为2212y x +=． …………………………2分 证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，联立方程组()221,1.2y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理，得()22222220k x k x k +++-=，……………………………4分 解得1x =-或2222k x k -=+．所以22222k x k -=+． 同理可得，21222k x k +=-…所以211x x =． ………………………6分 证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111APy k x =+，221AT y k x =+．因为AP AT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++． 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221112y x -=，222212y x +=． 即()221121y x =-，()222221y x =-．所以()()()()22122212212111x x x x --=++， 即12121111x x x x --=++．所以211x x =． ………………………6分（Ⅱ）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为9PA PB ⋅≤，所以()()2111119x x y ---+≤，即221110x y +≤．因为点P 在双曲线上，则221112y x -=，所以22112210x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤． …………………8分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==，所以()()222122222212212122(1)11(1)42x x S S y y x x --⋅=⋅==--．由（Ⅰ）知， 211x x =．设21t x =，则14t <≤，221212S S t t ⋅=+-．因为1()f t t t =+在区间](1,4上单调递增，max ()(4)f t f =．所以22121924S S t t ⋅=+-≤即当12x =时，()12max 32S S ⋅= …………………………………12分（21）解：（Ⅰ）/2()mx f x x-=，0x >．若0m ≤，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上递减；若0m >，当2(0,)x m∈)时，()0f x '<，()f x 在2(0,)m 上单调递减；当2(,)x m ∈+∞)时，()0f x '>，()f x 在2(,)m+∞单调递增．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若0m ≤，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上递减， 又f (1)＝0，故f (x ) ≥0不恒成立．若2m >，当2(,1)x m∈时，()f x 单调递增，()(1)0f x f <=，不合题意． 若02m <<，当2(1,)x m∈时，()f x 单调递减，()(1)0f x f <=不合题意．若2m =，()f x 在(0,1)上单调递减；()f x 在(1,)+∞单调递增．()(1)0f x f ≥=，符合题意．故2m =，且ln 1x x ≤-（当且仅当x ＝1时取“＝”）． ……………………8分当120x x <<时，221211()()2[()ln ]xf x f x x x x -=--因为2211ln 1x x x x <-，所以2212121111()()2[()(1)]2()(1)x f x f x x x x x x x ->---=--因此21211()()11()2f x f x x x x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭……………………12分（22）证明:（Ⅰ）因为 BE 是圆O 的切线， 所以EBD BAD BCD ∠=∠=∠， 又因为BD 是CBE ∠的平分线， 所以CBD BAD ∠=∠，于是CAD CBD BAD ∠=∠=∠，所以AD 是BAC ∠的平分线 …………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知ABE ∽BDE所以AE AB BE BD=， 在BCD 中，BCD CBD ∠=∠， 所以BD CD =，于是AE ABBE CD=， 因此AB BE AE CD ⋅=⋅ .....…………………………………10分 （23）解：（Ⅰ）:220l x y +-=， 曲线C：ρ=.... …………………………………4分（Ⅱ）因为伸缩变换的坐标表达式为2X x Y y==⎧⎨⎩，所以曲线C 在此变换下的方程为 22182X Y += .....…………………………………6分椭圆的参数方程为X Y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为4||8|sin 2|S XY α== .....…………………………………8分因此，当4πα=时，曲线C '内接矩形的面积最大，为8．...…………………………………10分（24）解：（Ⅰ）()|1||1|f x x x =-++2,12,112,1x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，由24x -≥，得2x ≤-；当11x -≤≤时，由()24f x =<得()4f x ≥无解； 当1x >时，由24x ≥，得2x ≥； 所以{}|22M x x x =≤-≥或．…………………………5分（Ⅱ）当,a b M ∈时，即224,4a b ≥≥因为22222222224(4)(4)()(1)10244a a a a a b b b b b b --+-+=+--=≥ 所以222()(1)2a a b b +≥+ ，因此2|||1|2a a b b+≥+ …………………………10分。

东北育才学校高中部2016届高三第五次模拟数学试题（理科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题：高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.复数2iz i+=的共轭．．复数是 A. 2i +B. 2i -C. 12i +D. 12i -2.设函数(1)1lg(2),(1)()10,(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,则(8)(lg 40)f f -+= A ．5B ．6C ．9D ．223．若命题“R x ∈∃0,使得20030x ax a +++<”为假命题，则实数a 的取值X 围是 A ．[]62-， B ．)2,6(-C ．[]26-， D ．)6,2(-4.已知公比为q 的等比数列{}n a ，且满足条件1>q ，272=+a a ，1554-=a a ，则=12aA ．2527-B ．325C ．2527-或325D ．325-5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四 个面的面积中最大的是535D.356.