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第4讲抽样误差与t分布精品文档

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标准误t-分布-幻灯片

标准误t-分布-幻灯片

t检验条件：
1、研究设计要严密，资料具有可比性； 2、样本来自正态分布(需对资料进行正态性检验)； 3、两总体方差相同(需进行方差齐性检验，如F检验)。
教学内容 标准误 t分布
t检验小结
t 检验共有三种形式：
1)、样本均数与总体均数比较： t = (X-μ0)/SX
v=n-1
2)、配对计量资料的比较： 3)、两样本均数的比较：
α=0.05 (或0.01)
双侧：考虑两总体指标不同(包括大于和小于两种情况)时。
单侧：仅考虑一总体指标大于另一总体指标或仅考虑一总体
指标小于 另一总体指标时。
2)、选择和计算统计量值：t值、 u 值等值。
3)、确定P值
4)、判断结果：
如果P<=α，则H1成立； 如果P>α，则H0成立
教学内容 标准误 t分布
二、 t 分布：
三)、应用：
2、t 检验：两总体均数的比较可用t分布的原理进行假设
检验，即t 检验。共有三种形式：
1)、样本均数与总体均数比较：
例： t = (X-μ0)/SX
v=n-1
根据大量调查，已知健康成
已知总体： μ0=72次/分
年男子脉搏的均数为72次/分钟。 某护士在一山区随机测量了25名健
值表，得： P < 0.01
4、判断结果： P < 0.05 (α)， 故H1成立， 即该人群男、女的RBC数不同。
教学内容 标准误 t分布
!
大样本比较，由于v一般较 大，t 非常接近 u ，所以， t >= 1.96 (2.58)， 则有 P <= 0.05 (0.01) 。
教学内容 标准误 t分布
n Sd = S/ 1/2

研-统计3抽样误差t分布

研-统计3抽样误差t分布
• 3. 正态分布可当做不少大样本的近似分布。
• 正态分布的密度函数：式中μ为均数；σ为标
准差；π为圆周率；е为自然对数的底，即
2.71828。以上均为常数，仅x为变量。
f (x)
1
2
( 1 )[ ( x ) ]2
e2
(1)
x
Байду номын сангаас
• 标准正态分布: • 为了应用方便，常将式进行变量变换，即：u
• 如：环境中若干有害物质的浓度，食品中有 些农药的残留量，某些临床检验结果，某些 疾病的潜伏期，医院病人的住院天数，都呈 偏态分布。但对数转换后，为正态分布。按 照正态分布规律处理。
例题
• 某市某年调查200例正常人血铅含量（ug/100g,双 硫腙分光比色法），试估计血铅值的95%上限。
lg1( X lg x 1.645S lg x)
变换. 所得到的新变量u的分布即为标准正态 分布。
• u的含义：变量到均数间的距离相当于标准差 的倍数。
u x
x
标准正态分布的概率密度函数：
(u)
1
(u2 )
e2
(2)
2
u
• u变换后，μ=0，σ=1，使原来的正态分布变 换为标准正态分布（standard normal distribution）亦称u分布。
• 正态曲线下面积的分布规律
• 正态曲线下，横轴上一定区间的面积,等于该区 间的频数发生的概率（即所有随机事件发生的概 率）。面积可用积分求得。
• F(x)为正态变量X 的累积分布函数，反映正态曲
线下，自- 到x的面积，即左侧累积面积。
F (x) 1
e dx x
( 1 )[ x ]2 2

