高数同济第三版D1_3无穷小无穷大

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1-3无穷小与无穷大

1 1 = lim = x→ 0 x 2 + 3 3
19
例7 求解
ln (1 + x ) lim x→ 0 x
ln(1 + x) ~ x
ln (1 + x ) x lim = lim =1 x→ 0 x→ 0 x x tan x − si n x lim x→ 0 ln(1 + x 3 )
sin x (1 − co s x ) = lim x→ 0 cos x x 3
x2 − 9 ( Q lim x − 3 = 6 ) x →3 当 x → 0 时, sin x 是关于 x 的等价无穷小
sin x = 1 Q lim x →0 x
16
3、无穷小的等价代换
β 定理设在自变量的同一变化过程中α ~ α ′， ~ β ′，
且
β′ lim α′
x →∞
x+4 2.lim x→1 x − 1
3x 2 − 4 3.(1) lim 3x − 2 ( 2 ) lim 2 x →∞ 4 x − x + 3
( 3) lim ( x 2 − 3x + 2 ) x →∞
12 1 4. lim − 3 x→−2 x + 2 x +8
α = o(β ) ; α →c≠0 c （2）若β ，
为同阶无穷小; 为常数, 为常数,则称 α与β 为同阶无穷小;
β
（ 3 ）若
α → 1,则称α与β 为等价无穷小,记作α 等价无穷小无穷小, β
．
15
例如: 例如: 当 x → 0时, 3x 2 是比 x 高阶的无穷小
3x 2 Q lim =0, ∴ 3x 2 = o( x)( x → 0) ) ( x →0 x 当x → 3 时, x 2 − 9 与x − 3 是同阶无穷小

同济大学高等数学1-5极限的运算法则PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

第11页11
极限计算一些基本极限（已经证实或显著）
第12页12
例 1 求lim(3x2 5x 8). x1
解：lim(3x2 5x 8) lim3x2 lim5x lim8.
x1
x1
x1
x1
3lim x2 5lim x 8.
x1
x1
3(lim x)2 5 8 3 5 8 6. x1
分母有理化
解:
lim x 1 lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1 x1
x 1
x1
2
35第35页
练习求 lim x ( x2 1 x) x
解:
原式= lim x
x
lim
x 2 1 x x
1 1
1
1 x2
1
2
36第36页
内容小结
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法
( 要求分母不为 0 )
2) x x0 时, 对
0 型 , 约去公因子， 0
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
6 第6页
问: 无穷大是否有类似性质？以下命题成立？（1）两个无穷大之和也是无穷大？（2）两个无穷大积也是无穷大？（3）无穷大与有界函数和也是无穷大？（4）无穷大与有界函数乘积也是无穷大？（5）无穷大与无穷小乘积是什么？
说不清楚，有各种可能
第7页
求

高数同济第三版D15无穷小比较课件

随堂练习：
注：乘积运算时也可利用无穷小等价替换。
内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
是的高阶无穷小
是的低阶无穷小
是的同阶无穷小
是的等价无穷小
常用等价无穷小 :
2. 等价无穷小替换定理
定义.
若
则称是比高阶的无穷小,
若
若
若
或
设
是自变量同一变化过程中的无穷小,
记作
则称是比低阶的无穷小;
则称是的同阶无穷小;
则称是的等价无穷小,
记作
一、无穷小的比较
例如 , 当
所以
即
例1. 求
解：原式
解:
因此
即有等价关系:
例2. 求
总结：常见的等价无穷小
定理. 设是同一变化过程中的无穷小，且
若
存在 , 则
解：原式
二、等价无穷小的替换原理
例3. 求
例4. 求
解：原式=
总结：
1、需替换时再替换
2、作最简单替换
3、必须是无穷小因子才能替换
解：原式=
例5. 求
例6. 求
解:
原式

无穷小无穷大课件

定义1. 若则称函数
(或 x ) 时 , 函数
则
为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 ! 因为
C
当
时,
C 显然 C 只能是 0 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
证: lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中为
x x0 时的无穷小量 .
0, 0, 当 0 x x0 时,有
f (x) A
f (x) A lim 0
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
作业 P41~42 2; 4；5
第五节目录上页下页返回结束
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数当
但
所以
时,
不是无穷大 !
3. 若
则直线 x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
铅直渐近线
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例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使
只要取 1 , 则对满足
M
即的一切 x , 有
所以
说明: 直线 x 1 为曲线
的铅直渐近线 .
渐近线

