最新2018-2019年高三数学(理)高考复习试题 (1)

2018届高考复习全程精炼·核心卷全国Ⅰ卷·文科数学（三）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.{}{}2,1,0,1,2,012--=>+=B x x A ，则=B A ( )A ．{}0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,0D ．{}2,1,0,1- 2.复数=+ii-23（） A ．i +1 B ．i -1 C ．i 21+ D ．i 2-13.经调查，某市骑行小黄车的老年人、中年人、青年人的人数比例是631：：，用两层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人人数为18，则=n （） A ．20 B ．30 C ．40 D ．604.双曲线124222=---a y a x 与双曲线12122=-x y 有相同渐近线，则=a （）A ．0B ．0或3 C. 23-D ．23-或3 5.已知命题p ：若)(x f 为奇函数，则0)0(=f ；命题q ：若ac b =2，则c b a ,,成等比数列，以下命题是真命题的是（）A ．q p ∧B ．q p ∧⌝)（ C.)(q p ⌝∧ D ．）（（q p ⌝∧⌝) 6.已知：258)1)(cos 1(sin ),,0(=++∈ααπα，则=α2sin （）A ．51-B ．57- C.2524 D ．2524-7.执行如图所示的程序框图，若输出的数为m ，则m 的取值范围是（）A ．(]()∞+∞，，64-B ．()()∞+∞，，64- C. ()[)∞+∞，，64- D ．(][)∞+∞，，64- 8.某几何的三视图如图所示，该几何体的体积为38，则该几何体的表面积为（）A ．16B ．248+ C.648+ D ．62228++ 9.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,00,2,cos 1ππ x x x y 的图像大致是（）A ．B ．C. D ．10.已知ABC ∆中，,cos 2cos 3sin 2sin tan A B A B C --+=当C cos 最小时，=ba（）A.32 B.36 C.43 D.41011.已知抛物线x y 42=，直线l 过抛物线焦点F ，且交抛物线于B A ,两点，抛物线准线为111,l AA l ⊥于，1A11l BB ⊥于1B AB 中点为M , 301=∠M FM ，则=∙FB FA ( ) A ．5 B ．316C.317 D ．612.已知：当e x 20≤<时，e nx a x ≤-1恒成立，则a 的取值范围是（） A ．[]e n 2,211+ B ．[]e e 2, C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-e n e e 2,2112 D ．()[]e e n 2,211+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知：b a ,夹角为45，,2)2()2b a b a b a ⋅=-⋅+（则=ba ．14.已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-02202202y x y x y x ，则x y x z 422-+=的最小值为．15.球O 的半径为2，M 是球面上一点，过点M 且两两垂直的三个平面截球O 得到三个圆：,,,321O O O ΘΘΘMO 与平面331O O O 交于点Q ,则=QM OQ :．16.已知：)sin()(ϕ+=x x f 在10π=x 处取最大值，则)1511cos()(π+x x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：).2)(1(6121++=+++n n n S S S n （Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）求证：.43111111212322<-+-+-+n a a a 18. 某中学高三年级为了统计每次考试的数学成绩，分别从普通班和实验班各随机抽取十人的数学成绩，茎叶图如图所示：（Ⅰ）从样本数据，估算实验班与普通班平均分之差；（Ⅱ）该校分“全寄宿”和“走读”两个校区，选出的20人中，10人来自“全寄宿”校区，10人来自“走读”校区，成绩分布如下：根据表中数据判断是否有95%的把握认为成绩高低与是否寄宿有关？（Ⅲ）已知：全年级平均分数为111.3，从这20份试卷中选出两份分数在()120100，的试卷进行分析，求两份试卷都出在普通班的概率.附：,))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中.d c b a n +++=19. 在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面,ABCD ,//,4,2BC AD BC AB DA PD ==== 90=∠ABC ,N M ,分别是BC PC ,上的点，().1,0,,∈==λλλCB CN PC PM（Ⅰ）求证：21=λ时，平面//DMN 平面PAB ; （Ⅱ）求DNC M V -的最大值.20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为22，M 是椭圆上一点，与M 关于x 轴，y 轴，原点对称的点分别为,,,Q P N 矩形MNQP 面积的最大值为24.(Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）椭圆C 上的点B A ,满足O OB OA (⊥为原点），求AOB ∆面积的最小值. 21. 已知：).21()(2x nx a e x x f x +-=（Ⅰ）若)(x f 是()∞+1上的增函数，求a 的最大值； （Ⅱ）若)(x f 最小值为0，求a .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆126:22=+x y C ，直线06:=-+y x l ，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，（Ⅰ）把椭圆C 和直线l 方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求出椭圆C 和直线l 交点的极坐标.22. 选修4-5：不等式选讲 (Ⅰ）解不等式;211<+--x x（Ⅱ）若11-≥-++x a x x 恒成立，求a 的取值范围.2018届高考复习全程精炼·核心卷 全国Ⅰ卷·文科数学试卷答案一、选择题1-5:CABAD 6-10:DCDDD 11、12：BC 二、填空题13.22 14.516- 15.2:1 16.4321-- 三、解答题 17.