(04)第4章+抽样与抽样分布

(04)第4章+抽样与抽样分布

4-6
统计学
STATISTICS
例题分析
♦ 假定我们刚刚已取了飞机制造所用的铆钉的25个 假定我们刚刚已取了飞机制造所用的铆钉的25个
一组的样本。检测铆钉的抗剪强度，破坏每个铆 钉所需的力是响应变量。对这组样本，可以求得 各种描述性的测量（均值、方差等）。 ♦ 然而，我们的感兴趣的是总体，并不是样本自身。 被测试的铆钉在测试时已被破坏，不能再用在飞 机的制造上，所以我们肯定不能测试所有的铆钉。 我们必须从这组样本或几组这样的样本来决定总 体的某些特性。 ♦ 因此，我们必须设法推断信息，也即基于样本的 观测结果作出总体的推断
(例题分析) 例题分析)
计算出各样本的均值，如下表。 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
4 - 32
样本均值的抽样分布
统计学
STATISTICS
(例题分析) 例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 设一个总体，含有4个元素(个体) 数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。总 个个体分别为x 体的均值、 体的均值、方差及分布如下 总体分布
4 - 17
统计学
STATISTICS
分层抽样
分层抽样
统计学
STATISTICS
(stratified sampling) sampling)
♦ 分层抽样：在抽样之前先将总体的单位按 分层抽样：
某种特征或某种规则划分为若干层（类）， 然后从不同的层中独立、随机地抽取一定 数量的单位组成一个样本，也称分类抽样 数量的单位组成一个样本，也称分类抽样 sampling） （stratified sampling） ♦ 在分层或分类时，应使层内各单位的差异 尽可能小，而使层与层之间的差异尽可能 大

第四章抽样误差与区间估计.ppt

第四章抽样误差与区间估计.ppt

Z X
Z变换
标准正态分布
N（0，12）
均数 X
N(, 2 n)
Z X n
标准正态分布
N（0，12）
Student t分布
t X X ,
S n SX
v n 1 自由度：n-1
2020-11-9
感谢你的观看
10
f(t)
ν─>∞(标准正态曲线)
ν=5
ν=1
f (t) ( 1) 2 (1 t 2 / )( 1) 2
0.1580
250
200
150
100
50
0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
均数
n 30; SX 0.0920
感谢你的观看
频数
450 400 350 300 250 200 150 100
50 0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19 均数
第四章 抽样误差与区间估计
2020-11-9
感谢你的观看
1
第一节 均数的抽样误差与标准误
例如，从总体均数 =4.83×1012/L、标准差 =0.52×1012/L 的正态分布总体
N(4.83, 0.522)中，随机抽取 10 人为一个样本（n=10），并计算该样本的均数、标
准差。如此重复抽取 100 次（ g =100），可得到 100 份样本，可得到 100 对均数
( 2)
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0

标准误、t 分布

标准误、t 分布

教 学 内 容 标准误 t分布
二、 t 分布： 三)、应用： 2、t 检验： 2)、配对计量资料的比较： t = ( d-0)/Sd v=n-1
例： 某药对Hb的影响研究结果 病人编号 治疗前 治疗后 差数 d 1 140 113 27 2 138 150 -12
3 140 150 … … .. 10 120 123 问：某药对Hb有无影响？ -10 … -3
t = (X1-X2)/SX1-X2
P = 95% f
-t0.05,v -t0.01,v
0
t0.05,v tt0 Nhomakorabea01,v
(-t0.05,v , t0.05,v) 有 95%的 t 值，P=95%=0.95 (-t0.01,v , t0.01,v) 有 99%的 t 值，P=99%=0.99
P > 0.1
教 学 内 容 标准误 t分布
P 值含义与两类错误：
P 值含义：由H0所规定的总体做随机抽样，获得等于及大
于(或等于及小于)依据现有样本信息所计算得到的检验统 计量的概率。 I类错误：H0正确，但由于抽样的偶然性得到 t>=tα ， P<=α 的检验结果，拒绝了H0 (即“弃真”) ，接受了H1， 这种错误称I类错误(“弃真”错误)，其概率大小为α ； II类错误：H0不正确，但由于抽样的偶然性得到 t<tα ， P>α 的检验结果，接受了H0 (即“存伪”) ，拒绝了H1， 这种错误称I类错误(“弃真”错误)，其概率大小为 。

教 学 内 容 标准误 t分布
教 学 内 容
一、样本均数的标准误：样本均数的标准差。其大小与标 准差成正比，与样本含量n的算术平方根成反比。 σ X =σ /n1/2 或 SX = S/n1/2

