专题02 几何多解问题(学生版)

知识点01:认识东、南、西、北一．东、南、西、北四个方向简单认识．1．当知道东、南、西、北其中的一个方向时，可以辨别其他三个方向．前与后相对，左与右相对，东与西相对，南与北相对．2．如果知道前面是东，那么后面就是西；如果知道左面是北，那么右面就是南，其他可照此类推．也可以简记为：面东背西，左北右南；面西背东，左南右北；面南背北，左东右西；面北背南，左西右东．二．认识地图上的方向和根据简单的示意图回答问题．1．地图或其他平面示意图通常是按“上北下南，左西右东”绘制的，并在图上用箭头“▲”标出北方．2．以“教学楼在操场的（）面”为例：教学楼在操场的哪一面，以操场为观察点，观察学校的示意图发现教学楼在操场的上面．根据“上北下南，左西右东”来判断，即教学楼在操场的北面．典型例题根据示意图填空．（1）水果超市在育才广场的（）面，县医院在育才广场的（）面．（2）育才广场在汽车站的（）面，汽车站在县医院的（）面．（3）新华书店在水果超市的（）面，水果超市在新华书店的（）面．名师学堂理解题意．根据示意图，我们可以观察到，育才广场在中心，汽车站在左边，县医院在右边，水果超市在上边，新华书店在下边，我们知道南与北相对，西与东相对，并且这是在地图上来观察，所以根据“上北下南，左西右东”来判断，即可找到答案．正确解答．（1）水果超市在育才广场的北面，县医院在育才广场的东面．（2）育才广场在汽车站的东面，汽车站在县医院的西面．（3）新华书店在水果超市的南面，水果超市在新华书店的北面．知识点02：认识东北、东南、西北、西南一．东南、东北、西南、西北四个方向认识和辨别．1．当知道东、南、西、北其中的一个方向时，可以根据东、南、西、北四个方向分别能够找到东南、东北、西南、西北四个方向．以东北为例：为正东和正北之间的方向．2．东南与西北相对，东北与西南相对．二．简单的路线图（八个方向），能描述行走的路线的方法．1．路线图基本为“上北下南，左西右东”来判断方向，所以先判断正南、正北、正西、正东的方向，然后再求出东南、东北、西南、西北四个方向．2．描述行走路线时，以出发点为基准，先确定参观点所处的方向，再看哪条路通向参观点，用“先向……再向……最后向……”把行走路线描述出来．典型例题根据示意图填空星期天的早晨，小明从出发先向（）走邮局，又向（）方向走，到书店看书．中午小明从书店出发向（）走，去小贝家玩．下午小明和小贝一起从小贝家出发，先向（）走到学校，又向（）方向走，去游泳馆游泳．名师学堂理解题意．根据示意图，我们可以观察到，小明家在最北面，游泳馆在最南边．要想到达游泳馆，需要经过邮局、书店、小北家、学校及游泳馆．所以小明需要向向南走邮局，又向西北方向走，到书店看书．中午小明从书店出发向南走，去小贝家玩．下午小明和小贝一起从小贝家出发，先向西走到学校，又向东南方向走，去游泳馆游泳．正确解答．星期天的早晨，小明从出发先向南走邮局，又向西北方向走，到书店看书．中午小明从书店出发向南走，去小贝家玩．下午小明和小贝一起从小贝家出发，先向西走到学校，又向东南方向走，去游泳馆游泳．一、精挑细选(共5题；共5分)1．（1分）（2023二下·期末）小芳家在学校的西南面，学校在小芳家的（）面。

一一 题题 多多 解解
方 法 总 结
应
用
F
练
习
课 后 作 业
第（1）问解题步骤
证明：
∵AE⊥BC
∵AB AD
∴∠FBE
D
AB AC
∠BAC 30O
∠ABE-∠ABD
∠BAC 30O
∠CAB 90O
75O 30O =45O
∴∠C ∠ABC
∴∠D ∠ABD
∵AE⊥BC
1（180O 30O） 2
题题
多多
解解
D
方
法
a
总
结
应
a
用
F
练
b
习b
课
后 同参表示法
作 业
第（2）问解题思路
证明：作AM⊥BD于M 设FM a，BE=b
AFM=45O AF 2a 同理，BF 2b
AB AD, AM⊥BD BM MD BF FM 2b a FD 2a+ 2b
AE 2a b DF 2AE
(3)判断线段HG、GM、FC之间的数量关系，并证明.
方
法
总
结
应
用
练
习
课
中
后
作
业
题 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边中点，过点D作DE⊥BC交AC于E，连
型 接BE并延长使EF=AE，连接FC，G为BC上一点，过G作GH⊥BF于点H，作
介 绍
GM⊥AC于点M。
(1)依题意补全图形；
题题
多多 解解
D 联想 利用 △AEC 中的等边重合,
发现图形的变换形式,
方
构造全等三角形
点击几何画板