【解析】（Ⅰ）由)1()1(61)2)(1(6111111+-=+++⇒++=+++-n n n S S S n n n S S S n n ， 两式相减得：()()()[]()()2121112)1(61≥+=+--++=n n n n n n n n n S n当1=n 时，11=S 满足(),121+=n n S n 故对,*∈N n (),121+=n n S n()21≥=-=∴-n n S S a n n n ，且11=a 也满足n a n =，故对,*∈N n n a n =.(Ⅱ）()())211(212111111221+-=+=-+=-+n n n n n a n ， ∴)211(21)5131(21)4121(21)3111(21111111212322+-⨯++-⨯+-⨯+-⨯=-++-+-+n n a a a n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-++++=)2n 1514131()n 131211121 （⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⨯=）（）（211n 1-211121n .43)211121-43<+++=n n （ 18.【解析】（Ⅰ）计算得：普通班平均分为99.9，实验班平均分为126.1，故实验班与普通班平均分之差为26.2.（Ⅱ）()841.333.3101012842862022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，故没有95%的把握认为成绩高低与是否寄宿有关.(Ⅲ）由图知：普通班分数在()120100，的有3人，设为c b a ,,， 实验班分数在()120100，的有3人，设为甲，乙，丙.则抽取结果为：a bc ac ab ,,,甲，a 乙，a 丙，b 乙，b 丙，c 甲，c 乙，c 丙，甲乙，甲丙，乙丙，共15种.其中全部出自普通班的抽取方法有3种，故所求概率.51153==P 19.【解析】（Ⅰ）21=λ时，N M ,分别为BC PC ,的中点. 故⊄M PB MN ,//平面⊂PB PAB ,平面,PAB 所以//MN 平面PAB ， 又AD BN //,又四边形ADNB 为平行四边形， 故.//AB DN 面⊄DN 平面⊂AB PAB ,平面,PAB所以//DN 平面PAB ,又因为⊂=MN N DN MN , 平面⊂DN DMN ,平面,DMN 故平面//DMN 平面.PAB(Ⅱ）过点M 作,//PD MK 交CD 于点,K⊥PD 平面⊥∴MK ABCD ,平面,ABCD又,1λ-==PCMCPD MK ),1(2λ-=∴MK ,4242121λλ=⋅⋅=⋅=∆AB CN S DNC )1(243131λλ-⋅⋅=⋅⋅=∴∆-MK S V DNC DNC M.32)21(38)1(38=-+⋅≤-=λλλλ故DNC M V -∆的最大值为，32当且仅当，λλ-1=即21=λ时取等号. 20.【解析】（Ⅰ）设),,(y x M 则,422xy y x S =⋅=而,24212222ab xy S b y a x b y a x ≤=⇒⋅⋅≥+-当且仅当2,2b y a x ==时取等号， 即,242=ab 又,22=a c 解得：,2,2==b a 故椭圆C 的便准方程为：.12422=+y x（Ⅱ）设直线OA 方程为：,kx y =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=,12422y x kx y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,214,21422222k k y k x ,21)1(42222k k y x OA ++=+=∴ 以k 1-代k 得,2)1(422k k OB ++= ,)12(2()1(1621212222+++=⋅=∴∆k k k OB OA S AOB） 令)1(12≥+=t k t ，则,49)211(12)12)(1(222+--=-+=∆t t t t S AOB当OA 斜率不存在，,34221,2,2>=⋅=∴==∆OB OA S OB OA AOB 综上：AOB S ∆的最小值为.3421.【解析】（Ⅰ）),)(2()12()2()(2'xa xe x x a e x x x f xx -+=+-+=当1>x 时，,00)(2'x xe x a xaxe x f ≤⇒≥-⇒≥ 令0)2()()(2'2>+=⇒=x x e x x x g e x x g ，)(x g ∴在()∞+，1上是增函数，.)1(,)1()(e g a e g x g =≤∴=>故a 的最大值为e .（Ⅱ）).)(2()('xa xe x x f x-+=当0≤a 时，0)('>x f ，函数没有最小值，不合题意；当0>a 时，设0)1()(,)(2'>++=-=xae x x h x a xe x h x x，所以)(x h 为增函数， 当0→x 时，+∞→-∞→x x h ;)(时，,)(+∞→x h故0)(=-=x axe x h x在()∞+，0上有唯一解，设为m ， 则(**),1211)(,2m na nm na m ma e m a me m m-=-=⇒*==在()m ，0上，,0)()2()('<+=x h x x f 在()+∞,m 上，,0)()2()('>+=x h x x f 故)(x f 的最小值为)21()(2m nm a e m m f m +-=，把()()***两式代入得：01)1()(22=-=+--⋅=na a a m m na a m am m f ， 则0=a 或0(==a e a 时，不合题意），故.e a =22.【解析】（Ⅰ）把⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入椭圆C 和直线l 的方程，可得椭圆C 的极坐标方程为,cos 21622θρ+=直线l 的极坐标方程为,cos sin 6θθρ+= （Ⅱ）将直线l 的极坐标方程,cos sin 6θθρ+=代入椭圆C 的极坐标方程得：2cos sin 6）（θθ+,cos 2162θ+= 化为0)cos (sin cos =-θθθ，由0cos =θ得，62=⇒=ρπθ由,340cos sin =⇒=⇒=-ρπθθθ故交点坐标为），（26π和），（43π.23.【解析】（Ⅰ）原不等式等价于⎩⎨⎧<++--≤2)1()1(1x x x 或⎩⎨⎧<+---<<-2)1()1(11x x x 或⎩⎨⎧<+--≥2)1()1(,1x x x 分别解得：⎩⎨⎧<-≤221x 或⎩⎨⎧-><<111-x x 或⎩⎨⎧<-≥221x∴解集为{}1->x x . （Ⅱ）原不等式可化为11+--≥-x x a x 恒成立， 分别画出a x y -=和11+--=x x y 的图像， 知当a 变化，且a x y -=经过点()21-，时， 其图像在11+--=x x y 的右上方， 即⎩⎨⎧≥⇒>≥.102-1-a a a。

