庖丁巧解牛知识·巧学一、样本方差与样本标准差1.极差（全距）是数据组的最大值与最小值的差.它反映了一组数据的变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.2.方差是各数据与平均数的差x i -x （i=1，2，…，n ）平方的平均数.它反映了一组数据围绕平均数波动的大小.一般地，设样本数据分别是x 1，x 2，x 3，…，x n ，样本的平均数为x ，则方差s 2=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+- .3.标准差是各个样本数据到平均数的一种平均距离.一般用s 表示.标准差s=nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- .深化升华 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性.例如，在比较两人的成绩时，标准差小就意味着成绩稳定；在描述产品的质量时，标准差越小，说明产品的质量越稳定. 二、计算标准差的计算步骤 （1）算出样本数据的平均数；（2）算出每个样本数据与样本平均数的差x i -x （i=1，2，…，n ）； （3）算出(x i -x )2（i=1，2，…，n ）；（4）算出(x i -x)2（i=1，2，…，n ）这n 个数的平均数，即为样本方差s 2=nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- ；（5）算出方差的算术平方根，即为样本标准差s=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+- .说明：①标准差的大小受样本中每个数据的影响，如数据之间变化大，求得的标准差也大，反之则小.标准差、方差都较好地反映了一组数据的离散程度，标准差、方差越大，数据的离散程度越大，反之，标准差、方差越小，数据的离散程度越小.②在计算标准差时，在各数据上加上或减去一个常数，其数值不变.③当每个数据乘以或除以一个常数a ，则所得的标准差是原来标准差的a 倍或1/a.④标准差的大小不会超过极差，其取值范围是［0，+∞），若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.⑤若对数据处理时的计算量较大，要借助科学计算器或计算机，一般科学计算器上都设有计算平均数、方差、标准差的按键，使用时要看说明书（不同的计算机，参数可能不同）进入统计状态就可以求值了.因为方差与原始数据的单位不一致，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然标准差、方差都较好地反映了一组数据的离散程度，但在解决实际问题时标准差应用广泛. 联想发散（1）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，方差为s 2，则ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的方差为a 2s 2；特别地，当a=1时，则有x 1+b ，x 2+b ，…，x n +b 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性； （2）方差的另一表示形式：s 2=n1(x 12+x 22+…+x n 2-2nx ). 三、对总体平均数、标准差的估计如何获得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断. 如要考察一批灯泡的质量，我们可以从中随机抽取一部分作为样本；要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目作为样本.误区警示 需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的.如一个总体包含6个个体，现在要从中抽出3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异.这就会影响到我们对总体情况的估计. 典题·热题知识点一 方差与标准差的计算例1 求下列各组数据的方差与标准差（结果保留到小数点后一位）： （1）1，2，3，4，5，6，7，8，9；（2）11，12，13，14，15，16，17，18，19； （3）10，20，30，40，50，60，70，80，90. 并分析由这些结果可得出什么一般的结论？思路分析：通过三组数据的特点总结出一般规律，利用方差、标准差求解. 解：（1）99321++++= x =5，s 2=91［(1-5)2+(2-5)2+…+(9-5)2］=6.7， s=7.6=2.6. （2）x =919131211++++ =15.s 2=91［（11-15）2+（12-15）2+…+（19-15）2］=6.7， s=7.6=2.6. （3）990302010++++= x =50.s 2=91［(10-50)2+(20-50)2+…+(90-50)2］=666.7， s=7.666=25.8.巧妙变式 一组数据加上相同的数后，方差、标准差不变，都乘以相同的倍数n 后，方差变为原来的n 2倍，标准差变为原来的n 倍.即一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，标准差为s ，则x 1+a,x 2+a, …,x n +a 方差为s 2，标准差为s ；nx 1,nx 2,…,nx n 方差为n 2s 2，标准差为ns. 知识点二 利用方差、标准差对样本进行分析例2 对自行车运动员甲乙在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如甲 273830373531 乙33 29 38 34 2836试判断选谁参加某项重大比赛更合适.思路分析：可以从平均成绩及方差、标准差方面来考察样本数据的水平及稳定性. 解：他们的平均速度为：甲x =61（27+38+…+31）=33. 乙x =61(33+29+…+36)=33.他们的平均速度相同，再看他们的方差：s 甲2=61［(-6)2+52+（-3）2+42+22+(-2)2］=347. s 乙2=61［(-4)2+52+12+(-5)2+32］=337.