专题02 数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。

那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。

【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A 、B 两点表示的数为分别为a 、b ，则A 与B 间的距离AB=|a －b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a 表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为a+b ；向左移动b 个单位长度后到达点表示的数为a －b.类型一、求时间例1．如图在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，a 、b 满足|a +2|+|b ﹣8|＝0（1）点A 表示的数为 ；点B 表示的数为 ；（2）若在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），①当t ＝1时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；当t ＝5时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【答案】（1）-2，8；（2）①3，6；7，2；②可能，2秒或10秒【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可；（2）①首先求出甲、乙两球运动的路程，再根据它的初始位置求解即可；②分两种情况：乙球碰到挡板前和乙球碰到挡板后，分别建立方程求解即可．【详解】（1）∵|a +2|+|b ﹣8|＝0，20,80a b \+=-=， 2,8a b \=-=，∴点A 表示的数为-2；点B 表示的数为8；（2）∵一小球甲从点A 处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴当t ＝1时，甲小球运动的路程为111´=个单位，乙小球运动的路程为122´=个单位，∴当t ＝1时，甲小球到原点的距离为2133--=-=；乙小球到原点的距离为826-=；同理，当t ＝5时，甲小球运动的路程为155´=个单位，乙小球运动的路程为2510´=个单位，此时乙小球会碰到挡板而向相反的方向运动，∴当t ＝5时，甲小球到原点的距离为2577--=-=；乙小球到原点的距离为1082-=；②∵点B 表示的数为8，乙小球的速度为2个单位/秒，∴乙小球碰到挡板所用的时间为824¸=（秒），当运动时间小于等于4秒时，282t t +=-，解得2t =；当运动时间大于4秒时，228t t +=-，解得10t =，∴甲，乙两小球到原点的距离可能相等，甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为2秒或10秒．【变式训练1】如图，有两条线段，2AB =（单位长度），1CD =（单位长度）在数轴上，点A 在数轴上表示的数是-12，点D 在数轴上表示的数是15．（1）点B 在数轴上表示的数是______，点C 在数轴上表示的数是______，线段BC 的长=______；（2）若线段AB 以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点B 与C 重合时，点B 与点C 在数轴上表示的数是多少？（3）若线段AB 以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，点B 与点C 之间的距离为1个单位长度？【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t =233或253【分析】(1)根据AB 、CD 的长度结合点A 、D 在数轴上表示的数，即可求出点B 、C 在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC 的长度；(2)设相遇时间为a,分别用a 表示出相遇时B 、C 两点所表示的数,让其相等即可求出;(3) 分线段AB 与线段CD 在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC =1，得出关于t 的的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】（1）∵AB =2，点A 在数轴上表示的数是-12，∴点B 在数轴上表示的数是-12+2=-10；∵CD =1，点D 在数轴上表示的数是15，∴点C 在数轴上表示的数是15-1=14．∴BC =14-（-10）=24．故答案为：-10，14，24；（2）设运动时间为a 秒时B 、C 相遇，此时点B 在数轴上表示的数为-10+a ，点C 在数轴上表示的数为14-2a∵B 、C 重合，∴-10+a =14-2a ，解得a =8此时点B 与点C 在数轴上表示的数是-10+a =-10+8=-2；故答案为：-2(3)当运动时间为t 秒时，点B 在数轴上表示的数为-10+t ，点C 在数轴上表示的数为14-2t∴BC =10(142)t t -+--=324t -∵BC =1，∴324t -=1，∴t 1=233，t 2=253，综上所述：当BC =1时，t =233或253；【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B 、C 在数轴上表示的数．【变式训练2】如图，A ，B 两点在数轴上对应的数分别为a ，b ，且点A 在点B 的左侧，|a |＝10，a ＋b ＝60，ab ＜0．（1）求出a ，b 的值；（2）现有一只蚂蚁P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．①两只蚂蚁经过多长时间相遇？②设两只蚂蚁在数轴上的点C 处相遇，求点C 对应的数；③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度？