专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈zC．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）．由2kπ≤πx2kπ+π，求得2k x≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=， 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象， 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-， 则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--， 当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=， 故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++， 将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像， 所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称， 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-.故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+， 因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈， 又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=， 所以3()sin(9)4f x x π=+， 故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A由题意，函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈， 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错． 故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =， 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =， 又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去， 又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =， 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵(0,)C π∈，∴23C π=． 故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___． 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15．在锐角ABC∆中，角A B C，，的对边分别为a b c，，．且cos cosA Ba b+=23sin C23b=．则a c+的取值范围为_____．【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得：23sin cos sin cos sinB A A B B C+=，可得：sin()sin sin A B C B C +==，sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+， 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =即AB 的长为3.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）5BC =（2【解析】解：（1）因为cos B =，0B π<<，所以sin B ===在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（Ⅰ）64（Ⅱ）1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠． 因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b a B =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+， 化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =， 因为sin 0B ≠， 所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角， 即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】 （Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。

淄博市2018-2019学年度高三模拟考试试题理 科 数 学本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，集合{}|21x A x =>，{}|15B x x =-≤≤，则()U A B =I ð A ．[)1,0- B ．(]0,5 C ．[]1,0- D ．[]0,5 2．若复数z 满足i zi 21+=，则z 的共轭复数的虚部为A ．iB ．i -C ．1-D ．1 3．命题“3210x x x ∀∈-+≤R ，”的否定是 A ．不存在3200010x x x ∈-+≤R ，B ．3200010x x x ∃∈-+≥R ，C ．3200010x x x ∃∈-+>R ，D ．3210x x x ∀∈-+>R ， 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且4654a a a +=+，则=9S A ．72 B ．36 C ．18 D ．9 5．已知直线l 和两个不同的平面βα，，则下列结论正确的是 A ．若//l α，l β⊥，则βα⊥ B ．若αβα⊥⊥l ，，则β⊥l C ．若//l α，//l β，则βα// D ．若αβα//l ，⊥，则β⊥l6．在某项测量中，测得变量2(1,)(0)N ξσσ>:．