已知30π=x 是函数)2sin()(ϕ+=x x f 的一个极大值点，则)(x f 的一个单调递减区间是A ．)32,6(ππ B ．)65,3(ππ C ．),2(ππD ．),32ππ7.若执行右面的程序框图，则输出的k 值是A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 8.已知直线1:+=x y l 平分圆4)()1(:22=-+-b y x C 的周长，则直线3=x 与圆C 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定9.设O 为坐标原点，()1,2M ，若(),N x y 满足{24020x y x y +-≤-+≥，则OM ON ⋅的最大值为A ．10B ．8C ．6D ．410.如图所示的阴影部分是由底边长为1，高为1的等腰三角形及宽为1，长分别为2和3的俯视图侧（左）视图正（主）视图1122331n n =+开始n =3，k =0 n 为偶数n =8输出k 结束k =k +1 是否是否2nn =两矩形所构成.设函数)0)((≥=a a S S 是图中阴影部分介于平行线0=y 及a y =之间的那一部分的面积，则函数)(a S 的图象大致为11．如图，已知12,F F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的下，上焦点，过2F 点作以1F 为圆心，1OF 为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 C12.函数)(x f 是定义在区间),0(+∞上的可导函数，其导函数为f 且满足0)(2)(>+'x f x f x ，则不等式2016)5(55)2016()2016(+<++x f x f x 的解集为 A ．{}2011->x B ．{}2011-<x xC ．{}02011<<-x x D.{}20112016-<<-x x第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.6)21)(12(x xx +-的展开式中的常数项是.14.将边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为________.15.用五种不同的颜色给图中编号为1-6的六个长方形区域涂色,要求颜色齐全且有公共边的区域不同色,则共有 种不同 的涂色方案.16.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为S ，已知b A c C a 232cos 2cos 22=+. （Ⅰ）求证：c b a 、、成等差数列； （Ⅱ）若，34,3==S B π求b .1频数（天）步数(千步)231918171618. (本小题满分12分)李师傅为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计，他最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.图1 表1（Ⅰ）求李师傅这8天 “健步走”步数的平均数（千步）；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设李师傅这2天通过健步走消耗的“能量和”为X ，求X 的分布列.19.(本小题满分12分)已知长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，E 为11C D 的中点，如图所示.(Ⅰ)在所给图中画出平面1ABD 与平面EC B 1的 交线（不必说明理由）；(Ⅱ)证明：//1BD 平面EC B 1；(Ⅲ)求平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其离心率21=e ，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点,A C 和,B D ，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，其中λ为实数． 当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的57λ=．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)当λ变化时，AB k 是否为定值？若是，请求出此 定值；若不是，请说明理由． 21.（本小题满分12分） 已知函数)1,0(,2sin)(2∈++=x x ax x x f π.（Ⅰ）若)(x f 在定义域内单调递增，某某数a 的取值X 围；（Ⅱ）当2-=a 时，记)(x f 的极小值为)(0x f ，若)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+.ACDA 1B 1C 1BD 1E请考生在22、23、24三题中任选一题作答。

东北育才学校高中部2016届高三第五次模拟数学答案（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分．1.C2.B3.C4.D5.C6.B7.A8.B9.D 10.C 11.B 12.D 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.160- 14.π5 15.1080 16.12-三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（1）由正弦定理得：B A C C A sin 232cos sin 2cossin 22=+ 即B A C C Asin 232cos 1sin 2cos 1sin =+++………2分 ∴B C A C A C A sin 3sin cos cos sin sin sin =+++即B C A C A sin 3)sin(sin sin =+++ ………4分 ∵B C A sin )sin(=+∴B C A sin 2sin sin =+即b c a 2=+∴c b a 、、成等差数列. ………6分（余弦定理也可解决） （2）∵3443sin 21===ac B ac S ∴16=ac ………8分 又ac c a ac c a B ac c a b 3)(cos 2222222-+=-+=-+= ………10分由（1）得：b c a 2=+∴48422-=b b∴162=b 即4=b ………12分18.解: (I) 李师傅这8天 “健步走”步数的平均数为16317218119217.258⨯+⨯+⨯+⨯=（千步）. …………………………..4分（II ）X 的各种取值可能为800，840，880，920.23261(800)5C P X C ===,1132262(840),5C C P X C === 112312264(880),15C C C P X C +===1121262(920),15C C P X C === X 的分布列为：…………………………..12分19.（1）连接1BC 交C B 1于M ，则直线ME 即为平面1ABD 与平面EC B 1的交线，如图所示； ……………………2分 （2）由（1）因为在长方体1AC 中，所以M 为1BC 的中点，又E 为11C D 的中点 所以在B C D 11∆中EM 是中位线，所以1//BD EM ………………………………4分 又⊂EM 平面EC B 1，⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1……………6分 （3）因为在长方体1AC 中，所以1,,DD DC DA 两两垂直，于是以1,,DD DC DA 所在直线分别为z y x ,,轴，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为2==AB AD ,11=AA ，所以)0,0,0(D ，)1,0,0(1D ，)0,2,2(B ，)1,2,2(1B ，)0,2,0(C ，)1,1,0(E .