【答案】（1）a ＝﹣10，b ＝70；（2）①两只蚂蚁经过40秒长时间相遇；②点C 对应的数为150；③经过25秒或55秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度．【分析】（1）根据两个数乘积小于0说明两数异号即可求解；（2）①根据相遇问题列一元一次方程即可求解；②根据路程=速度×时间，列出算式计算即可求解；③分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距30个单位长度列一元一次方程即可求解．【详解】解：（1）∵|a |＝10，∴a ＝10或﹣10，∵ab ＜0，∴a ，b 异号，∵a ＋b ＝60，当a ＝10时，b ＝50，不合题意，舍去．当a ＝﹣10时，b ＝70，符合题意．答：a ＝﹣10，b ＝70．（2）①设Q 从B 出发t 秒与P 相遇．根据题意得4t ﹣2t ＝80，解得t ＝40．故两只蚂蚁经过40秒长时间相遇；②设两只蚂蚁在数轴上的点C 处相遇，则点C 对应的数为70+40×2＝150；③根据题意，得相遇前：4t ﹣2t ＝80﹣30，解得t ＝25；相遇后：4t ﹣2t ＝80+30，解得t ＝55．故经过25秒或55秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出a ，b 的值；（2）找准等量关系，分情况讨论相遇前后的距离变化正确列出一元一次方程．【变式训练3】在数轴上，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且|a +2|+（b ﹣3）2＝0．（1）a ＝ ，b ＝ ；（2）在（1）的条件下，点A 以每秒0.5个单位长度沿数轴向左移动，点B 以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A 运动到﹣4所在的点处时，求A 、B 两点间距离；（3）在（2）的条件下，现A 点静止不动，B 点沿数轴向左运动时，经过多长时间A 、B 两点相距3个单位长度？【答案】（1）2,3-；（2）11；（3）经过8或14时，A 、B 两点相距3个单位长度【分析】（1）利用非负性即可求解；（2）设t 秒时，点A 运动到4-，求出所需时间4t =，4秒后，点B 运动到3417+´=，即求出两点间距离；（3）分两种情况进行讨论，即点B 需要运动到1-或7-处．【详解】解：（1）根据绝对值与平方的非负性得，20,30a b +=-=，2,3a b \=-=，故答案是：2,3-；（2）设t 秒时，点A 运动到4-，则20.54t --=-，解得：4t =，4秒后，点B 运动到3417+´=，7(4)11\--=，即,A B 两点间的距离为11；（3）,A B Q 分别位于4,7-，要使A 、B 两点相距3个单位长度，则点B 需要运动到1-或7-处，设经过t 秒，当71t -=-，解得：8t =，当77t -=-，解得：14t =，\经过8或14秒，A 、B 两点相距3个单位长度．【点睛】本题考查了绝对值和完全平方公式的非负性、数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离问题，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答．类型二、求距离或对应点例.如图所示，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．（1）点B表示的数是，并在数轴上将点B表示出来．（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度？（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍？【答案】（1）-6，见解析；（2）经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；（3）经过103秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离为10，计算后即可得到结论；（2）根据题意可由点P在A点的左侧和右侧可列方程，求解后即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论．【详解】解：（1）10-4=6，∵点B位于点A的左侧，∴点B表示的数是-6，故答案为：-6．在数轴上将点B表示如图所示：（2）设经过t秒点P与点A的距离是2个单位长度，∴当点P在A点左侧时，可得2t+2=10，则t=4，当点P在A点右侧时，可得2t-2=10，则t=6，∴经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；（3）设经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，∴当点P在A点左侧时，可得2（10-2t）=10-t，则t=103，当点P在A点右侧时，可得2（2t-10）=|10-t|，则t=6或t=103（舍），∴经过103秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴等知识，根据数量关系得到一元一次方程是解题的关键．【变式训练1】（知识储备）（1）数轴上点A 表示的数为a ，若向右移动m 个长度单位后表示的数是；若向左移动n 个长度单位后表示的数是 ．（2）在数轴上A 点表示数a ，B 点示数b ，A 在B 的右边，A 、B 两点间的距离等于a -b ．（解决问题）已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为﹣3、1，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为10？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A 、点B 分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P 以6个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点A 与点B 之间的距离为3个单位长度时，求点P 所对应的数是多少？