若ξ在）（2,0内取值的概率为8.0，则ξ在），（21内取值的概率为 A ．2.0 B ．1.0 C ．8.0 D ．4.07．一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示．若该三棱柱的外接球的表面积为124π，则侧视图中的x 的值为 A ．239 B ．9 C ．33 D ．3 8．已知直线)0(≠=k kx y 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>交于B A ,两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ．若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率是A ．2B ．3C ．2D ．59．已知(4,0)(0,4)M N -，，点),(y x P 的坐标y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤0124300y x y x ，则NP MP ⋅的最小值为 A ．52 B ．254 C ．25196- D ．5- 10．已知,)(sin )(xx f θ=）（2π0，∈θ，设)7log 21(2f a =，)3(log 4f b =，)5(log 16f c =，则c b a ,,的大小关系是A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a b c >> 11．已知直线l ：)0(2>--=m m x y 与圆,02322:22=---+y x y x C 直线l 与圆C 相交于不同两点N M ,．若CN CM MN +≤2，则m 的取值范围是A ．）5,5[B ．）355,2[-C ．）（55,5D ．）（2,312．函数x x x f 2cos )2sin()(++=θ，若)(x f 最大值为()G θ，最小值为)(θg ，则 A ．R ∈∃0θ，使00()()πG g θθ+= B ．R ∈∃0θ，使π)()(00=-θθg G C ．R ∈∃0θ，使π)()(00=⋅θθg G D ．R ∈∃0θ，使π)()(00=θθg G第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．()52121x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项是 ． 14．古代埃及数学中发现有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如2115315=+，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得11315+．形如()22,3,4,21n n =+…的分数的分解：2115315=+，2117428=+， 2119545=+，按此规律，221n =+ ()2,3,4,n =…．15．如图所示，平面11BCC B ⊥平面ABC ， 120ABC ∠=︒，四边形11BCC B 为正方形， 且2AB BC ==，则异面直线1BC AC 与所 成角的余弦值为 ．16．已知抛物线2C y x =：上一点(1,1)M -，点A B ，是抛物线C 上的两动点，且0MA MB ⋅=u u u r u u u r，则点M 到直线AB 的距离的最大值是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17．（12分）在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足(2)cos cos b c A a C -=． （Ⅰ）求角A （Ⅱ）若13a =，ABC ∆的面积为33，求ABC ∆的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=o ，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若直线//PA 平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值． 19．（12分）已知点A ，B 的坐标分别为(2,0)-，(2,0)．三角形ABM 的两条边AM ， BM 所在直线的斜率之积是34-．（I ）求点M 的轨迹方程； （II ）设直线AM 方程为2(0)x my m =-≠，直线l 方程为2x =，直线AM 交l 于P ，点P Q ，关于x 轴对称，直线MQ 与x 轴相交于点D ．若APD △面积为，求m的值．20．（12分）春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在{}111230，，…，范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在{}111230，，…，范围内取值（每天进1次货）．商店每销售1盒礼盒可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼盒亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1盒礼盒可获利30元．设该礼盒每天的需求量为x 盒，进货量为a 盒，商店的日利润为y 元． （Ⅰ）求商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式；（Ⅱ）试计算进货量a 为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值．21．（12分）已知函数()()21x f x e a x x =-++． （Ⅰ）若0x =是()f x 的极大值点，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在()0,+∞上只有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