05抽样误差与抽样分布

05抽样误差与抽样分布

U ~ N (0,1)
个体资料X服从偏态分布，当样本量n较大 时，样本均数 X 近似服从正态分布
X ~ N (, X 2 )
25
例4-5 大规模普查得某地健康成年男子血红蛋白总体均 数为 135 g / L, 20.5 g / L . 随机抽样,样本量为100, x 130 g / L, s 23.4 g / L ,理论标准误和样本均数的估计 标准误。
在样本含量较小时呈偏态
样本含量较大时接近正态分布
均数 X 始终在总体均数 1 附近
均数 X 的标准差 X 的总体标准差
n
23
中心极限定理及其应用
样本均数 X 总体标准差是个体资料X的总体 标准差的 1/ n ；即理论标准误 n S S 理论标准误的样本估计值为
0
10
0.25 0.75 0.1936 5
0
.1
.2
.3
.4
.5 pp
.6
.7
.8
.9
1
32
30
n 10, 0.25
20
p的均数＝0.2526 p的标准差＝0.1372 0.25? 0.75 ＝0.1369 10
26
二、率的抽样误差和抽样分布
总体率由样本率估计
例如，设样本的个体数(即样本含量)为 n，若x为样本的某指标 x 阳性个体数，则可用样本阳性率 p n 估计研究人群的阳性 率 (总体阳性率)；
由于个体差异和偶然性的影响，样本率也存在抽样误差 ---由抽样造成样本率与总体率(研究人群的率)的差异
4
例4-2 P51 随机重复抽样共抽10个样本，样 本量为25。计算样本均数的均数和标准差.

《抽样误差》课件


抽样误差的控制方法
1
增加样本容量
通过增加样本容量来减小随机误差，使样本更能代表整体总体。
2
提高调查质量
采用合适的调查方法和严格的调查流程，减小系统误差的发生。
3
优化抽样方案
选择合适的抽样方法和样本设计，以减小误差并提高整体调查质量。
案例分析
对比不同抽样方法的误差
通过对不同抽样方法的误差进行对比分析，选择最 适合的方法。
如何选择合适的抽样方法
根据调查的目的和样本特点，选择合适的抽样方法 以减小误差。
总结
1 抽样误差的重要性
2 如何有效地控制抽样误差
了解抽样误差的特点和影响，可以保证研究和调 查的有效性和可靠性。
通过增加样本容量、提高调查质量和优化抽样方 案，可以有效地控一些与抽样误差相关的经典论文，深入了解抽样误差理论和方法。
《抽样误差》PPT课件
抽样误差是研究和调查中不可避免的问题。本课程将介绍抽样误差的背景、 常见的抽样方法、误差类型以及控制方法，并通过案例分析进行进一步探讨。
概述
抽样误差的定义
抽样误差是由于从一个样本中得出结论，而这个样 本只是整体总体的一个子集，因此存在一定的误差。
抽样误差的产生原因
抽样误差的产生主要受样本选择方式、样本大小和 样本的代表性等因素的影响。
常见的抽样方法
1 简单随机抽样
2 分层抽样
从总体中随机选择样本，使每个个体都有相等的 概率被选中。
将总体分为几个层次，然后在每个层次内进行随 机抽样。
3 整群抽样
4 系统抽样
将总体分为若干个不相交的群体，然后从选择的 群体中抽取样本。
在总体中选择一个初始样本，然后按照一定的规 则选择后续的样本。

04抽样误差和可信区间---经典--易懂


标准误的计算
X 计算公式为 n
其中，σ为总体标准差，n为抽样的样
本例数 在研究工作时，由于总体标准差常常 未知，可以利用样本标准差近似估计
s sX n
标准误的意义

反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的 离散程度，体现了抽样误差的大小。 标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本 率）的离散程度越大，即用样本统计量来直接估 计总体参数越不可靠。反之亦然。 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时， 从标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总 体一定时，样本例数越多，标准误越小。说明我 们可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。
σ= 4.38cm
x ＝123.23cm
s= 3.25cm
X 120.81cm s =4.33cm
三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同 每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差
抽样误抽样 研究中产生样本统计量和总体参数之 间的差异，称为抽样误差（sampling error）。
Medical statistics
医学统计学
抽样误差和可信区间
Sampling Error & Confidence Intervals
主要内容(Content)
抽样误差及其规律性 标准误
抽样分布与t分布
统计推断与参数估计 总结
一．均数的抽样误差(sampling error) 与标准误(standard error, SE)
各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为 研究对象
抽样误差的表现
抽 样 误 差 的 表 现
样本均数和 总体均数间 的差别 X