【答案】【知识储备】（1）a +m ；a-n ；【解决问题】（1）点P 对应的数-1；（2）存在，x 的值为4或-6；（3）点P 所对应的数是-4或-28．【详解】解：知识储备（1）根据向右移为加，向左移为减，得：a +m ；a-n ；解决问题（1）如图：∵点P 到点A 、点B 的距离相等，∴AP BP = ，∵()33AP x x =--=+ （点P 在点A 右边），1BP x =- （点B 在点P 右边），∴31x x +=- ，解得：1x =- ，∴点P 对应的数为1- .解决问题（2）如图：点P 到点A 的距离为PA ，点P 到点B 的距离为PB ，依题意：10PA PB += ，∵点P 在点A 和点B 之间时410PA PB +=¹ ，∴点P 不在点A 和点B 之间，当点P 在点A 左边时：()()313122PA PB x x x x x +=--+-=--+-=-- ，∵10PA PB +=，∴2210x --=，解得：6x =- ，当点P 在点B 右边时：()()()313122PA PB x x x x x +=--+-=++-=+ ，∵10PA PB +=，∴2210x += ，解得：4x = ．综上，存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为10．4x =或6x =-．解决问题（3）设经过t 秒，点A 与点B 之间的距离为3个单位长度，此时点A 运动到点A ¢,点B 运动到B ¢，点P 运动到P ¢ ,∴经过t 秒，2AA t ¢= ，此时A ¢的对应的数为23t - ，0.5BB t ¢= ，此时B ¢的对应的数为0.51t + ，6PP t ¢= ，此时P ¢对应的数为6t - ，∵t 秒后点A 与点B 之间的距离为3个单位长度，∴3A B ¢¢= ,当B ¢在A ¢右边时：∴()()0.5123 1.54A B t t t ¢¢=+--=-+ ，∴ 1.543t -+= ，∴23t =，∵26643t -=-´=-，∴P 所对应的数为4- ．当点A ¢在点B ¢ 右边时：∴()()230.51 1.54B A t t t ¢¢=--+=- ，∴1.543t -= ，∴143t =，∵1466283t -=-´=- ，∴P 所对应的数为28-，综上，点P 对应的数为4-或28-．【点睛】本题考查的是列代数式，数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题意并列式是解本题的关键．【变式训练2】我们知道，在数轴上，|a |表示数a 表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a ，b 表示，那么A 、B 两点之间的距离为：AB ＝|a ﹣b |．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示1和4的两点的距离是 ，数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是 ．（2）|a ﹣1|＝2，则a ＝ ，|a ﹣1|+|a +3|＝6，则a ＝ ．（3）当|a ﹣1|+|a +3|取最小值时，此时符合条件的非负整数a 是 ．（4）如图，已知A ，B 分别为数轴上的两点，点A 表示的数是﹣30，点B 表示的数是50；现有一只蚂蚁P 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q 恰好从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设t 秒后两只蚂蚁相距10个单位长度，求此时点P 表示的数是多少？【答案】（1）3，3；（2）3或－1，2或－4；（3）0和1；（4）8或－4．【分析】（1）利用两点之间的距离公式列式计算即可；（2）利用绝对值定义知12a -=±，分别求解即可，由136a a -++=，分3a £-和1a ³两种情况进行讨论即可求出答案；（3）13a a -++表示数轴到表示1和表示3-的点的距离之和，由两点之间线段最短可知：当31a -££时，13a a -++有最小值，最小值为4，即可得符合条件的非负整数a 的值 ；（4）分情况讨论：相遇前两只蚂蚁所走总路程等于50(30)10---，相遇后两只蚂蚁所走总路程等于50(30)10--+，求出所用时间t ，在进行求解即可．【详解】解：（1）数轴上表示1和4的两点的距离为143-=，数轴上表示1-和4-的两点之间的距离为1(4)3---=；（2）∵1=2a -，∴12a -=±，∴3a =或1a =-，即a 为3或1-；∵136a a -++=，∴当3a £-时，136a a ---=，4a =-，当1a ³时，136a a -++=，2a =，∴a 为2或4-；（3）当a 在数轴上表示1和3-之间时，此时13a a -++的最小值为4，此时31a -££，∴符合条件的非负整数a 是0和1；（4）①相遇前两只蚂蚁相距10个单位长度时，得：3250(30)10t t +=---，解得：14t =，∴501438-´=，∴点P 表示的数是8；②相遇后两只蚂蚁相距10个单位长度时，得：3250(30)10t t +=--+，解得：18t =；∴501834-´=-，∴点P 表示的数是4-；综上所述：此时点P 表示的数是8或4-；【点睛】此题考查了数轴，涉及绝对值、解方程的知识点，解题的关键是对绝对值意义的掌握．类型三、求定值例.已知若数轴上点A 、点B 表示的数分别为,a b ，则AB a b =-∣∣，线段AB 的中点表示的数为2a b +．如图，数轴上点A 表示的数为2-，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒(0)t >．（1）填空：①,A B 两点间的距离AB =______，线段AB 的中点表示的数为_____；②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为_______；点Q 表示的数为______．