素养提升练(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·某某长郡中学一模)已知集合A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值X 围是( )A ．a >3B ．a ≥3 C．a ≤1 D．a <1 答案 D解析 因为B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝B ，所以a <1.故选D. 2．(2019·某某某某二模)若复数a －2i1＋i(a ∈R )为纯虚数，则|3－a i|＝( )A.13 B ．13 C ．10 D.10 答案 A 解析a －2i1＋i＝a －2i1－i 1＋i 1－i ＝a －2＋－a －2i2，因为复数a －2i1＋i (a ∈R )为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝0，－a －22≠0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0，a ＋2≠0.解得a ＝2，所以|3－a i|＝|3－2i|＝32＋－22＝13.故选A.3．(2019·江淮十校模拟)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 答案 C解析 由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.8×120＝96人，女性人数为0.6×80＝48人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选C.4．(2019·某某模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝4，S 9＝72，则a 10＝( ) A ．20 B ．23 C ．24 D ．28 答案 D解析 由于数列是等差数列，故⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝4，S 9＝9a 1＋36d ＝72，解得a 1＝－8，d ＝4，故a 10＝a 1＋9d ＝－8＋36＝28.故选D.5．(2019·某某一模)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－e)，且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的斜率为( )A ．－2B ．2C ．－eD ．e 答案 B解析 函数f (x )＝x ln x 的导数为f ′(x )＝ln x ＋1，设切点为(m ，n )，则n ＝m ln m ，可得切线的斜率为k ＝1＋ln m ，∴1＋ln m ＝n ＋e m ＝m ln m ＋e m，解得m ＝e ，k ＝1＋ln e ＝2，故选B.6．(2019·某某质检)如图，在△ABC 中，AN →＝23NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝tAB →＋13AC →，则实数t 的值为( )A.23B.25C.16D.34 答案 C解析 由题意及图，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋mBN →＝AB →＋m (AN →－AB →)＝mAN →＋(1－m )AB →，又AN →＝23NC →，∴AN →＝25AC →，∴AP →＝25mAC →＋(1－m )AB →，又AP →＝tAB →＋13AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝t ，25m ＝13，解得m ＝56，t ＝16，故选C.7．(2019·某某某某一模)如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A ．12B ．15 C.403 D.503答案 D解析 其直观图为四棱锥E －ABCD ，由题意得V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4＋12×2×2×5＝503.故选D.8．(2019·华师附中模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c(其中c 2＋b 2＝a 2)上存在点P ，使线段PF 1的垂直平分线经过点F 2，则椭圆离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案 C解析 由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，m ，则由中点公式可得线段PF 1的中点K ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－c 22c，12m ，∵线段PF 1的斜率与KF 2的斜率之积等于－1，即m －0a 2c ＋c ·12m －0a 2－c 22c－c ＝－1，∴m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －3c ≥0，∴a 4－2a 2c 2－3c 4≤0，∴3e 4＋2e 2－1≥0，∴e 2≥13或e 2≤－1(舍去)，∴e ≥33.又椭圆的离心率0<e <1，故33≤e <1，故选C. 9．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x，x ≤0，2－|x －1|，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有两个零点x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( ) A ．2 B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e答案 D解析 当x ≤0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x，当x <－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，－1)上为减函数，当－1<x <0时，f ′(x )>0，故f (x )在(－1,0)上为增函数，所以当x ≤0时，f (x )的最小值为f (－1)＝－1e.又在R 上，f (x )的图象如图所示，因为g (x )有两个不同的零点，所以方程f (x )＝m 有两个不同的解，即直线y ＝m 与y ＝f (x )有两个不同交点且交点的横坐标分别为x 1，x 2，故1<m <2或m ＝0或m ＝－1e.若1<m <2，则x 1＋x 2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e.综上，x 1＋x 2的值为2或3或2＋1e，故选D.10．(2019·某某模拟)如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为( )A ．1－2πB ．2πC ．2π2D ．1－2π2 答案 A解析 S 矩形＝π×1＝π，又⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0＝－(cosπ－cos0)＝2，∴S 阴影＝π－2，∴豆子落在图中阴影部分的概率为π－2π＝1－2π.故选A .11．