第五章 数字滤波器IIR和FIR

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0.1 p
- 1 （若αp=3dB，ε=1）
2） Ωs，αs →N
s 10lg[ 1 2 (Ws / Wp )2 N ]
100.1 s - 1 l g 2 N 2 l gW s / W p
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3.由 | Ha ( jW) | 求Ha(s)
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此时的系统称为有限长单位脉冲响应（FIR，Finite Impulse Response）系统。 反之，h(n)是无限长序列，系统称为无限长单位脉冲响 应（IIR，Infinite Impulse Response）系统。 3.低通、高通、带通、带阻滤波器 从功能上，数字滤波器可分为低通（LP，Low Pass）、高通（HP，High Pass）、带通（BP，Band Pass） 和带阻（BS，Band Stop）四种类型。
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1.低通滤波器的性能指标
|H(ejw)| 1 1-d1
通带波动
wp ws
均匀过渡
—— 通带截止频率 —— 阻带截止频率 通带
1 - d1 | H (e jω ) | 1
通带 过渡带 阻带
d2 0 wp ws
p
w
阻带 | H (e jω ) | d 2
1 1 p 20lg 20lg 通带（允许的）最大衰减 jwp 1 - d1 | H (e ) |
（1）零极点位置累试 （2）利用模拟滤波器的理论 （3）最优化设计
3.用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。
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数字IIR滤波器设计的具体步骤：
给定数字滤波器的技术指标
w p , w s , p , s （更多）
转换成模拟滤波器的技术指标 W p , W s , p , s （更多） 转换成模拟低通滤波器的技术指标 p , s , p , s 设计模拟低通滤波器G ( p )

详解FIR滤波器和IIR滤波器区别
数字滤波器广泛应用于硬件电路设计，在离散系统中尤为常见，一般可以分为FIR滤波器和IIR滤波器，那么他们有什么区别和联系呢。

FIR滤波器定义：
FIR滤波器是有限长单位冲激响应滤波器，又称为非递归型滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。

特点：
FIR滤波器的最主要的特点是没有反馈回路，稳定性强，故不存在不稳定的问题；
FIR具有严格的线性相位，幅度特性随意设置的同时，保证精确的线性相位；
FIR设计方式是线性的，硬件容易实现；
FIR相对IIR滤波器而言，相同性能指标时，阶次较高，对CPU的性能要去较高。

图1 FIR滤波原理图
IIR滤波器定义：
IIR滤波器是无限脉冲响应滤波器，又称递归型滤波器，即结构上带有反馈环路。

特点：
IIR数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式，具有反馈回路；
IIR数字滤波器的相位非线性，相位特性不好控制，随截止频率变化而变化，对相位要求较高时，需加相位校准网络；
IIR滤波器有历史的输出参与反馈，同FIR相比在相同阶数时取得更好的滤波效果；IIR数字滤波器采用递归型结构，由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。

第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
由第1章1.3节已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位 脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为
y (n ) = x (n ) ∗ h(n ) =
n = −∞
∑ h(m) x(n − m)
∞
将上式两边经过傅里叶变换，可得
但极点决不会落在虚轴上这样滤波器才有可能是稳s的2n个极点中只取s左半平面的n个极点为h511第5章无限长单位脉冲响应iir数字滤波器的设计方法33这里分子系数为512一般模拟低通滤波器的设计指标由参数给出因此对于巴特沃思滤波器情况下设计的实质就是为了求得由这些参数所决定的滤波器阶次n和截止频率lg10513第5章无限长单位脉冲响应iir数字滤波器的设计方法lg10514由式513和式514解出n和10lg10515a一般来说上面求出的n不会是一个整数要求n是一个整数且满足指标要求就必须选lg10515b第5章无限长单位脉冲响应iir数字滤波器的设计方法35这里运算符x的意思是选大于等于x的最小整数例如455
虽然给出了通带的容限δ1及阻带的容限δ2，但是，在具体技 术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）Ap 和阻带应达 到的最小衰减As描述，Ap及As的定义分别为：
| H (e j 0 ) | jω Ap = 20 lg = −20 lg | H (e p ) |= −20 lg(1 − δ 1 ) （5-3a） jω | H (e p ) | | H (e j 0 ) | Ap = 20 lg = −20 lg | H (e jω s ) |= −20 lg δ 2 | H ( e jω s ) |
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法

得：
Xˆ a (s) xa (nT )esnT
n
当z esT时，X (z) Xˆ a (s)
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当 z esT 时
抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换
即：
X (z) zesT X (esT ) Xˆ a (s)
是复平面s平面到z平面的映射：
s平面：s j (直角坐标）
k 0 N
1 ak zk
k 1
FIR滤波器（N-1阶）
N 1
H (z) h(n)zn n0
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§5-1 IIR数字滤波器的设计思想
IIR滤波器（N阶）
M
bk zk
H(z)
k 0 N
1 ak zk
k 1
特点： h（n）无限长
H（Z）有理分式
H（S）有理分式（带宽无限长）
数字滤波器的设计思想 • 按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标 • 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性
s
1
3
试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器
Ha (s) ha (t) ha (nT ) h(n) H (z)
Ha (s)
N k 1
s
Ak sk
N
ha (t) L1[Ha (s)] Akesktu(t)
h(n) ha (nT )
N
k 1
AkesknTu(nT )
N
Ak
eskT
n
u(n)
k 1
k 1
H (z)
1 1 H (e j ) 1 H (e j ) 2
c ：通带截止频率 st ：阻带截止频率 1 ：通带容限 2 ：阻带容限