（2）求当t 为何值时，,P Q 两点相遇，并写出相遇点所表示的数．（3）若点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．【答案】（1）①10，3；②-2+3t ，8-2t ；（2）t =2，4；（3）5【解析】（1）①AB =8-（-2）=10，AB 中点为282-+=3，故答案为：10，3；②t 秒后，点P 表示的数为-2+3t ，点Q 表示的数为8-2t ，故答案为：-2+3t ，8-2t ；（2）∵当P 、Q 两点相遇时，P 、Q 表示的数相等∴-2+3t =8-2t ，解得：t =2，∴当t =2时，P 、Q 相遇，此时，-2+3t =-2+3×2=4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵点M 表示的数为()2233222t t -+-+=-，点N 表示的数为()8233322t t +-+=+，∴MN =333222t t æö+--ç÷èø=5．故答案为：（1）①10，3；②-2+3t ，8-2t ；（2）t =2，4；（3）5【变式训练1】如图，数轴上原点为O ，A ，B 是数轴上的两点，点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，且a ，b 满足2(2)40a b -++＝，动点M ，N 同时从A ，B 出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为x 秒（x ＞0）．（1）A 、B 两点间的距离是 ；动点M 对应的数是 （用含x 的代数式表示）；动点N 对应的数是 ；（用含x 的代数式表示）（2）几秒后，线段OM 与线段ON 恰好满足3OM ＝2ON ？（3）若M ，N 开始运动的同时，R 从﹣1出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R 与M 不重合时，求MB NB RM-的值．【答案】（1）6，2x +，34x -；（2）143秒或29秒；（3）2或 2.-【解析】（1）∵a ，b 满足2(2)40a b -++＝，∴a ﹣2＝0，b +4＝0，∴a ＝2，b ＝﹣4，∵点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，AB ＝2﹣（﹣4）＝6．当运动时间为x 秒时，动点M 对应的数是x +2，动点N 对应的数是3x ﹣4．故答案为：6；x +2；3x ﹣4．（2）由（1）中M ，N 所对的数得OM ＝x +2，ON ＝3x ﹣4，∵3OM ＝2ON ， ∴|32|(2)34x x+＝﹣，①3（2+x ）＝2（3x ﹣4），解得x ＝143；②3（2+x ）＝﹣2（3x ﹣4），解得x ＝29；综上，143或29秒后，线段OM 与线段ON 恰好满足3OM ＝2ON ；（3）由题意得动点R 所对的数为﹣1+2x ，|12)((|3||2)RM x x x +-+--＝＝，(2)(4)6MB x x =+--=+，(43)(4)3NB x x =-+--=， ∴MB ﹣NB ＝6+x ﹣3x ＝6﹣2x ，∵2+x ＝﹣4+3x ，解得x ＝3，∴M 与N 相遇时时间为3s ，N 与M 相遇前，x ＜3s 时，62|3|MB NB x RM x --=-＝623x x--＝2，N 与M 相遇后，x ＞3s 时，MB NB RM -＝62|3|x x --＝623x x --＝﹣2，综上所述MB NB RM-的值为2或﹣2．故答案为：（1）6，2x +，34x -；（2）143秒或29秒；（3）2或 2.-【变式训练2】已知：b 是最小的正整数，且a 、b 满足()250c a b -++=，请回答问题：（1）请直接写出a 、b 、c 的值：a = ，b = ，c = ．（2）在（1）的条件下数a ，b ，c 分别在数轴上对应的点A ，C 有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A ，C 两点同时出发相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为4个单位/秒点，当两只电子蚂蚁在数轴上点M 处相遇时，求点M 表示的数．（3）在（1）的条件下，点a ，b ，c 分别对应点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC -AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）﹣1；1；5；（2）1；（3）不变，2【分析】（1）先根据b 是最小的正整数，求出b ，再根据2(5)||0c a b -++=，即可求出a 、c ；（2）设经过x 秒，甲，乙在数轴上点M 处相遇，根据题意表示出甲，乙分别走的路程，根据路程之和等于AC 列出方程，解方程即可．（3）先求出BC =3t +4，AB =3t +2，从而得出BC ﹣AB =2．【详解】解：（1）∵b 是最小的正整数，∴b =1．∵（c ﹣5）2+|a +b |=0，∴a =﹣1，c =5；故答案为﹣1；1；5；（2）设经过x 秒，甲，乙在数轴上点M 处相遇，则()2451x x +=--，解得1x =则甲蚂蚁经过1秒到达M 点，\M 点表示的数为:1211-+´=（3）BC ﹣AB 的值不随着时间t 的变化而改变，其值是2，理由如下：∵点A 都以每秒1个单位的速度向左运动，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴BC =3t +4，AB =3t +2，∴BC ﹣AB =（3t +4）﹣（3t +2）=2．【点睛】本题考查了数轴与整式的加减，数形结合是解题的关键．课后训练1．数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB =|a ﹣b |．