(2019·昌平期末)设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 25＝1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→·PF 2→＝m 成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是( )A.12 B ．3 C ．5 D ．8 答案 B解析 ∵点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 25＝1的左、右焦点，即F 1(－2,0)，F 2(2,0)，a2＝9，b 2＝5，c 2＝4，c ＝2，设P (x 0，y 0)，PF 1→＝(－2－x 0，－y 0)，PF 2→＝(2－x 0，－y 0)，由PF 1→·PF 2→＝m 可得x 2＋y 20＝m ＋4，又∵P 在椭圆上，即x 209＋y 205＝1，∴x 20＝9m －94，要使得PF 1→·PF 2→＝m 成立的点恰好是4个，则0<9m －94<9，解得1<m <5，∴m 的值可以是3.故选B.12．(2019·某某某某、某某二模)已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为26，球的半径为5，则正四面体表面与球面的交线的总长度为( )A ．4π B．82π C．122π D．12π 答案 A解析 ∵正四面体A －BCD 的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为26，取CD 的中点E ，连接BE ，AE ，过A 作AF ⊥底面BCD ，交BE 于F ，则BE ＝AE ＝262－62＝32，BF ＝23BE ＝22，AF ＝262－222＝4，设正四面体内切球半径为r ，则(4－r )2＝(22)2＋r 2，解得正四面体内切球半径为r ＝1，∵球的半径为5，∴由球的半径知球被平面截得小圆半径为r 1＝5－1＝2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30°，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3×30°360°×2π×2＝4π.故选A . 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·某某质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤2，则z ＝2x ＋3y 的最小值为________． 答案 8解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤2表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图形知，当目标函数z ＝2x ＋3y 过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y ＝0，求得A (1,2)，所以z ＝2x ＋3y 的最小值是2×1＋3×2＝8. 14．(2019·金山中学模拟)数列{a n }且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n 2＋2n ，n 为奇数，sin n π4，n 为偶数，若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018＝________.答案30282019解析 数列{a n}且a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n 2＋2n ，n 为奇数，sin n π4，n 为偶数，①当n 为奇数时，a n ＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2； ②当n 为偶数时，a n ＝sinn π4，所以S 2018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2018)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12017－12019＋(1＋0－1＋…＋0)＝10092019＋1＝30282019. 15．(2019·某某二模)将多项式a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0分解因式得(x －2)(x ＋2)5，则a 5＝________.答案 8解析 (x －2)(x ＋2)5＝(x 2－4)(x ＋2)4，(x ＋2)4展开式中的x 3系数为C 14·21＝8.所以a 5＝8.16．(2019·某某期末)已知函数f (x )＝sin x ·cos2x (x ∈R )，则f (x )的最小值为________．答案 －1解析 函数f (x )＝sin x ·cos2x ＝sin x (1－2sin 2x )＝sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1,1]，则h (t )＝t －2t 3，h ′(t )＝1－6t 2， 当－1≤t <－66时，h ′(t )<0，h (t )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－66上单调递减； 当－66≤t <66时，h ′(t )≥0，h (t )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－66，66上单调递增； 当66≤t ≤1时，h ′(t )≤0，h (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤66，1上单调递减． 所以函数的最小值是h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－66或h (1)，h (1)＝－1<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－66＝－66－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－663＝－69， 故函数f (x )的最小值为－1.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ， 可得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60°＝6＋24. 18．