第四章测量误差统计分布



1 n
x1
x
1
n
~ n 1
2 i
2）当xi ~ N ( , 2 ),互独立，已知，则 xi ~ N (0, 2 )，有

1 n
x1
x
n 1
i


~ n 1
2
3）当xi ~ N , 2 ，且未知时，有



x1 x ˆ s
y2 1 2 y i n 1 2
n
~ (n 2)
变量的N 0, 2 形式，且yi间要保持相互独立。
可见当未知且要用x 取代时，通过正交变换 ，使yi变量变成适合构造

4, 分布函数值与数表
用数值积分法计算τ(n-2) 的分布函数值和 p.分位值.
x x 0
F ( x) n 2 (t )dt
0
t 2 n4 (1 ) dt n2 n 1 (n 1) ( 2 )
1 ( n2 )
1 ( n2 )
( P.145. 附表1) ( P.147. 附表2)

x
x
n2 (t )dt
x

x
t 2 n4 (1 ) dt 1 p n2 n 1 (n 1) ( 2 )
x
2
n
~ t n 1
2 i
x / ~ N (0,1) n i 2 2 2 xi / ~ ( n 1) 2
有: T
n 1 n
，

nT n 1 T
2
T n 1与 n 1的关系

3) τ分布的概率密度
例：对 X ~ N ( , 2 )

第4章 抽样及抽样分布


有限总体的范围能够明确确定，且元素的数目是有限的 无限总体所包括的元素是无限的，不可数的
2.
样本 (sample)