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；（2）数轴上若点A 表示的数是x ，点B 表示的数是－2，若AB ＝2，那么x 为； （3）当x 是 时，代数式|2||1|5x x ++-=；（4）若点A 表示的数－1，点B 与点A 的距离是10，且点B 在点A 的右侧，动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q 的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，PQ ＝1（请写出必要的求解过程）【答案】（1）3，4；（2）0或-4；（3）-3或2；（4）4.5或5.5【分析】（1）直接利用题干两点的距离公式计算即可；（2）根据题意可列出关于x 的绝对值方程，解出x 即可．（3）分类讨论①当2x <-时；②当21x -£<时；③当1³x 时，去绝对值，解出方程即可．（4）设运动x 秒后，PQ ＝1，分类讨论：①当点P 未超过点Q 时；②当点P 超过点Q 时，根据数轴列出方程，解出x 即可．【详解】（1）根据题意可知数轴上表示2和5的两点之间的距离是253-=，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是1(3)4--=；故答案为：3，4．（2）由题意可知：22AB x =--=∴22x --=±解得：0x =或4x =-；故答案为：0或-4．（3）∵215x x ++-=，即可表示为点A （表示有理数x ）到点B （表示有理数-2）的距离与点A 到点C （表示有理数1）的距离的和是5，如图：故分类讨论：①当点A 在点B 左侧时，即2x <-，此时有215x x ---+=，解得：3x =-，符合题意；②当点A 在点B 和点C 中间时，即21x -£<，此时有215x x ++-=，方程无解；当点A 在点C 右侧时，即1³x ，此时有215x x ++-=，解得：2x =，符合题意；综上，3x =-或2x =，故答案为：-3或2．（4）设运动x 秒后，PQ ＝1，分类讨论：①当点P 未超过点Q 时，根据数轴可列方程：3(101)x x =+-解得： 4.5x =②当当点P 超过点Q 时，根据数轴可列方程：3(101)x x =++，解得： 5.5x =故运动4.5或5.5秒后，PQ ＝1．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，实数与数轴，数轴上两点之间的距离．利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键．2．已知数轴上A 、B 两点表示的数分别为a ，b ，且a ，b 满足|a +20|+(b -13)2=0，点C 表示的数为16，点D 表示的数为-7．（1）A ，C 两点之间的距离为__________；（2）已知|m －n |可理解为数轴上表示数m 、n 的两点之间的距离．若点P 在数轴上表示的数为x ，则满足|x +2|+|x -3|=5的所有的整数x 的和为_______________；满足|x +2|+|x -3|=9的x 值为______________．（3）点A ，B 从起始位置同时出发相向匀速运动，点A 的速度为6个单位长度/秒，点B 的速度为2个单位长度/秒，当点A 运动到点C 时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C 运动，点B 运动至点D 后停止运动，当点B 停止运动时，点A 也停止运动，求在此运动过程中，求A ，B 两点同时到达的点在数轴上表示的数．【答案】（1）36；（2）3，5或－4；（3）194，132-【分析】（1）根据|a +20|+(b -13)2=0，求出a 和b 的值，即可得出A ，C 两点之间的距离；（2）根据题意可得|x +2|+|x -3|=5表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为5，即可求出所有的整数x 的值，然后求和即可；根据题意可得|x +2|+|x -3|=9表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为9，分x 在-2左边和x 在3右边两种情况讨论，列出方程求解即可；（3）根据题意表示出A 点从A 到C 的过程和C 到A 的过程到达的点，表示出B 点从B 到D 的过程到达的点，然后根据A ，B 两点同时到达时分别列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵|a +20|+(b -13)2=0，∴200130a b +=-=，，∴2013a b =-=，，∴A 点表示的数是-20，又∵点C 表示的数为16，∴A ，C 两点之间的距离=16-(-20)=36；（2）∵|m －n |可理解为数轴上表示数m 、n 的两点之间的距离，∴|x +2|+|x -3|=5表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为5，∴23x -££，又∵x 是整数，∴x 的值可以是-2，-1，0，1，2，3，∴-2-1+0+1+2+3=3，∴满足|x +2|+|x -3|=5的所有的整数x 的和为3；同理|x +2|+|x -3|=9表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为9，∴当x 在-2左边时，-2-x +3-x =9，解得：x =-4，当x 在3右边时，x -(-2)+x -3=9，解得：x =5，综上所述，满足|x +2|+|x -3|=9的x 值为5或－4；（3）设两点运动的时间为t ，A 点：A 到C 的过程：()20606x t t =-+££，C 到A 的过程：()()1666526610x t t t =--=-£<，B 点：B 到D 的过程：()132010x t t =-££，第一次相遇时，由题意得：206132t t -+=-，解得：338t =，此时x =194；第二次相遇时，由题意得：526132t t -=-，解得：394t =，此时x =132-；综上所述，A ，B 两点同时到达的点在数轴上表示的数为194，132-．【点睛】此题考查了绝对值的几何意义的运用，动点问题的求解，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义．。