所以)1,2,2(1--=BD ，)1,0,2(1=CB ，)1,1,0(-=CE令平面EC B 1的一个法向量为),,(z y x = 所以m CB ⊥1，m CE ⊥，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01CB ，即⎩⎨⎧==+z y z x 02，不妨令1-=x ， 得到平面EC B 1的一个法向量为)2,2,1(-=m ，………………………………………8分 令平面1ABD 的一个法向量为),,(z y x =,所以n BA ⊥，BD ⊥1，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01n BD ，即⎩⎨⎧=+--=-02202z y x y ，不妨令1=x ， 得到平面1ABD 的一个法向量为)2,0,1(=n ，………………………………………10分因为<,cos 555941=⋅+-=.………………………………………11分 所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为55arccos .…………………12分 20.解：（1）因为2214a c =，所以2234b a =， 因为(,0)C a ，57λ=，所以由AP PC λ= ，得12512(,)77a A -， 将它代入到椭圆方程中，得2222(125)121349494a a a -+=⨯，解得2a =，所以2,a b ==．所求方程为22143x y += …………………4分由AP PC λ= ，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=11111313λλy y x x…………………6分从而121234y y x x -=--，即34AB k =-为定值． …………………12分法二：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由A P P Cλ=，得131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩， …………………6分将,A B 坐标代入椭圆方程得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得12121213()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 即12123()4()0AB x x y y k +++=， 同理，34343()4()0CD x x y y k +++=，而AB CD k k =，所以34343()4()0AB x x y y k +++=, …………………10分 所以34343()4()0AB x x y y k λλ+++=，所以132413243()4()0AB x x x x y y y y k λλλλ+++++++=， 即6(1)8(1)0k λλ+++=，所以34AB k =-为定值． …………………12分21.解：()2cos22f x x a x ππ'=++∵f (x )在定义域(0，1)内单调递增∴()0f x '≥在(0，1)内恒成立，即2cos22a x ππ--≥在(0，1)内恒成立令()2cos 22g x x x ππ=+，则2()2sin 42g x x ππ'=-∵()g x '在(0，1)内单调递减，且(0)0(1)0g g ''><，∴()g x '在(0，1)上存在唯一零点m∴g (x )在(0，m )上递增，在(m ，1)上递减，∴(0)(1)2a g a a g π-⎧⇒-⎨-⎩≥≥≥…………5分证明：当2a =-时，()22cos22f x x x ππ'=-+令()22cos 22h x x x ππ=-+，则2()2sin 42h x x ππ'=-由(1)知，()h x '在(0，1)上存在唯一零点m∴()()f x h x '=在(0，m )上递增，在(m ，1)上递减∵(0)20(1)02f f π''=-+<=，，∴()0f m '> ∵f (x )的极小值为f (x 0)，∴0()0f x '=，因此001x m <<< ∴f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，1)上单调递增不妨设x 1<x 2，∵f (x 1) = f (x 2)，∴10201x x x <<<< 令00()()()F x f x x f x x =+--，则0000()()()44cos cos22x xF x f x x f x x x πππ'''=++-=-+∵()F x '在(0，1)递减，∴()(0)0F x F ''<= ∴F (x )在(0，1)递减，∴F (x ) <F (0) = 0，00()()f x x f x x +<-又1200200202()()(())(())(2)f x f x f x x x f x x x f x x ==--<+-=- ∵021x x <<，∴02002x x x <-<∵100x x <<，f (x )在(0，x 0)上单调递减，∴1022x x x >-，即1202x x x +> ……12分 22.解：（1）由PA 为圆O 的切线,得PAB ACP ∠=∠， 又P ∠为公共角，所以PAB PCA ∆∆ ，∴AB PAAC PC =……4分 （2）由PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线，2PA PB PC ∴=⋅，40PC ∴=，30BC =，又90CAB ∠= ，222900AC AB BC ∴+==，又由（1）知12AB PA AC PC ==，AC ∴=AB = AE 是BAC ∠的角平分线，且AEC ABD ∠=∠， AEC ABD ∴∆∆ ， AB AD AE AC∴=，360AD AE AB AC ⋅=⋅== ……10分 23.（Ⅰ）由2sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =． ……4分（Ⅱ）将直线l 的方程化标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212代入28y x =，并整理得，2316640t t --=，12163t t +=，12643t t =-．所以1232||||3AB t t =-==． ……10分 24.解：(Ⅰ)当时，单调递增，所以；1x <-()4f x x =+()3f x <当时，单调递减，所以； 当时，单调递减，所以；所以的最大值-……4分(Ⅱ)假设存在正数，使得，则 所以；又由于，所以……10分112x -≤≤()52f x x =--()max ()13f x f =-=12x >()4f x x =--19()22f x f ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭()f x 3M =,ab 66a b +=66332a b a b +=≥=552212a b≤33113Mab ab a b +==≥552223a b ≥。