(本小题满分12分)(2019·某某一模)小明在某某市某物流公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了甲、乙两种日薪薪酬方案，其中甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，得到了如图所示的派送量指标的频率分布直方图，并发现每名派送员的日平均派送单数满足以下条件：当某天的派送量指标在⎝ ⎛⎦⎥⎤2n －110，n 5(n ＝1,2,3,4,5)时，日平均派送量为(50＋2n )单． 若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设一名派送员的日薪为Y (单位：元)，试分别求出甲、乙两种方案中日薪Y 的分布列、数学期望及方差；②结合①中的数据，利用统计的知识，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．(参考数据：0.62＝0.36,1.42＝1.96,2.62＝6.76,3.42＝11.56,3.62＝12.96,4.62＝21.16,15.62＝243.36,20.42＝416.16,44.42＝1971.36)解 (1)甲方案中派送员日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式为y ＝100＋n ，n ∈N .乙方案中派送员日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧140n ≤55，n ∈N ，12n －520n >55，n ∈N .(2)①由已知，在这100天中，该公司的一名派送员的日平均派送单数满足下表：派送单数 52 54 56 58 60 频率0.20.30.20.20.1所以Y 甲Y 甲 152 154 156 158 160 P0.20.30.20.20.1所以E (Y 甲)155.4，s 2甲＝0.2×(152－155.4)2＋0.3×(154－155.4)2＋0.2×(156－155.4)2＋0.2×(158－155.4)2＋0.1×(160－155.4)2＝6.44；Y 乙的分布列为Y 乙 140 152 176 200 P0.50.20.20.1所以E (Y 乙)，s 2乙＝0.5×(140－155.6)2＋0.2×(152－155.6)2＋0.2×(176－155.6)2＋0.1×(200－155.6)2＝404.64.②答案一：由①可知，E (Y 甲)<E (Y 乙)，但两者相关不大，且s 2甲远小于s 2乙，即甲方案中日薪的波动相对较小，所以小明选择甲方案比较合适．答案二：由①可知，E (Y 甲)<E (Y 乙)，即甲方案中日薪的期望小于乙方案中日薪的期望，所以小明选择乙方案比较合适．19．(本小题满分12分)(2019·某某调研)如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F .AB ＝AE ＝2，CD ＝5，已知DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE －BCF ，如图2.(1)若AF ⊥BD ，证明：DE ⊥平面ABFE ；(2)若DE ∥CF ，CD ＝3，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为520，求AP 的长． 解 (1)证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在题图2中，AF ⊥BE ， 由已知得AF ⊥BD ，BE ∩BD ＝B ，∴AF ⊥平面BDE ， 又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AE ∩AF ＝A ，∴DE ⊥平面ABFE .(2)在题图2中，AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，即AE ⊥平面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM ∥EF 交CF 于点M ，连接CE ，由题意得DM ＝2，CM ＝1，由勾股定理可得DC ⊥CF ，则∠CDM ＝π6，CE ＝2，过E 作EG ⊥EF 交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA →，EF →，EG →分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，AC →＝(－2,1，3)，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12，32. 设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，－2x －12y ＋32z ＝0，取x ＝1得n ＝(1，－1，3)， 设AP ＝m ，则P (2，m,0)(0≤m ≤2)， 得CP →＝(2，m －1，－3)， 设CP 与平面ACD 所成的角为θ， sin θ＝|cos 〈CP →，n 〉|＝|m |5·7＋m －12＝520⇒m ＝23. ∴AP ＝23.20．(本小题满分12分)(2019·某某高考)如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标． 解 (1)由题意得p2＝1，即p ＝2.所以抛物线的准线方程为x ＝－1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )．令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2.由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x ＝t 2－12ty ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2－2t 2－1ty －4＝0，故2ty B ＝－4，即y B ＝－2t，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又x G ＝13(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝13(y A ＋y B ＋y C )及重心G 在x 轴上，得2t －2t ＋y C ＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t 2，2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 4－2t 2＋23t 2，0.所以直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)， 得Q (t 2－1,0)．由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2>2.