高数一 1-4 无穷小与无穷大

lim x2
x2
x4 2x 4
1 2
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
例6 计算 lim ( x2 x x) x
解 lim ( x2 x x) lim
x
x
x x2 x x
lim
1
1
x 1 x1 1 2
x2 x x2 1 x1 x 1 x1
11
首页
所以lim 1 . x1 x 1
y 1 x 1
1
铅直渐近线
5
首页
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结束
铃
❖铅直渐近线
如果 lim f (x) x x0
则称直线 x x0 是函数 yf(x)的图形
的铅直渐近线
❖水平渐近线
如果 lim f(x) A 则直线 yA称为函数 yf(x)的图形的 x
水平渐近线
y 1 x 1
ann bmm
ab0000
nm nm nm
10
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结束
铃
例5
计算
lim（
x2
x
1
2
12 x3
） 8
解
lim（ x2 x
1
2
12 x3
） 8
lim
x2
(x2 (x
2x 4) 12 2)(x2 2x 4)
lim x2
(x 2)(x 4) (x 2)(x2 2x 4)
当 xx0 时的无穷大记为
lim f (x) . (形式记法,实际上极限不存在)
x x0
❖无穷大的精确定义
lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M

同济版高数1-4

/14 11 11/14
/14 12 12/14
四、小结 . 无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
: 两个定义 1.主要内容主要内容: ;两个定理 .铅直渐近线两个定义; 两个定理. : 几点注意: 2.几点注意 ,不能与很小（大）的数混淆 , （1）无穷小（大）是变量大）是变量, ;常数中不存在无穷大 . 零是唯一的无穷小的数零是唯一的无穷小的数; 常数中不存在无穷大. . （2）无穷大必无界；无界变量未必是无穷大）无穷大必无界；无界变量未必是无穷大. 具有一致性，无界变量不具有一致性 . 无穷大无穷大具有具有一致性，一致性，无界变量无界变量不具有不具有一致性一致性.
[两者区别与联系]
. 无穷大必无界，但无界未必是无穷大无穷大必无界，但无界未必是无穷大. [无穷大] lim f ( x ) = ∞ ⇔
x → x0
6/14
一致性
∀ M > 0, ∃ δ > 0 , 当 0 < x − x 0 < δ 时 ,
有 f ( x ) > M (如右图)
[无界量] f ( x ) 在 U ( x0 )内无界 ⇔
lim α = 0
f ( x) = A + α
对自变量的其它变化过程类似可证 .
(无穷小 ); 4/14 将一般极限问题转化为特殊极限问题( 无穷小); 】(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题【意义意义】（2 ）给出了函数 f ( x ) 在 x0 附近的近似表达式
牛-莱称无穷小分析 f ( x ) ≈ A, 误差为 α ( x ). x +1 当 x → ∞ 时，将函数 f ( x ) = 】【补例补例】 x . 写成其极限值与一个无穷小之和的形式写成其极限值与一个无穷小之和的形式. x +1 = lim(1 + 1 ) = 1 ∵ lim f ( x ) = lim 【解】 x x →∞ x →∞ x x →∞

《无穷小无穷大》课件

无穷小是极限为零的变量或函数。
无穷小是数学分析中的一个重要概念，是研究函数极限和连续性的基础。
无穷小是相对于自变量的某个变化范围而言的，不是绝对的零。
无无穷小的性质
无穷小具有局部性、相对性和极限性。
无穷小是相对于自变量的某个变化趋势而言的，不是绝对的零。
无穷小具有可加性、可减性、可乘性和可除性等性质。
无穷大的应用
无穷大在数学分析、实数理论、集合论等领域有着广泛的应用，是研究数学的基础概念之一。
在实际应用中，无穷大可以用来描述物理现象和工程问题，例如在电路分析中，无穷大可以用来表示电源电压或电流的极限值。
04
无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的基础
无穷小是无限趋近于0的数，而无穷大是无限增大的数。无穷小和无穷大之间的关系是相互依存的，无穷小是无穷大的基础，因为任何无穷大的数都可以分解为无穷小的数相加或相乘。
无穷大分为实无穷和潜无穷两种类型，实无穷认为存在一个最大的数或集合，而潜无穷则认为数列或集合可以无限地增大而没有最大值。
无穷大的性质
01
无穷大具有传递性，即如果一个数或集合大于另一个数或集合，且后者大于另一个数或集合，则前者也大于后者。
02
无穷大具有不可比较性，即无法比较两个无穷大的大小，因为它们都超出了任何有限的界限。
无穷级数和无穷乘积是微积分中的重要工具，无穷小和无穷大在它们的计算和证明中也有着重要的应用。
导数和积分
导数和积分是微积分中的重要概念，无穷小和无穷大在导数和积分的计算中也有着重要的应用。
物理中的应用
相对论
在相对论中，时间和空间都是相对的，无穷小和无穷大在相对论中有着重要的应用，例如光速的

高等数学1.4无穷大与无穷小的关系

f ( x) A ( x)
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大定义: 绝对值无限增大的函数称为无穷大. 1 1 称为 x 0 时的无穷大如 x 0时，， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2）设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域， 0
该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0，当 0 <|x – x0| < ，恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x