从总体中抽取的一部分元素的集合 构成样本的元素的数目称为样本容量
样本容量和大小样本

样本容量：一个样本所包含的总体基本单元数
n 30 的样本叫小样本 n 30 的样本叫大样本
第四章 抽样与抽样分布

第一节 抽样技术 第二节 正态分布及几个重要的统计分布 第三节 样本统计量的抽样分布
学习目标
1. 2.
3.
4.
5.
6. 7. 8.
掌握抽样技术中的基本概念 掌握简单随机抽样的做法和适用性 了解分层抽样、系统抽样、整群抽样、多阶段抽样和不 等概抽样等抽样技术的基本做法和适用性 了解正态分布、分布、卡方分布、分布等几个重要的统 计分布及其在统计推断中的意义 掌握样本均值、样本比例、样本方差的抽样分布 理解中心极限定理的含义及其在统计推断中的意义 掌握两个样本均值之差、两个样本比例之差、两个样本 方差之比的抽样分布 熟悉Excel中随机抽样的实现
n M CN
N！ n （ !术
抽样方式
概率抽样 非概率抽样
简单随机抽样 整群抽样 多阶段抽样
分层抽样 系统抽样
方便抽样 自愿样本 配额抽样
判断抽样 滚雪球抽样
概率抽样(probability sampling)
1.
2.
根据一个已知的概率来抽取样本单位， 也称随机抽样 特点
3.
4.
5.
标准正态分布
(standardize normal distribution)
1. 2.
随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布 X Z ~ N (0,1)
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标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时，从 标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总体一 定时，样本例数越多，标准误越小。说明我们可以 通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。
用途：
(1)衡量样本均值的可靠性 (2)估计总体均值的可信区间 (3)用于均数的假设检验
t分布
随机变量X N（，2）
各种参数估计都有抽样误差，这里我们以 均数为研究对象
抽样误差产生的条件
• 抽样研究 • 个体变异
样本均数和
抽
总体均数间
样
的差别 X i
误
差
的
表
样本均数和
现
样本均数间
的差别 X i X j
抽样误差是不可避免的，可以通过保证总体 的同质性及增大样本含量来缩小抽样误差。
抽样误差的规律 性—正态分布抽样
抽样试验（n=10）
抽样试验（n=30）
1000份样本抽样计算结果
总体的 总体标 均数的 均数 准差 均数
n=5 5.00 0.50 4.99
n=10 5.00 0.50 5.00
n=30 5.00 0.50 5.00
均数标准差
Sn
0.2212
0.1580 0.0920
n
0.2236 0.1581 0.0913
如果没有抽样研究…… No Random sampling!
No Sampling Error!
• 三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同
每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差
【定义】由于个体变异的存在，在抽 样研究中产生样本统计量和总体参数 之间的差异，称为抽样误差 （sampling error）。
u X
u变换
均数 X
N(, 2) x
u X n
tXX, vn1
S n SX
t变换
标准正态分布
N（0，12）
标准正态分布
N（0，12） Student t分布 自由度ν=n-1
tXX, vn1
S n SX 由W.S. Gosset提出
t= x- s/ n
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
X 118.21cm s=4.45cm
X 120.81cm s=4.33cm
X 120.18cm s=4.90cm
三次抽样得到了不同的结果！！！！ 原因何在？？？？
No Variation! No Sampling Error!
如果没有个体变异……
x 标准误 x = / n sx = s / n
n100,4.38cm
x
4.380.438cm
n 100
标准误的意义
反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的 离散程度，体现了抽样误差的大小。
标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本率） 的离散程度越大，即用样本统计量来直接估计总体 参数越不可靠。反之亦然。
3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
0
0
50
50
100
100
150
150
200
200
频数 频数
250
250
n10;SX0.1580
400 350 300
n5;SX 0.2212
400 350 300
450
对于不同的n,有不同的t分布曲线。 X （n-1）称为 t分布的自由度
自由度分别为1、5、 ∞时的 t 分布
均数
0
50
100
频数
3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
150
200
250
300
n30;SX0.0920
450 400 350
均数
均数
3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
第三章 抽样误差与t分布
统计推断
总体
抽取部分观察单位
样本
参数
统计推断
统计量
如：总体均数
总体标准差
如：样本均数 X 样本标准差S
在医疗卫生实践和医学研究中，往往难以对所要 研究的总体进行全部观察，通常从总体中随机抽 取样本进行观察，然后由样本的信息去推断总体 特征，这种研究方法叫做抽样研究方法。
• 样本均数之均数的位置始终在总体均数的附 近；
• 随着样本含量的增加，样本均数的离散程度 越来越小，表现为样本均数的分布范围越来 越窄，其高峰越来越尖。
中心极限定理
从正态总体中随机抽取例数为n的样本，样 本均数x也服从正态分布，即使从偏态总体 中抽样，只要样本例数足够大，如n>50， 样本均数x也近似正态分布。
用样本的信息去推断总体特征，这种分析方法称 为统计推断。
基本手段
直接推断（参数估计） 间接推断（假设检验）
总体参数的估计
• 均数的抽样误差 • t分布 • 总体均数的估计
抽样误差的定义
• 假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。为了 估计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符 合要求的七岁男童中每次抽取100人，共计抽取了三次。
从均数为 ，标准差为的正态总体中随机
抽取例数为n的样本，样本均数的总体均数
为 ，标准差为x
中心极限定理
标准误的定义
样本统计量（如均数）也服从一定的分布。
与描述观测值离散趋势的指标类似，样本统 计量的标准差就反映了从某个总体中随机抽 样所得样本之均数分布的离散程度。
用样本统计量的标准差来反映抽样误差的大 小。又称标准误(standard error)。
从正态分布总体N（5.00,0.502）中，每 次随机抽取样本含量n＝5，并计算其均数与
标准差；重复抽取1000次，获得1000份样本 ；计算1000份样本的均数与标准差，并对 1000份样本的均数作直方图。
按上述方法再做样本含量n＝10、样本含 量n＝30的抽样实验；比较计算结果。
抽样试验（n=5）
450
3个抽样实验结果图示
Hale Waihona Puke 非正态分布抽样• 分别从各总体中抽取10000个样本含量为 n的样本，计算每个样本的均数，并绘制 频数分布图。
• n分别取2、4、10、25。
偏三角分布抽样
均匀分布
指数分布
双峰分布
• 从正态总体中随机抽样，其样本均数服从正 态分布；
• 从任意总体中随机抽样，当样本含量足够大 时，其样本均数的分布逐渐逼近正态分布；