从而 S 1S 2＝12|FG |·|y A |12|QG |·|y C | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 4－2t 2＋23t 2－1·|2t |⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－1－2t 4－2t 2＋23t 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t －2t ＝2t 4－t 2t 4－1＝2－t 2－2t 4－1. 令m ＝t 2－2，则m >0，S 1S 2＝2－m m 2＋4m ＋3＝2－1m ＋3m＋4≥2－12 m ·3m＋4＝1＋32. 当m ＝3时，S 1S 2取得最小值1＋32，此时G (2,0)． 21．(本小题满分12分)(2019·某某某某一模)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x ，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a <－12时，若对于任意x 1，x 2∈(1，＋∞)(x 1<x 2)，都存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f x 2－f x 1x 2－x 1，证明：x 1＋x 22<x 0.解 (1)由题意得f ′(x )＝1x－2ax ＋(2－a )＝－2x ＋1ax －1x，x >0，当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，令f ′(x )>0，则0<x <1a ；令f ′(x )<0，则x >1a.∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)证明：∵当a <－12时，f x 2－f x 1x 2－x 1＝1x 2－x 1ln x 2x 1－a (x 2＋x 1)＋(2－a )，f ′(x 0)＝1x 0－2ax 0＋(2－a )，∴1x 2－x 1ln x 2x 1－a (x 2＋x 1)＝1x 0－2ax 0， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－f ′(x 0)＝2x 2＋x 1－a (x 2＋x 1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0－2ax 0＝2x 2＋x 1－1x 2－x1ln x 2x 1＝1x 2－x 12x 2－x 1x 2＋x 1－ln x 2x 1＝1x 2－x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x2x 1＋1－ln x 2x 1， 令t ＝x 2x 1，g (t )＝2t －1t ＋1－ln t ，t >1，则g ′(t )＝－t －12t t ＋12<0，∴g (t )<g (1)＝0，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－f ′(x 0)<0，∴f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f ′(x 0)，设h (x )＝f ′(x )＝1x－2ax ＋(2－a )，x >1， 则h ′(x )＝－1x2－2a >－1＋1＝0，∴h (x )＝f ′(x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴x 1＋x 22<x 0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·某某某某一中三模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(其中t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ(1－cos2θ)＝8cos θ.(1)求l 和C 的直角坐标方程；(2)若l 与C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求α.解 (1)当α＝π2时，l ：x ＝1.当α≠π2时，l ：y ＝tan α·(x －1)．由ρ(1－cos2θ)＝8cos θ得2ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得(sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0，则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α， 因为|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4sin 2α＝8， 所以sin α＝22或－22，因为0<α<π，所以sin α＝22，故α＝π4或3π4. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·某某某某一中三模)设函数f (x )＝|2x ＋a |－|x －2|(a ∈R ，x ∈R )． (1)当a ＝－1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若在x ∈R 上f (x )≥－1恒成立，某某数a 的取值X 围．解 (1)a ＝－1时，f (x )>0可得|2x －1|>|x －2|，即(2x －1)2>(x －2)2，化简得(3x －3)(x ＋1)>0，所以不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)①当a <－4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －a －2，x <2，－3x －a ＋2，2≤x ≤－a 2，x ＋a ＋2，x >－a2，由函数单调性可得f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2＋2≥－1，解得－6≤a <－4；②当a ＝－4时，f (x )＝|x －2|，f (x )min ＝0≥－1，所以a ＝－4符合题意；③当a >－4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －a －2，x <－a2，3x ＋a －2，－a 2≤x ≤2，x ＋a ＋2，x >2，由函数单调性可得，f (x )min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2－2≥－1，解得－4<a ≤－2.综上，实数a 的取值X 围为[－6，－2]．。