高等数学 1-4 无穷小与无穷大及极限运算法则

( 1) n
n
0 , 数列 {
( 1) n
}是当 n 时的无穷小
.
无穷小的运算性质:
(1) 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 , n 时 , 但 n个 1 n 1 n 之和为 1不是无穷小 . 是无穷小，
无穷小与无穷大的关系
定理在同一种变化情况下,
(1)无穷大的倒数为无穷小;
(2)恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
补充：
分清无穷小和有界，无穷大和无界这两组概念无穷大必无界，而无界未必无穷大
极限运算法则
e . g .1 .求 I= lim (x h) x
)
x sin x x 1
0
(4)无穷小与函数极限的关系.
定理
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
问题：
对于f ( x) 2x
2 2
Hale Waihona Puke x 3，能否将其表示成一个无穷小+其极限的形式？
分清无穷小和有界无穷大和无界这两组概念无穷大必无界而无界未必无穷大混凝土衬砌渠道具有防渗抗冲效果好输水能力大经久耐用便于管理等特点
第四节无穷小与无穷大及极限运算法则
一、无穷小(量)
1.定义:
在自变量某种变化下， f ( x ) 以零为极限，把 f ( x ) 称为在该变化下的无穷小(量) .
若函数
二、无穷大(量)
定义: 在自变量某种变化下， f ( x ) 可无限增大，把 f ( x ) 称为在该变化下的无穷大(量) .

同济大学高等数学第一章无穷小比较

n
n
～
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定理1.
证:
～
o( )
lim 1 lim( 1) 0, 即 lim 0
～
o( ) , 即 o( )
例如, x 0 时,
～
tan x ～x , 故
tan x x o( x)
机动
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说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
(1) 和差取大规则: 若 = o() , 则 ~ 1 x sin x lim 例如, lim 3 3 x 0 3 x x 0 x 3 x (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且与不等价 , lim , 则 ~ , 且 lim
x 0 时,
机动
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定理2 . 设
且
存在 , 则
lim
证:
lim lim lim lim lim lim
例如,
2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0 , 则称是比高阶的无穷小, 记作 o( ) 若 lim , 则称是比低阶的无穷小; 若 lim C 0 , 则称是的同阶无穷小;
若 lim k C 0 , 则称是关于的 k 阶无穷小; 若 lim 1, 则称是的等价无穷小, 记作 ~ 或 ~

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注意:
1.式中的记号“”是一个记号而不是确定的数， f ( x) 记号的含意仅表示“ 的绝对值无限增大”． 2. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 3.说明一个函数为无穷大时必须指明自变量的变化过程。 4.在 x 的变化过程中，若 f ( x ) 0 ，且 f ( x )无限增大，则称 f ( x ) 为此变化过程中的正无穷大量，记作
当
时为无穷小;
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说明: （1）无穷小量不是一个很小的数，而是极限为零的一个变量．特殊地，常数0它在自变量的任何变化过程中均为无穷小量．
（2）说明一个函数为无穷小时必须指明自变量的变化过程。
2.性质
性质1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量．性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量．性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量．性质4 常量与无穷小量的乘积是无穷小量．
y
思考几个常见函数：
ye
x
x
ye
x
y
y ln x
x
lim e 0
x
o
x
o
x
y ln x
x x 0
lim ln x lim ln x lim ln x 0
x 1
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三、无穷小与无穷大的关系
观察：
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若若为无穷大, 则
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例1 求 lim x 解

sin x x
lim
．
1 x 0

1 x
x
是无穷小量是有界函数
而
sin x 1
sin x
由无穷小的性质，可得
lim sin x x 0
x
lim 随堂练习： x
arctan x x
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第三节无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大
第一章
三、无穷小与无穷大的关系
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一、无穷小
1 .定义：若为即 xlim x
0
(或x )时, 函数
则称函数
(或x ) 时的无穷小量，简称无穷小。
f x 0
或
x
lim f
x 0
例如 :
函数函数当时为无穷小;
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二、无穷大
定义2 .如果当
( x ) 时，函数
的绝
( x )
对值无限增大，那么称函数
为当
时的无穷大量，简称无穷大. 记作
(lim f ( x) ).
x
y
y
x 例如： 0
的变化情况
x0
1 x
Байду номын сангаас解：如图
lim
x 0
无限增大
O
x
1 x

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若 f ( x ) 0，但 f ( x ) 无限增大，则称 f ( x ) 为此变化过程中的负无穷大量。记作
x x0 ( x )
lim f ( x)

5.定义可推广到 x x 0
lim e
x
， x
x0

x ，x ，
1 f ( x)
为无穷小 ;
1 f ( x)
为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则
为无穷大.
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
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3.定理无穷小与函数极限的关系（了解）
x x0
lim f ( x) A f ( x) A , 其中为 x x0
时的无穷小量 .
例如
lim 3x 4 x 1 3
x
3x 4 x 1
3
1 x 1
其中
lim
1 x 1
x
0
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