则s 甲2＞s 乙2，即s 甲＞s 乙. 故乙的成绩比甲稳定. 所以选乙参加比赛更合适. 标准差、方差是反映数据波动程度的量,它们取值的大小,说明数据的离散程度.即样本数据对于平均数的平均波动幅度.例3 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图2-3-1：图2-3-1（1）求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差； （2）比较两名同学的成绩，谈谈你的看法.思路分析：首先由茎叶图读出数据，再利用科学计算器求出平均数、标准差，依据结果进行比较，并与茎叶图比较统计作用.解：（1）用科学计算器得甲x =87，s 甲=12.7，乙x =95，s 乙=9.7.（2）由甲x =87＜乙x =95，且s 甲=12.7＞s 乙=9.7，故甲的数学学习状况不如乙的数学学习状况.“从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是99；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是86.因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好.误区警示 通过以上实例分析，可以看出反映样本数据的基本特征量众数、中位数、平均数、标准差是从不同的方面或角度来“看待”样本数据的，对于不同的样本它们各有优、缺点.在实际问题中平均值使用频率较高，但它受极端值的影响较明显，故容易掩盖实际情况，此时常常用标准差来进一步刻画样本数据的离散程度，以便更准确地反映样本数据的真实情况，在实际生活中，也往往利用这个道理来比较水平的高低、质量好坏等.由于平均数和标准差更容易刻画样本数据的数字特征，所以对求解样本数据的平均数、标准差的运算必须熟练，必要时可使用计算器.例4 甲、乙两工人同时加工一种圆柱零件，在他们所加工的零件中各抽取10个进行直径检测，测得数据如下（单位：mm ）：甲：19.9，19.7，19.8，20.0，19.9，20.2，20.1，20.3，20.2，20.1； 乙：20.0，20.2，19.8，19.9，19.7，20.2，20.1，19.7，20.2，20.4. （1）分别计算上面两个样本的平均数和方差； （2）若零件规定直径为20.0±0.5（mm ），根据两个样本的平均数和方差，说明谁加工的零件的质量较稳定.思路分析：此题数据较大，但发现所有数据都在某个数值上下摆动，可利用s 2=nx n x x x n])[(222221'-'++'+' .推导如下：一般地，如果将一组数据x 1,x 2，…，x n 同时减去一个数a ， 得到x 1′=x 1-a,x 2′=x 2-a, …，x n ′=x n -a, 所以x =n 1(x 1+x 2+…+x n )=n1(x 1′+x 2′+…+x n ′+na)=x '+a. 得公式s 2=nx n x x x n ])[(222221'-'++'+' 可使计算简便.解：因为样本数据在20.0上下波动，故取a=20.0，列表如下 .甲x =0.02+20.0=20.02（mm ），乙x =0.02＋20.0=20.02（mm ），s 甲2=0.1×［0.34-10×0.022］=0.033 6（mm 2）， s 乙2=0.1×［0.52-10×0.022］=0.051 6（mm 2）. ∵s 甲2＜s 乙2，∴甲工人加工零件的质量比较稳定.巧解提示 比较两人加工零件的质量的稳定性，这里通过平均数比较不出来，需要使用方差来比较，方差越大说明波动性较大，质量越不稳定.一般地，方差和标准差通常用来反映一组数据的波动大小，在统计中，样本的方差和标准差通常用来估计总体数据的波动大小.当数据较大且数据都在某个数值上下摆动时可考虑利用s 2=nx n x x x n ])[(222221'-'++'+' .计算方差可减少数据运算量. 问题·探究交流讨论探究 问题估计总体的数字特征过程中,我们经常用到样本均值与样本标准差,这两个有什么差别吗? 探究过程：学生甲：我认为它们两个在表达式上就不同,假设经过随机抽样得到样本为x 1、x 2, …,x n , 则样本均值nx x x x n+++=21.样本标准差s=2s =nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- .学生乙：我看出来它们还有一些不同的地方,先来看下面的例子.(1)有两个学生A 和B,两个人两次连续考试的平均分都是60分,A 是40分和80分, B 是65分和55分.显然A 的成绩忽上忽下,而B 的成绩较稳定.(2)有两组学生(每组3人),一次数学考试成绩如下(单位：分)： 甲组3人得分分别为60 80 100 乙组3人得分分别为79 80 81显然,甲组学生和乙组学生的平均分都为80,但是这两组学生分数有很大的差异,甲组学生的成绩波动较大,相对于平均分数的差异很大,即分散程度(离中趋势)较大,而乙组学生的成绩波动较小,相对于平均分数的差异较小,即分散程度较小.因此,我们仅用平均值来描述这一组分数的特征是不够的,还要考虑一组分数相对于平均值的差异的大小.在考试研究中,均值反应了考生团体成绩集中的位置,根据以上分析,显然还需有一个刻画考生团体成绩离散程度的量,显然在刚才举的例子(1)中,B A x x =,但s A =2)6080()6040(22-+-=20,s B =2)6055()6065(22-+-=5.在(2)中,甲x =乙x ,甲组学生的s 甲=38003)80100()8080()8060(222=-+-+-. 乙组学生的s 乙=323)8081()8080()8079(222=-+-+-. 探究结论：明显地发现样本平均数能反映总体的水平，而标准差对于衡量分散程度很有用.。
标准差和方差
１.方差和标准差都是对一组（一维）数据进行统计的，反映的是一维数组的离散程度；而协方差是对2维数据进行的，反映的是2组数据之间的相关性。
２.标准差和均值的量纲（单位）是一致的.，在描述一个波动范围时标准差比方差更方便。
方差可以看成是协方差的一种特殊情况，即2组数据完全相同。
３.协方差只则表示线性相关的方向，值域正无穷至负无穷。
４.协方差只是说明了线性相关的方向，说不能说明线性相关的程度，若衡量相关程度，则使用相关系数。
