第四章 抽样与抽样估计

(一)样本统计量的极限分布 1、如果总体服从正态分布，且均值和方差均为已知，即
Y ~ N (, 2 )
则可以证明不论样本量大小如何，样本均值都围绕总体 均值而服从正态分布，并且其抽样分布的方差等于总体方差 的n分之一，即 y ~ N (, 2 / n)
2、对于非正态总体，若均值μ 和σ 2有限，则根据中心极限 定理，当样本量n充分大时，样本均值仍然围绕着总体均值 而近似地服从正态分布，即
3、缺点： （1）若群内个单元有趋同性，效率将会降低； （2）通常无法预先知道总样本量，因为不知道群内有 多少单元； （3）方差估计比简单随机抽样更为复杂。
（四）分层抽样
1、定义：在抽样之前将总体分为同质的、互不重叠 的若干子总体，也称为层。然后在每一个层独立地随机 抽取样本。 分层抽样示意图：
2、优点：
抽取样本
总体 样本
推断总体


抽样调查中的总体是有限的。在抽样以前，必须根
据实际情况把总体划分成若干个互不重叠并且能组合成 总体的部分，每个部分称为一个抽样单元，不论总体是 否有限，总体中的抽样单元数一定是有限的，而且是已 知的，因此说抽样调查的总体总是有限的。 抽样调查中影响样本代表性的因素有以下几个方面： (1)总体标志值分布的离散程度。 (2)抽样单元数的多少(或称样本量的大小)。 (3)抽样方法。

通常将反映总体数量特征的综合指标称为总体参
数。常见的总体参数主要有：总体总和；总体均值；总
体比率；总体比例。 一般将反映样本数量特征的综合指标称之为统计


量。统计量是n元样本的一个实值函数，是一个随机变
量，统计量的一个具体取值即为统计值。主要的样本统 计量有：样本总和；样本均值；样本比率；样本比例。
第五章
抽样与抽样估计
重点：不同抽样组织形式的抽样误差计算；总体
均值及比例的区间估计；必要抽样数目的计算方
法。抽样估计的基本理论；抽样误差的含义与计 算方法；区间估计问题。 难点：抽样估计的基本理论；抽样误差的含义与 计算方法；区间估计问题。 所需课时：7课时
本章主要内容
第一节
第二节 第三节 第四节
（4）估计值与抽样方差的计算较为复杂。
（六）多相抽样 1、定义：在同一个抽样框内，先抽一个大样本， 收集基本的信息，然后在这个大样本中再抽一个子样本， 收集调查的详细信息。 多相抽样示意图：
第一相样本 。。。。。。。。 。。。。。。。。 。。。。。。。。 。。。。。。。。
。。。。。 。。。。。
第二相样本
r+3k
圆形系统抽样方法：当N不能被n整除时，用圆形系 统抽样法可以避免出现样本量可能不一致的情况。把总 体单元假想排列在一个圆上，取 k = N/n 最接近的整数， 作为间隔，然后在1到N之间，抽取随机起点 r，则被抽 中的单元顺序号为： r，r+k，r+2k，„„r+（n-1）k。 如：N=55，n=9，就取k=6，在1到55之间取一个随机 起点。例如r=42，则被抽中的单元是42，48，54，5，11， 17，23，29和35 。
二、必要样本量和样本可能数目

样本中包含的抽样单元个数称为样本容量，又称样本 含量或样本大小 。必要样本量是能够满足估计精度要求的最 少样本量。 样本可能数目则是在容量为N的总体中抽取容量为n的 样本时，所有可能被抽中的不同样本的个数。用A表示。当N 和n一定时，A的多少与抽样方法有关，其计算方法列表如下：
y ~ N (, 2 / n)
(二)样本统计量的精确分布
2 1、 分布
设随机变量Yi～N(0,1)(i=1,2,„，n),且相互独立，则 2 2 Y=∑Y i服从自由度为n的 分布，记作
Y ~ 2 (n)
其概率密度函数为：
n x 1 1 2 2 x e , x 0; n n f x 2 2 2 0 , x 0.
式中 n 是正整数，Γ (n/2)是Γ (伽马)函数
( y) e t t y 1dt
0

( y 0)
当 y=n/2 时的函数值。
第二节
抽样分布
一、正态分布 二、抽样分布
一、正态分布
如果总体各个体的标志值以总体平均数为中心，形成 钟型对称分布，其分布曲线向两侧扩展，逐渐向横轴逼 近，无限延伸出去，但不接触横轴，则这种分布就叫做 正态分布，或高斯分布、常态分布。服从正态分布的总 体称为正态总体。

