FIR 滤波器的设计
一.摘 要：数字滤波器是一种具有频率选择性的离散线性系统，在信号数字处理中有
着广泛的应用。其中FIR 滤波器是一种常用的滤波器，它在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到严格的线性相位特性，在语音分析、图像处理、雷达监测等对信号相位要求高的领域有着广泛的应用，能实现IIR 滤波器不能实现的许多功能。
二.关键词：FIR 窗函数 系统函数 MATLAB 三.引言：
数字滤波器的功能就是把输入序列通过一定的运算变换成输出序列，因此数字滤波器的结构系统中就必须包括一定数量和性能的运算器件和运算单元，而运算器件和运算单元的配置必须由数字滤波器的结构特点和性能特点来决定，因此在进行FIR 数字滤波器的设计之前，有必要介绍和总结FIR 数字滤波器的基本结构和相关特性（包括频响曲线（幅度和相位），单位冲激响应等），在介绍完其基本结构和相关特性后，就进行FIR 数字滤波器的设计和实现。
（1）.FIR 滤波器的基本结构
在讨论任何一种滤波器时，都要着重分析其系统函数，FIR 滤波器的系统函数为：
n
N n z
n h z H ∑-==
1
)()( 。从该系统函数可看出，FIR 滤波器有以下特点：
1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n 值处不为零；
2)系统函数H(z)在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处(稳定系统)；
3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中(例如频率抽样结构)也包含有反馈的递归部分。
1.FIR 滤波器实现的基本结构有：
1） 横截型（卷积型、直接型）
a.一般FIR 滤波器的横截型(直接型、卷积型)结构：
若给定差分方程为：
。 则可以直接由差分方程得出FIR 滤波器
结构如下图所示：
这就是FIR 滤波器的横截型结构，又称直接型或卷积型结构。
b .线性相位FIR 滤波器的横截型结构
若h(n)呈现对称特性，即此FIR 滤波器具有线性相位，则可以简化成横截型结构，下面分情况讨论：
①N 为奇数时线性相位FIR 滤波器实现结构如图所示：
②N 为偶数时线性相位FIR 滤波器实现结构如图所示
我们知道IIR 滤波器的优点是可利用模拟滤波器设计的结果，缺点是相位是非线性的，若需要线性相位，则要用全通网络进行校正，比较麻烦，而FIR 滤波器的优点是可以方便地实现线性相位。
2)、级联型
将H (z )分解为若干个实系数一阶或二阶因子相乘：
实现结构如下图所示：
该结构图中有2L =M 个延迟器，2L +1=M +1个乘法器，2L =M 个加法器。
分析H (z )及结构图可以得出级联型的特点： ①每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点。 ②系数比直接型多，所需的乘法运算多。
3）频率取样型
若FIR 滤波器的冲激响应为有限长(N 点)序列h(n)，则有如图所示的关系：
∏=--++=L
k k k z z h z H 1
2
,21,1)
1(]0[)(ββ11β21βL
1βL
2β12
β22
βx [k ]y [k ]
1
-z 1
-z h [0]1-z 1-z 1
-z 1
-z
因此，对h(n)可以利用DFT得到H(k)，然后利用内插公式：
来表示系统函数，这就为FIR滤波器提供了另外一种结构：频率抽样结构，
这种结构由两部分级联而成：分析系统函数
其中级联的第一部分为：
这是一个梳状滤波器，它滤掉了频率及其各次谐波。
级联的第二部分为N个一阶网络并联而成，第k个一阶网络为：
它在单位圆上有一个极点：
这是一个谐振频率的无损耗谐振器。这个谐振器的极点正好与梳状滤波器的
一个零点(i=k)相抵消，从而使这个频率上的频率响应等于H(k)。这样，N个谐振器的N个极点就和梳状滤波器的N个零点相抵消，从而在N个频率抽样点上的频率响应就分别等于N 个H(k)值。
有上叙的理论分析基础可以得到FIR滤波器的频率抽样结构。
FIR滤波器的频率抽样结构如图所示：
频率抽样结构的特点是它的系数H(k)就是滤波器在
处的响应，因此控制滤波
器的频率响应很方便。
频率抽样结构存在问题的问题是：在有限长情况下，系数量化后极点不能和零点抵消，使FIR 系统不稳定。 解决方法：
在r 圆上进行(r<1但近似等于1)取样，即用r 1-z 代1
-z
，
到单位圆内。
∑-=-----=
1
1
1]
[1)(N k k N
N
N
z
rW
k H N
z
r z H
（a ）当N
为偶数时的频率取样型结构如图所示。
（b ）当N
为奇数时频率抽样型结构如图所示。
4）快速卷积结构
若FIR 滤波器的单位冲激响应h(n)是一个N1点有限长序列，输入x(n)是一个N2点有限长序列，那么输出y(n)是x(n)与h(n)的线性卷积，它是一个L ＝N1+N2-1点的有限长序列。
我们知道，将x(n)补上L －N2个零值点，将h(n)补上L －N1个零值点，然后进行L 点圆周卷积，就可以代替原x(n)与h(n)的线性卷积。
而圆周卷积可以用DFT 和IDFT 的方法来计算，这样我们得到FIR 滤波器的快速卷积结构：
这里DFT 和IDFT 都将采用快速傅里叶变换算法，当N1和N2足够长时，比直接计算线性卷积要快得多。
2.线性相位FIR 滤波器的特点
从以上的讨论中可以看出，我们最感兴趣的是具有线性特性的FIR 滤波器，因此在设计FIR 滤波器时，需要着重研究线性相位FIR 滤波器的特点和性质，在上述已经介绍了线性相位FIR 滤波器的横截型结构，现在介绍它的频响特性。
FIR 滤波器的单位冲激响应h(n)是有限长的（0≤n ≤N-1）,其Z 变换为：
其傅立叶变换为：
其中H(ω)是幅度函数，是一个纯实数，可正可负， θ(ω)是相位函数。可以证明，线性相位FIR 滤波器的冲激响应满足对称条件： h(n) =±h(N-1-n) 和)()(1
)
1(---±=z
H z
z H N
（1）、线性相位FIR 滤波器的幅度函数和相位函数：
（a ）当h(n)是偶对称时，其幅度函数和相位函数分别为：
特点：
幅度函数H(ω)包括正负值，相位函数是严格线性相位，滤波器有(N-1)/2个抽样周期的
延时，它等于单位抽样响应h(n)长度N 的一半。
（b ）当h(n)是奇对称时，其幅度函数和相位函数分别为：