常见的几何双解问题一、线段：点或线的位置不明确例1：已知线段AB=3cm ，在直线 AB 上截取线段BC=2cm,则线段AC 长为 。

例2：已知∠AOB=50°，∠AOC=30°，则∠BOC= °例3：正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点，若DP=1，则tan ∠BPC 的值是 。

二、三角形1、直角三角形：直角边、斜边不明确例1：已知直角三角形的三边长为15、a 、8, 则a 为 。

2、 相似三角形：对应关系不明确例2：如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都是格点，点E 是线段AC 上任意一点．如果AD ＝1，那么当AE ＝ 时， 以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 3、 等腰三角形：关键数据不明确例3：等腰三角形一腰上的中线将它的周长为9，12两部分，则底边长为 。

底和腰不明确例4：一个等腰三角形的两边分别为8和6，则它的周长为 。

顶角和底角不明确例5：等腰三角形的一个内角为50°，则其它两角度数为 。

钝角和锐角不明确例6：在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，那么△ABC 的面积为 例7：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 。

D CB A例8：在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的大小为 。

例9：在△ABC 中，2AB =，2AC =B ∠=30º，则 ∠BAC 的度数是 。

三、 圆● 弦所对的圆周角不明确例1：圆中一条弦长与半径相等，此弦所对的圆周角的度数为 。

● 相切的类型不明确例2：已知圆A 和圆B 相切，两圆的圆心距为8，圆A 的半径为3，则圆B 的半径是 。

● 相交的位置不明确例3：若半径为5和4的两圆相交，且公共弦为6，则它们的圆心距d 等于 。

● 点与圆的位置不明确例4：若⊙O 的半径为5，且点P 到⊙O 的最短距离为3，则点P 到⊙O 的最长距离为 。