如果一个随机变量X服从正态分布，则其分布的密 度
（五）多阶抽样 1、定义：它是由两个或更多个连续的阶段抽取样本 的方法。
多阶抽样示意图：
第一阶样本 最终样本
总体
2、优点： （1）当群具有同质性时，多阶抽样的效率高于整群抽 样；
（2）样本的分布比简单随机抽样集中，采用面访可以 节约时间和费用；
（3）不需要整个总体单元的名录框，只要群的名录框 和抽中群的单元名录框。 3、缺点： （1）效率不如简单随机抽样； （2）通常不能提前知道最终的样本量； （3）调查的组织较整群抽样复杂；
（三）整群抽样 1、定义：由若干个有联系的基本单元组成的集合称为 群，抽样时以群为抽样单元的抽样方法就称为整群抽样。
整群抽样示意图：
黄色为总体 红色为群 白点为基本单元
2、整群抽样的优点：
（1）能大大减低收集数据的费用；
（2）当总体单元自然形成的群时，容易取得抽样框， 抽样也更容易；
（3）当群内单元差异大，而不同群之间的差异小时， 可以提高效率。
2.各种非概率抽样方法 随意抽样。样本单元的抽选以随意的方式进行。如街道 拦截访问。 志愿者抽样。被调查者都是自愿参与调查。如网上问卷， 自愿回答。 判断抽样。由专家有目的地挑选“有代表性”的样本进 行调查。如典型调查。 配额抽样。从总体的各个子总体中选取特定数量的样本 单元组成样本。如市场调查中，规定男女消费者的样本 各多少。 滚雪球抽样。适合于总体中某种较为稀少的特殊子总 体而又缺少完整的抽样框。抽样时通过已知的少数个体 获得信息逐渐扩大。
（二）系统抽样
1、定义：又称等距抽样，对研究的总体按一定 的顺序排列，每隔一定的间隔抽取一个单元的抽样方 法。 2、抽选方法：设总体单元数为N，要抽n个单元 为样本，先计算抽样间隔k=N/n，在1到k之间抽取一 个随机起点r，则被抽中单元的顺序位置是：r，r+k， r+2k，„。
起点r
r+k
r+2k
（二）概率抽样




概率抽样是从总体中随机抽选样本单元，被抽中的单 元既不取决于调查人员的愿望，也不取决于被被调查者的 态度。其次每一个单元都有一定的概率被抽中。 优点： 可以对总体进行推断，并能计算估计值的抽样误差。 缺点： 相对于非概率抽样，设计比较复杂，而且费用也比较高。 常见的概率抽样方法主要有： 简单随机抽样、系统抽样、与大小（或规模）成比例的 概率(PPS)抽样、整群抽样、分层抽样（STR）、多阶抽样、 以及多相抽样等。
四、抽样效率与设计效果
在样本容量相同的情况下，抽样方差越小表明抽样 效率越高。设计效果是设计方案的方差与简单随机抽 样的方差之比。设计效果通常用英文字母Deff表示：
D deff 2 srs
2
五、抽样的类型
非概率抽样：采用非随机的方法从总体 中抽选单元 抽 样 调 查 概率抽样：基于随机的原则从总体中抽 取单元
（1）由于性质相同的单元分在同一层，层内差异缩小，可 以提高抽样效率；
（2）可以得到各层子总体的估计；
（3）操作与管理方便； （4）能避免得到一个“差”的样本。 3、缺点： （1）对抽样框的要求比较高，必须有分层的辅助信息； （2）收集或编制抽样框的费用比较高； （3）若调查变量与分层的变量不相关，效率可能降低； （4）估计值的计算比简单随机抽样复杂。
3、系统抽样的优点 （1）没有抽样框时可代替简单随机抽样方法简单； （2）不需要辅助的抽样框信息； （3）样本的分布比较好；估计值容易计算。 4、系统抽样的缺点 （1）若抽样间隔与总体的某种周期性变化一致，会得 一个差的样本； （2）不使用辅助信息使抽样效率不高； （3）使用概念框时，不能预先知道样本量； （4）没有一个无偏的方差估计量； （5）当N不能被n整除时会得到样本量不同的样本。
（一）非概率抽样



1.非概率抽样及其优缺点 非概率抽样是用非随机的方法抽选样本。 优点： 快速简便； 费用相对比较低； 不需要任何抽样框； 对探索性研究和调查设计的开发很有用。 缺点： 不能对总体进行推断； 由于不知总体单元的入样概率，故不能计算估 计 值的抽样误差。

函数(分布曲线方程)为：
f ( x) 1

2
e
1 x 2 ( ) 2
当μ =0,σ 2=1时，称该分布为标准正态分布。标准正 态分布的密度函数为
1 2
1 2
任何正态分布，它的样本落在任意区间(a,b)内的概 率等于直线x=a，x=b，横坐标和曲线f(x)所夹的面积(可 由正态分布概率积分表查得)。经计算，正态总体的样本 落在：
六、几种主要的概率抽样方法
（一）简单随机抽样 1、定义：简单随机抽样是从总体的N个抽样单元 中，每次抽取一个单元时，使每一个单元都有相等的 概率被抽中，连续抽n次，以抽中的n个单元组成简单 随机样本。 2、优点： （1）比较容易理解和掌握；（2）抽 样框不需要其他辅助信息；（3）理论上比较成熟， 有现成的方差估计公式。 3、缺点： （1）没有利用辅助信息；（2）样本 分散，面访费用较高；（3）有可能抽到较差的样本； （4）抽选大样本比较费时。
。。。。

2、优点： 能显著提高估计值精度（与简单随机抽样相比）；能 用来获得抽样框中所没有的辅助信息（特别是分层信息）； 适用于某些调查指标的数据收集费用特别高，或 会给被调查者带来较重的回答负担的情况。 3、缺点：